গাণিতিক যুক্তি
১. ১ - ০.০৯৯৯ =? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক০.৯০০১
- খ০.১
- গ০.০০১
- ঘ০.০০০১
সঠিক উত্তর: ক. ০.৯০০১
দশমিক বিয়োগে আগে দুটি সংখ্যার দশমিকের পরের অঙ্কের সংখ্যা সমান করতে হয়। ১ কে লিখি ১ দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য।
এখন ১ দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য থেকে শূন্য দশমিক শূন্য নয় নয় নয় বিয়োগ করলে হয় শূন্য দশমিক নয় শূন্য শূন্য এক।
যাচাই: শূন্য দশমিক নয় শূন্য শূন্য এক আর শূন্য দশমিক শূন্য নয় নয় নয় যোগ করলে ঠিক ১ হয়।
শূন্য দশমিক শূন্য নয় নয় নয় প্রায় শূন্য দশমিক এক, তাই তাড়াহুড়োয় অনেকে শূন্য দশমিক এক বেছে নেন; কিন্তু সেটি বিয়োগ করা সংখ্যার আনুমানিক মান, বিয়োগফল নয়।
মনে রাখুন: ১ − ০.০৯৯৯ = ০.৯ + ০.০০০১ = ০.৯০০১ (কারণ ০.০৯৯৯ = ০.১ − ০.০০০১)।
২. বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৯
- খ১২
- গ১৬
- ঘ৪
সঠিক উত্তর: ক. ৯
বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক।
ব্যাস ৩ গুণ হলে ব্যাসার্ধও ৩ গুণ হয়। তখন ক্ষেত্রফল হয় ৩ এর বর্গ, মানে ৯ গুণ।
উদাহরণ: ব্যাসার্ধ ১ হলে ক্ষেত্রফল পাই, ব্যাসার্ধ ৩ হলে ক্ষেত্রফল ৯ পাই।
ভাষাগত সূক্ষ্মতা: ‘তিনগুণ বৃদ্ধি’ কথাটি কঠোরভাবে ধরলে ক্ষেত্রফল আগের চেয়ে ৮ গুণ বেশি হয়, কিন্তু বিকল্পে ৮ নেই; পরীক্ষায় এর মানে ‘তিনগুণ করা’, তাই ক্ষেত্রফল ৯ গুণ। ব্যাস ৪ গুণ ধরলে ১৬ আসে, আর ব্যাস দ্বিগুণ হলে ৪; এগুলো এখানে প্রযোজ্য নয়।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য k গুণ হলে ক্ষেত্রফল k² গুণ, আয়তন k³ গুণ।
৩. গ.সা.গু. নির্ণয় করুন : 4a^2 - 1,2a^2 + a - 1 (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- কa + 1
- খ2a + 1
- গa - 1
- ঘ2a - 1
সঠিক উত্তর: ঘ. 2a - 1
বীজগাণিতিক রাশির গসাগু বের করতে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে ভাঙতে হয়, তারপর সাধারণ উৎপাদকগুলো নিতে হয়।
প্রথম রাশি ৪a বর্গ বিয়োগ ১ হলো দুই বর্গের অন্তর: ২a এর বর্গ বিয়োগ ১ এর বর্গ। তাই এটি সমান ২a যোগ ১ গুণ ২a বিয়োগ ১।
দ্বিতীয় রাশি ২a বর্গ যোগ a বিয়োগ ১। মধ্যপদ বিভাজন করে লিখি ২a বর্গ যোগ ২a বিয়োগ a বিয়োগ ১, যা ভাঙলে হয় a যোগ ১ গুণ ২a বিয়োগ ১।
দুটিতেই সাধারণ উৎপাদক ২a বিয়োগ ১, তাই গসাগু ২a বিয়োগ ১। প্রথম রাশিতে ২a যোগ ১ আর দ্বিতীয়টিতে a যোগ ১ দেখে সেগুলো বেছে নেওয়া ফাঁদ; সেগুলো দুটিতে একসাথে নেই।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে যাচাই করুন: a = ½ বসালে দুটি রাশিই শূন্য হয়, তাই (2a − 1) দুটিরই উৎপাদক।
