গাণিতিক যুক্তি

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ১/২ · প্রশ্ন ১–২০সব উত্তর দেখান

১. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে ৫ সংখ্যাটি কতবার আসে? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক১০
2. খ১১
3. গ১৮
4. ঘ২০
সঠিক উত্তর: ঘ. ২০
প্রশ্নটি অঙ্ক ৫ কতবার লেখা হয় তা জানতে চায়, ৫ আছে এমন সংখ্যা কয়টি তা নয়। তাই এককের ঘর আর দশকের ঘর আলাদা করে গুনতে হবে।
এককের ঘরে ৫ আসে ৫, ১৫, ২৫ থেকে ৯৫ পর্যন্ত, প্রতি দশে একবার, মোট ১০ বার। দশকের ঘরে ৫ আসে ৫০ থেকে ৫৯ পর্যন্ত, মোট ১০ বার।
দুটো যোগ করলে ১০ যোগ ১০, মোট ২০ বার। ৫৫ সংখ্যায় ৫ দুবার লেখা হয়, আর দুই ঘরের হিসাবে সেটা দুবারই গোনা হয়েছে, যা ঠিক।
ফাঁদ ১০: শুধু এককের ঘর গুনে থেমে গেলে ১০ আসে। আবার ৫ আছে এমন সংখ্যা গুনলে ১৯টি হয়, কারণ ৫৫ একটি সংখ্যা; কিন্তু প্রশ্ন জানতে চায় অঙ্কটি কতবার লেখা হয়, তাই ২০।
মনে রাখুন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ২ থেকে ৯ যেকোনো অঙ্ক ঠিক ২০ বার আসে; ১ আসে ২১ বার, কারণ ১০০-তেও একটি ১।
পুরো পাতা ›
২. ২, ৩, ৪ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৫ দ্বারা বিভাজ্য নয় কোনটি? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক১৩৮
2. খ৬৪৪
3. গ১০২২
4. ঘ১৪২৮
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৪২৮
কোনো সংখ্যা ২, ৩, ৪ ও ৬ দিয়ে বিভাজ্য হতে হলে এদের ল.সা.গু. ১২ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। তাই প্রতিটি অপশন ৪ ও ৩-এর নিয়মে পরীক্ষা করলেই হবে।
৪ দিয়ে বিভাজ্যতার নিয়ম: শেষ দুই অঙ্ক ৪ দিয়ে ভাগ যায়। ৩ দিয়ে বিভাজ্যতার নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে ভাগ যায়।
১৩৮-এর শেষ দুই অঙ্ক ৩৮, ৪ দিয়ে যায় না। ৬৪৪-এর অঙ্কের যোগফল ১৪, ৩ দিয়ে যায় না। ১০২২-এর শেষ দুই অঙ্ক ২২, ৪ দিয়ে যায় না। ১৪২৮-এর শেষ দুই অঙ্ক ২৮, ৪ দিয়ে যায়, আর অঙ্কের যোগফল ১৫, ৩ দিয়ে যায়।
শেষে ৫-এর শর্ত: ১৪২৮-এর শেষ অঙ্ক ৮, তাই ৫ দিয়ে বিভাজ্য নয়। ১৪২৮ ভাগ ১২ সমান ১১৯, তাই এটিই উত্তর।
মনে রাখুন: অনেকগুলো ভাজক থাকলে তাদের ল.সা.গু. নিন; ১২ মানে শুধু ৩ আর ৪ পরীক্ষা করলেই চলে।
পুরো পাতা ›
৩. একটি ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র আছে যাদের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কত জন উভয়টিই খেলে? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক৩
2. খ৫
3. গ৭
4. ঘ৯
সঠিক উত্তর: গ. ৭
