গাণিতিক যুক্তি
১. 2, 3, 4 এবং 7 সংখ্যাগুলির গড় বিচ্যুতি কত? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক0
- খ2/3
- গ3/2
- ঘ4
সঠিক উত্তর: গ. 3/2
প্রশ্নটা গড় বিচ্যুতি যাচাই করছে। গড় বিচ্যুতি মানে প্রতিটি মান গড় থেকে কত দূরে, সেই দূরত্বগুলোর গড়। দূরত্ব সবসময় ধনাত্মক, তাই বিয়োগফলের চিহ্ন বাদ দিয়ে পরম মান নিতে হয়।
প্রথমে গড়: ২, ৩, ৪ ও ৭ এর যোগফল ১৬, চারটি সংখ্যা, তাই গড় ৪।
এখন গড় থেকে দূরত্ব: ২ এর দূরত্ব ২, ৩ এর দূরত্ব ১, ৪ এর দূরত্ব শূন্য, ৭ এর দূরত্ব ৩। এদের যোগফল ৬, আর ৬ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে গড় বিচ্যুতি ২ ভাগের ৩।
ফাঁদ হলো শূন্য বিকল্প। চিহ্ন রেখে বিচ্যুতি যোগ করলে সবসময় শূন্য আসে, কারণ গড়ের দুই পাশের দূরত্ব কাটাকাটি হয়; এজন্যই পরম মান নিতে হয়।
মনে রাখুন: গড় বিচ্যুতি = Σ|x − গড়| ÷ n। ছোট ডেটায় একটা ছক বানালেই এক মিনিটে হয়।
২. (2/5), (3/5) ও (6/15) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক7/5
- খ6/5
- গ1/15
- ঘ6/15
সঠিক উত্তর: খ. 6/5
প্রশ্নটা ভগ্নাংশের ল.সা.গু এর সূত্র যাচাই করছে। ভগ্নাংশের ল.সা.গু হলো লবগুলোর ল.সা.গু কে হরগুলোর গ.সা.গু দিয়ে ভাগ।
কেন এমন: ল.সা.গু এমন সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যা প্রতিটি ভগ্নাংশ দিয়ে পূর্ণ সংখ্যায় ভাগ যায়। লব বড় হলে আর হর ছোট হলে ভগ্নাংশ বড় হয়, তাই লবে ল.সা.গু আর হরে গ.সা.গু বসে।
আগে ১৫ ভাগের ৬ কে লঘিষ্ঠ আকারে নিই: এটা ৫ ভাগের ২। তাহলে লব ২, ৩ ও ২, যাদের ল.সা.গু ৬; হর তিনটিই ৫, যাদের গ.সা.গু ৫। উত্তর ৫ ভাগের ৬।
ফাঁদ হলো ১৫ ভাগের ১, যা আসে সূত্র উল্টে লবের গ.সা.গু কে হরের ল.সা.গু দিয়ে ভাগ করলে, তাও ১৫ ভাগের ৬ কে লঘিষ্ঠ না করে। আর ১৫ ভাগের ৬ আসে হরেও ল.সা.গু নিলে।
মনে রাখুন: ল.সা.গু = লবের ল.সা.গু / হরের গ.সা.গু; গ.সা.গু = লবের গ.সা.গু / হরের ল.সা.গু। উত্তর যেন প্রতিটি ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ যায়, যাচাই করে নিন।
৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x, (x/2) ও (3x/2)। ক্ষুদ্রতম কোণের মান রেডিয়ানে কত হবে? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- কπ/6
- খπ/3
- গπ/2
- ঘ2π/3
সঠিক উত্তর: ক. π/6
প্রশ্নটা ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি আর ডিগ্রি থেকে রেডিয়ানে রূপান্তর যাচাই করছে। ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি, আর ১৮০ ডিগ্রি সমান পাই রেডিয়ান।