৪. ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করল। খুঁটিটি মাটি হতে কত উঁচুতে ভেঙেছিল? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৩ ফুট
- খ১২ ফুট
- গ৯ ফুট
- ঘ৬ ফুট
সঠিক উত্তর: ঘ. ৬ ফুট
খুঁটি ভেঙে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়। খাড়া অবশিষ্ট অংশ হলো লম্ব, ভাঙা অংশ হলো অতিভুজ, আর মাটি হলো ভূমি। ভাঙা অংশ মাটির সঙ্গে ৩০ ডিগ্রি কোণ করেছে।
ধরি খুঁটি মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে ভেঙেছে। তাহলে ভাঙা অংশ, মানে অতিভুজ, ১৮ বিয়োগ h ফুট।
৩০ ডিগ্রি কোণের বিপরীত বাহু লম্ব। সাইন ৩০ সমান ১ ভাগ ২, তাই লম্ব হবে অতিভুজের অর্ধেক: h সমান ১৮ বিয়োগ h এর অর্ধেক। সমাধান করলে ২h সমান ১৮ বিয়োগ h, অর্থাৎ ৩h সমান ১৮, h সমান ৬ ফুট।
যাচাই: ভাঙা অংশ ১২ ফুট, তার অর্ধেক ৬। ১২ ফুট বিকল্পটি ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য, উচ্চতা নয়; এটাই ফাঁদ।
মনে রাখুন: ৩০ ডিগ্রি হলে লম্ব অতিভুজের অর্ধেক; তাই মোট দৈর্ঘ্যের এক-তৃতীয়াংশ উঁচুতে ভাঙে: ১৮ ÷ ৩ = ৬।
৫. কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোন তিনটির সমষ্টি কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৩৬০°
- খ১৮০°
- গ১৬০°
- ঘ২৭০°
সঠিক উত্তর: ক. ৩৬০°
ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু একদিকে বাড়ালে প্রতিটি শীর্ষে একটি বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়। বহিঃস্থ কোণ আর তার পাশের অন্তঃস্থ কোণ মিলে একটি সরলরেখা, মানে ১৮০ ডিগ্রি।
তিনটি শীর্ষে এমন তিনটি জোড়া, তাই মোট ৩ গুণ ১৮০, মানে ৫৪০ ডিগ্রি।
এর মধ্যে তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। বাদ দিলে বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৫৪০ বিয়োগ ১৮০, মানে ৩৬০ ডিগ্রি।
অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি মনে পড়ে বলে অনেকে সেটাই লিখে ফেলেন; এটাই প্রধান ফাঁদ। যে কোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি সবসময় ৩৬০ ডিগ্রি।
মনে রাখুন: যে কোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।
৬. ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে R-দুইটি পাশাপাশি থাকবে না? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৩৬০
- খ৯৪০
- গ৯০০
- ঘ১২৬০
সঠিক উত্তর: গ. ৯০০
ARRANGE শব্দে মোট ৭টি বর্ণ: A দুবার, R দুবার, আর N, G, E একবার করে। একই বর্ণ পুনরাবৃত্ত হলে মোট বিন্যাস হয় ৭ এর ফ্যাক্টোরিয়ালকে প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করে।
মোট বিন্যাস: ৭ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২ ফ্যাক্টোরিয়াল গুণ ২ ফ্যাক্টোরিয়াল, মানে ৫০৪০ ভাগ ৪, সমান ১২৬০।
