গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৩
৪১. x < 4 হলে নীচের কোন মানটি x এর জন্য সত্য হতে পারে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক0
- খ3
- গসবগুলোই
- ঘ-4
সঠিক উত্তর: গ. সবগুলোই
x ছোট ৪ মানে x-এর মান ৪-এর চেয়ে ছোট যেকোনো সংখ্যা হতে পারে, তবে ৪ নিজে নয়। এর মধ্যে ধনাত্মক, শূন্য ও ঋণাত্মক সব সংখ্যাই পড়ে।
একটি একটি করে যাচাই করি: ০ কি ৪-এর চেয়ে ছোট? হ্যাঁ। ৩ কি ৪-এর চেয়ে ছোট? হ্যাঁ। ঋণাত্মক ৪ কি ৪-এর চেয়ে ছোট? হ্যাঁ, সংখ্যারেখায় এটা অনেক বাঁদিকে।
তিনটি মানই শর্ত মানে, তাই উত্তর সবগুলোই।
ঋণাত্মক ৪ দেখে অনেকে ভাবেন এটা ৪-এর সমান বা বড়; কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে ছোট।
মনে রাখুন: অসমতার প্রশ্নে প্রতিটি অপশন বসিয়ে দেখুন; একাধিক মিললে “সবগুলো”।
৪২. একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ট্রেনটির গতি ঘণ্টায় ১০০ কি: মি: হলে ৩০ মিনিটে ট্রেনটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক৫০ কি: মি:
- খসমাধান সম্ভব নয়
- গ২০০ কি: মি:
- ঘ১০০ কি: মি:
সঠিক উত্তর: ক. ৫০ কি: মি:
দূরত্ব সমান গতি গুণ সময়। এখানে ট্রেনের গতি ঘণ্টায় ১০০ কিলোমিটার, সময় ৩০ মিনিট, মানে আধা ঘণ্টা।
তাহলে দূরত্ব ১০০ গুণ আধা, অর্থাৎ ৫০ কিলোমিটার।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার এখানে অপ্রয়োজনীয় তথ্য। দৈর্ঘ্য লাগে কেবল যখন ট্রেন কোনো খুঁটি, প্ল্যাটফর্ম বা সেতু পুরোপুরি পার হওয়ার সময় চাওয়া হয়।
এমন বাড়তি তথ্য দেখে অনেকে ভাবেন সমাধান সম্ভব নয়, অথবা মিনিটকে ঘণ্টায় না নিয়ে ১০০ গুণ ৩০ করে গুলিয়ে ফেলেন।
মনে রাখুন: ঘণ্টায় ১০০ কিমি মানে আধা ঘণ্টায় তার অর্ধেক, ৫০ কিমি।
৪৩. 1² + 2² + 3² + . . . . . . + x² এর মান কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- কx
- খ(x(x + 1)(2x + 1))/6
- গx^(1 + 4)
- ঘx^n
সঠিক উত্তর: খ. (x(x + 1)(2x + 1))/6
প্রশ্নটা প্রথম x টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র চায়। সূত্রটি হলো x গুণ x যোগ ১ গুণ ২x যোগ ১, পুরোটাকে ৬ দিয়ে ভাগ।
ছোট মান দিয়ে যাচাই করা যায়। x সমান ২ হলে ১ যোগ ৪ সমান ৫; সূত্রে ২ গুণ ৩ গুণ ৫ সমান ৩০, ৬ দিয়ে ভাগে ৫। মিলে গেছে।
x সমান ৩ হলে ১ যোগ ৪ যোগ ৯ সমান ১৪; সূত্রে ৩ গুণ ৪ গুণ ৭ সমান ৮৪, ৬ দিয়ে ভাগে ১৪।
অন্য অপশনগুলোতে x বসালে এই মান আসে না; যেমন শুধু x হলে ৩-এর জন্য ৩ আসে, ১৪ নয়। সংখ্যার যোগফলের সূত্র x গুণ x যোগ ১ ভাগ ২-এর সঙ্গে গুলিয়ে ফেলবেন না।
মনে রাখুন: সংখ্যার যোগফল n(n+1)/2; বর্গের যোগফল n(n+1)(2n+1)/6; ঘনের যোগফল {n(n+1)/2}²।
৪৪. ১ মিলিয়ন = কত বিলিয়ন? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক০.০০১ বিলিয়ন
- খ০.১ বিলিয়ন
- গ০.০০০১ বিলিয়ন
- ঘ০.০১ বিলিয়ন
সঠিক উত্তর: ক. ০.০০১ বিলিয়ন
১ মিলিয়ন মানে ১০ লাখ, আর ১ বিলিয়ন মানে ১০০ কোটি, অর্থাৎ ১ হাজার মিলিয়ন।
তাহলে ১ বিলিয়নে ১ হাজার মিলিয়ন থাকলে ১ মিলিয়ন হলো বিলিয়নের হাজার ভাগের ১ ভাগ, মানে শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য এক বিলিয়ন।
