a – 1/a = 3 হলে, a³ + 1/a³ এর মান কত?
সঠিক উত্তর
ঘ36
ব্যাখ্যা
এই ধরনের প্রশ্নে ঘনের সূত্র কাজে লাগে: a বিয়োগ b এর ঘন সমান a এর ঘন বিয়োগ b এর ঘন বিয়োগ তিন ab গুণ a বিয়োগ b। এখানে b হলো ১ ভাগ a, তাই ab সমান ১।
তাহলে a এর ঘন বিয়োগ ১ ভাগ a এর ঘন সমান a বিয়োগ ১ ভাগ a এর ঘন যোগ তিন গুণ a বিয়োগ ১ ভাগ a। মান বসালে ৩ এর ঘন ২৭, যোগ ৩ গুণ ৩ মানে ৯; মোট ৩৬।
লক্ষ্য করুন, প্রশ্নে যোগ চিহ্ন ছাপা হয়েছে, কিন্তু a বিয়োগ ১ ভাগ a দেওয়া থাকলে সরাসরি পাওয়া যায় বিয়োগের রূপটাই। যোগের রূপ হিসাব করলে a ধনাত্মক হলে উত্তর আসে ১০ গুণ ১৩ এর বর্গমূল, প্রায় ৩৬ দশমিক শূন্য ছয়, আর a ঋণাত্মক হলে তার ঋণাত্মক মান; কোনোটিই অপশনে নেই। তাই প্রদত্ত উত্তর ৩৬।
সাধারণ ভুল হলো শুধু ঘন করে ২৭ লেখা, অথবা শুধু তিন গুণের অংশ নিয়ে ৯ লেখা; সূত্রের দুটো অংশই যোগ করতে হয়।
- a³ − ১/a³ = (a − ১/a)³ + ৩(a − ১/a)
- = ৩³ + ৩ × ৩
- = ২৭ + ৯ = ৩৬
- (a³ + ১/a³ = ±১০√১৩, a ধনাত্মক হলে ≈ ৩৬.০৬; অপশনে নেই)
এই প্রশ্নের উত্তর নিয়ে প্রকাশিত গাইডগুলোতে দ্বিমত আছে; এখানে সবচেয়ে প্রচলিত উত্তরটি দেওয়া হলো।
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- সূত্র: a³ − ১/a³ = (a − ১/a)³ + ৩(a − ১/a)।
- মান বসাই: ৩³ + ৩ × ৩।
- ২৭ + ৯ = ৩৬।
- প্রশ্নের “+” রূপে মান ±১০√১৩ (≈ ±৩৬.০৬), অপশনে নেই; তাই ৩৬।
ক. 9: ৯ শুধু ৩(a − ১/a) অংশ; (a − ১/a)³ = ২৭ যোগ করা হয়নি।
খ. 18: ১৮ সূত্রের কোনো ধাপে আসে না; দুই অংশ ২৭ আর ৯।
গ. 27: ২৭ শুধু (a − ১/a)³; ৩(a − ১/a) = ৯ যোগ করা হয়নি।
x − ১/x = p হলে x³ − ১/x³ = p³ + ৩p = ২৭ + ৯ = ৩৬।
মাইনাসের ঘনে প্লাস তিন p।