এবার দুটি R একসাথে থাকে এমন বিন্যাস গুনি। দুই R-কে এক বর্ণ ধরলে মোট ৬টি একক, যার মধ্যে A দুবার। বিন্যাস: ৬ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২ ফ্যাক্টোরিয়াল, মানে ৭২০ ভাগ ২, সমান ৩৬০।
R দুটি পাশাপাশি নয় এমন বিন্যাস তাই ১২৬০ বিয়োগ ৩৬০, সমান ৯০০। ৩৬০ হলো পাশাপাশি থাকার সংখ্যা আর ১২৬০ মোট সংখ্যা; এ দুটিই ফাঁদ।
মনে রাখুন: ‘পাশাপাশি নয়’ = মোট − ‘পাশাপাশি’; দুটোই পুনরাবৃত্তি দিয়ে ভাগ করতে ভুলবেন না।
৭. (a^2b^3)/(c^2d) কে (a^3b^2)/(cd^3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক(ab^2)/ca
- খ(ab^2)/cd
- গ(b^2c)/ad
- ঘ(bd^2)/ac
সঠিক উত্তর: ঘ. (bd^2)/ac
ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করতে দ্বিতীয়টিকে উল্টে গুণ করতে হয়। তারপর একই ভিত্তির ঘাত বিয়োগ করে সরল করি।
প্রথম রাশি a বর্গ b ঘন ভাগ c বর্গ d। দ্বিতীয়টির উল্টো c d ঘন ভাগ a ঘন b বর্গ। গুণ করলে লবে a বর্গ, b ঘন, c, d ঘন; হরে c বর্গ, d, a ঘন, b বর্গ।
এখন প্রতিটি অক্ষরের ঘাত মিলাই: a-তে লবে ২, হরে ৩, তাই হরে একটি a থাকে। b-তে লবে ৩, হরে ২, তাই লবে একটি b। c-তে হরে একটি c থাকে। d-তে লবে ৩, হরে ১, তাই লবে d বর্গ।
ফল: b d বর্গ ভাগ a c। অনেকে দ্বিতীয় ভগ্নাংশ না উল্টে সরাসরি ভাগ করতে গিয়ে ঘাত গুলিয়ে ফেলেন, তখন উত্তরে b বর্গ চলে আসে।
মনে রাখুন: প্রতিটি অক্ষরের জন্য: প্রথম রাশির ঘাত − দ্বিতীয় রাশির ঘাত। a: ২−৩ = −১, b: ৩−২ = ১, c: −২−(−১) = −১, d: −১−(−৩) = ২।
৮. ৫/৬ এর ৬/৭ ÷ ১ ৩/৭ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল ১ হবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক২/৩
- খ১/৪
- গ১/২
- ঘ১/৩
সঠিক উত্তর: গ. ১/২
এখানে ভগ্নাংশের সরলীকরণ করতে হবে, তারপর দেখতে হবে ১ পূর্ণ হতে কত বাকি। ‘এর’ মানে গুণ, আর ভাগের আগে গুণটা সেরে নিতে হয়।
৫ ভাগ ৬ এর ৬ ভাগ ৭ মানে দুটো গুণ করা; ৬ কাটাকাটি হয়ে থাকে ৫ ভাগ ৭। এক পূর্ণ ৩ ভাগ ৭ কে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে নিলে হয় ১০ ভাগ ৭।
এখন ৫ ভাগ ৭ কে ১০ ভাগ ৭ দিয়ে ভাগ করি। ভাগ মানে উল্টে গুণ: ৫ ভাগ ৭ গুণ ৭ ভাগ ১০, ফল ১ ভাগ ২।
যোগফল ১ করতে ১ ভাগ ২ এর সাথে আরও ১ ভাগ ২ লাগবে। যারা ভাগ না করে শুধু ৫ ভাগ ৭ নিয়ে হিসাব করেন বা মিশ্র ভগ্নাংশকে ভুলভাবে ভাঙেন, তারা অন্য উত্তরে যান।
মনে রাখুন: সমান হর ৭ থাকায় ৫/৭ ÷ ১০/৭ সরাসরি ৫ ÷ ১০ = ১/২।
৯. ৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৪০%
- খ৩৫%
- গ২৫%
- ঘ৩৭ ১/২ %
সঠিক উত্তর: ক. ৪০%
‘ক, খ এর শতকরা কত’ মানে ক কে খ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করতে হবে। এখানে ক হলো ৩০ টাকা আর খ হলো ৭৫ টাকা।
৩০ ভাগ ৭৫ কে সরল করলে হয় ২ ভাগ ৫। একে ১০০ দিয়ে গুণ করলে পাই ৪০, অর্থাৎ ৪০ শতাংশ।
