গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১৫
২৮১. শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪০
- খ৪৮
- গ৫০
- ঘ৬০
সঠিক উত্তর: ঘ. ৬০
প্রশ্নটা মোট খরচ স্থির রেখে মাথাপিছু ভাগের পরিবর্তন নিয়ে। মোট ভাড়া ২৪০০ টাকা বদলায় না; লোক বাড়লে মাথাপিছু ভাড়া কমে।
শুরুতে x জন ধরি। তখন মাথাপিছু ভাড়া ২৪০০ ভাগ x, আর ১০ জন বাড়লে ২৪০০ ভাগ x যোগ ১০। এই দুইয়ের পার্থক্য ৮ টাকা। সমীকরণটা সাজালে দাঁড়ায় x গুণ x যোগ ১০ সমান ৩০০০।
যে দুটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ আর গুণফল ৩০০০, সেগুলো ৫০ আর ৬০। তাই শুরুতে ছিল ৫০ জন, আর বাসে গেছে ৬০ জন। যাচাই: ২৪০০ ভাগ ৫০ হলো ৪৮, ২৪০০ ভাগ ৬০ হলো ৪০; পার্থক্য ঠিক ৮।
বড় ফাঁদ হলো ৫০ লিখে দেওয়া। ৫০ হলো শুরুর পরিকল্পনার সংখ্যা; প্রশ্ন জানতে চেয়েছে আসলে কতজন গিয়েছিল, অর্থাৎ অতিরিক্ত ১০ জনসহ।
মনে রাখুন: অপশন থেকে যাচাই: ২৪০০/৬০ = ৪০ আর ২৪০০/৫০ = ৪৮, পার্থক্য ৮; তাই ৬০ জন।
২৮২. পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৩৮ বছর
- খ৪১ বছর
- গ৪৫ বছর
- ঘ৪৮ বছর
সঠিক উত্তর: খ. ৪১ বছর
গড়ের প্রশ্নে মূল কৌশল হলো গড়কে মোটে রূপান্তর করা: মোট সমান গড় গুণ সংখ্যা। মোট পেলে বিয়োগ করেই যার বয়স জানতে চাই তা পাওয়া যায়।
তিনজনের গড় ৩৭, তাই তিনজনের মোট বয়স ৩৭ গুণ ৩, মানে ১১১ বছর। পিতা ও পুত্রের গড় ৩৫, তাই তাদের মোট ৩৫ গুণ ২, মানে ৭০ বছর।
তিনজনের মোট থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বাদ দিলে থাকে মাতার বয়স: ১১১ বিয়োগ ৭০, অর্থাৎ ৪১ বছর।
গড় কখনো সরাসরি যোগ বা বিয়োগ করা যায় না, আগে মোট বের করতে হয়। উত্তর যাচাই করাও সহজ: মাতা ৪১ হলে তিনজনের মোট ১১১, গড় ঠিক ৩৭।
মনে রাখুন: মাতা = ৩ × ৩৭ − ২ × ৩৫ = ১১১ − ৭০ = ৪১।
২৮৩. যদি (x – y)² = 14 এবং xy = 2 হয় তবে x² + y² = কত? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক12
- খ14
- গ16
- ঘ18
সঠিক উত্তর: ঘ. 18
প্রশ্নটা বীজগণিতের একটা মৌলিক সূত্র যাচাই করছে: x বিয়োগ y এর বর্গ সমান x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ বিয়োগ দুই xy।
সূত্রটা উল্টে লিখলে পাই, x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান x বিয়োগ y এর বর্গ যোগ দুই xy। অর্থাৎ বিয়োগে যা বাদ গিয়েছিল, সেটা ফিরিয়ে যোগ করতে হবে।
এখানে x বিয়োগ y এর বর্গ ১৪, আর xy সমান ২, তাই দুই xy সমান ৪। যোগ করলে ১৪ যোগ ৪, মানে ১৮।
সাধারণ ভুল দুটো: দুই xy না নিয়ে শুধু xy যোগ করে ১৬ পাওয়া, অথবা যোগের বদলে বিয়োগ করা। সূত্রের দুই গুণটা কখনো ভুলবেন না।
মনে রাখুন: x² + y² = (x − y)² + ২xy = (x + y)² − ২xy; যেটা দেওয়া আছে সেটা ব্যবহার করুন।
২৮৪. বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪
- খ৯
- গ১২
- ঘ৬
সঠিক উত্তর: খ. ৯
প্রশ্নটা মাপ বাড়ালে ক্ষেত্রফল কীভাবে বাড়ে তা যাচাই করছে। বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ, তাই ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে বাড়ে।
ব্যাস তিনগুণ হলে ব্যাসার্ধও তিনগুণ হয়। তখন ব্যাসার্ধের বর্গ হয় ৩ গুণ ৩, মানে ৯ গুণ; তাই ক্ষেত্রফলও ৯ গুণ।
