x² – 3x + 1 = 0 হলে (x² – 1/x²) এর মান কত?
সঠিক উত্তর
খ3√5
ব্যাখ্যা
এ ধরনের প্রশ্নে x এর মান আলাদা করে বের করার দরকার নেই। সমীকরণকে x দিয়ে ভাগ করলেই x আর তার উল্টো সংখ্যার যোগফল পাওয়া যায়, আর সেখান থেকে বাকি সব রাশি।
x এর বর্গ বিয়োগ তিন x যোগ এক সমান শূন্য, একে x দিয়ে ভাগ করলে পাই: x আর x ভাগের এক এর যোগফল ৩।
বিয়োগফলের বর্গ হলো যোগফলের বর্গ থেকে ৪ কম, কারণ x আর x ভাগের এক এর গুণফল ১। তাই বিয়োগফলের বর্গ ৯ থেকে ৪ বাদে ৫, আর বিয়োগফল ৫ এর বর্গমূল।
নির্ণেয় রাশিটি দুই বর্গের অন্তর, যা যোগফল আর বিয়োগফলের গুণফল: ৩ গুণ ৫ এর বর্গমূল, অর্থাৎ তিন রুট পাঁচ। কঠোরভাবে বিয়োগফল ঋণাত্মকও হতে পারে, কিন্তু বিকল্পে শুধু ধনাত্মক মানটা আছে।
ফাঁদ হলো পাঁচ রুট তিন, যেখানে ৩ আর ৫ এর জায়গা উল্টে গেছে।
- x² − ৩x + ১ = ০ কে x দিয়ে ভাগ: x − ৩ + ১/x = ০
- x + ১/x = ৩
- (x − ১/x)² = (x + ১/x)² − ৪ = ৯ − ৪ = ৫
- x − ১/x = √৫
- x² − ১/x² = (x + ১/x)(x − ১/x) = ৩ × √৫ = ৩√৫
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৩/৩- x দিয়ে ভাগ করে x + ১/x = ৩।
- (x − ১/x)² = ৯ − ৪ = ৫, তাই x − ১/x = √৫।
- x² − ১/x² = (x + ১/x)(x − ১/x) = ৩√৫।
ক. 5√3: ৩ আর ৫ এর জায়গা উল্টে গেছে; যোগফল ৩, বিয়োগফল √৫, তাই ৩√৫।
গ. 4√5: ৪√৫ পেতে x + ১/x = ৪ লাগত; এখানে তা ৩।
ঘ. 6√5: ৬√৫ সঠিক মানের দ্বিগুণ; x + ১/x = ৩, বিয়োগফল √৫, গুণফল ৩√৫।
x + ১/x = a হলে x² − ১/x² = a√(a² − ৪) = ৩√(৯ − ৪) = ৩√৫।
বর্গের অন্তর = যোগফল গুণ বিয়োগফল।