x = √4 + √3 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?
সঠিক উত্তর
খ52
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা অনুবন্ধী করণী আর ঘন রাশির সূত্র যাচাই করছে। প্রথমে লক্ষ করুন, রুট ৪ মানে ২, তাই x সমান ২ যোগ রুট ৩।
x এর বিপরীত, মানে x ভাগের এক, বের করতে লব হরকে ২ বিয়োগ রুট ৩ দিয়ে গুণ করি। হর হয় ৪ বিয়োগ ৩, মানে ১। তাই x ভাগের এক সমান ২ বিয়োগ রুট ৩, আর দুটো যোগ করলে রুট ৩ কেটে গিয়ে পাই ৪।
এখন সূত্র: x এর ঘন যোগ x এর ঘনের বিপরীত সমান, x যোগ x ভাগের এক এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ x যোগ x ভাগের এক। মান বসালে ৪ এর ঘন ৬৪, বিয়োগ ৩ গুণ ৪ মানে ১২, ফল ৫২।
যোগফল ৪ একটি মূলদ সংখ্যা, তাই উত্তরেও কোনো রুট থাকতে পারে না। রুটওয়ালা বিকল্পগুলো এভাবেই এক নজরে বাদ যায়।
- x = √৪ + √৩ = ২ + √৩
- ১/x = (২ − √৩)/(৪ − ৩) = ২ − √৩
- x + ১/x = ৪
- x³ + ১/x³ = (x + ১/x)³ − ৩(x + ১/x)
- = ৪³ − ৩ × ৪ = ৬৪ − ১২ = ৫২
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- √৪ = ২, তাই x = ২ + √৩।
- ১/x = ২ − √৩, কারণ (২ + √৩)(২ − √৩) = ১।
- x + ১/x = ৪।
- x³ + ১/x³ = ৪³ − ৩ × ৪ = ৫২।
ক. 5√3: x + ১/x = ৪ মূলদ, তাই উত্তর মূলদ হতেই হবে; ৫√৩ অমূলদ।
গ. 5√2: ৫√২ অমূলদ; এই প্রশ্নে √২ আসার কোনো পথ নেই।
ঘ. 2√5: ২√৫ অমূলদ, আর এর মান প্রায় ৪.৪৭ মাত্র।
x + ১/x = p হলে x³ + ১/x³ = p³ − ৩p; p = ৪ বসালেই ৫২।
ঘনের যোগ: যোগফলের ঘন থেকে তিনগুণ যোগফল বাদ।