Find the number of zeroes in 10 x 20 x 30x……x 1000.
সঠিক উত্তর
খ124
ব্যাখ্যা
গুণফলের শেষে কয়টি শূন্য, তা নির্ভর করে কয়টি ১০ তৈরি হয়, মানে কয়টি ২ আর ৫ জোড়া বাঁধে। এখানে প্রতিটি পদ ১০ এর গুণিতক, তাই আগে প্রতিটি থেকে একটা ১০ আলাদা করি।
১০, ২০, ৩০ থেকে ১০০০ পর্যন্ত মোট ১০০টি পদ। প্রতিটিকে ১০ গুণ k লেখা যায়, k হলো ১ থেকে ১০০। তাই গুণফল সমান ১০ এর ঘাত ১০০ গুণ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সব সংখ্যার গুণফল, অর্থাৎ ১০০ ফ্যাক্টরিয়াল।
১০ এর ঘাত ১০০ থেকে আসে ১০০টি শূন্য। ১০০ ফ্যাক্টরিয়ালে শূন্য গুনতে ৫-এর গুণিতক গুনি: ১০০ ভাগ ৫ সমান ২০, আর ১০০ ভাগ ২৫ সমান ৪; মোট ২৪টি। সব মিলিয়ে ১০০ যোগ ২৪ সমান ১২৪টি শূন্য।
ফাঁদ হলো শুধু ১০০টি শূন্য গোনা, অর্থাৎ ১০০ ফ্যাক্টরিয়ালের ভেতরের শূন্যগুলো ভুলে যাওয়া। আবার ২৫, ৫০, ৭৫, ১০০ থেকে আসা বাড়তি ৫ বাদ দিলে ২০ আসে, যা ভুল।
- ১০ × ২০ × … × ১০০০ = (১০ × ১)(১০ × ২)…(১০ × ১০০)
- = ১০¹⁰⁰ × ১০০!
- ১০¹⁰⁰ থেকে শূন্য = ১০০
- ১০০! এ শূন্য = ⌊১০০/৫⌋ + ⌊১০০/২৫⌋ = ২০ + ৪ = ২৪
- মোট শূন্য = ১০০ + ২৪ = ১২৪
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- প্রতিটি পদ ১০ × k, k = ১ থেকে ১০০।
- গুণফল = ১০¹⁰⁰ × ১০০!।
- ১০¹⁰⁰ থেকে ১০০টি শূন্য।
- ১০০! থেকে ২০ + ৪ = ২৪টি; মোট ১২৪।
ক. 100: শুধু ১০ এর ঘাত থেকে ১০০টি শূন্য গোনা; ১০০! এর ২৪টি বাদ পড়েছে।
গ. 130: ২৪ এর বদলে ৩০ ধরা; ১০০! এ শূন্য ২৪টি, বেশি নয়।
ঘ. 154: ১০০! এর শূন্য দ্বিগুণ বা ভুলভাবে গোনার ফল।
n! এ শূন্য = n/৫ + n/২৫ + n/১২৫ … (পূর্ণসংখ্যা অংশ)। এখানে ১০০ + ১০০! এর ২৪ = ১২৪।
শূন্য গোনা মানে পাঁচ গোনা।