গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১৩
২৪১. যদি a² + 1/a² = 51 হয় তবে a − 1/a এর মান কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক±9
- খ±7
- গ±5
- ঘ±3
সঠিক উত্তর: খ. ±7
এটা বীজগণিতের একটা চেনা অভেদ: a বিয়োগ এক ভাগ a এর বর্গ সমান a বর্গ যোগ এক ভাগ a বর্গ বিয়োগ দুই। কারণ মাঝের পদ দুই গুণ a গুণ এক ভাগ a, যা শুধু দুই।
এখানে a বর্গ যোগ এক ভাগ a বর্গ সমান ৫১। তাই a বিয়োগ এক ভাগ a এর বর্গ সমান ৫১ বিয়োগ ২, মানে ৪৯।
৪৯ এর বর্গমূল ৭, আর বর্গ থেকে ফিরে আসায় চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দুটোই হতে পারে। তাই উত্তর প্লাস মাইনাস সাত।
সতর্কতা: যোগ চিহ্নের অভেদে দুই যোগ হয়, বিয়োগ চিহ্নে দুই বিয়োগ হয়। এখানে দুই যোগ করলে ৫৩ আসত, যা পূর্ণবর্গ নয়।
মনে রাখুন: a − ১/a চাইলে ২ বিয়োগ, a + ১/a চাইলে ২ যোগ করে বর্গমূল নিন।
২৪২. f(x) = x³ − 2x + 10 হলে f(0) = কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক1
- খ5
- গ8
- ঘ10
সঠিক উত্তর: ঘ. 10
ফাংশনের মান বের করা মানে x এর জায়গায় প্রদত্ত সংখ্যা বসানো। f শূন্য মানে x এর জায়গায় শূন্য বসাতে হবে।
x এর ঘন শূন্য, দুই x ও শূন্য। তাই শুধু ধ্রুবক পদ ১০ থাকে। f শূন্য সমান ১০।
সাধারণ নিয়ম: যেকোনো বহুপদী রাশিতে x শূন্য বসালে মান হয় তার ধ্রুবক পদ।
ভুল হয় যখন কেউ দুই x এর x বাদ দিয়ে শুধু দুই বিয়োগ করেন; তখন ১০ বিয়োগ ২ সমান ৮ আসে।
মনে রাখুন: f(০) মানেই ধ্রুবক পদ।
২৪৩. (x − 4)² + (y + 3)² = 100 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক(0,0)
- খ(4,- 3)
- গ(- 4,3)
- ঘ(10,10)
সঠিক উত্তর: খ. (4,- 3)
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো x বিয়োগ h এর বর্গ যোগ y বিয়োগ k এর বর্গ সমান r এর বর্গ। এখানে কেন্দ্র h কমা k, আর ব্যাসার্ধ r।
প্রশ্নে আছে x বিয়োগ চার, তাই h সমান চার। আর আছে y যোগ তিন, যাকে লেখা যায় y বিয়োগ মাইনাস তিন; তাই k সমান মাইনাস তিন।
সুতরাং কেন্দ্র চার, মাইনাস তিন। আর ডান পাশে ১০০ মানে ব্যাসার্ধ ১০।
ফাঁদ হলো বন্ধনীর চিহ্ন সরাসরি তুলে নেওয়া, তাতে মাইনাস চার, তিন আসে। আসলে কেন্দ্রের চিহ্ন বন্ধনীর চিহ্নের উল্টো।
মনে রাখুন: বন্ধনীর ভেতরের সংখ্যার চিহ্ন উল্টে দিলেই কেন্দ্র।
২৪৪. একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21 m এবং 29 m হলে এর ক্ষেত্রফল কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক200m²
- খ210m²
- গ290m²
- ঘ300m²
সঠিক উত্তর: খ. 210m²
তিন বাহু দেওয়া থাকলে আগে দেখে নিন ত্রিভুজটা সমকোণী কি না। ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল বড় বাহুর বর্গের সমান হলে সমকোণী, আর তখন ক্ষেত্রফল সহজেই বের হয়।
২০ এর বর্গ ৪০০, ২১ এর বর্গ ৪৪১; যোগফল ৮৪১। আর ২৯ এর বর্গও ৮৪১। তাই এটা সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ ২৯ আর লম্ব ও ভূমি ২০ ও ২১।