মিলিয়নে ৬টি শূন্য, বিলিয়নে ৯টি; পার্থক্য ৩টি শূন্য, তাই ভাগ হবে ১ হাজার দিয়ে।
অনেকে শূন্য গুনতে ভুল করে শূন্য দশমিক শূন্য এক বা শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য এক বেছে নেন।
মনে রাখুন: থাউজেন্ড, মিলিয়ন, বিলিয়ন, ট্রিলিয়ন: প্রতিটি আগেরটির ১০০০ গুণ।
৪৫. ১ হতে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক২২০
- খ২৩০
- গ২১০
- ঘ২৪০
সঠিক উত্তর: গ. ২১০
১ থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র হলো n গুণ n যোগ ১, ভাগ ২। এখানে n সমান ২০।
তাহলে যোগফল ২০ গুণ ২১, যা ৪২০, তাকে ২ দিয়ে ভাগ করলে ২১০।
কারণটা সহজ: প্রথম আর শেষ সংখ্যা জোড়া বাঁধলে ১ যোগ ২০ সমান ২১, ২ যোগ ১৯ সমান ২১, এভাবে মোট ১০টি জোড়া, প্রতিটির যোগফল ২১। ১০ গুণ ২১ সমান ২১০।
অনেকে ২০ গুণ ২১ করে ভাগ করতে ভুলে যান, বা কাছাকাছি সংখ্যা ২২০ বেছে নেন।
মনে রাখুন: n(n+1)/2: ১ থেকে ১০০ হলে ৫০৫০, ১ থেকে ৫০ হলে ১২৭৫।
৪৬. 0.5 + 0.05 + 0.005 × 0.5 × 0.05 × 0.005 = কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক0.550000325
- খ0.550000625
- গ0.550000525
- ঘ0.550000425
সঠিক উত্তর: খ. 0.550000625
এখানে যোগ আর গুণ একসঙ্গে আছে, তাই আগে গুণ, পরে যোগ। এটাই BODMAS বা অপারেশনের ক্রমের নিয়ম।
গুণের অংশ: শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য পাঁচ গুণ শূন্য দশমিক পাঁচ গুণ শূন্য দশমিক শূন্য পাঁচ গুণ শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য পাঁচ। অঙ্কগুলো ৫ গুণ ৫ গুণ ৫ গুণ ৫ সমান ৬২৫, আর দশমিকের পরে মোট ঘর ৩ যোগ ১ যোগ ২ যোগ ৩, মানে ৯টি। তাই গুণফল শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য ছয় দুই পাঁচ।
যোগের অংশ: শূন্য দশমিক পাঁচ যোগ শূন্য দশমিক শূন্য পাঁচ সমান শূন্য দশমিক পাঁচ পাঁচ। এর সঙ্গে গুণফল যোগ করলে পাই শূন্য দশমিক পাঁচ পাঁচ শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য ছয় দুই পাঁচ।
সব অপশনই শূন্য দশমিক পাঁচ পাঁচ শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য দিয়ে শুরু; পার্থক্য শুধু শেষের তিন অঙ্কে। তাই শেষে ৬২৫ আসে কি না, সেটাই আসল পরীক্ষা।
মনে রাখুন: শুধু শেষ অঙ্কগুলো দেখুন: 5⁴ = 625, তাই উত্তর ...625।
৪৭. যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয় তাহলে y এর মান কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক৪
- খ9.5
- গ3
- ঘ7
সঠিক উত্তর: গ. 3
এটা দুই চলকের সরল সমীকরণ, প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সবচেয়ে দ্রুত সমাধান হয়। দ্বিতীয় সমীকরণে x-এর মান y দিয়ে দেওয়া আছে, x সমান ৩y।
প্রথম সমীকরণে x-এর জায়গায় ৩y বসাই: ৩y যোগ ৫y সমান ২৪, অর্থাৎ ৮y সমান ২৪। দুই দিককে ৮ দিয়ে ভাগ করলে y সমান ৩।
যাচাই করি: y সমান ৩ হলে x সমান ৯। তখন ৯ যোগ ৫ গুণ ৩, মানে ৯ যোগ ১৫, সমান ২৪। মিলে গেছে।
অনেকে তাড়াহুড়ো করে x-এর মান ৯ বের করে সেটাই উত্তর ভাবেন, অথবা ২৪ কে ৫ দিয়ে ভাগ করেন। প্রশ্ন চেয়েছে y-এর মান।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: y = ৩ হলে x = ৯, আর ৯ + ১৫ = ২৪।
