যদি 5x³ - 2x² + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?
সঠিক উত্তর
গ– 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটা উৎপাদক উপপাদ্য যাচাই করছে। x বিয়োগ a যদি কোনো বহুপদীর উৎপাদক হয়, তাহলে x এর জায়গায় a বসালে বহুপদীর মান শূন্য হয়।
এখানে উৎপাদক x বিয়োগ ৩, তাই x সমান ৩ বসিয়ে মান শূন্য ধরতে হবে। ৫ গুণ ৩ এর ঘন মানে ৫ গুণ ২৭, অর্থাৎ ১৩৫। বিয়োগ ২ গুণ ৩ এর বর্গ মানে ১৮। যোগ ৩, যোগ k।
১৩৫ বিয়োগ ১৮ যোগ ৩ সমান ১২০। তাই ১২০ যোগ k সমান শূন্য, আর k সমান ঋণাত্মক ১২০।
ফাঁদ হলো চিহ্ন। x বিয়োগ ৩ দেখে কেউ কেউ ঋণাত্মক ৩ বসিয়ে ফেলেন। উৎপাদক x বিয়োগ a হলে বসাতে হয় ধনাত্মক a।
লিখিত সমাধান
- f(x) = ৫x³ − ২x² + x + k
- (x − ৩) উৎপাদক ⇒ f(৩) = ০
- ৫ × ২৭ − ২ × ৯ + ৩ + k = ০
- ১৩৫ − ১৮ + ৩ + k = ০ ⇒ ১২০ + k = ০
- k = −১২০
স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন
৪/৪f(৩) = ০
৫(২৭) − ২(৯) + ৩ + k = ০
১২০ + k = ০
k = −১২০
- (x − ৩) উৎপাদক, তাই f(৩) = ০।
- ৫ × ২৭ = ১৩৫, ২ × ৯ = ১৮।
- ১৩৫ − ১৮ + ৩ = ১২০।
- ১২০ + k = ০ ⇒ k = −১২০।
ক. 50: k = ৫০ হলে f(৩) = ১২০ + ৫০ = ১৭০, শূন্য নয়।
খ. 60: k = ৬০ হলে f(৩) = ১২০ + ৬০ = ১৮০, শূন্য নয়।
ঘ. - 60: k = −৬০ হলে f(৩) = ১২০ − ৬০ = ৬০, শূন্য নয়।
উৎপাদক (x − a) মানে f(a) = ০; ধ্রুবক k সবসময় বাকি পদগুলোর মানের ঋণাত্মক।
x বিয়োগ ৩ উৎপাদক, তাই ৩ বসাও, শূন্য বানাও।