যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে-
সঠিক উত্তর
কa + b = 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা লগারিদমের গুণের সূত্র যাচাই করছে: দুটি লগ যোগ করলে ভেতরের রাশি দুটো গুণ হয়ে যায়।
বাম দিকে আছে লগ a ভাগ b আর লগ b ভাগ a। এদের যোগফল হলো লগ এর ভেতরে a ভাগ b গুণ b ভাগ a, যা কাটাকাটি হয়ে ১। আর লগ ১ সবসময় শূন্য। তাই a আর b যা-ই হোক, বাম দিক সবসময় শূন্য।
তাহলে ডান দিকের লগ a যোগ b কেও শূন্য হতে হবে। লগ শূন্য হয় কেবল তখনই, যখন ভেতরের রাশি ১। তাই a যোগ b সমান ১।
ফাঁদ হলো a সমান b বেছে নেওয়া। বাম দিক a ও b এর যেকোনো মানেই শূন্য হয়, তাই এখান থেকে a আর b সমান হওয়ার কোনো শর্ত আসে না।
- log(a/b) + log(b/a) = log(a/b × b/a)
- = log ১ = ০
- ∴ log(a + b) = ০ = log ১
- ∴ a + b = ১
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- লগের যোগ মানে ভেতরের রাশির গুণ: log(a/b × b/a)।
- a/b × b/a = ১, আর log ১ = ০।
- তাই log(a + b) = ০ = log ১।
- লগ সমান হলে ভেতরের রাশিও সমান: a + b = ১।
খ. a – b = 1: যোগকে বিয়োগ বানানো; log(a + b) থেকে সরাসরি a + b আসে।
গ. a = b: বাম দিক a ও b এর যেকোনো মানেই ০, তাই a = b হওয়ার কোনো শর্ত তৈরি হয় না।
ঘ. a2 – b2 = 1: a² − b² হিসাবের কোথাও আসে না; চেনা সূত্র দেখিয়ে বিভ্রান্ত করা।
log x + log(১/x) সবসময় ০; তাই ডান দিকের লগের ভেতরের রাশিটাই ১ হবে।
লগ শূন্য মানে ভেতরে এক।