৪৮. যে চতুর্ভুজের কেবল দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল তাকে কি বলে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- কসামান্তরিক
- খচতুর্ভুজ
- গট্রাপিজিয়াম
- ঘরম্বস
সঠিক উত্তর: গ. ট্রাপিজিয়াম
প্রশ্নটা চতুর্ভুজের প্রকারভেদ নিয়ে। যে চতুর্ভুজের কেবল এক জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। কেবল শব্দটিই এখানে মূল চাবি।
সামান্তরিকে দুই জোড়া বিপরীত বাহুই সমান্তরাল। রম্বসও এক ধরনের সামান্তরিক, যার চারটি বাহুই সমান। আয়ত ও বর্গও সামান্তরিকের পরিবারের।
তাই এক জোড়া সমান্তরাল হলে ট্রাপিজিয়াম, দুই জোড়া হলে সামান্তরিক পরিবার। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল হলো সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফলের অর্ধেক গুণ তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব।
চতুর্ভুজ অপশনটি ফাঁদ: সব চার বাহুর ক্ষেত্রই চতুর্ভুজ, এটা নির্দিষ্ট কোনো প্রকার নয়।
মনে রাখুন: এক জোড়া সমান্তরাল = ট্রাপিজিয়াম; দুই জোড়া = সামান্তরিক পরিবার।
৪৯. ১ নটিক্যাল মাইল সমান কত কিলোমিটার? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক২.২৫৮
- খ১.৮৫৫
- গ১.৮৫২
- ঘ২.৮৭১
সঠিক উত্তর: গ. ১.৮৫২
প্রশ্নটা দূরত্বের একক রূপান্তর নিয়ে। ১ নটিক্যাল মাইল সমান ১৮৫২ মিটার, অর্থাৎ ১ দশমিক ৮৫২ কিলোমিটার। এটি আন্তর্জাতিকভাবে নির্ধারিত মান।
নটিক্যাল মাইল সমুদ্র ও আকাশপথে দূরত্ব মাপতে ব্যবহার হয়। পৃথিবীর মেরু থেকে মেরু পর্যন্ত বৃত্তের ১ মিনিট অক্ষাংশ বরাবর দূরত্বের সমান ধরে এর মাপ ঠিক করা হয়েছে, তাই মানচিত্র ও নৌচালনায় এটি সুবিধাজনক।
সাধারণ স্থলভাগের মাইল, অর্থাৎ স্ট্যাচিউট মাইল, প্রায় ১ দশমিক ৬০৯ কিলোমিটার; নটিক্যাল মাইল তার চেয়ে বড়। জাহাজের গতির একক নট, মানে ঘণ্টায় ১ নটিক্যাল মাইল।
ফাঁদ হলো ১ দশমিক ৮৫৫: শেষ অঙ্কটা কাছাকাছি করে বিভ্রান্ত করা হয়েছে। মনে রাখুন ১৮৫২, যা দেখতে একটা সালের মতো।
মনে রাখুন: নটিক্যাল মাইল = ১৮৫২ মিটার; মাইল = ১৬০৯ মিটার।
৫০. একটি দেশের জিডিপির পরিমাণ ৭.৫ বিলিয়ন মার্কিন ডলার। ঐ দেশের মোট জনসংখ্যা ১.৮৫ মিলিয়ন হলে মাথাপিছু জিডিপির পরিমাণ নিকটতম কত মার্কিন ডলার? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২য় ধাপ, ২০২৪)
- ক৪০৫
- খ৪০৫৪
- গ৪০
- ঘ৪০,৫৪০
সঠিক উত্তর: খ. ৪০৫৪
মাথাপিছু জিডিপি মানে দেশের মোট জিডিপিকে মোট জনসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রতি জনে যা আসে। এখানে মূল কাজ হলো বিলিয়ন আর মিলিয়নকে ঠিকভাবে সংখ্যায় আনা।
১ বিলিয়ন মানে ১০০ কোটি, আর ১ মিলিয়ন মানে ১০ লাখ। তাই ৭ দশমিক ৫ বিলিয়ন হলো ৭৫০ কোটি ডলার, আর ১ দশমিক ৮৫ মিলিয়ন হলো ১৮ লাখ ৫০ হাজার জন।
সহজ উপায়: বিলিয়ন ভাগ মিলিয়ন সমান ১০০০। তাই ৭ দশমিক ৫ ভাগ ১ দশমিক ৮৫ করলে পাই প্রায় ৪ দশমিক ০৫৪, তাকে ১০০০ দিয়ে গুণ করলে প্রায় ৪০৫৪ ডলার।
ফাঁদ হলো দশমিক বিন্দুর জায়গা: একক গুলিয়ে ফেললে ৪০৫ বা ৪০,৫৪০ আসে। অঙ্কগুলো একই, শুধু শূন্যের সংখ্যা আলাদা।
মনে রাখুন: বিলিয়নকে মিলিয়ন দিয়ে ভাগ করলে সংখ্যার ভাগফলকে ১০০০ দিয়ে গুণ করুন।