যাচাই: ৭৫ এর ৪০ শতাংশ হলো ৭৫ গুণ ৪০ ভাগ ১০০, মানে ৩০ টাকা। মিলে গেল।
উল্টো ভাগ করলে, মানে ৭৫ কে ৩০ দিয়ে ভাগ করলে ২৫০ শতাংশ আসে; যার শতকরা জানতে চাওয়া হয়েছে, সেটাই সবসময় হরে বসে।
মনে রাখুন: ৭৫ এর ১০% = ৭.৫; ৩০ হলো ৭.৫ এর ৪ গুণ, তাই ৪০%।
১০. একটি স্কুলের ৭০% ছাত্র ফুটবল, ৭৫% ছাত্র হকি এবং ৮০% ছাত্র ক্রিকেট পছন্দ করে। ঐ স্কুলের কত শতাংশ ছাত্র ০৩টি খেলাই পছন্দ করে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৩৫%
- খ৫০%
- গ২৫%
- ঘ৩০%
সঠিক উত্তর: গ. ২৫%
এই ধরনের প্রশ্নে আসলে জানতে চাওয়া হয় কমপক্ষে কত শতাংশ ছাত্র তিনটি খেলাই পছন্দ করে। নিয়ম হলো: শতাংশগুলো যোগ করে তা থেকে ২০০ বাদ দেওয়া, কারণ তিনটি দলের ক্ষেত্রে বাদ দিতে হয় দুইবার ১০০।
কেন এমন হয়, দেখি। ফুটবল পছন্দ করে না ৩০ শতাংশ, হকি পছন্দ করে না ২৫ শতাংশ, ক্রিকেট পছন্দ করে না ২০ শতাংশ। সবচেয়ে খারাপ অবস্থায় এরা সবাই আলাদা ছাত্র হলে, অন্তত একটা খেলা অপছন্দ করে মোট ৭৫ শতাংশ।
তাহলে বাকি অন্তত ২৫ শতাংশ ছাত্র তিনটি খেলাই পছন্দ করে। একই হিসাব সূত্রে: ৭০ যোগ ৭৫ যোগ ৮০ সমান ২২৫, তা থেকে ২০০ বাদ দিলে ২৫ শতাংশ।
দুই দলের প্রশ্নে ১০০ বাদ দিতে হয়, তিন দলে ২০০। তিন দলে ভুল করে ১০০ বাদ দিলে ১২৫ আসে, যা অসম্ভব; আর গড় নিয়ে হিসাব করাও এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: তিন দলের ন্যূনতম মিল = (মোট শতাংশের যোগফল) − ২০০ = ২২৫ − ২০০ = ২৫%।
১১. পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর। ৭ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৬ : ১। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৩ : ১
- খ৫ : ১
- গ৭ : ২
- ঘ৪ : ১
সঠিক উত্তর: ক. ৩ : ১
বয়সের প্রশ্নে মনে রাখার বিষয়: ৭ বছর আগে দুজনেরই বয়স ৭ করে কম ছিল, তাই তখন মোট বয়স ছিল ৭০ থেকে ১৪ কম, মানে ৫৬ বছর।
তখনকার অনুপাত ৬ অনুপাত ১, অর্থাৎ মোট ৭ ভাগ। ৫৬ কে ৭ ভাগ করলে প্রতি ভাগ ৮। তাই ৭ বছর আগে পিতার বয়স ছিল ৪৮ আর পুত্রের ৮।
এখন পিতার বয়স ৫৫, পুত্রের ১৫। ৫ বছর পর হবে ৬০ ও ২০, অনুপাত ৬০ অনুপাত ২০, মানে ৩ অনুপাত ১।
অনেকে ৭ বছর আগের মোট বয়স ৭০ ধরেই ভাগ করেন; তখন সংখ্যা মেলে না। আর ৫ বছর পরের বয়স না নিয়ে বর্তমান বয়সের অনুপাত, মানে ১১ অনুপাত ৩, বের করলেও ভুল হবে।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ৫ বছর পর মোট ৮০; ৩ : ১ হলে ৬০ ও ২০, ১২ বছর আগে ৪৮ ও ৮ = ৬ : ১। মিলে গেল।
১২. টাকায় ১০টি ও টাকায় ১৫টি করে সমান সংখ্যক লিচু কিনে সব লিচু টাকায় ১২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৩০% লাভ
- খলাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না
- গ২৫% লাভ
- ঘ২৫% ক্ষতি