কোণ তিনটি x, x এর অর্ধেক, আর x এর দেড় গুণ। যোগ করলে হয় ৩x। তাই ৩x সমান ১৮০ ডিগ্রি, অর্থাৎ x হলো ৬০ ডিগ্রি।
তাহলে কোণগুলো ৬০, ৩০ ও ৯০ ডিগ্রি। ক্ষুদ্রতম কোণ ৩০ ডিগ্রি, যা ১৮০ এর ছয় ভাগের এক; তাই রেডিয়ানে ছয় ভাগের পাই।
ফাঁদ হলো x নিজেকেই ক্ষুদ্রতম ধরে তিন ভাগের পাই বেছে নেওয়া। প্রশ্ন চেয়েছে সবচেয়ে ছোট কোণ, যা x এর অর্ধেক।
মনে রাখুন: যোগফল ৩x = π সরাসরি রেডিয়ানে ধরুন: x = π/৩, ক্ষুদ্রতম x/২ = π/৬।
৪. যদি logₓ324 = 4 হয়, তবে x এর মান হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক4
- খ2√3
- গ3√3
- ঘ3√2
সঠিক উত্তর: ঘ. 3√2
প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা যাচাই করছে। ভিত্তি x ধরে ৩২৪ এর লগ ৪ মানে, চারটি x পরস্পর গুণ করলে ৩২৪ হয়, অর্থাৎ x এর চতুর্থ ঘাত ৩২৪।
চতুর্থ ঘাত মানে বর্গের বর্গ। ৩২৪ হলো ১৮ এর বর্গ, তাই x এর বর্গ ১৮। এখন ১৮ হলো ৯ গুণ ২, তাই x হলো ৩ গুণ রুট ২।
যাচাই: ৩ রুট ২ এর বর্গ ১৮, আর ১৮ এর বর্গ ৩২৪। লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই ঋণাত্মক মানটা নেওয়া হয় না।
ফাঁদ হলো ২ রুট ৩ বা ৩ রুট ৩ বিকল্প। দেখতে কাছাকাছি, কিন্তু এদের চতুর্থ ঘাত যথাক্রমে ১৪৪ আর ৭২৯, ৩২৪ নয়।
মনে রাখুন: বিকল্পগুলোর বর্গ নিন: যার বর্গ ১৮ (মানে বর্গের বর্গ ৩২৪), সেটাই উত্তর। ৩√২ এর বর্গ ১৮।
৫. 40 থেকে 50 এর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক3/11
- খ1/2
- গ5/11
- ঘ4/11
সঠিক উত্তর: ক. 3/11
প্রশ্নটা সম্ভাবনার মৌলিক সংজ্ঞা যাচাই করছে: অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ। এখানে মূল কাজ দুটো গোনা: মোট সংখ্যা আর মৌলিক সংখ্যা।
৪০ থেকে ৫০ পর্যন্ত, দুই প্রান্তসহ, সংখ্যা আছে ১১টি। এর মধ্যে মৌলিক হলো ৪১, ৪৩ আর ৪৭, মোট ৩টি। তাই সম্ভাবনা ১১ ভাগের ৩।
মৌলিক কিনা যাচাই করতে ৭ পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে ভাগ করে দেখলেই হয়, কারণ ৫০ এর বর্গমূল ৭ এর সামান্য বেশি, আর পরের মৌলিক ১১ এর বর্গ ১২১, যা ৫০ এর অনেক বড়। ৪৫ যায় ৫ দিয়ে, ৪৯ যায় ৭ দিয়ে।
ফাঁদ হলো ৪৯ কে মৌলিক ভাবা, তাতে আসে ১১ ভাগের ৪। আর সব বিজোড় সংখ্যাকে মৌলিক ধরলে আসে ১১ ভাগের ৫। দুই প্রান্ত বাদ দিলে উত্তর হতো ৯ ভাগের ৩, যা বিকল্পে নেই; তাই এখানে দুই প্রান্তসহ ধরা হয়েছে।
মনে রাখুন: √৫০ এর নিচে মৌলিক ২, ৩, ৫, ৭; শুধু এগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখুন। ৪০ থেকে ৫০ এর মৌলিক: ৪১, ৪৩, ৪৭।
