যদি x⁴ – x² + 1 = 0 হয়, তবে, x³ + 1/x³ = কত?

প্রশ্নটা x এর মান বের না করেই বীজগণিতের সূত্র দিয়ে রাশির মান বের করা যাচাই করছে। কৌশল হলো সমীকরণকে x এর বর্গ দিয়ে ভাগ করা।

সুবিধার জন্য ১ কে x দিয়ে ভাগ করা রাশিটিকে y বলি, তাহলে x গুণ y সমান ১। সমীকরণটিকে x এর বর্গ দিয়ে ভাগ করলে পাই x এর বর্গ বিয়োগ ১ যোগ y এর বর্গ সমান শূন্য, অর্থাৎ x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১।

এখন x এর ঘন যোগ y এর ঘন সমান x যোগ y, গুণ x এর বর্গ বিয়োগ xy যোগ y এর বর্গ। দ্বিতীয় বন্ধনীতে x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ হলো ১, আর xy হলো ১; তাই বন্ধনীর মান শূন্য। ফলে পুরো রাশির মান শূন্য।

আরেক পথ: সমীকরণটিকে x এর বর্গ যোগ ১ দিয়ে গুণ করলে x এর ষষ্ঠ ঘাত যোগ ১ সমান শূন্য হয়, সেখান থেকেও একই উত্তর আসে। ফাঁদ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১ পেয়ে সেটাকেই উত্তর ধরা; প্রশ্ন চেয়েছে ঘনের যোগফল।