ক্ষেত্রফল ভূমি গুণ উচ্চতার অর্ধেক: ২০ গুণ ২১ সমান ৪২০, অর্ধেক ২১০ বর্গমিটার। হেরনের সূত্রেও একই ২১০ আসে।
ফাঁদ হলো অতিভুজ ২৯ কে উচ্চতা ধরে নেওয়া। উচ্চতা হলো ভূমির উপর লম্ব বাহু; সমকোণী ত্রিভুজে তা সমকোণের পাশের অন্য বাহু, অতিভুজ নয়। তাই অতিভুজ দিয়ে গুণ করলে ২৯০ এর মতো ভুল ফল আসে।
মনে রাখুন: চেনা পিথাগোরীয় ত্রয়ী (৩,৪,৫), (৫,১২,১৩), (৮,১৫,১৭), (২০,২১,২৯) মনে রাখলে এক নজরে সমকোণী চেনা যায়।
২৪৫. যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক1/8
- খ1/6
- গ3/4
- ঘ5/24
সঠিক উত্তর: ঘ. 5/24
দুটি সংখ্যার ব্যস্তানুপাতিক যোগফল মানে তাদের উল্টো ভগ্নাংশ দুটির যোগফল: এক ভাগ a যোগ এক ভাগ b।
এই দুটি যোগ করলে হর হয় a গুণ b, লব হয় a যোগ b। অর্থাৎ ব্যস্ত যোগফল সমান যোগফল ভাগ গুণফল। সংখ্যা দুটি আলাদা করে বের করারও দরকার নেই।
এখানে যোগফল ২০, গুণফল ৯৬। তাই উত্তর ২০ ভাগ ৯৬, যা লঘিষ্ঠ আকারে পাঁচ ভাগ চব্বিশ।
যাচাই: সংখ্যা দুটি ১২ ও ৮। ১ ভাগ ১২ যোগ ১ ভাগ ৮ সমান ২ ভাগ ২৪ যোগ ৩ ভাগ ২৪, মানে ৫ ভাগ ২৪।
মনে রাখুন: ব্যস্ত যোগফল = যোগফল ÷ গুণফল।
২৪৬. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৮৯
- খ৭০
- গ১৭০
- ঘ১৪২
সঠিক উত্তর: খ. ৭০
কোনো সংখ্যা কয়েকটি সংখ্যা দিয়ে একসঙ্গে বিভাজ্য হলে সেটি তাদের লসাগুর গুণিতক হয়। আর লঘিষ্ঠ সংখ্যা চাইলে লসাগু নিজেই নিতে হয়।
১২, ১৮ আর ২৪ এর লসাগু ৭২। কারণ ১২ হলো ২ এর বর্গ গুণ ৩, ১৮ হলো ২ গুণ ৩ এর বর্গ, ২৪ হলো ২ এর ঘন গুণ ৩; প্রতিটি মৌলিকের সবচেয়ে বড় ঘাত নিলে ২ এর ঘন গুণ ৩ এর বর্গ, মানে ৭২।
সংখ্যার সঙ্গে ২ যোগ করলে ৭২ হবে, তাই সংখ্যাটি ৭২ বিয়োগ ২, অর্থাৎ ৭০।
১৪২ এর সঙ্গে ২ যোগ করলে ১৪৪ হয়, যা ১২, ১৮, ২৪ দিয়ে ভাগ যায়; কিন্তু এটা দ্বিতীয় গুণিতক থেকে আসে, লঘিষ্ঠ নয়। লঘিষ্ঠ শব্দটা খেয়াল না করলে এই ফাঁদে পড়তে হয়।
মনে রাখুন: যোগ করলে বিভাজ্য হলে: লসাগু − যোগ করা সংখ্যা; বিয়োগ করলে বিভাজ্য হলে: লসাগু + বিয়োগ করা সংখ্যা।
২৪৭. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৯১
- খ৮৭
- গ৬৩
- ঘ৫৯
সঠিক উত্তর: ঘ. ৫৯
মৌলিক সংখ্যা যাচাইয়ের নিয়ম: সংখ্যাটির বর্গমূল পর্যন্ত যতগুলো মৌলিক আছে, সেগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখা। ১০০ এর নিচের সংখ্যার জন্য ২, ৩, ৫ আর ৭ দিয়ে দেখলেই যথেষ্ট।
৯১ দেখতে মৌলিকের মতো, কিন্তু ৯১ সমান ৭ গুণ ১৩। ৮৭ এর অঙ্কের যোগফল ১৫, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ৮৭ সমান ৩ গুণ ২৯। ৬৩ সমান ৭ গুণ ৯।
৫৯ কে ২, ৩, ৫ বা ৭ কোনোটি দিয়েই ভাগ করা যায় না, তাই ৫৯ মৌলিক।
৯১ আর ৮৭ সবচেয়ে চেনা ফাঁদ। মনে রাখুন ৯১ সমান ৭ গুণ ১৩, আর অঙ্কের যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটাও ৩ দিয়ে বিভাজ্য।
মনে রাখুন: √৫৯ < ৮, তাই ২, ৩, ৫, ৭ দিয়ে ভাগ না গেলেই মৌলিক।