এটি দুটি সেটের ছেদ বের করার প্রশ্ন। প্রথমে যারা কিছুই খেলে না তাদের বাদ দিই: ৩০ থেকে ৫ বাদ, মানে ২৫ জন অন্তত একটি খেলা খেলে।
ফুটবল আর ক্রিকেটের সংখ্যা যোগ করলে ১৮ যোগ ১৪, মোট ৩২। কিন্তু খেলোয়াড় আছে মাত্র ২৫ জন। অতিরিক্ত ৭ জন দুবার গোনা হয়েছে, কারণ তারা দুটোই খেলে।
সূত্র: দুই খেলার মোট খেলোয়াড় সমান ফুটবল যোগ ক্রিকেট বিয়োগ উভয়। তাই উভয় সমান ১৮ যোগ ১৪ বিয়োগ ২৫, অর্থাৎ ৭ জন।
যাচাই: শুধু ফুটবল ১১, শুধু ক্রিকেট ৭, উভয় ৭, কিছুই না ৫; যোগ ৩০। ফাঁদ ৫: যারা কিছুই খেলে না তাদের সংখ্যাকেই অনেকে উত্তর ভাবেন।
মনে রাখুন: উভয় = প্রথম + দ্বিতীয় − (মোট − কোনোটিই না) = ১৮ + ১৪ − ২৫ = ৭।
পুরো পাতা ›
৪. ৮% মুনাফায় কত টাকা জমা রাখলে ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৫২০০ টাকা হবে? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক৪৫৫৮.১৬ টাকা
2. খ৪৪৫৮.১৬ টাকা
3. গ৪০৪০.৭৫ টাকা
4. ঘ৫০৫০.৬০ টাকা
সঠিক উত্তর: খ. ৪৪৫৮.১৬ টাকা
চক্রবৃদ্ধিতে প্রতি বছর মুনাফা মূলধনের সঙ্গে যোগ হয়। সূত্র: চক্রবৃদ্ধি মূলধন সমান আসল গুণ এক যোগ মুনাফার হার, তার ঘাত বছরের সংখ্যা।
এখানে হার ৮ শতাংশ, মানে ১ দশমিক ০৮, আর সময় ২ বছর। ১ দশমিক ০৮-এর বর্গ ১ দশমিক ১৬৬৪। তাই আসল গুণ ১ দশমিক ১৬৬৪ সমান ৫২০০।
আসল সমান ৫২০০ ভাগ ১ দশমিক ১৬৬৪, যা প্রায় ৪৪৫৮ দশমিক ১৬ টাকা। যাচাই: ৪৪৫৮ দশমিক ১৬-এর উপর প্রথম বছরে ৮ শতাংশ যোগে প্রায় ৪৮১৪ দশমিক ৮১ টাকা, দ্বিতীয় বছরে আরও ৮ শতাংশ যোগে ৫২০০।
ফাঁদ ৪৫৫৮ দশমিক ১৬: অঙ্কগুলো প্রায় একই, শুধু একটি অঙ্ক বদলানো। অন্য ফাঁদ সরল মুনাফা ধরা: তাতে ৫২০০ ভাগ ১ দশমিক ১৬, প্রায় ৪৪৮২ আসে, যা কোনো অপশনে নেই।
মনে রাখুন: অপশন থেকে উল্টো যাচাই: ৪৪৫৮.১৬ × ১.১৬৬৪ ≈ ৫২০০ হলে উত্তর মিলে গেল।
পুরো পাতা ›
৫. ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক1/1000
2. খ1/10000
3. গ1/1000000
4. ঘ1/100
সঠিক উত্তর: গ. 1/1000000
একক রূপান্তরের প্রশ্নে দুটি পরিমাপকে একই এককে আনতে হয়। ১ কিলোমিটার সমান ১০০০ মিটার, আর ১ মিটার সমান ১০০০ মিলিমিটার।
তাই ১ কিলোমিটার সমান ১০০০ গুণ ১০০০, অর্থাৎ ১০ লক্ষ মিলিমিটার। ১ মিলিমিটার তাহলে ১ কিলোমিটারের ১০ লক্ষ ভাগের ১ ভাগ।
দশমিক পদ্ধতিতে কিলো মানে ১০০০ আর মিলি মানে ১০০০ ভাগের ১। কিলো থেকে মিলিতে যেতে দুটো ধাপ, প্রতিটিতে ১০০০, তাই মোট ১০ লক্ষ।
ফাঁদ ১ ভাগ ১০০০: মিলি শব্দ দেখে অনেকে সরাসরি হাজার ভাগের এক ধরে নেন। কিন্তু সেটা মিটারের তুলনায়, কিলোমিটারের নয়।
মনে রাখুন: কিলো থেকে মিলি দুই ধাপ, প্রতিটিতে ১০০০: মোট ১০⁶।
