x2 – 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট –
সঠিক উত্তর
গ[3, 4]
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা দ্বিঘাত অসমতার সমাধান পরীক্ষা করছে। নিয়ম: দুটি গুণনীয়কের গুণফল শূন্যের কম বা সমান হয় যখন একটা ধনাত্মক আর অন্যটা ঋণাত্মক, অথবা কোনো একটা শূন্য।
x বর্গ বিয়োগ ৭x যোগ ১২ ভাঙলে হয় x বিয়োগ ৩ গুণ x বিয়োগ ৪। মূল দুটি ৩ আর ৪। সংখ্যারেখা এই দুই বিন্দুতে তিন ভাগ হয়।
৩-এর কম x নিলে দুটো গুণনীয়কই ঋণাত্মক, গুণফল ধনাত্মক। ৪-এর বেশি নিলে দুটোই ধনাত্মক, গুণফল ধনাত্মক। শুধু ৩ আর ৪-এর মাঝে একটা ঋণাত্মক, গুণফল ঋণাত্মক। যেমন ৩ দশমিক ৫ বসালে মান হয় ঋণাত্মক শূন্য দশমিক ২৫।
চিহ্নে সমান আছে, তাই ৩ আর ৪ নিজেরাও সমাধান; এজন্য বন্ধনী বন্ধ, মানে তৃতীয় বন্ধনী। ফাঁদ হলো খোলা বন্ধনী ৩ থেকে ৪, যেটা সমান চিহ্ন না থাকলে ঠিক হতো।
- x² − ৭x + ১২ = (x − ৩)(x − ৪)
- (x − ৩)(x − ৪) ≤ ০
- x < ৩: (−)(−) = + ✗
- ৩ ≤ x ≤ ৪: (+)(−) বা ০ ✓
- x > ৪: (+)(+) = + ✗
- সমাধান সেট = [৩, ৪]
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪| x-এর পরিসর | x − ৩ | x − ৪ | গুণফল |
|---|---|---|---|
| x < ৩ | − | − | + (বাদ) |
| x > ৪ | + | + | + (বাদ) |
| ৩ ≤ x ≤ ৪ | + বা ০ | − বা ০ | ≤ ০ (সমাধান) |
- উৎপাদকে ভাঙি: (x − ৩)(x − ৪) ≤ ০; মূল ৩ ও ৪।
- x < ৩ হলে দুটোই ঋণাত্মক, গুণফল ধনাত্মক: বাদ।
- x > ৪ হলে দুটোই ধনাত্মক, গুণফল ধনাত্মক: বাদ।
- ৩ থেকে ৪-এর মাঝে গুণফল ঋণাত্মক, আর ≤ বলে ৩ ও ৪ সহ: [৩, ৪]।
ক. (- ∞, 3]: ৩-এর কম x-এ গুণফল ধনাত্মক; যেমন x = ০ বসালে ১২ আসে।
খ. (3, 4): খোলা বন্ধনী ৩ ও ৪ বাদ দেয়; কিন্তু ≤ চিহ্নে সমান আছে, তাই ৩ ও ৪ অন্তর্ভুক্ত।
ঘ. [4, ∞): ৪-এর বেশি x-এ গুণফল ধনাত্মক; এই সেটের মধ্যে শুধু x = ৪ বিন্দুটিই সমাধানে পড়ে।
x² এর সহগ ধনাত্মক হলে “≤ ০” এর সমাধান সবসময় দুই মূলের মাঝখানে, আর “≥ ০” হলে বাইরে।
ছোট-সমান শূন্য মানে দুই মূলের মাঝে, সমান থাকলে বন্ধনী বন্ধ।