২৪৮. একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৩৪০
- খ৩৪১
- গ৩৪২
- ঘ৩৪৪
সঠিক উত্তর: খ. ৩৪১
যে সংখ্যা একটি সংখ্যা থেকে যত বড়, অন্যটি থেকে তত ছোট, সে দুই সংখ্যার ঠিক মাঝখানে থাকে। মাঝখানের সংখ্যা মানে দুটির গড়।
তাই সংখ্যাটি ৩০১ আর ৩৮১ এর গড়: যোগফল ৬৮২, তাকে ২ দিয়ে ভাগ করলে ৩৪১।
যাচাই: ৩৪১ বিয়োগ ৩০১ সমান ৪০, আর ৩৮১ বিয়োগ ৩৪১-ও ৪০। দুই দিকেই সমান দূরত্ব।
৩৪০ বা ৩৪২ খুব কাছের হলেও দুই দিকের দূরত্ব সমান হয় না; একদিকে ৩৯ আর অন্যদিকে ৪১ হয়ে যায়।
মনে রাখুন: সংখ্যা = (৩০১ + ৩৮১) ÷ ২ = ৩৪১।
২৪৯. ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক২৫ দিনে
- খ৩০ দিনে
- গ৩৫ দিনে
- ঘ৪০ দিনে
সঠিক উত্তর: খ. ৩০ দিনে
কাজের প্রশ্নে প্রত্যেকের এক দিনের কাজ বের করাই মূল কৌশল। একসঙ্গে কাজ করলে এক দিনের কাজগুলো যোগ হয়, তাই একজনেরটা জানতে বিয়োগ করতে হয়।
সুবিধার জন্য পুরো কাজকে ১২ আর ২০ এর লসাগু, মানে ৬০ ভাগ ধরি। ক ও খ একসঙ্গে ১২ দিনে ৬০ ভাগ করে, তাই প্রতিদিন ৫ ভাগ। ক একা ২০ দিনে ৬০ ভাগ করে, তাই প্রতিদিন ৩ ভাগ।
তাহলে খ প্রতিদিন করে ৫ বিয়োগ ৩, মানে ২ ভাগ। পুরো ৬০ ভাগ শেষ করতে খ এর লাগবে ৬০ ভাগ ২, অর্থাৎ ৩০ দিন।
দিনগুলো সরাসরি বিয়োগ করা সবচেয়ে বড় ভুল; দিন নয়, এক দিনের কাজ বিয়োগ হয়। খ একা ধীরগতির বলে তার সময় অবশ্যই ২০ দিনের বেশি হবে।
মনে রাখুন: খ-এর সময় = (১২ × ২০) ÷ (২০ − ১২) = ২৪০ ÷ ৮ = ৩০ দিন।
২৫০. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক30 মিটার
- খ40 মিটার
- গ50 মিটার
- ঘ60 মিটার
সঠিক উত্তর: গ. 50 মিটার
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হলে প্রস্থকে x ধরে দৈর্ঘ্য দুই x লেখা যায়।
তখন ক্ষেত্রফল দুই x গুণ x, মানে দুই গুণ x এর বর্গ, যা ১২৫০। দুই দিয়ে ভাগ করলে x এর বর্গ ৬২৫, আর ৬২৫ এর বর্গমূল ২৫।
প্রস্থ ২৫ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য তার দ্বিগুণ, ৫০ মিটার। যাচাই: ৫০ গুণ ২৫ সমান ১২৫০।
প্রস্থ ২৫ বের করে সেখানেই থেমে যাওয়া সাধারণ ভুল; প্রশ্ন চেয়েছে দৈর্ঘ্য। অপশন থেকেও যাচাই করা যায়: যে দৈর্ঘ্যকে তার অর্ধেক দিয়ে গুণ করলে ১২৫০ হয়, সেটাই উত্তর।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: দৈর্ঘ্য × (দৈর্ঘ্য ÷ ২) = ১২৫০ → ৫০ × ২৫ = ১২৫০।
২৫১. দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কসন্নিহিত কোণ
- খসরলকোণ
- গপূরককোণ
- ঘসম্পূরক কোণ
সঠিক উত্তর: ঘ. সম্পূরক কোণ
প্রশ্নটা কোণের নাম চেনা যাচাই করছে। এক সমকোণ মানে ৯০ ডিগ্রি, তাই দুই সমকোণ মানে ১৮০ ডিগ্রি।
দুটি কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ। আর যোগফল ৯০ ডিগ্রি হলে একটি অপরটির পূরক কোণ।
সন্নিহিত কোণ বলে পাশাপাশি দুটি কোণকে, যাদের শীর্ষ একই আর একটি বাহু সাধারণ; এটা অবস্থানের বর্ণনা, যোগফলের নয়। সরলকোণ হলো একটিমাত্র কোণ যার মান ১৮০ ডিগ্রি, দুটি কোণের সম্পর্কের নাম নয়।
