বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x – 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান-
সঠিক উত্তর
গ– ∞ < x < 5/2 অথবা 8/3 < x < ∞
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা ভগ্নাংশযুক্ত অসমতা যাচাই করছে। এখানে আসল কৌশল: হরের চিহ্ন না জেনে দুই পাশ হর দিয়ে গুণ করা যায় না, কারণ ঋণাত্মক দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। তাই দুই ভাগে ভাবতে হয়।
প্রথম ভাগ: ৩x বিয়োগ ৫ ধনাত্মক হলে, মানে x যখন ৩ ভাগের ৫ এর চেয়ে বড়। তখন উল্টো করে নিলে ৩x বিয়োগ ৫ কে ৩ এর চেয়ে বড় হতে হবে, অর্থাৎ x হবে ৩ ভাগের ৮ এর চেয়ে বড়।
দ্বিতীয় ভাগ: ৩x বিয়োগ ৫ ঋণাত্মক হলে, মানে x যখন ৩ ভাগের ৫ এর চেয়ে ছোট। তখন বাম পাশটা ঋণাত্মক, আর ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় ৩ ভাগের ১ এর চেয়ে ছোট। তাই এই পুরো অংশই সমাধান।
দুই ভাগ মিলিয়ে উত্তর: x ৩ ভাগের ৫ এর চেয়ে ছোট অথবা x ৩ ভাগের ৮ এর চেয়ে বড়। বিকল্পে ৩ ভাগের ৫ এর জায়গায় ভুল করে ২ ভাগের ৫ ছাপা হয়েছে; তবু অথবা দিয়ে দুই অংশ জোড়া একমাত্র এই বিকল্পটি।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো সরাসরি হর দিয়ে গুণ করে শুধু x ৩ ভাগের ৮ এর চেয়ে বড়, এই অংশটা নেওয়া। তাতে ঋণাত্মক হরের পুরো অংশটা হারিয়ে যায়।
- ক্ষেত্র ১: ৩x − ৫ > ০ অর্থাৎ x > ৫/৩
- তখন ৩ < ৩x − ৫ ⇒ ৩x > ৮ ⇒ x > ৮/৩
- ক্ষেত্র ২: ৩x − ৫ < ০ অর্থাৎ x < ৫/৩
- তখন বামপক্ষ ঋণাত্মক < ১/৩, সবসময় সত্য
- সমাধান: x < ৫/৩ অথবা x > ৮/৩
এই প্রশ্নের উত্তর নিয়ে প্রকাশিত গাইডগুলোতে দ্বিমত আছে; এখানে সবচেয়ে প্রচলিত উত্তরটি দেওয়া হলো।
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- হর ধনাত্মক না ঋণাত্মক, দুই ক্ষেত্রে ভাগ করি।
- হর ধনাত্মক হলে: ৩x − ৫ > ৩, তাই x > ৮/৩।
- হর ঋণাত্মক হলে (x < ৫/৩): বামপক্ষ ঋণাত্মক, তাই সবসময় সত্য।
- দুই অংশ ‘অথবা’ দিয়ে জুড়ি: x < ৫/৩ অথবা x > ৮/৩।
ক. – ∞ < x < 5/3: এটা শুধু হর ঋণাত্মক অংশ; x > ৮/৩ অংশ বাদ পড়েছে, যেমন x = ৩ হলে ১/৪ < ১/৩ সত্য।
খ. 8/3 < x < ∞: সরাসরি হর দিয়ে গুণ করলে এই অংশটাই আসে; কিন্তু x = ০ হলে বামপক্ষ −১/৫, যা ১/৩ এর চেয়ে ছোট, অথচ এটা বাদ পড়েছে।
ঘ. – ∞ < x < 5/2 এবং 8/3 < x < ∞: ‘এবং’ মানে দুই শর্ত একসাথে; x একসাথে ৫/২ এর ছোট আর ৮/৩ এর বড় হতে পারে না, তাই এ সেট ফাঁকা।
হরে চলক থাকলে আগে দেখুন হর ঋণাত্মক হলে কী হয়; ঋণাত্মক ভগ্নাংশ যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে ছোট।
হরে x মানে দুই রাস্তা: হর ধনাত্মক, হর ঋণাত্মক।