৬. যদি (a/b) = (b/c) = (2/3) হয়, তবে a : c এর মান কত হবে? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক2 : 3
- খ3 : 4
- গ4 : 9
- ঘ9 : 4
সঠিক উত্তর: গ. 4 : 9
প্রশ্নটা অনুপাতের শিকল যাচাই করছে। a থেকে c তে যেতে মাঝখানে b আছে: c ভাগের a সমান b ভাগের a গুণ c ভাগের b, কারণ মাঝের b কাটাকাটি হয়ে যায়।
দুটো অনুপাতই ৩ ভাগের ২। তাই c ভাগের a হলো ৩ ভাগের ২ গুণ ৩ ভাগের ২, মানে ৯ ভাগের ৪। অর্থাৎ a অনুপাত c হলো ৪ অনুপাত ৯।
সংখ্যা বসিয়েও দেখা যায়: c কে ৯ ধরলে b হবে ৬, আর a হবে ৪। তাহলে a, b, c হলো ৪, ৬, ৯; প্রতিটি পরেরটির তিন ভাগের দুই।
ফাঁদ হলো দুই অনুপাত সমান দেখে a অনুপাত c কেও দুই অনুপাত তিন ধরে নেওয়া। আরেক ফাঁদ ৯ অনুপাত ৪, যা c অনুপাত a, মানে উল্টো ক্রম।
মনে রাখুন: a/b = b/c = k হলে a/c = k²। এখানে (২/৩)² = ৪/৯।
৭. x⁴ − 2x + 1 কে x − 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক2
- খ81
- গ0
- ঘ76
সঠিক উত্তর: ঘ. 76
প্রশ্নটা ভাগশেষ উপপাদ্য যাচাই করছে। কোনো বহুপদী f(x) কে x বিয়োগ a দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a), মানে x এর জায়গায় a বসালে যা আসে।
কেন: f(x) সমান x বিয়োগ a গুণ ভাগফল, যোগ ভাগশেষ। x সমান a বসালে প্রথম অংশ শূন্য হয়ে যায়, থাকে শুধু ভাগশেষ।
এখানে ভাজক x বিয়োগ ৩, তাই x এর জায়গায় ৩ বসাই। ৩ এর চতুর্থ ঘাত ৮১, তা থেকে ২ গুণ ৩ মানে ৬ বিয়োগ, তারপর ১ যোগ: ৮১ বিয়োগ ৬ যোগ ১, সমান ৭৬।
ফাঁদ হলো শুধু ৩ এর চতুর্থ ঘাত ৮১ দেখে থেমে যাওয়া। বাকি দুই পদ, বিয়োগ ২x আর যোগ ১, ভুললে চলবে না।
মনে রাখুন: x − a দিয়ে ভাগ = x এ a বসাও; x + a হলে বসাও −a।
৮. 2x² + 3x + 1 এর ক্ষুদ্রতম মান হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক- 3/4
- খ- 1/8
- গ1/8
- ঘ3/4
সঠিক উত্তর: খ. - 1/8
প্রশ্নটা দ্বিঘাত রাশির ক্ষুদ্রতম মান যাচাই করছে। ax বর্গ যোগ bx যোগ c তে a ধনাত্মক হলে লেখচিত্র উপরের দিকে খোলা, তাই একটা সবচেয়ে নিচু বিন্দু আছে। সেটা পাওয়া যায় x সমান ২a ভাগের ঋণাত্মক b তে।
এখানে a হলো ২, b হলো ৩। তাই x সমান ঋণাত্মক চার ভাগের তিন। এটা বসালে ২ গুণ ষোলো ভাগের নয় হয় আট ভাগের নয়, তা থেকে চার ভাগের নয় মানে আট ভাগের আঠারো বিয়োগ, তারপর ১ যোগ।
আট ভাগের নয় বিয়োগ আট ভাগের আঠারো যোগ আট ভাগের আট, সমান ঋণাত্মক আট ভাগের এক। সূত্রেও আসে: c বিয়োগ ৪a ভাগের b বর্গ, মানে ১ বিয়োগ আট ভাগের নয়, সমান ঋণাত্মক আট ভাগের এক।