পুরো পাতা ›
৬. পানি ও চিনির একটি ৫০ লিটারের মিশ্রণে চিনির পরিমাণ ৩ শতাংশ। মিশ্রণটি থেকে কতটুকু পানি বাষ্পীভূত করলে চিনির পরিমাণ ৫ শতাংশতে বৃদ্ধি পাবে? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক১০ লিটার
2. খ১৬ লিটার
3. গ১৮ লিটার
4. ঘ২০ লিটার
সঠিক উত্তর: ঘ. ২০ লিটার
বাষ্পীভবনে শুধু পানি উড়ে যায়, চিনির পরিমাণ একই থাকে। তাই এ ধরনের প্রশ্নে যে জিনিস বদলায় না, সেটাকে ধরে হিসাব করতে হয়।
শুরুতে ৫০ লিটারের ৩ শতাংশ চিনি, মানে ১ দশমিক ৫ লিটার। পানি কমার পরও চিনি ১ দশমিক ৫ লিটারই থাকবে।
এখন এই ১ দশমিক ৫ লিটার যদি নতুন মিশ্রণের ৫ শতাংশ হয়, তবে নতুন মিশ্রণ হবে ১ দশমিক ৫ ভাগ ৫ গুণ ১০০, অর্থাৎ ৩০ লিটার। তাই বাষ্পীভূত পানি ৫০ বিয়োগ ৩০, মানে ২০ লিটার।
ফাঁদ ১৬ বা ১৮ লিটার: শতাংশের পার্থক্য ২ ধরে সরাসরি অনুপাত বসালে ভুল সংখ্যা আসে। সবসময় অপরিবর্তিত অংশ থেকে নতুন মোট বের করুন।
মনে রাখুন: নতুন মোট = পুরোনো মোট × পুরোনো % ÷ নতুন % = ৫০ × ৩ ÷ ৫ = ৩০; উড়ে গেছে ২০।
পুরো পাতা ›
৭. একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৮, ১২ ও ২৪ ঘন্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক৪ ঘন্টা
2. খ৫ ঘন্টা
3. গ৩ ঘন্টা
4. ঘ২ ঘন্টা
সঠিক উত্তর: গ. ৩ ঘন্টা
নল ও চৌবাচ্চার প্রশ্নে প্রতিটি নল এক ঘণ্টায় চৌবাচ্চার কত অংশ পূর্ণ করে, সেটা বের করে যোগ করতে হয়।
প্রথম নল ঘণ্টায় ৮ ভাগের ১, দ্বিতীয় ১২ ভাগের ১, তৃতীয় ২৪ ভাগের ১ অংশ পূর্ণ করে। ২৪ দিয়ে হর মিলিয়ে নিলে ৩ যোগ ২ যোগ ১, মানে ২৪ ভাগের ৬, অর্থাৎ ৪ ভাগের ১।
তিনটি নল একসঙ্গে ঘণ্টায় চৌবাচ্চার এক-চতুর্থাংশ ভরে, তাই পুরোটা ভরতে লাগে ৪ ঘণ্টা। তিন-চতুর্থাংশ ভরতে লাগবে ৪ গুণ ৩ ভাগ ৪, অর্থাৎ ৩ ঘণ্টা।
ফাঁদ ৪ ঘণ্টা: পুরো চৌবাচ্চার সময় বের করেই অনেকে থেমে যান, প্রশ্নের তিন-চতুর্থাংশ শর্ত ভুলে যান।
মনে রাখুন: চৌবাচ্চাকে সময়গুলোর ল.সা.গু. (২৪) একক ধরুন; ভগ্নাংশ ছাড়াই হিসাব হয়।
পুরো পাতা ›
৮. যদি ২ জন পুরুষ অথবা ৩ জন মহিলা অথবা ৪ জন বালক একটি কাজ ৫২ দিনে করতে পারে তবে একই কাজ ১ জন পুরুষ, ১ জন মহিলা এবং ১ জন বালক কত দিনে করতে পারবে? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক৪৮ দিনে
2. খ৩৬ দিনে
3. গ৪৫ দিনে
4. ঘ৫০ দিনে
সঠিক উত্তর: ক. ৪৮ দিনে
কাজের প্রশ্নে সবাইকে এক ধরনের কর্মীতে রূপান্তর করলে হিসাব সহজ হয়। ২ জন পুরুষ, ৩ জন মহিলা আর ৪ জন বালক একই কাজ একই সময়ে করে, তাই এরা সমান সমান।
২ জন পুরুষ সমান ৪ জন বালক, তাই ১ জন পুরুষ সমান ২ জন বালক। ৩ জন মহিলা সমান ৪ জন বালক, তাই ১ জন মহিলা সমান ৪ ভাগ ৩ জন বালক।