পূরক আর সম্পূরক গুলিয়ে ফেলাই এখানে মূল ফাঁদ। মনে রাখার উপায়: সম্পূরক শব্দে অক্ষর বেশি, যোগফলও বেশি, ১৮০ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: ৯০ = পূরক, ১৮০ = সম্পূরক।
২৫২. বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলা হয়? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কব্যাস
- খব্যাসার্ধ
- গবৃত্তচাপ
- ঘপরিধি
সঠিক উত্তর: ক. ব্যাস
জ্যা হলো বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুটি বিন্দু যোগ করা সরলরেখাংশ। জ্যা কেন্দ্রের যত কাছ দিয়ে যায়, তত লম্বা হয়।
যে জ্যা ঠিক কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে বলে ব্যাস। এটা বৃত্তের সবচেয়ে বড় জ্যা, আর এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
ব্যাসার্ধ কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত যায়, তাই এর একটা প্রান্ত কেন্দ্রে; এটা জ্যা নয়। বৃত্তচাপ আর পরিধি বাঁকা অংশ, সরলরেখা নয়, তাই এগুলোও জ্যা হতে পারে না।
ব্যাসার্ধ শব্দটা ব্যাসের কাছাকাছি শোনায় বলে অনেকে গুলিয়ে ফেলেন; মনে রাখুন ব্যাস পুরো বৃত্ত পার হয়, ব্যাসার্ধ তার অর্ধেক।
মনে রাখুন: কেন্দ্রগামী জ্যা = ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
২৫৩. দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কএকটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান
- খএকটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
- গএকটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই কোণ ও অনুরূপ বাহুর সমান
- ঘএকটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান
সঠিক উত্তর: খ. একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম মানে আকার ও মাপ দুটোই হুবহু এক; একটা আরেকটার উপর রাখলে পুরো মিলে যায়। এর জন্য কিছু নির্দিষ্ট শর্তই যথেষ্ট।
তিন বাহু সমান হলে, দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে, অথবা দুই কোণ ও একটি অনুরূপ বাহু সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। এই প্রতিটি শর্তে অন্তত একটা বাহুর মাপ জানা থাকে।
কিন্তু শুধু তিন কোণ সমান হলে কোনো বাহুর মাপ জানা যায় না। ছোট আর বড় দুটি সমবাহু ত্রিভুজের কথা ভাবুন: দুটিরই সব কোণ ৬০ ডিগ্রি, অথচ মাপ আলাদা। এরা সদৃশ, সর্বসম নয়।
তাই তিন কোণ সমান হওয়া সর্বসমতার জন্য যথেষ্ট নয়। কোণ শুধু আকৃতি ঠিক করে, মাপ ঠিক করে বাহু।
মনে রাখুন: অন্তত একটি বাহু সমান না থাকলে সর্বসমতা প্রমাণ হয় না।
২৫৪. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৬ : ৫ : ৪
- খ৩ : ৪ : ৫
- গ১২ : ৮ : ৪
- ঘ৬ : ৪ : ৩
সঠিক উত্তর: খ. ৩ : ৪ : ৫
সমকোণী ত্রিভুজ চেনার উপায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য: ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল সবচেয়ে বড় বাহুর বর্গের সমান হতে হবে।
