গাণিতিক যুক্তিসমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার (২০২১)

If cos²θ − sin²θ = x, then 1 + cos⁴θ − sin⁴θ = ?

গx + 1

প্রশ্নের মূল কৌশল হলো cos চতুর্থ ঘাত বিয়োগ sin চতুর্থ ঘাতকে দুই বর্গের অন্তর হিসেবে ভাঙা। a বর্গ বিয়োগ b বর্গ সমান a যোগ b গুণ a বিয়োগ b।

এখানে a হলো cos বর্গ থিটা, b হলো sin বর্গ থিটা। তাই cos চতুর্থ বিয়োগ sin চতুর্থ সমান cos বর্গ যোগ sin বর্গ, গুণ cos বর্গ বিয়োগ sin বর্গ।

প্রথম বন্ধনী সবসময় ১, কারণ sin বর্গ যোগ cos বর্গ সমান ১। দ্বিতীয় বন্ধনী প্রশ্নেই দেওয়া x। তাই পুরোটা x, আর তার সাথে ১ যোগ করলে উত্তর x যোগ ১।

ফাঁদ হলো ঘাত দ্বিগুণ হয়েছে দেখে উত্তরও বর্গ, মানে x বর্গ যোগ ১ ধরে নেওয়া। আসলে cos বর্গ যোগ sin বর্গ এক হওয়ায় কিছুই বর্গ হয় না।

লিখিত সমাধান

৪/৪

cos⁴θ − sin⁴θ = (cos²θ)² − (sin²θ)²

= (cos²θ + sin²θ)(cos²θ − sin²θ)

= 1 · x

1 + cos⁴θ − sin⁴θ = x + 1

অন্য অপশনগুলো কেন ভুল

ক. x: ১ যোগ করতে ভুলে গেলে শুধু x আসে।

খ. 4/x: ৪/x কোনো ধাপ থেকেই আসে না।

ঘ. x² + 1: ঘাত দ্বিগুণ দেখে উত্তরও বর্গ ভাবা; আসলে প্রথম গুণক ১।

শর্টকাট

cos⁴θ − sin⁴θ = cos²θ − sin²θ = cos 2θ; মনে রাখলে এক লাইনে উত্তর।

মনে রাখুন

চার ঘাতের অন্তর ভাঙো, sin² + cos² = ১ বসাও।

গাণিতিক যুক্তি: এ রকম আরও প্রশ্ন