তাহলে ১ পুরুষ, ১ মহিলা আর ১ বালক মিলে হয় ২ যোগ ৪ ভাগ ৩ যোগ ১, মোট ১৩ ভাগ ৩ জন বালকের সমান। ৪ জন বালক কাজটি করে ৫২ দিনে, তাই কাজটি মোট ২০৮ বালক-দিন।
১৩ ভাগ ৩ জন বালকের লাগবে ২০৮ ভাগ ১৩ ভাগ ৩, অর্থাৎ ২০৮ গুণ ৩ ভাগ ১৩, মানে ৪৮ দিন। লোক তিনজন বলে সময় ৫২-এর কিছু কম হবে, এটা বুঝলেই ৪৮ আঁচ করা যায়।
মনে রাখুন: দিনে কাজের হার যোগ করুন: ১/১০৪ + ১/১৫৬ + ১/২০৮ = ১৩/৬২৪ = ১/৪৮, তাই ৪৮ দিন।
পুরো পাতা ›
৯. a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়? (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. কab
2. খb+2a+2
3. গa+b+1
4. ঘ2a+4b
সঠিক উত্তর: ঘ. 2a+4b
জোড়-বিজোড়ের নিয়ম: বিজোড় যোগ বিজোড় সমান জোড়, জোড় যোগ বিজোড় সমান বিজোড়, বিজোড় গুণ বিজোড় সমান বিজোড়, আর যেকোনো সংখ্যাকে জোড় দিয়ে গুণ করলে জোড়।
২a আর ৪b দুটোই জোড়, কারণ ২ বা ৪ দিয়ে গুণ করলে যেকোনো সংখ্যা জোড় হয়। জোড় যোগ জোড় সমান জোড়, তাই ২a যোগ ৪b সবসময় জোড়।
অন্যগুলো দেখি। ab হলো বিজোড় গুণ বিজোড়, তাই বিজোড়। b যোগ ২a যোগ ২ হলো বিজোড় যোগ জোড় যোগ জোড়, তাই বিজোড়। a যোগ b যোগ ১ হলো জোড় যোগ ১, তাই বিজোড়।
দ্রুত যাচাইয়ের জন্য a সমান ১, b সমান ৩ বসান: ab সমান ৩, b যোগ ২a যোগ ২ সমান ৭, a যোগ b যোগ ১ সমান ৫, আর ২a যোগ ৪b সমান ১৪। শুধু শেষটি জোড়।
মনে রাখুন: যে রাশির প্রতিটি পদে জোড় গুণক (২, ৪) আছে, সেটি সবসময় জোড়।
পুরো পাতা ›
১০. পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স- (এনএসআই ফিল্ড অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২৩)
1. ক৯ বছর
2. খ১৪ বছর
3. গ১৫ বছর
4. ঘ১৮ বছর
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৮ বছর
গড়ের প্রশ্নে সবসময় গড়কে মোটে রূপান্তর করতে হয়: মোট সমান গড় গুণ সংখ্যা।
পিতা ও মাতার গড় ৪৫, তাই দুজনের মোট বয়স ৪৫ গুণ ২, মানে ৯০ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের গড় ৩৬, তাই তিনজনের মোট ৩৬ গুণ ৩, মানে ১০৮ বছর।
দুই মোটের পার্থক্যই পুত্রের বয়স: ১০৮ বিয়োগ ৯০ সমান ১৮ বছর।
ফাঁদ ৯ বছর: দুই গড়ের পার্থক্য ৪৫ বিয়োগ ৩৬ সমান ৯ দেখে অনেকে সেটাকেই উত্তর ধরেন। গড় বিয়োগ করলে চলে না, মোট বিয়োগ করতে হয়।
মনে রাখুন: নতুন সদস্যের মান = নতুন গড় × নতুন সংখ্যা − পুরোনো গড় × পুরোনো সংখ্যা।
পুরো পাতা ›
১১. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5: 7 এবং গ.সা.গু 4 হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক150