সঠিক উত্তর: খ. লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না
প্রশ্নে বলা হয়েছে দুই দামে সমান সংখ্যক লিচু কেনা হয়েছে। তাই এমন একটা সংখ্যা ধরি যেটা ১০, ১৫ ও ১২ সবগুলো দিয়ে ভাগ যায়; এদের ল সা গু ৬০।
দুই দামে ৩০টি করে কিনি। টাকায় ১০টি দরে ৩০টির দাম ৩ টাকা, টাকায় ১৫টি দরে ৩০টির দাম ২ টাকা। মোট ৬০টি লিচু কিনতে খরচ ৫ টাকা।
৬০টি লিচু টাকায় ১২টি দরে বেচলে পাওয়া যায় ৬০ ভাগ ১২, মানে ৫ টাকা। কেনা ও বেচা দাম সমান, তাই লাভ বা ক্ষতি কিছুই হয় না।
ফাঁদ হলো দুই দরের গড় ১২ দশমিক ৫ ধরে নিয়ে লাভ বা ক্ষতি হিসাব করা। সমান সংখ্যক জিনিস কিনলে গড় দাম হয় হারমোনিক গড়ে, মানে ঠিক ১২টি টাকায়।
মনে রাখুন: সমান সংখ্যক কিনলে গড় দর = ২ × ১০ × ১৫ ÷ (১০ + ১৫) = ১২টি টাকায়; বেচা দরও ১২, তাই লাভ-ক্ষতি শূন্য।
১৩. (০.০০৪)^২ = ? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক০.০০৬
- খ০.০০১৬
- গ০.০০০১৬
- ঘ০.০০০০১৬
সঠিক উত্তর: ঘ. ০.০০০০১৬
দশমিক সংখ্যার বর্গ করার নিয়ম: দশমিক বাদ দিয়ে সাধারণ সংখ্যার মতো গুণ করুন, তারপর গুণফলে মোট যতগুলো দশমিক স্থান হওয়ার কথা, ততগুলো ঘর গুনে দশমিক বসান।
শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য চার সংখ্যাটিতে দশমিকের পরে ৩টি অঙ্ক। বর্গ করলে দশমিক স্থান হবে ৩ গুণ ২, মানে ৬টি।
৪ গুণ ৪ সমান ১৬। ১৬ কে ৬ দশমিক স্থানে বসাতে সামনে চারটি শূন্য লাগে: শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য এক ছয়।
অনেকে ৪ এর বর্গ ১৬ লিখে দশমিক স্থান ৪টি বা ৫টি ধরেন, তখন শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য এক ছয় বা শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য এক ছয় আসে। মনে রাখুন, বর্গ করলে দশমিক স্থান দ্বিগুণ হয়।
মনে রাখুন: (০.০০৪)² = (৪ × ১০⁻³)² = ১৬ × ১০⁻⁶ = ০.০০০০১৬।
১৪. ০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল কত হবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৫৩৪৪৪
- খ৫৩২৪৪
- গ৫৩৪৪২
- ঘ৫৩৪৪৬
সঠিক উত্তর: ক. ৫৩৪৪৪
প্রতিটি অঙ্ক একবার করে ব্যবহার করে পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা বানাতে অঙ্কগুলো বড় থেকে ছোট ক্রমে সাজাতে হয়: চার তিন দুই এক শূন্য, মানে ৪৩২১০।
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বানাতে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাতে হয়, কিন্তু শূন্য প্রথমে বসালে সংখ্যাটি পাঁচ অঙ্কের থাকে না। তাই প্রথমে সবচেয়ে ছোট অশূন্য অঙ্ক ১, তারপর শূন্য, তারপর বাকিগুলো: ১০২৩৪।
যোগফল ৪৩২১০ যোগ ১০২৩৪ সমান ৫৩৪৪৪।
ফাঁদ হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ০১২৩৪ ধরা, যা আসলে চার অঙ্কের। আর যোগে একটুখানি ভুল হলেই কাছাকাছি বিকল্পগুলো আসে, তাই শেষ অঙ্কগুলো সাবধানে মেলান।
