4ˣ + 4¹⁻ˣ = 4 হলে, x = কত?
সঠিক উত্তর
গ1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা সূচকের সমীকরণ যাচাই করছে। আসল সমীকরণ: ৪ এর ঘাত x যোগ ৪ এর ঘাত এক বিয়োগ x সমান ৪। দ্বিতীয় পদটি ৪ কে ৪ এর ঘাত x দিয়ে ভাগ, কারণ সূচক বিয়োগ হলে ভাগ হয়।
৪ এর ঘাত x কে y ধরি। তাহলে সমীকরণ হয় y যোগ y ভাগের ৪ সমান ৪। দুই পাশ y দিয়ে গুণ করলে y এর বর্গ বিয়োগ ৪y যোগ ৪ সমান শূন্য, যা আসলে y বিয়োগ ২ এর বর্গ।
তাই y সমান ২, মানে ৪ এর ঘাত x সমান ২। ২ হলো ৪ এর বর্গমূল, অর্থাৎ ৪ এর ঘাত ২ ভাগের ১। তাই x সমান ২ ভাগের ১।
যাচাই: x অর্ধেক হলে দুই পদই ২, যোগফল ৪। বাকি বিকল্প বসালে যোগফল ৪ এর চেয়ে বেশি আসে; যেমন x সমান ১ হলে ৪ যোগ ১, মানে ৫।
- ৪ˣ + ৪¹⁻ˣ = ৪
- ৪ˣ = y ধরি: y + ৪/y = ৪
- y² − ৪y + ৪ = ০
- (y − ২)² = ০ ⇒ y = ২
- ৪ˣ = ২ = ৪^(১/২) ⇒ x = ১/২
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- ৪¹⁻ˣ = ৪ ÷ ৪ˣ লিখি।
- ৪ˣ = y ধরলে y + ৪/y = ৪।
- y² − ৪y + ৪ = ০, অর্থাৎ (y − ২)² = ০, তাই y = ২।
- ৪ˣ = ২ = √৪, তাই x = ১/২।
ক. 1/4: x = ১/৪ হলে ৪^(১/৪) + ৪^(৩/৪) ≈ ১.৪১৪ + ২.৮২৮ = ৪.২৪, ৪ নয়।
খ. 1/3: x = ১/৩ হলে ৪^(১/৩) + ৪^(২/৩) ≈ ১.৫৮৭ + ২.৫২০ = ৪.১১, ৪ নয়।
ঘ. 1: x = ১ হলে ৪ + ৪⁰ = ৪ + ১ = ৫, ৪ নয়।
বিকল্প বসিয়ে দেখুন: aˣ + a¹⁻ˣ ক্ষুদ্রতম হয় যখন দুই পদ সমান, অর্থাৎ x = ১/২।
দুই পদ সমান হলে যোগফল সবচেয়ে কম: ২ যোগ ২ সমান ৪।