ফাঁদ হলো ঋণাত্মক চার ভাগের তিন বিকল্প। এটা যে x এ ক্ষুদ্রতম মান পাওয়া যায় সেই x, রাশির মান নয়।
মনে রাখুন: ক্ষুদ্রতম মান = c − b²/৪a = ১ − ৯/৮ = −১/৮। বর্গ সম্পূর্ণ করেও পাওয়া যায়: ২(x + ৩/৪)² − ১/৮।
৯. A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 হলে}, P(A) এর উপাদান সংখ্যা হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক64
- খ32
- গ16
- ঘ8
সঠিক উত্তর: খ. 32
প্রশ্নটা শক্তিসেটের উপাদান সংখ্যা যাচাই করছে। কোনো সেটের সব উপসেট নিয়ে যে সেট হয় সেটাই শক্তিসেট, আর n উপাদানের সেটের শক্তিসেটে থাকে ২ এর n তম ঘাত সংখ্যক উপাদান।
কেন ২ এর ঘাত: উপসেট বানাতে প্রতিটি উপাদানের জন্য দুটো সিদ্ধান্ত, নেব অথবা নেব না। n টি উপাদানে মোট ২ গুণ ২ গুণ, এভাবে n বার।
এখানে A তে ৫ এর সমান বা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা: ১, ২, ৩, ৪ ও ৫, মোট ৫টি। তাই শক্তিসেটে উপাদান ২ এর পঞ্চম ঘাত, মানে ৩২।
ফাঁদ হলো স্বাভাবিক সংখ্যায় শূন্য ধরে ৬টি উপাদান গুনে ৬৪ নেওয়া। এখানে স্বাভাবিক সংখ্যা শুরু ১ থেকে, আর ফাঁকা সেট ও A নিজেও এই ৩২ এর মধ্যে আছে।
মনে রাখুন: শক্তিসেট = ২ⁿ; প্রকৃত উপসেট = ২ⁿ − ১। আগে সেটের উপাদান ঠিকভাবে গুনুন।
১০. |3x − 1| < 2 এর সমাধান সেট হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক(- 1/3, 0)
- খ(- 1/3, ∞)
- গ(- 1/3, 1)
- ঘ(∞, 1/3)
সঠিক উত্তর: গ. (- 1/3, 1)
প্রশ্নটা পরম মানের অসমতা যাচাই করছে। কোনো রাশির পরম মান ২ এর ছোট মানে, রাশিটা সংখ্যারেখায় শূন্য থেকে ২ এর কম দূরে, অর্থাৎ ঋণাত্মক ২ আর ২ এর মাঝখানে।
তাই ৩x বিয়োগ ১ থাকবে ঋণাত্মক ২ আর ২ এর মাঝে। সবখানে ১ যোগ করলে ৩x থাকে ঋণাত্মক ১ আর ৩ এর মাঝে।
এবার ৩ দিয়ে ভাগ করলে x থাকে ঋণাত্মক তিন ভাগের এক আর ১ এর মাঝে। ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করায় অসমতার দিক বদলায় না। তাই সমাধান সেট খোলা ব্যবধি, ঋণাত্মক তিন ভাগের এক থেকে ১।
ফাঁদ হলো শুধু একদিকের সীমা নেওয়া, যেমন ঋণাত্মক তিন ভাগের এক থেকে অসীম। ছোট চিহ্নের পরম মান সবসময় দুই দিকেই বাঁধা একটা সীমিত ব্যবধি দেয়।
মনে রাখুন: সীমার মান যাচাই করুন: x = −১/৩ হলে |৩x − ১| = ২, x = ১ হলে |৩x − ১| = ২। এই দুটোই প্রান্ত।
১১. মুনাফার হার কত হলে কিছু পরিমাণ টাকা চক্রবৃদ্ধি হারে 10 বছরে দ্বিগুণ হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক5.17%