৩, ৪, ৫ এ দেখি: ৩ এর বর্গ ৯ আর ৪ এর বর্গ ১৬, যোগফল ২৫; আর ৫ এর বর্গও ২৫। মিলে গেছে, তাই এই অনুপাতে সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
৬, ৫, ৪ এ ছোট দুইয়ের বর্গের যোগফল ৪১, বড়টার বর্গ ৩৬; মেলে না। ৬, ৪, ৩ এ যোগফল ২৫, বড়টার বর্গ ৩৬; এটাও মেলে না।
১২, ৮, ৪ সবচেয়ে বড় ফাঁদ: ৪ যোগ ৮ ঠিক ১২, তাই এই বাহুগুলো দিয়ে কোনো ত্রিভুজই হয় না, কারণ ত্রিভুজে যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয়টির চেয়ে বড় হতে হয়।
মনে রাখুন: পিথাগোরীয় ত্রয়ী মনে রাখুন: ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৮-১৫-১৭ এবং এদের গুণিতক।
২৫৫. ৩, ৯, ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৪
- খ১৪
- গ১৬
- ঘ১২
সঠিক উত্তর: ঘ. ১২
চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকে যদি প্রথম অনুপাত দ্বিতীয় সমান তৃতীয় অনুপাত চতুর্থ হয়। এখানে চতুর্থ সংখ্যাটিকেই চতুর্থ সমানুপাতিক বলে।
তাই ৩ অনুপাত ৯ সমান ৪ অনুপাত x। আড়াআড়ি গুণ করলে ৩ গুণ x সমান ৯ গুণ ৪, মানে ৩৬; সুতরাং x সমান ১২।
সহজভাবে দেখলে, ৯ হলো ৩ এর তিনগুণ, তাই চতুর্থ সংখ্যাটাও ৪ এর তিনগুণ, মানে ১২।
ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: চতুর্থ সমানুপাতিক সবসময় দ্বিতীয় গুণ তৃতীয়, ভাগ প্রথম। ক্রম উল্টালে অন্য মান আসে, যেমন ৩ গুণ ৪ ভাগ ৯ নিলে আসে ৪ ভাগ ৩।
মনে রাখুন: চতুর্থ সমানুপাতিক = (২য় × ৩য়) ÷ ১ম = ৯ × ৪ ÷ ৩ = ১২।
২৫৬. f(x) = x³ + kx² – 6x – 9; k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক1
- খ-1
- গ2
- ঘ0
সঠিক উত্তর: ঘ. 0
f(৩) মানে ফাংশনে x এর জায়গায় ৩ বসানো। f(৩) শূন্য হওয়ার শর্ত দিয়ে অজানা k বের করতে হবে।
x সমান ৩ বসালে x এর ঘন হয় ২৭, k গুণ x এর বর্গ হয় ৯k, মাইনাস ৬x হয় মাইনাস ১৮, আর শেষে মাইনাস ৯। ২৭ বিয়োগ ১৮ বিয়োগ ৯ নিজেই শূন্য, তাই থাকে শুধু ৯k।
৯k সমান শূন্য হলে k অবশ্যই শূন্য।
এর অর্থ হলো তখন x বিয়োগ ৩ রাশিটির একটি উৎপাদক; এটাই উৎপাদক উপপাদ্য। অন্য মান বসালে f(৩) শূন্য হয় না: k সমান ১ এ ৯, মাইনাস ১ এ মাইনাস ৯, আর ২ এ ১৮।
মনে রাখুন: ধ্রুব অংশগুলো (২৭ − ১৮ − ৯) আগেই শূন্য, তাই k-যুক্ত পদটাকেও শূন্য হতে হবে।
২৫৭. x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কxz > yz
- খx/z > y/z
- গz/x < z/y
- ঘxz < yz
সঠিক উত্তর: ঘ. xz < yz
অসমতার মূল নিয়ম: দুই পাশে ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন একই থাকে, কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়।
এখানে x বড় y এর চেয়ে, আর z শূন্যের চেয়ে ছোট, মানে ঋণাত্মক। দুই পাশে z দিয়ে গুণ করলে চিহ্ন ঘুরে যায়, তাই xz ছোট yz এর চেয়ে।
একটা উদাহরণে যাচাই করি: x সমান ৩, y সমান ২, z সমান মাইনাস ১। তখন xz মাইনাস ৩ আর yz মাইনাস ২; মাইনাস ৩ সত্যিই মাইনাস ২ এর চেয়ে ছোট।