2. খ140
3. গ160
4. ঘ155
সঠিক উত্তর: খ. 140
প্রশ্নটা অনুপাত আর গ.সা.গু থেকে ল.সা.গু বের করতে বলেছে। দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ অনুপাত ৭ মানে সংখ্যা দুটি ৫ গুণ কিছু আর ৭ গুণ সেই একই কিছু। সেই সাধারণ গুণকটাই গ.সা.গু, কারণ ৫ আর ৭ পরস্পর সহমৌলিক।
গ.সা.গু ৪ হওয়ায় সংখ্যা দুটি ৫ গুণ ৪, মানে ২০, আর ৭ গুণ ৪, মানে ২৮।
এখন ল.সা.গু বের করার সহজ সূত্র: দুটি সংখ্যার গুণফল সমান তাদের গ.সা.গু আর ল.সা.গু-র গুণফল। ২০ গুণ ২৮ হলো ৫৬০, একে গ.সা.গু ৪ দিয়ে ভাগ করলে ল.সা.গু ১৪০।
আরও দ্রুত পথ: ল.সা.গু সমান অনুপাতের দুই পদের গুণফল গুণ গ.সা.গু, অর্থাৎ ৫ গুণ ৭ গুণ ৪, মানে ১৪০। অনেকে শুধু ২০ আর ২৮ যোগ বা অন্য হিসাব করে কাছাকাছি সংখ্যায় আটকে যান।
মনে রাখুন: অনুপাত a:b (সহমৌলিক) আর গ.সা.গু h হলে ল.সা.গু = a × b × h। এখানে ৫ × ৭ × ৪ = ১৪০।
পুরো পাতা ›
১২. দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে_____বলে। (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. কস্থূলকোণ
2. খপূরক কোণ
3. গসম্পূরক কোণ
4. ঘপ্রবৃদ্ধ কোণ
সঠিক উত্তর: ঘ. প্রবৃদ্ধ কোণ
প্রশ্নটা কোণের প্রকারভেদ যাচাই করছে। এক সমকোণ মানে ৯০ ডিগ্রি; তাই দুই সমকোণ ১৮০ ডিগ্রি আর চার সমকোণ ৩৬০ ডিগ্রি। ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রির চেয়ে ছোট কোণকে বলে প্রবৃদ্ধ কোণ।
কোণের মাপ অনুযায়ী নামগুলো ধারাবাহিকভাবে মনে রাখুন: ৯০ ডিগ্রির কম সূক্ষ্মকোণ, ঠিক ৯০ সমকোণ, ৯০ থেকে ১৮০-এর মধ্যে স্থূলকোণ, ঠিক ১৮০ সরলকোণ, ১৮০ থেকে ৩৬০-এর মধ্যে প্রবৃদ্ধ কোণ, আর ৩৬০ হলে পূর্ণকোণ।
পূরক আর সম্পূরক কোণ কোনো একক কোণের নাম নয়, এগুলো দুটি কোণের সম্পর্ক। দুটি কোণের যোগফল ৯০ ডিগ্রি হলে তারা পূরক, আর ১৮০ ডিগ্রি হলে সম্পূরক।
স্থূলকোণ এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট; সংখ্যা গুলিয়ে গেলে এটাই সবচেয়ে বেশি বেছে নেওয়া ভুল উত্তর।
মনে রাখুন: সমকোণকে ৯০ ডিগ্রিতে বদলে নিন, তারপর মাপের তালিকা থেকে নাম মেলান।
পুরো পাতা ›
১৩. 7 + 12 + 17 + … ধারার ৩০টি পদের সমষ্টি কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক2245
2. খ2385
3. গ2428
4. ঘ2529
সঠিক উত্তর: খ. 2385
প্রশ্নটা একটি সমান্তর ধারার প্রথম ৩০টি পদের যোগফল চেয়েছে। ধারাটি ৭, ১২, ১৭; প্রতিবার ৫ করে বাড়ছে, তাই প্রথম পদ ৭ আর সাধারণ অন্তর ৫।
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র: পদসংখ্যা ভাগ ২, গুণ দুই গুণ প্রথম পদ যোগ পদসংখ্যা থেকে এক কম গুণ সাধারণ অন্তর। এখানে ৩০ ভাগ ২ হলো ১৫; দুই গুণ ৭ হলো ১৪; ২৯ গুণ ৫ হলো ১৪৫; ১৪ যোগ ১৪৫ হলো ১৫৯।