মনে রাখুন: ক্ষুদ্রতমে শূন্য থাকলে সেটা দ্বিতীয় ঘরে বসে: ১০২৩৪।
১৫. একটি বর্গাকার জমির দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ালে এবং প্রস্থ ১০% কমালে ক্ষেত্রফল কতটুকু বৃদ্ধি/হ্রাস পাবে? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক৫% বৃদ্ধি
- খ১০% বৃদ্ধি
- গ৮% বৃদ্ধি
- ঘ২% বৃদ্ধি
সঠিক উত্তর: গ. ৮% বৃদ্ধি
ক্ষেত্রফল হলো দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, তাই দুটোর শতকরা পরিবর্তন যোগ করলে চলবে না, গুণ করতে হবে। সহজ উপায়: বর্গের বাহু ১০০ ধরি, তাহলে ক্ষেত্রফল ১০ হাজার।
দৈর্ঘ্য ২০ শতাংশ বাড়লে হয় ১২০, প্রস্থ ১০ শতাংশ কমলে হয় ৯০। নতুন ক্ষেত্রফল ১২০ গুণ ৯০, মানে ১০ হাজার ৮ শত।
আগের ১০ হাজারের তুলনায় বেড়েছে ৮ শত, যা ৮ শতাংশ। সূত্রেও আসে: ২০ বিয়োগ ১০ বিয়োগ ২০ গুণ ১০ ভাগ ১০০, মানে ১০ বিয়োগ ২, সমান ৮ শতাংশ বৃদ্ধি।
প্রধান ফাঁদ হলো ২০ থেকে ১০ বাদ দিয়ে ১০ শতাংশ বৃদ্ধি ধরা; এতে দুই পরিবর্তনের পারস্পরিক প্রভাব, মানে ২ শতাংশ, বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: মোট পরিবর্তন = a + b + ab/১০০ = ২০ − ১০ − ২ = ৮% বৃদ্ধি।
১৬. কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক১১/১৪
- খ১৭/২১
- গ৫/৬
- ঘ১২/১৫
সঠিক উত্তর: ক. ১১/১৪
ভগ্নাংশের তুলনার সহজ উপায় হলো প্রতিটিকে দশমিকে নেওয়া, অথবা ১ থেকে কত কম তা দেখা। যে ভগ্নাংশ ১ থেকে সবচেয়ে বেশি দূরে, সেটাই ক্ষুদ্রতম।
১১ ভাগ ১৪ এ ১ থেকে বাকি ৩ ভাগ ১৪, প্রায় শূন্য দশমিক ২১। ১৭ ভাগ ২১ এ বাকি ৪ ভাগ ২১, প্রায় শূন্য দশমিক ১৯। ৫ ভাগ ৬ এ বাকি ১ ভাগ ৬, প্রায় শূন্য দশমিক ১৭। ১২ ভাগ ১৫ এ বাকি ৩ ভাগ ১৫, মানে শূন্য দশমিক ২।
সবচেয়ে বেশি বাকি ১১ ভাগ ১৪ এর, তাই এটি ক্ষুদ্রতম; দশমিকে প্রায় শূন্য দশমিক ৭৯। বাকিগুলো যথাক্রমে প্রায় শূন্য দশমিক ৮১, শূন্য দশমিক ৮৩ এবং শূন্য দশমিক ৮।
১২ ভাগ ১৫ এর লব বড় দেখে অনেকে একে বড় ভাবেন, আবার সরল করলে ৪ ভাগ ৫ হয়, যা ১১ ভাগ ১৪ এর চেয়ে বড়; শুধু লব বা হর দেখে তুলনা করা যায় না।
মনে রাখুন: ১ থেকে ঘাটতি দেখুন: ৩/১৪ সবচেয়ে বড় ঘাটতি, তাই ১১/১৪ সবচেয়ে ছোট।
১৭. দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু, ৩৬ এবং গ.সা.গু. ০৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক১৮
- খ৯
- গ১২
- ঘ১৫
সঠিক উত্তর: ক. ১৮
দুটি সংখ্যার গুণফল সবসময় তাদের ল সা গু ও গ সা গু এর গুণফলের সমান। এই সূত্রটাই এখানে সবচেয়ে দ্রুত পথ।
ল সা গু ৩৬ এবং গ সা গু ৬, তাই দুই সংখ্যার গুণফল ৩৬ গুণ ৬, মানে ২১৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি ২১৬ ভাগ ১২, মানে ১৮।
যাচাই: ১২ ও ১৮ এর গ সা গু ৬ এবং ল সা গু ৩৬। মিলে গেল।
