If 1+sinθ = xcosθ, then tanθ=?
সঠিক উত্তর
ঘ(x² − 1)/2x
ব্যাখ্যা
১ যোগ sin থিটা সমান x গুণ cos থিটা, তাই x সমান ১ যোগ sin থিটা ভাগ cos থিটা। এ ধরনের প্রশ্নে x বর্গ নিয়ে কাজ করলে sin আর cos আলাদা করা যায়।
x বর্গ হলো ১ যোগ sin এর বর্গ ভাগ cos বর্গ। cos বর্গ সমান ১ বিয়োগ sin বর্গ, যা ১ যোগ sin গুণ ১ বিয়োগ sin। কাটাকাটি করলে x বর্গ সমান ১ যোগ sin ভাগ ১ বিয়োগ sin।
এখান থেকে যোজন-বিয়োজন করলে sin থিটা সমান x বর্গ বিয়োগ ১ ভাগ x বর্গ যোগ ১। আবার cos থিটা সমান ১ যোগ sin ভাগ x, যা দাঁড়ায় ২x ভাগ x বর্গ যোগ ১।
tan থিটা সমান sin ভাগ cos, তাই x বর্গ বিয়োগ ১ ভাগ ২x। দ্রুত যাচাই: থিটা শূন্য ধরলে x সমান ১ আর tan শূন্য, এতে প্রথম ও তৃতীয় অপশন বাদ পড়ে। থিটা ৩০ ডিগ্রি ধরলে x সমান রুট ৩ আর tan সমান ১ ভাগ রুট ৩; দ্বিতীয় অপশন দেয় ২ ভাগ রুট ৩, শুধু শেষটি মেলে।
- x = (1 + sinθ)/cosθ
- x² = (1 + sinθ)²/(1 − sin²θ) = (1 + sinθ)/(1 − sinθ)
- যোজন-বিয়োজন: sinθ = (x² − 1)/(x² + 1)
- cosθ = (1 + sinθ)/x = 2x/(x² + 1)
- tanθ = sinθ/cosθ = (x² − 1)/2x
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- x = (১ + sinθ)/cosθ, বর্গ করি।
- x² = (১ + sinθ)/(১ − sinθ)।
- যোজন-বিয়োজনে sinθ = (x² − ১)/(x² + ১)।
- cosθ = ২x/(x² + ১), তাই tanθ = (x² − ১)/২x।
ক. (x² + 1)/x: θ = ০ হলে x = ১, এই রাশি ২ হয় কিন্তু tan ০ = ০।
খ. (x² − 1)/x: ভাগে ২ বাদ পড়েছে; θ = ৩০° হলে x = √৩, মান ২/√৩ কিন্তু tan ৩০° = ১/√৩।
গ. (x² + 1)/2x: θ = ০ হলে মান ১, অথচ tan ০ = ০।
x = secθ + tanθ হলে secθ − tanθ = ১/x; বিয়োগ করলে ২tanθ = x − ১/x, তাই tanθ = (x² − ১)/২x।
sec যোগ tan এর উল্টো sec বিয়োগ tan।