এরপর ১৫ গুণ ১৫৯ হলো ২৩৮৫। আরেকভাবে যাচাই: শেষ পদ ৭ যোগ ১৪৫, মানে ১৫২। প্রথম আর শেষ পদের গড় ৭ যোগ ১৫২ ভাগ ২, মানে ৭৯ দশমিক ৫; একে ৩০ দিয়ে গুণ করলেও ২৩৮৫।
সাধারণ ভুল হলো পদসংখ্যা থেকে এক বাদ না দিয়ে ৩০ গুণ ৫ ধরা; তাতে উত্তর আসে ২৪৬০, যা অপশনে নেই, তবে কাছাকাছি সংখ্যা দেখে বিভ্রান্ত হওয়া সহজ।
মনে রাখুন: যোগফল = পদসংখ্যা × (প্রথম পদ + শেষ পদ) ÷ ২। শেষ পদ = a + (n − ১)d।
পুরো পাতা ›
১৪. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ সে.মি ৮ সে.মি ও ৯ সে.মি। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক25.48 বর্গ সে.মি
2. খ25.98 বর্গ সে.মি
3. গ26.83 বর্গ সেমি
4. ঘ27.95 বর্গ সে.মি
সঠিক উত্তর: গ. 26.83 বর্গ সেমি
প্রশ্নটা তিন বাহুর দৈর্ঘ্য দিয়ে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল চেয়েছে। তিন বাহু জানা থাকলে হেরনের সূত্র ব্যবহার করতে হয়: অর্ধপরিসীমা s বের করে, s, s থেকে a বাদ, s থেকে b বাদ, s থেকে c বাদ, এই চারটির গুণফলের বর্গমূলই ক্ষেত্রফল।
এখানে পরিসীমা ৭ যোগ ৮ যোগ ৯, মানে ২৪ সেন্টিমিটার; তাই অর্ধপরিসীমা ১২। এরপর ১২ থেকে ৭ বাদ ৫, ১২ থেকে ৮ বাদ ৪, ১২ থেকে ৯ বাদ ৩।
চারটি সংখ্যার গুণফল ১২ গুণ ৫ গুণ ৪ গুণ ৩, মানে ৭২০। ৭২০-এর বর্গমূল প্রায় ২৬ দশমিক ৮৩, তাই ক্ষেত্রফল প্রায় ২৬ দশমিক ৮৩ বর্গ সেন্টিমিটার।
দ্রুত যাচাই: ২৬ গুণ ২৬ হলো ৬৭৬ আর ২৭ গুণ ২৭ হলো ৭২৯, আর ৭২০ এর মধ্যে ৭২৯-এর খুব কাছে; তাই উত্তর ২৭-এর ঠিক নিচে, মানে ২৬ দশমিক ৮৩। পরিসীমা ২৪-কেই s ধরলে বড় ভুল হয়।
মনে রাখুন: √৭২০ = √(১৪৪ × ৫) = ১২√৫ ≈ ১২ × ২.২৩৬ = ২৬.৮৩।
পুরো পাতা ›
১৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সেমি ও ৫ সেমি। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক২২৫ বর্গ সেমি
2. খ১৪৪ বর্গসেমি
3. গ১২১ বর্গ সেমি
4. ঘ১৬৯ বর্গ সেমি
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৬৯ বর্গ সেমি
প্রশ্নটা সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল চেয়েছে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য বলে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল সমান অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফল।
এখানে ভূমি ১২ সেন্টিমিটার, তাই এর উপর বর্গ ১২ গুণ ১২, মানে ১৪৪। লম্ব ৫ সেন্টিমিটার, এর উপর বর্গ ৫ গুণ ৫, মানে ২৫। যোগ করলে ১৬৯ বর্গ সেন্টিমিটার।
