আমাদের সম্পর্কে
বাংলাENG
সব চাকরিবিসিএস ও পিএসসিসরকারি ব্যাংকমন্ত্রণালয়
সব চাকরিরিসোর্সক্যালেন্ডারপ্রশ্নব্যাংক
প্রশ্নব্যাংক নতুন · ফ্রি৩,০২১টি আসল বিসিএস প্রশ্ন, ব্যাখ্যাসহসমাধান ও ব্যাখ্যা
গাণিতিক যুক্তিসমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার (২০২১)

The interior angles of a polygon are in AP. The smallest angle is 120° and the common difference is 5°. Find the number of sides of the polygon.

সঠিক উত্তর

গ9

ব্যাখ্যা

n বাহুর বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর যোগফল সবসময় n বিয়োগ ২, গুণ ১৮০ ডিগ্রি। আবার কোণগুলো সমান্তর ধারায় আছে, তাই সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র দিয়েও একই যোগফল লেখা যায়। দুটো সমান করলেই n পাওয়া যায়।

সমান্তর ধারার যোগফল: n ভাগ ২, গুণ প্রথম পদের দ্বিগুণ যোগ n বিয়োগ ১ গুণ সাধারণ অন্তর। প্রথম পদ ১২০, অন্তর ৫। সমীকরণ সাজালে দাঁড়ায় n এর বর্গ বিয়োগ ২৫n যোগ ১৪৪ সমান শূন্য, যার দুটি সমাধান ৯ ও ১৬।

এখন যাচাই: n সমান ১৬ হলে সবচেয়ে বড় কোণ হয় ১২০ যোগ ১৫ গুণ ৫, মানে ১৯৫ ডিগ্রি, যা ১৮০-র বেশি; উত্তল বহুভুজে এটা হতে পারে না। n সমান ৯ হলে বড় কোণ ১৬০ ডিগ্রি, ঠিক আছে। তাই বাহু ৯টি।

ফাঁদ হলো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূলই উত্তর ভাবা, বা যাচাই না করে বড়টা নেওয়া। প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৮০-র কম হতে হবে, এই শর্তেই ১৬ বাদ পড়ে।

লিখিত সমাধান
  1. অন্তঃকোণের যোগফল = (n − 2) × 180°
  2. AP-র যোগফল = n/2 × [2 × 120 + (n − 1) × 5]
  3. (n − 2) × 180 = n/2 × (235 + 5n)
  4. 360n − 720 = 235n + 5n²
  5. 5n² − 125n + 720 = 0
  6. n² − 25n + 144 = 0
  7. (n − 9)(n − 16) = 0 ⇒ n = 9 বা 16
  8. n = 16 হলে বড় কোণ = 120 + 15 × 5 = 195° > 180° (বাতিল)
  9. n = 9 হলে বড় কোণ = 120 + 8 × 5 = 160° ✓
  10. উত্তর: 9

স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন

৪/৪
(n − 2) × 180 = n/2 × (240 + 5(n − 1))
n² − 25n + 144 = 0
(n − 9)(n − 16) = 0
n = 16 → বড় কোণ 195° ✗
n = 9 → বড় কোণ 160° ✓
  1. যোগফল দুইভাবে লিখি: (n − 2) × 180 আর AP-র সূত্র।
  2. দুটো সমান করে পাই n² − 25n + 144 = 0।
  3. উৎপাদকে ভেঙে n = 9 বা 16।
  4. 16 হলে বড় কোণ 195°, বাতিল; তাই n = 9।
অন্য অপশনগুলো কেন ভুল

ক. 7: n = 7 হলে AP-র যোগফল 945, কিন্তু অন্তঃকোণের যোগফল 900; মেলে না।

খ. 8: n = 8 হলে AP-র যোগফল 1100, কিন্তু অন্তঃকোণের যোগফল 1080; মেলে না।

ঘ. 10: n = 10 হলে AP-র যোগফল 1425, কিন্তু অন্তঃকোণের যোগফল 1440; মেলে না।

শর্টকাট

অপশন থেকে যাচাই: n = 9 হলে AP-র যোগফল 9/2 × (120 + 160) = 1260, আর (9 − 2) × 180 = 1260; মিলে গেছে।

মনে রাখুন

দুই মূল পেলে কোণ ১৮০-র নিচে কি না দেখো।

গাণিতিক যুক্তি: এ রকম আরও প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি-এর সব প্রশ্ন › · সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার (২০২১)-এর পুরো প্রশ্নপত্র ›