x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান-
সঠিক উত্তর
ঘ14
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা বর্গের সূত্র দিয়ে রাশি বিস্তার করে দেওয়া মানে বসানো যাচাই করছে। প্রতিটি বন্ধনী a যোগ ২b এর বর্গ, যা a বর্গ যোগ ৪ab যোগ ৪b বর্গ।
তিনটি বন্ধনী বিস্তার করলে x বর্গ, y বর্গ, z বর্গ প্রত্যেকে একবার ১ গুণ আর একবার ৪ গুণ আসে, মোট ৫ গুণ। আর xy, yz, zx প্রত্যেকে ৪ গুণ করে আসে।
তাই পুরো রাশি সমান ৫ গুণ বর্গগুলোর যোগফল যোগ ৪ গুণ গুণফলগুলোর যোগফল। মান বসালে ৫ গুণ ২ যোগ ৪ গুণ ১, মানে ১০ যোগ ৪ সমান ১৪।
ভুল সাধারণত হয় বর্গের সহগ ৪ ভুলে গিয়ে, অথবা মাঝের পদের ২ গুণ ২ সমান ৪ না ধরে শুধু ২ ধরে। তখন ১২ বা অন্য মান আসে।
- (x+2y)² = x² + 4xy + 4y²
- (y+2z)² = y² + 4yz + 4z²
- (z+2x)² = z² + 4zx + 4x²
- যোগফল = 5(x²+y²+z²) + 4(xy+yz+zx)
- = 5×2 + 4×1 = 10 + 4 = 14
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- (a+2b)² = a² + 4ab + 4b² দিয়ে প্রতিটি বন্ধনী খুলি।
- প্রতিটি বর্গ একবার 1 গুণ, একবার 4 গুণ: মোট 5(x²+y²+z²)।
- গুণফল পদগুলো: 4(xy+yz+zx)।
- মান বসাই: 5×2 + 4×1 = 14।
ক. 12: মাঝের পদ 4xy না নিয়ে 2xy নিলে 5×2 + 2×1 = 12 আসে।
খ. 19: হিসাবের সঠিক কোনো ধাপ থেকে 19 আসে না।
গ. 16: বর্গের সহগ 5 এর বদলে 6 ধরলে 6×2 + 4×1 = 16 আসে; সঠিক সহগ 5 আর 4।
চক্রাকার (x+ky)² + (y+kz)² + (z+kx)² = (1+k²)(x²+y²+z²) + 2k(xy+yz+zx); এখানে k = 2, তাই 5 × 2 + 4 × 1 = 14।
এক আর চারে পাঁচ, দুই দুগুণে চার।