যদি x = √5 + √3 হয়, তবে x³ + 8/x³ এর মান কত?
সঠিক উত্তর
গ28√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা চায় x ঘন যোগ x ঘন ভাগের ৮ এর মান। এটা অনুবন্ধী করণী আর ঘন সূত্রের প্রশ্ন।
x সমান রুট ৫ যোগ রুট ৩। লক্ষ করুন, রুট ৫ যোগ রুট ৩ আর রুট ৫ বিয়োগ রুট ৩ এর গুণফল ৫ বিয়োগ ৩, মানে ২। তাই x ভাগের ২ সমান রুট ৫ বিয়োগ রুট ৩।
তাহলে x যোগ x ভাগের ২ সমান ২ রুট ৫, আর x গুণ x ভাগের ২ সমান ২। সূত্র: a ঘন যোগ b ঘন সমান a যোগ b এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ab গুণ a যোগ b। এখানে a হলো x, b হলো x ভাগের ২।
২ রুট ৫ এর ঘন ৪০ রুট ৫। বিয়োগ ৩ গুণ ২ গুণ ২ রুট ৫, মানে ১২ রুট ৫। ফল ২৮ রুট ৫।
ফাঁদ হলো ab কে ১ ধরে নেওয়া, যেমন x ভাগের ১ এর প্রশ্নে হয়। এখানে গুণফল ২, তাই ১২ রুট ৫ বাদ দিতে হয়, ৬ রুট ৫ নয়।
- x = √৫ + √৩, ২/x = ২(√৫ − √৩)/(৫ − ৩) = √৫ − √৩
- x + ২/x = ২√৫, x · (২/x) = ২
- x³ + ৮/x³ = (x + ২/x)³ − ৩ · ২ · (x + ২/x)
- = (২√৫)³ − ৬ × ২√৫
- = ৪০√৫ − ১২√৫ = ২৮√৫
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪- ২/x = √৫ − √৩, কারণ (√৫ + √৩)(√৫ − √৩) = ২।
- x + ২/x = ২√৫, আর গুণফল x · ২/x = ২।
- a³ + b³ = (a + b)³ − ৩ab(a + b) প্রয়োগ।
- (২√৫)³ − ৩ × ২ × ২√৫ = ৪০√৫ − ১২√৫ = ২৮√৫।
ক. 18√5: প্রকৃত মান x³ + ৮/x³ ≈ ৬২.৪৮ + ০.১৩ = ৬২.৬১ = ২৮√৫; ১৮√৫ ≈ ৪০.২৫।
খ. 22√5: ২২√৫ ≈ ৪৯.১৯, প্রকৃত মান ৬২.৬১ এর চেয়ে অনেক কম।
ঘ. 32√5: ৩২√৫ ≈ ৭১.৫৫, প্রকৃত মান ৬২.৬১ এর চেয়ে বেশি।
x³ + ৮/x³ = (x + ২/x)³ − ৬(x + ২/x); x + ২/x = ২√৫ বসান।
৮ এর ঘনমূল ২: তাই x এর জোড়া x ভাগের ২।