একই নিয়ম সব আকৃতিতে খাটে: দৈর্ঘ্য k গুণ হলে ক্ষেত্রফল k এর বর্গ গুণ, আর আয়তন k এর ঘন গুণ।
ফাঁদ হলো ৩ কে ২ দিয়ে গুণ করে ৬ লেখা; বর্গ মানে সংখ্যাটাকে নিজেকে দিয়ে গুণ। আক্ষরিক অর্থে তিনগুণ বৃদ্ধি মানে চারগুণ হওয়া, তবে অপশন দেখে বোঝা যায় এখানে তিনগুণ হওয়া বোঝানো হয়েছে।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য k গুণ → ক্ষেত্রফল k² গুণ → আয়তন k³ গুণ।
২৮৫. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৩৬
- খ৪৮
- গ৫৬
- ঘ৭২
সঠিক উত্তর: ক. ৩৬
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের দুই পাশের বাহু সমান। পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী অতিভুজের বর্গ সমান এই দুই বাহুর বর্গের যোগফল।
বাহু a ধরলে অতিভুজের বর্গ সমান দুই গুণ a এর বর্গ। অতিভুজ ১২, তাই ১৪৪ সমান দুই গুণ a এর বর্গ, অর্থাৎ a এর বর্গ ৭২।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমকোণের দুই বাহুর গুণফলের অর্ধেক, মানে a এর বর্গের অর্ধেক: ৭২ এর অর্ধেক ৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার। সংক্ষেপে, ক্ষেত্রফল সমান অতিভুজের বর্গ ভাগ ৪।
সাধারণ ফাঁদ ৭২, যা আসলে a এর বর্গ; ক্ষেত্রফলের জন্য অর্ধেক করতে ভুলে গেলে এটাই আসে।
মনে রাখুন: সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = অতিভুজ²/৪ = ১৪৪/৪ = ৩৬।
২৮৬. ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৮
- খ১২
- গ১৮
- ঘ১৪০
সঠিক উত্তর: গ. ১৮
মৌলিক সংখ্যা হলো যার ১ আর নিজে ছাড়া কোনো উৎপাদক নেই। ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যের মৌলিক সংখ্যাগুলো চেনাই এই প্রশ্নের কাজ।
৬০ এর ঠিক পরে ৬১ মৌলিক, এটাই ক্ষুদ্রতম। ৮০ থেকে নিচে নামলে প্রথম মৌলিক ৭৯, এটাই বৃহত্তম। পুরো তালিকা: ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩ আর ৭৯।
অন্তর মানে বিয়োগফল: ৭৯ বিয়োগ ৬১ সমান ১৮।
১৪০ হলো ৬১ আর ৭৯ এর যোগফল; অন্তরের বদলে যোগ করলে এই ভুল হয়। কোনো সংখ্যা মৌলিক কিনা দেখতে তার বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে ভাগ করাই যথেষ্ট; ৮০ এর নিচে ২, ৩, ৫ আর ৭ দিয়েই চলে।
মনে রাখুন: শুধু দুই প্রান্ত দরকার: ৭৯ − ৬১ = ১৮; মাঝের মৌলিকগুলো খোঁজার দরকার নেই।
২৮৭. ১²+২²+৩²+ - - +৫০² = ? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৩৫৭২৫
- খ৪২৯২৫
- গ৪৫৫০০
- ঘ৪৭২২৫
সঠিক উত্তর: খ. ৪২৯২৫
প্রশ্নটা প্রথম n টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র যাচাই করছে। সূত্রটি হলো n গুণ n যোগ ১ গুণ দুই n যোগ ১, তারপর পুরোটা ভাগ ৬।
এখানে n সমান ৫০। তাহলে ৫০ গুণ ৫১ গুণ ১০১, ভাগ ৬। ভাগটা আগে সেরে নিলে সহজ: ৫০ কে ২ দিয়ে আর ৫১ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে থাকে ২৫ গুণ ১৭ গুণ ১০১।
২৫ গুণ ১৭ হলো ৪২৫, আর ৪২৫ গুণ ১০১ হলো ৪২৯২৫। এটাই উত্তর।
সূত্র থেকে বোঝা যায়, উত্তরকে অবশ্যই ১০১ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। বাকি তিনটি অপশন ১০১ দিয়ে ভাগ যায় না, তাই পুরো হিসাব না করেও এগুলো বাদ দেওয়া যায়।
মনে রাখুন: উত্তর অবশ্যই ১০১ (= ২n + ১) দিয়ে বিভাজ্য: অপশনগুলোর মধ্যে শুধু ৪২৯২৫ = ১০১ × ৪২৫।