৯ বা ১৫ নিলে গ সা গু ৬ হয় না, কারণ ৯ ও ১৫ ছয় দিয়ে বিভাজ্য নয়; আর ১২ নিলে ল সা গু ১২ হয়ে যায়।
মনে রাখুন: অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু ÷ প্রদত্ত সংখ্যা = ৩৬ × ৬ ÷ ১২ = ১৮।
১৮. (a - b + b(a - b))/(a - b) =? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৬)
- ক1 + b
- খ((1 - b)(a - b))/(a - b)
- গ(1 + b)/(1 - b)
- ঘa + b
সঠিক উত্তর: ক. 1 + b
লবের দুটি পদেই a বিয়োগ b আছে। তাই প্রথম কাজ হলো a বিয়োগ b কে সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বাইরে আনা।
লব হলো a বিয়োগ b যোগ b গুণ a বিয়োগ b। প্রথম পদকে ১ গুণ a বিয়োগ b লিখলে লব হয় a বিয়োগ b গুণ ১ যোগ b।
এখন লব ও হর থেকে a বিয়োগ b কেটে গেলে থাকে ১ যোগ b। শর্ত হলো a ও b সমান নয়, কারণ তাহলে হর শূন্য হয়ে যেত।
অনেকে b গুণ a বিয়োগ b খোলার সময় চিহ্ন ভুল করে ১ বিয়োগ b পান; আর লবের প্রথম পদকে ১ গুণ না ধরলে a যোগ b জাতীয় ভুল আসে।
মনে রাখুন: দ্রুত যাচাই: a = 3, b = 1 বসালে (2 + 2) ÷ 2 = 2, আর 1 + b = 2। মিলে গেল।
১৯. a^( - 3) = 0.2 হলে a^12 এর মান কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ৩য় ধাপ, ২০২৪)
- ক525
- খ125
- গ625
- ঘ526
সঠিক উত্তর: গ. 625
প্রশ্নটা সূচকের নিয়ম নিয়ে। ঋণাত্মক সূচক মানে উল্টো ভগ্নাংশ: a-এর ঘাত ঋণাত্মক ৩ মানে ১ ভাগ a-এর ঘাত ৩।
তাই ১ ভাগ a-এর ঘাত ৩ সমান ০ দশমিক ২, মানে ১ ভাগ ৫। দুই দিক উল্টালে a-এর ঘাত ৩ সমান ৫।
এখন a-এর ঘাত ১২ হলো a-এর ঘাত ৩-এর ঘাত ৪, কারণ ৩ গুণ ৪ সমান ১২। তাই উত্তর ৫-এর ঘাত ৪, মানে ৫ গুণ ৫ গুণ ৫ গুণ ৫, সমান ৬২৫।
ফাঁদ হলো ১২৫, যা ৫-এর ঘাত ৩। ঘাত ৪ না নিয়ে ৩ নিলে এই ভুল হয়।
মনে রাখুন: a⁻³ = ০.২ মানে a³ = ৫; আর a¹² = (a³)⁴ = ৫⁴।
২০. যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান কত? (প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা, ৩য় ধাপ, ২০২৪)
- ক1,1
- খ-1,3
- গ-3,-4
- ঘ0,2
সঠিক উত্তর: ক. 1,1
প্রশ্নটা দুটি সংখ্যার যোগফল আর গুণফল থেকে সংখ্যা দুটি বের করা নিয়ে। সবচেয়ে সহজ উপায় হলো অপশন যাচাই: যে জোড়ার যোগফল ২ এবং গুণফল ১, সেটাই উত্তর।
১ আর ১: যোগফল ২, গুণফল ১, দুটো শর্তই মেলে। বীজগণিত দিয়েও দেখা যায়: a ও b হলো x² বিয়োগ ২x যোগ ১ সমান শূন্য সমীকরণের মূল, যা আসলে x বিয়োগ ১-এর বর্গ।
আরেকভাবে: a বিয়োগ b-এর বর্গ সমান a যোগ b-এর বর্গ বিয়োগ ৪ab, মানে ৪ বিয়োগ ৪ সমান শূন্য। তাই a সমান b, আর যোগফল ২ বলে দুটোই ১।
ফাঁদ হলো শূন্য আর ২, বা ঋণাত্মক ১ আর ৩: এদের যোগফল ২ ঠিকই, কিন্তু গুণফল ১ নয়। দুটো শর্তই যাচাই করতে হবে।
মনে রাখুন: অপশনে যোগফল ও গুণফল দুটোই মিলিয়ে দেখুন; এক শর্ত মিললেই উত্তর নয়।