চিহ্ন উল্টাতে ভুলে গেলে xz বড় yz এর চেয়ে মনে হয়, এটাই মূল ফাঁদ। z দিয়ে ভাগ করলেও একই নিয়ম খাটে, তাই x ভাগ z বড় y ভাগ z, এটাও ভুল।
মনে রাখুন: একটা সংখ্যা বসিয়ে দেখুন: x = ৩, y = ২, z = −১।
২৫৮. logₐ(m/n) = ? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কlogₐm × logₐn
- খlogₐm – logₐn
- গlogₐm + logₐn
- ঘকোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: খ. logₐm – logₐn
লগারিদমের সূত্রগুলো আসে সূচকের নিয়ম থেকে। লগ মানে আসলে ঘাত: a এর ঘাত x করলে m হলে, a ভিত্তিক লগ m সমান x।
ধরা যাক m সমান a এর ঘাত x, আর n সমান a এর ঘাত y। তাহলে m ভাগ n সমান a এর ঘাত x বিয়োগ y, কারণ একই ভিত্তির ভাগে ঘাত বিয়োগ হয়।
তাই m ভাগ n এর লগ সমান x বিয়োগ y, অর্থাৎ m এর লগ বিয়োগ n এর লগ। একইভাবে গুণফলের লগ হয় লগের যোগফল।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল ভাগের লগকে লগের ভাগ বা লগের গুণ ভাবা। মনে রাখুন, লগ গুণকে যোগে আর ভাগকে বিয়োগে নামিয়ে আনে।
মনে রাখুন: গুণ → যোগ, ভাগ → বিয়োগ, ঘাত → গুণ।
২৫৯. নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক০.৩
- খ√০.৩
- গ১/৩
- ঘ২/৫
সঠিক উত্তর: ক. ০.৩
ভিন্ন আকারের সংখ্যা তুলনা করার সহজ উপায় হলো সবগুলোকে দশমিকে নেওয়া। তারপর বড়-ছোট দেখা সহজ।
২ ভাগ ৫ সমান শূন্য দশমিক ৪। ১ ভাগ ৩ সমান শূন্য দশমিক ৩৩৩, যা চলতেই থাকে। আর শূন্য দশমিক ৩ এর বর্গমূল প্রায় শূন্য দশমিক ৫৪৮।
এদের মধ্যে শূন্য দশমিক ৩ সবচেয়ে ছোট; ১ ভাগ ৩ তার চেয়ে সামান্য বড়।
ফাঁদ হলো বর্গমূলকে ছোট ভাবা। ১ এর চেয়ে ছোট ধনাত্মক সংখ্যার বর্গমূল সংখ্যাটির চেয়ে বড় হয়, যেমন শূন্য দশমিক ২৫ এর বর্গমূল শূন্য দশমিক ৫।
মনে রাখুন: ০ থেকে ১-এর মধ্যে বর্গমূল বড় হয়, বর্গ ছোট হয়।
২৬০. নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- কax² + bx + c = 0
- খy² = ax
- গx² + y² = 16
- ঘy² = 2x + 7
সঠিক উত্তর: গ. x² + y² = 16
মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান r এর বর্গ। এটা আসে পিথাগোরাস থেকে, কারণ বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে।
x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১৬ ঠিক এই আকারের, যেখানে r এর বর্গ ১৬, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ ৪। তাই এটাই বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্ত চেনার লক্ষণ: x এর বর্গ আর y এর বর্গ দুটোই থাকবে, তাদের সহগ সমান হবে, আর xy পদ থাকবে না।
y এর বর্গ সমান ax বা y এর বর্গ সমান ২x যোগ ৭ এ শুধু y এর বর্গ আছে, x এর বর্গ নেই, তাই এগুলো পরাবৃত্ত। আর প্রথম অপশনটি এক চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ, কোনো বক্ররেখা নয়।
মনে রাখুন: x² ও y² দুটোই আছে, একই সহগে, xy পদ নেই: বৃত্ত।