লক্ষ করুন, প্রশ্নে অতিভুজের দৈর্ঘ্য নয়, তার উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল চাওয়া হয়েছে। তাই বর্গমূল নেওয়ার দরকারই নেই; বর্গমূল নিলে অতিভুজ পাওয়া যেত ১৩ সেন্টিমিটার।
১৪৪ শুধু ভূমির বর্গ; লম্বের বর্গ যোগ করতে ভুলে গেলে এটাই আসে। ১২ আর ৫ যোগ করে ১৭, তার বর্গ ধরলে আরও বড় ভুল মান আসে।
মনে রাখুন: ৫, ১২, ১৩ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী; অতিভুজ ১৩ হলে তার বর্গ ১৬৯।
পুরো পাতা ›
১৬. যদি কোন বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক21%
2. খ25%
3. গ28%
4. ঘ18%
সঠিক উত্তর: ক. 21%
প্রশ্নটি দেখতে চায়, বাহু বাড়লে বর্গের ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বাড়ে। ক্ষেত্রফল হলো বাহু গুণ বাহু, তাই বাহুর বৃদ্ধি দুবার কাজ করে।
সহজ পথ: বাহু ১০০ ধরি, তাহলে ক্ষেত্রফল ১০ হাজার। বাহু ১০ শতাংশ বেড়ে হয় ১১০, নতুন ক্ষেত্রফল ১২ হাজার ১০০।
বৃদ্ধি ২ হাজার ১০০, যা আগের ১০ হাজারের ২১ শতাংশ। দুবার ১০ শতাংশ বাড়ানোর সঙ্গে ১০ শতাংশের ১০ শতাংশ, মানে আরও ১ শতাংশ যোগ হয়।
সাধারণ ফাঁদ হলো ভাবা যে দুই বাহুতে ১০ করে মোট ২০ শতাংশ বাড়বে। অতিরিক্ত ১ শতাংশ আসে দুই বৃদ্ধির গুণফল থেকে, সেটাই ভুলে যাওয়া হয়।
মনে রাখুন: দুই ধাপে x% করে বাড়লে মোট বৃদ্ধি = x + x + x²/১০০ = ১০ + ১০ + ১ = ২১%।
পুরো পাতা ›
১৭. secA + tanA = 5/2 হলে, secA − tanA এর মান কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক5/2
2. খ3/4
3. গ3/5
4. ঘ2/5
সঠিক উত্তর: ঘ. 2/5
প্রশ্নটি ত্রিকোণমিতির একটি মৌলিক অভেদ পরীক্ষা করে: sec বর্গ A বিয়োগ tan বর্গ A সমান ১। এটি sin বর্গ যোগ cos বর্গ সমান ১ থেকেই আসে।
বর্গের অন্তরকে ভাঙলে পাই, secA যোগ tanA আর secA বিয়োগ tanA-এর গুণফল সমান ১। মানে এই দুটি রাশি পরস্পরের উল্টো, অর্থাৎ অন্যোন্যক।
যোগফল ৫ ভাগ ২ দেওয়া আছে, তাই বিয়োগফল হবে তার উল্টো: ২ ভাগ ৫।
ফাঁদ হলো ৫ ভাগ ২ নিজেই বা ৩ ভাগ ৫ বেছে নেওয়া। মনে রাখুন, যোগফল আর বিয়োগফল একে অপরের ঠিক উল্টো ভগ্নাংশ।
মনে রাখুন: secA + tanA = k হলে secA − tanA = ১/k। একইভাবে cosecA + cotA = k হলে cosecA − cotA = ১/k।
পুরো পাতা ›
১৮. একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩১৪ বর্গ সেমি হলে উহার ব্যাস কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক২০ সেমি
2. খ২৫ সেমি
3. গ১২ সেমি
4. ঘ১৫ সেমি
সঠিক উত্তর: ক. ২০ সেমি
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। এখানে পাই-এর মান ৩ দশমিক ১৪ ধরলে হিসাব একদম সহজ হয়ে যায়, কারণ ক্ষেত্রফল ৩১৪।