- খ6.17%
- গ7.17%
- ঘ8.17%
সঠিক উত্তর: গ. 7.17%
প্রশ্নটা চক্রবৃদ্ধি সুদে টাকা দ্বিগুণ হওয়ার হার যাচাই করছে। হার r হলে n বছরে আসল গুণ হয় এক যোগ r এর n তম ঘাত দিয়ে। দ্বিগুণ মানে এই গুণক ২।
তাই এক যোগ r এর দশম ঘাত সমান ২। দুই এর দশম মূল প্রায় ১ দশমিক শূন্য সাত এক আট, তাই r প্রায় ৭ দশমিক এক আট শতাংশ। বিকল্পগুলোর মধ্যে সবচেয়ে কাছে ৭ দশমিক এক সাত শতাংশ।
দ্রুত হিসাবের জন্য বাহাত্তরের নিয়ম: ৭২ কে বছর সংখ্যা ১০ দিয়ে ভাগ করলে প্রায় ৭ দশমিক দুই শতাংশ। এতেই বোঝা যায় উত্তর সাতের ঘরে।
যাচাই করলে ৭ দশমিক এক সাত শতাংশে ১০ বছরে গুণক হয় প্রায় ১ দশমিক নয় নয় নয়, প্রায় ঠিক দ্বিগুণ। ৬ দশমিক এক সাত শতাংশে হয় মাত্র ১ দশমিক আট দুই, আর ৮ দশমিক এক সাত শতাংশে ২ দশমিক এক নয়, দ্বিগুণের চেয়ে বেশি।
মনে রাখুন: বাহাত্তরের নিয়ম: দ্বিগুণ হওয়ার সময় × হার ≈ ৭২। ১০ বছর হলে হার ≈ ৭.২%, তাই ৭ এর ঘরের বিকল্প।
১২. x² − (p + q)x + pq = 0 এর সমাধান সেট হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক{p, q}
- খ{p, - q}
- গ{- p, q}
- ঘ{- p, - q}
সঠিক উত্তর: ক. {p, q}
প্রশ্নটা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আর সহগের সম্পর্ক যাচাই করছে। x বর্গের সহগ ১ হলে, যে সমীকরণে x এর সহগ মূলদ্বয়ের যোগফলের ঋণাত্মক আর ধ্রুবক পদ মূলদ্বয়ের গুণফল, তার মূল দুটো ঠিক সেই দুটো সংখ্যা।
এখানে x এর সহগ হলো p যোগ q এর ঋণাত্মক, আর ধ্রুবক pq। তাই সমীকরণটা ভাঙা যায় x বিয়োগ p গুণ x বিয়োগ q, সমান শূন্য।
দুটো রাশির গুণফল শূন্য হলে অন্তত একটি শূন্য। তাই x সমান p অথবা x সমান q, আর সমাধান সেট p ও q।
ফাঁদ হলো চিহ্নসহ মূল নেওয়া। উৎপাদকে x বিয়োগ p আছে বলে মূল ঋণাত্মক p নয়, ধনাত্মক p; উৎপাদকের চিহ্ন উল্টে মূল পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: x² − (যোগফল)x + (গুণফল) = ০ দেখলেই মূল দুটো সরাসরি পড়ে নিন।
১৩. K এর কোন মানের জন্য 5x + 4y - 1 = 0 এবং 2x + Ky - 7 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক5/8
- খ8/5
- গ5/2
- ঘ- 8/5
সঠিক উত্তর: খ. 8/5
প্রশ্নটা দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত যাচাই করছে। সমান্তরাল রেখার ঢাল সমান। ax যোগ by যোগ c সমান শূন্য রেখার ঢাল ঋণাত্মক, b ভাগের a।
ঢাল সমান মানে প্রথম রেখার x আর y এর সহগের অনুপাত দ্বিতীয়টির সমান। প্রথম রেখায় সহগ ৫ ও ৪, দ্বিতীয়তে ২ ও K। তাই ২ ভাগের ৫ সমান K ভাগের ৪।
