গাণিতিক যুক্তিসমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার (২০২১)

The value of p, for which the equation x² + (p − 3)x + p = 0 has real and equal roots is

সঠিক উত্তর

ক9

ব্যাখ্যা

দ্বিঘাত সমীকরণ a x বর্গ যোগ b x যোগ c সমান শূন্যের মূল দুটি বাস্তব ও সমান হয় যখন নিশ্চায়ক, মানে b বর্গ বিয়োগ ৪ac, ঠিক শূন্য।

এখানে a সমান ১, b সমান p বিয়োগ ৩, c সমান p। নিশ্চায়ক p বিয়োগ ৩-এর বর্গ বিয়োগ ৪p, যা খুলে লিখলে p বর্গ বিয়োগ ১০p যোগ ৯।

এটাকে শূন্য ধরলে উৎপাদকে ভাঙে p বিয়োগ ১, গুণ p বিয়োগ ৯। তাই p সমান ১ অথবা ৯। অপশনে যেটি আছে তা ৯। যাচাই: p সমান ৯ হলে সমীকরণ x বর্গ যোগ ৬x যোগ ৯, মানে x যোগ ৩-এর বর্গ, দুটি মূলই মাইনাস ৩।

ফাঁদ হলো ৩: b-কে শূন্য করতে p সমান ৩ বসালে সমীকরণ হয় x বর্গ যোগ ৩, যার কোনো বাস্তব মূলই নেই।

লিখিত সমাধান

নিশ্চায়ক D = b² − 4ac = (p − 3)² − 4 × 1 × p
D = p² − 6p + 9 − 4p = p² − 10p + 9
D = 0 ⇒ (p − 1)(p − 9) = 0
p = 1 বা p = 9
অপশনে আছে: p = 9
যাচাই: x² + 6x + 9 = (x + 3)² ⇒ x = −3, −3 ✓

এই প্রশ্নের উত্তর নিয়ে প্রকাশিত গাইডগুলোতে দ্বিমত আছে; এখানে সবচেয়ে প্রচলিত উত্তরটি দেওয়া হলো।

স্টেপ বাই স্টেপ শিখুন

৪/৪

b² − 4ac = 0

(p − 3)² − 4p = p² − 10p + 9

(p − 1)(p − 9) = 0

p = 9 → (x + 3)² = 0

সমান বাস্তব মূলের শর্ত: নিশ্চায়ক শূন্য।
নিশ্চায়ক = (p − 3)² − 4p = p² − 10p + 9।
উৎপাদকে ভেঙে p = 1 বা 9।
অপশনে 9 আছে; বসিয়ে পাই (x + 3)²।

অন্য অপশনগুলো কেন ভুল

খ. 4: p = 4 হলে নিশ্চায়ক 1 − 16 = −15, মূল বাস্তবই নয়।

গ. 3: p = 3 হলে সমীকরণ x² + 3 = 0, কোনো বাস্তব মূল নেই।

ঘ. : উৎসে এই অপশনটি ফাঁকা; p = 1 থাকলে সেটিও সঠিক হতো, তাই যাচাই দরকার।

শর্টকাট

অপশন বসিয়ে দেখুন: b² = 4ac মিললেই উত্তর। p = 9 হলে 6² = 36 = 4 × 9।

মনে রাখুন

সমান মূল মানে নিশ্চায়ক শূন্য।

গাণিতিক যুক্তি: এ রকম আরও প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি-এর সব প্রশ্ন › · সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার (২০২১)-এর পুরো প্রশ্নপত্র ›