৩১৪ কে ৩ দশমিক ১৪ দিয়ে ভাগ করলে ব্যাসার্ধের বর্গ হয় ১০০, তাই ব্যাসার্ধ ১০ সেন্টিমিটার।
ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, তাই ব্যাস ২০ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ব্যাসার্ধ ১০ বের করে সেখানেই থেমে যাওয়া বা ১০ এর কাছের সংখ্যা ১২ বা ১৫ বেছে নেওয়া। প্রশ্ন চেয়েছে ব্যাস, তাই দ্বিগুণ করতেই হবে।
মনে রাখুন: ৩১৪ দেখলেই বুঝুন π = ৩.১৪ আর r² = ১০০।
পুরো পাতা ›
১৯. x + 1/x = 5 হলে, x³ + 1/x³ = ? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক115
2. খ110
3. গ125
4. ঘ225
সঠিক উত্তর: খ. 110
প্রশ্নটি ঘনের একটি পরিচিত সূত্র পরীক্ষা করে। a যোগ b-এর ঘন সমান a ঘন যোগ b ঘন যোগ ৩ab গুণ a যোগ b।
এখানে a হলো x, b হলো x-এর উল্টো, তাই ab সমান ১। ফলে x ঘন যোগ তার উল্টোর ঘন সমান x যোগ উল্টোর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ x যোগ উল্টো।
মান বসাই: ৫-এর ঘন ১২৫, তা থেকে ৩ গুণ ৫ মানে ১৫ বাদ দিলে পাই ১১০।
ফাঁদ ১২৫: শুধু ৫-এর ঘন করে থেমে গেলে এই উত্তর আসে। ৩ গুণ ৫ বাদ দেওয়ার ধাপটি ভোলা যাবে না।
মনে রাখুন: x + 1/x = a হলে x³ + 1/x³ = a³ − ৩a; a = ৫ হলে ১২৫ − ১৫ = ১১০।
পুরো পাতা ›
২০. কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে ৭ যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২ হয় এবং হর থেকে ২ বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান ১ হয়। (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
1. ক3/4
2. খ3/5
3. গ5/7
4. ঘ5/6
সঠিক উত্তর: খ. 3/5
ভগ্নাংশের প্রশ্নে লবকে x আর হরকে y ধরে দুটি সমীকরণ বানাই। লবে ৭ যোগ করলে মান ২, মানে x যোগ ৭ সমান ২y। হর থেকে ২ বাদ দিলে মান ১, মানে x সমান y বিয়োগ ২।
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে x-এর মান প্রথমটিতে বসাই: y বিয়োগ ২ যোগ ৭ সমান ২y, অর্থাৎ y যোগ ৫ সমান ২y, তাই y সমান ৫। তাহলে x সমান ৩।
ভগ্নাংশটি ৩ ভাগ ৫। যাচাই: ৩ যোগ ৭ সমান ১০, ১০ ভাগ ৫ সমান ২; আর ৫ বিয়োগ ২ সমান ৩, ৩ ভাগ ৩ সমান ১। দুটো শর্তই মেলে।
পরীক্ষায় দ্রুততম পথ হলো অপশন বসিয়ে দেখা। দ্বিতীয় শর্ত বলছে হর লবের চেয়ে ঠিক ২ বেশি; ৩ ভাগ ৫ আর ৫ ভাগ ৭ দুটোই তা মানে, কিন্তু প্রথম শর্তে কেবল ৩ ভাগ ৫ টেকে।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: হর − লব = ২ যেগুলোর (৩/৫, ৫/৭), সেগুলোতে লব + ৭ = ২ × হর পরীক্ষা করুন; ৩ + ৭ = ১০ = ২ × ৫।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ২১–৩৯ ›