আড়গুণন করলে ৫K সমান ৮, তাই K হলো পাঁচ ভাগের আট। যাচাই: প্রথম রেখার ঢাল ঋণাত্মক চার ভাগের পাঁচ, দ্বিতীয়টির ঢাল ঋণাত্মক ২ কে পাঁচ ভাগের আট দিয়ে ভাগ, সেটাও ঋণাত্মক চার ভাগের পাঁচ।
ফাঁদ হলো অনুপাত উল্টে লেখা, তাতে আসে আট ভাগের পাঁচ। আর ঢালের ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে গোলমাল করলে আসে ঋণাত্মক পাঁচ ভাগের আট, যাতে ঢাল উল্টো চিহ্নের হয়।
মনে রাখুন: সমান্তরাল: x আর y এর সহগের অনুপাত সমান (ধ্রুবক পদ আলাদা)। লম্ব: a₁a₂ + b₁b₂ = ০।
১৪. যদি 0 < x < 1 হয়, তবে নিচের কোনটি সবচেয়ে বড় হবে? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- কx
- খ2x
- গx²
- ঘx + 1
সঠিক উত্তর: ঘ. x + 1
প্রশ্নটা শূন্য আর ১ এর মাঝের সংখ্যার আচরণ যাচাই করছে। এমন সংখ্যাকে নিজের সাথে গুণ করলে ছোট হয়ে যায়, কারণ ১ এর চেয়ে ছোট কিছু দিয়ে গুণ করছি।
তাই x এর বর্গ x এর চেয়ে ছোট। ২x আবার x এর দ্বিগুণ, তাই x এর চেয়ে বড়। এখন তুলনা বাকি ২x আর x যোগ ১ এর মধ্যে।
x যোগ ১ থেকে ২x বিয়োগ করলে থাকে ১ বিয়োগ x, যা ধনাত্মক কারণ x এক এর কম। তাই x যোগ ১ সবসময় ২x এর চেয়ে বড়, আর সেটাই সবচেয়ে বড়।
একটা মান বসিয়ে দেখা সবচেয়ে সহজ পথ। x সমান শূন্য দশমিক পাঁচ হলে মানগুলো শূন্য দশমিক পাঁচ, ১, শূন্য দশমিক দুই পাঁচ আর ১ দশমিক পাঁচ। ফাঁদ হলো ২x কে সবচেয়ে বড় ভাবা, কারণ দ্বিগুণ শুনলেই বড় মনে হয়।
মনে রাখুন: ০ আর ১ এর মাঝের প্রশ্নে x = ১/২ বসিয়ে সব বিকল্প তুলনা করুন।
১৫. যদি x + (1/x) = 0 হয়, তবে √x + (1/√x) এর মান কত? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক0
- খ1
- গ2
- ঘ√2
সঠিক উত্তর: ঘ. √2
প্রশ্নটা বর্গের অভেদ যাচাই করছে। রুট x যোগ রুট x ভাগের এক এর বর্গ করলে পাওয়া যায় x যোগ x ভাগের এক যোগ ২, কারণ মাঝের পদে রুট x আর রুট x ভাগের একের গুণফল ১, তার দ্বিগুণ ২।
প্রশ্নে x যোগ x ভাগের এক শূন্য দেওয়া আছে। তাই বর্গটা হয় শূন্য যোগ ২, মানে ২। আর বর্গ ২ হলে রাশিটা রুট ২।
একটা সূক্ষ্ম কথা: বাস্তব সংখ্যায় x যোগ x ভাগের এক শূন্য হতে পারে না, কারণ তাতে x এর বর্গ ঋণাত্মক ১ হয়। জটিল সংখ্যায় x সমান i ধরলেও হিসাব করে রুট ২-ই আসে, তাই পরীক্ষার উত্তর রুট ২।
ফাঁদ হলো শূন্য বিকল্প, শর্তের শূন্য দেখে উত্তরও শূন্য ভাবা। আরেক ফাঁদ ২, যা আসলে রাশির বর্গ, রাশি নয়।
মনে রাখুন: a + ১/a এর মান চাইলে আগে তার বর্গ বানান: (a + ১/a)² = a² + ১/a² + ২।
