P(A) = 1/3, P(B) = 3/4 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(AUB) এর মান কত?
সঠিক উত্তর
গ5/6
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা সম্ভাবনার যোগের সূত্র আর স্বাধীন ঘটনার ধারণা যাচাই করছে। A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা হলো দুটির সম্ভাবনার যোগফল থেকে দুটো একসাথে ঘটার সম্ভাবনা বাদ।
বাদ দিতে হয় কারণ যোগ করার সময় দুটো একসাথে ঘটার অংশ দুইবার গোনা হয়ে যায়। আর A ও B স্বাধীন হলে একসাথে ঘটার সম্ভাবনা হলো দুটির গুণফল।
এখানে একসাথে ঘটার সম্ভাবনা ১ ভাগ ৩ গুণ ৩ ভাগ ৪, মানে ১ ভাগ ৪। তাহলে উত্তর ১ ভাগ ৩ যোগ ৩ ভাগ ৪ বিয়োগ ১ ভাগ ৪, যা ৫ ভাগ ৬।
সরাসরি যোগ করলে আসে ১৩ ভাগ ১২, যা ১ এর চেয়ে বড়; সম্ভাবনা কখনো ১ ছাড়ায় না, তাই এটা দেখলেই বুঝবেন বাদ দিতে ভুলেছেন।
- P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/3 × 3/4 = 1/4
- P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
- = 1/3 + 3/4 − 1/4
- = 4/12 + 9/12 − 3/12
- = 10/12 = 5/6
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- স্বাধীন ঘটনায় P(A∩B) = 1/3 × 3/4 = 1/4।
- যোগের সূত্র: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)।
- হর 12 করে: 4/12 + 9/12 − 3/12।
- = 10/12 = 5/6।
ক. 3/ 4: এটা শুধু P(B); A এর অবদান ধরা হয়নি।
খ. 1/3: এটা শুধু P(A); B এর অবদান ধরা হয়নি।
ঘ. এর কোনটি নয়।: সঠিক মান 5/6 বিকল্পে আছে; P(A∩B) বাদ না দিলে 13/12 আসে, যা অসম্ভব, তখন অনেকে এটা বেছে নেন।
স্বাধীন হলে P(A∪B) = 1 − (1 − P(A))(1 − P(B)) = 1 − (2/3)(1/4) = 1 − 1/6 = 5/6।
অথবা মানে যোগ, তবে দুবার গোনা অংশ একবার বাদ।