How many real roots does the polynomial 2x³ + 8x − 7 have?
সঠিক উত্তর
খOne
ব্যাখ্যা
ঘন বা তিন মাত্রার বহুপদীর বাস্তব মূল সবসময় অন্তত একটি, কারণ x খুব বড় ঋণাত্মক আর খুব বড় ধনাত্মক হলে রাশির মানের চিহ্ন উল্টো হয়; মাঝে কোথাও শূন্য ছুঁতেই হবে। তাই কোনো মূল নেই উত্তরটা আগেই বাদ।
এখন দেখতে হবে মূল একটির বেশি কিনা। ২x³ আর ৮x দুটো পদই x বাড়লে বাড়ে; তাই পুরো রাশিটা সবসময় বাড়তে থাকে, কখনো নামে না। অন্তরজ ৬x² যোগ ৮ সবসময় ধনাত্মক, এটাই তার প্রমাণ।
যে রেখা সবসময় উপরে উঠছে, সেটি x-অক্ষকে একবারের বেশি কাটতে পারে না। তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি। x সমান ০-তে মান ঋণাত্মক ৭, আর x সমান ১-এ মান ৩; তাই মূলটি ০ আর ১-এর মাঝে।
তিন মাত্রা দেখে অনেকে তিনটি মূল ধরে নেন। তিনটি মূল থাকে ঠিকই, কিন্তু এখানে বাকি দুটি জটিল সংখ্যা, বাস্তব নয়।
- f(x) = 2x³ + 8x − 7
- f′(x) = 6x² + 8 > 0 (সব x-এর জন্য)
- ⇒ f(x) সবসময় বর্ধমান
- f(0) = −7 < 0, f(1) = 2 + 8 − 7 = 3 > 0
- ⇒ ০ ও ১-এর মাঝে ঠিক ১টি বাস্তব মূল
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- ঘন বহুপদীর অন্তত ১টি বাস্তব মূল থাকেই।
- অন্তরজ ৬x² + ৮ সবসময় ধনাত্মক, তাই রেখা শুধু উপরে ওঠে।
- f(০) = −৭ আর f(১) = ৩: চিহ্ন বদলায় একবারই।
- তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি।
ক. None: বিজোড় মাত্রার বহুপদীর বাস্তব মূল কখনো শূন্যটি হয় না।
গ. Two: জটিল মূল জোড়ায় জোড়ায় আসে, তাই ঘন বহুপদীর বাস্তব মূল ২টি হতে পারে না (পুনরাবৃত্ত মূল ছাড়া)।
ঘ. Three: তিনটি মূল আছে, কিন্তু দুটি জটিল; রাশিটি সবসময় বর্ধমান বলে বাস্তব মূল একটিই।
ax³ + bx + c আকারে a আর b একই চিহ্নের হলে রাশিটি সবসময় বাড়ে বা কমে, তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি।
সবসময় ওঠা রেখা অক্ষ কাটে একবারই।