১৬. সেট {2, 3, 4} এর প্রকৃত উপসেট কয়টি: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক3
- খ7
- গ8
- ঘ9
সঠিক উত্তর: খ. 7
প্রশ্নটা প্রকৃত উপসেট গোনা যাচাই করছে। n উপাদানের সেটের মোট উপসেট ২ এর n তম ঘাত। প্রকৃত উপসেট হলো সেটটি নিজে বাদে বাকি সব উপসেট, তাই সংখ্যা ২ এর n তম ঘাত বিয়োগ ১।
সেট ২, ৩, ৪ এ উপাদান ৩টি। মোট উপসেট ২ এর তৃতীয় ঘাত, মানে ৮টি: ফাঁকা সেট, তিনটি এক-উপাদানের, তিনটি দুই-উপাদানের, আর পুরো সেটটি।
পুরো সেটটি নিজের প্রকৃত উপসেট নয়, তাই ৮ থেকে ১ বাদ দিয়ে উত্তর ৭। ফাঁকা সেট কিন্তু প্রকৃত উপসেট হিসেবে গোনা হয়।
ফাঁদ হলো ৮ বিকল্প, যা সব উপসেট মিলিয়ে, পুরো সেটসহ। আরেক ভুল ৩, যা শুধু এক-উপাদানের উপসেট গুনলে আসে।
মনে রাখুন: প্রকৃত উপসেট = ২ⁿ − ১। n = ৩ হলে ৭, n = ৪ হলে ১৫।
১৭. ABSCISSA শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক10080
- খ6720
- গ3360
- ঘ3359
সঠিক উত্তর: গ. 3360
প্রশ্নটা পুনরাবৃত্ত বর্ণসহ বিন্যাস যাচাই করছে। সব বর্ণ আলাদা হলে n টি বর্ণের বিন্যাস n ফ্যাক্টোরিয়াল। কোনো বর্ণ কয়েকবার থাকলে সেগুলো অদলবদল করলে নতুন শব্দ হয় না, তাই সেই পুনরাবৃত্তির ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হয়।
ABSCISSA শব্দে মোট ৮টি বর্ণ। গুনে দেখি: A আছে ২ বার, S আছে ৩ বার, আর B, C, I একবার করে।
তাই বিন্যাস হলো ৮ ফ্যাক্টোরিয়াল কে ২ ফ্যাক্টোরিয়াল আর ৩ ফ্যাক্টোরিয়ালের গুণফল দিয়ে ভাগ। ৮ ফ্যাক্টোরিয়াল ৪০৩২০, ভাজক ২ গুণ ৬ মানে ১২, আর ৪০৩২০ কে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ৩৩৬০।
ফাঁদ হলো S কে তিনবারের জায়গায় দুবার ধরা, তাতে ৪ দিয়ে ভাগ হয়ে আসে ১০০৮০। আবার A এর পুনরাবৃত্তি ভুলে গেলে আসে ৬৭২০। আর ৩৩৫৯ হলো মূল শব্দটি বাদ দিয়ে গোনা, যা প্রশ্নে চাওয়া হয়নি।
মনে রাখুন: শব্দের বিন্যাস = মোট বর্ণের ফ্যাক্টোরিয়াল ÷ প্রতিটি পুনরাবৃত্ত বর্ণের ফ্যাক্টোরিয়ালের গুণফল। আগে প্রতিটি বর্ণ টিক দিয়ে গুনে নিন।
১৮. একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল হবে: (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক8√3
- খ8√5
- গ16√3
- ঘ16√5
সঠিক উত্তর: গ. 16√3
প্রশ্নটা সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র যাচাই করছে। বাহু a হলে ক্ষেত্রফল হলো চার ভাগের রুট ৩, গুণ a এর বর্গ।
