গাণিতিক যুক্তিবাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক (সাধারণ) (২০১৮)

If (1 + sinθ)/cosθ = x, then tanθ = ?

সঠিক উত্তর

ঘ(x² − 1)/2x

ব্যাখ্যা

উৎসে প্রশ্নের লেখা ভেঙে গেছে। অপশনগুলোর গঠন থেকে বোঝা যায় প্রশ্নটি সম্ভবত: যদি (১ যোগ sinθ) ভাগ cosθ সমান x হয়, তবে tanθ কত। (১ যোগ sinθ) ভাগ cosθ আসলে secθ যোগ tanθ।

মূল কৌশল হলো sec বর্গ বিয়োগ tan বর্গ সমান ১, যা উৎপাদকে ভাঙলে হয় (secθ যোগ tanθ) গুণ (secθ বিয়োগ tanθ) সমান ১। তাই secθ বিয়োগ tanθ সমান ১ ভাগ x।

এখন দুই সমীকরণ বিয়োগ করি: ২ tanθ সমান x বিয়োগ ১ ভাগ x, মানে (x বর্গ বিয়োগ ১) ভাগ x। তাই tanθ সমান (x বর্গ বিয়োগ ১) ভাগ ২x।

যোগ করলে পাওয়া যায় secθ সমান (x বর্গ যোগ ১) ভাগ ২x; প্রশ্ন secθ চাইলে সেটি হতো উত্তর। এই দুটি গুলিয়ে যাওয়াই মূল ফাঁদ।

লিখিত সমাধান

(১ + sinθ)/cosθ = secθ + tanθ = x
sec²θ − tan²θ = ১
⇒ secθ − tanθ = ১/x
বিয়োগ: ২tanθ = x − ১/x = (x² − ১)/x
tanθ = (x² − ১)/২x

এই প্রশ্নের উত্তর নিয়ে প্রকাশিত গাইডগুলোতে দ্বিমত আছে; এখানে সবচেয়ে প্রচলিত উত্তরটি দেওয়া হলো।

স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন

৪/৪

secθ + tanθ = x

secθ − tanθ = ১/x

২tanθ = x − ১/x = (x² − ১)/x

tanθ = (x² − ১)/২x

(১ + sinθ)/cosθ = secθ + tanθ = x।
sec²θ − tan²θ = ১ থেকে secθ − tanθ = ১/x।
বিয়োগ করি: ২tanθ = x − ১/x।
tanθ = (x² − ১)/২x।

অন্য অপশনগুলো কেন ভুল

ক. (x² + 1)/x: (x² + ১)/x হলো ২secθ, tanθ নয়।

খ. (x² − 1)/x: (x² − ১)/x হলো ২tanθ; ২ দিয়ে ভাগ করা বাকি।

গ. (x² + 1)/2x: (x² + ১)/২x হলো secθ-এর মান; প্রশ্নে tanθ চাওয়া হয়েছে বলে ধরা হয়েছে।

শর্টকাট

secθ + tanθ = x হলে: secθ = (x² + ১)/২x, tanθ = (x² − ১)/২x।

মনে রাখুন

যোগে sec, বিয়োগে tan।

গাণিতিক যুক্তি: এ রকম আরও প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি-এর সব প্রশ্ন › · বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক (সাধারণ) (২০১৮)-এর পুরো প্রশ্নপত্র ›