সূত্রটা আসে উচ্চতা থেকে। সমবাহু ত্রিভুজে উচ্চতা ভূমিকে সমান দুই ভাগ করে, তাই পিথাগোরাসে উচ্চতার বর্গ হয় ৮ এর বর্গ বিয়োগ ৪ এর বর্গ, মানে ৪৮; উচ্চতা ৪ রুট ৩।
ক্ষেত্রফল সমান অর্ধেক গুণ ভূমি গুণ উচ্চতা: অর্ধেক গুণ ৮ গুণ ৪ রুট ৩, সমান ১৬ রুট ৩ বর্গমিটার। সূত্রেও তাই: ৬৪ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ১৬, তার সাথে রুট ৩।
ফাঁদ হলো পিথাগোরাসে বর্গ যোগ করে ফেলা: ৬৪ যোগ ১৬ মানে ৮০ নিলে উচ্চতা হয় ৪ রুট ৫, আর ক্ষেত্রফল আসে ১৬ রুট ৫। রুট ৫ উত্তরে দেখলেই বুঝবেন এই ভুল হয়েছে।
মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজ: ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a², উচ্চতা = (√৩/২)a। a = ৮ হলে ক্ষেত্রফল ১৬√৩।
১৯. 3 + (3/2) + (3/4) + ........... (3/64) ধারাটিতে মোট কতটি পদ আছে? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক5
- খ6
- গ7
- ঘ8
সঠিক উত্তর: গ. 7
প্রশ্নটা গুণোত্তর ধারার পদ সংখ্যা যাচাই করছে। প্রতিটি পদ আগেরটির অর্ধেক, তাই এটা গুণোত্তর ধারা: প্রথম পদ ৩, সাধারণ অনুপাত ২ ভাগের ১।
n তম পদ হলো ৩ কে ২ এর n বিয়োগ ১ তম ঘাত দিয়ে ভাগ। শেষ পদ ৬৪ ভাগের ৩, তাই ২ এর n বিয়োগ ১ তম ঘাত হতে হবে ৬৪।
৬৪ হলো ২ এর ষষ্ঠ ঘাত। তাই n বিয়োগ ১ সমান ৬, আর n সমান ৭। পদগুলো গুনেও দেখা যায়: হরগুলো ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২ ও ৬৪, মোট সাতটি।
ফাঁদ হলো ঘাত ৬ দেখে উত্তর ৬ বলা। প্রথম পদে ঘাত শূন্য, তাই পদ সংখ্যা সবসময় ঘাতের চেয়ে ১ বেশি।
মনে রাখুন: শেষ পদ ÷ প্রথম পদ = ১/৬৪ = (১/২)⁶; ঘাত ৬, তাই পদ ৬ + ১ = ৭।
২০. ০.৫ × ০.০৫ × ০.০০৫ = ? (৫০তম বিসিএস, ২০২৬)
- ক০.১২৫
- খ০.০১২৫
- গ০.০০১২৫
- ঘ০.০০০১২৫
সঠিক উত্তর: ঘ. ০.০০০১২৫
প্রশ্নটা দশমিক সংখ্যার গুণ যাচাই করছে। নিয়ম: দশমিক বিন্দু উপেক্ষা করে সংখ্যাগুলো গুণ করুন, তারপর সব গুণ্যের দশমিকের পরের অঙ্ক সংখ্যা যোগ করে ডান দিক থেকে ততগুলো ঘর গুনে দশমিক বিন্দু বসান।
অঙ্কগুলো ৫, ৫ আর ৫; গুণফল ১২৫। দশমিকের পরের অঙ্ক: প্রথমটিতে ১টি, দ্বিতীয়টিতে ২টি, তৃতীয়টিতে ৩টি, মোট ৬টি।
১২৫ এ মাত্র তিনটি অঙ্ক, তাই ছয় ঘর পূরণ করতে সামনে তিনটি শূন্য বসাতে হয়। উত্তর শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য এক দুই পাঁচ।
ফাঁদ হলো দশমিকের ঘর কম গোনা। শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য এক দুই পাঁচ বিকল্পে মাত্র পাঁচ ঘর, যা দশ গুণ বড় উত্তর।
মনে রাখুন: ভগ্নাংশে ভাবুন: ৫/১০ × ৫/১০০ × ৫/১০০০ = ১২৫/১০⁶ = ০.০০০১২৫।