গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২
২১. বার্ষিক শতকরা 6 টাকা হার চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় 15000 টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
- ক1865.30
- খ2532.40
- গ2865.24
- ঘ2928.40
সঠিক উত্তর: গ. 2865.24
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় প্রতি বছরের মুনাফা আসলের সঙ্গে যোগ হয়ে পরের বছরের আসল হয়। তাই চক্রবৃদ্ধি মূলধন সমান আসল গুণ এক যোগ হারের ঘাত, যেখানে ঘাত হলো বছরের সংখ্যা।
এখানে আসল ১৫ হাজার টাকা, হার ৬ শতাংশ, সময় ৩ বছর। প্রতিবছর ১ দশমিক ০৬ দিয়ে গুণ করি: প্রথম বছর শেষে ১৫ হাজার ৯০০, দ্বিতীয় বছর শেষে ১৬ হাজার ৮৫৪, তৃতীয় বছর শেষে ১৭ হাজার ৮৬৫ দশমিক ২৪ টাকা।
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হলো চক্রবৃদ্ধি মূলধন থেকে আসল বাদ: ১৭ হাজার ৮৬৫ দশমিক ২৪ বিয়োগ ১৫ হাজার, মানে ২ হাজার ৮৬৫ দশমিক ২৪ টাকা।
সরল মুনাফা হলে হতো ২ হাজার ৭০০ টাকা; চক্রবৃদ্ধিতে তার চেয়ে একটু বেশি হয়, কারণ মুনাফার ওপরও মুনাফা আসে। এই যুক্তিতেই কম মানের অপশনগুলো বাদ দেওয়া যায়।
মনে রাখুন: সরল মুনাফা ২৭০০ টাকা; চক্রবৃদ্ধি সামান্য বেশি হবে, তাই ২৭০০-এর ঠিক ওপরের অপশন ২৮৬৫.২৪।
২২. (5⁴ × 8 × 16)/(2⁵ × 125) এর মান নিম্নের কোনটি? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
- ক20
- খ40
- গ35
- ঘ25
সঠিক উত্তর: ক. 20
এই ধরনের প্রশ্নে প্রতিটি সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকের ঘাতে লিখে নিলে কাটাকাটি সহজ হয়। ৮ হলো ২-এর ঘাত ৩, ১৬ হলো ২-এর ঘাত ৪, আর ১২৫ হলো ৫-এর ঘাত ৩।
লবে তাহলে ৫-এর ঘাত ৪ গুণ ২-এর ঘাত ৭। হরে ২-এর ঘাত ৫ গুণ ৫-এর ঘাত ৩।
একই ভিত্তির ঘাত বিয়োগ করি: ৫-এর ঘাত ৪ বিয়োগ ৩, মানে ৫; আর ২-এর ঘাত ৭ বিয়োগ ৫, মানে ২-এর বর্গ ৪। গুণফল ৫ গুণ ৪, মানে ২০।
ফাঁদ ৪০ বা ২৫: ২-এর ঘাত গুনতে ভুল করলে ৪০ আসে, আর ৫-এর ঘাতে ভুল হলে ২৫। ঘাতগুলো ধীরে গুনলেই এড়ানো যায়।
মনে রাখুন: সংখ্যায় করলে: ৬২৫ × ১২৮ = ৮০০০০, ৩২ × ১২৫ = ৪০০০, ৮০০০০ ÷ ৪০০০ = ২০।
২৩. log₁₀x = −2 হলে, x = ? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
- ক0.001
- খ0.01
- গ0.02
- ঘ0.002
সঠিক উত্তর: খ. 0.01
লগারিদমের সংজ্ঞা: log ভিত্তি ১০-এ x সমান n মানে ১০-এর ঘাত n সমান x। অর্থাৎ লগ মানে ঘাত।
এখানে n সমান ঋণাত্মক ২, তাই x সমান ১০-এর ঘাত ঋণাত্মক ২, মানে ১ ভাগ ১০০, অর্থাৎ শূন্য দশমিক শূন্য এক।
সহজ নিয়ম: ১০-এর ঋণাত্মক ঘাত যত, দশমিকের পর তত ঘর। ঋণাত্মক ২ মানে দশমিকের পর দুই ঘরে ১, মানে ০ দশমিক ০১।
ফাঁদ ০ দশমিক ০০১: এটি ১০-এর ঘাত ঋণাত্মক ৩। আর ০ দশমিক ০২ বা ০ দশমিক ০০২ ১০-এর কোনো পূর্ণ ঘাতই নয়।
মনে রাখুন: ১০⁻ⁿ মানে দশমিকের পর n-তম ঘরে ১: ১০⁻² = ০.০১।
২৪. আয়তাকার একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ৬০০ বর্গমিটার হলে উহার পরিসীমা কত? (বাংলাদেশ রেলওয়ে গার্ড, গ্রেড-২) নিয়োগ পরীক্ষা (২০২২)
- ক১০০ মিটার
- খ১২০ মিটার
- গ৯০ মিটার
- ঘ১৪০ মিটার
সঠিক উত্তর: ক. ১০০ মিটার
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, আর পরিসীমা দুই গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ। দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ বলে, প্রস্থকে x ধরলে দৈর্ঘ্য ১ দশমিক ৫ x।
ক্ষেত্রফল ১ দশমিক ৫ x বর্গ সমান ৬০০, তাই x বর্গ সমান ৪০০, আর x সমান ২০ মিটার। দৈর্ঘ্য তাহলে ৩০ মিটার।
পরিসীমা দুই গুণ ৩০ যোগ ২০, মানে দুই গুণ ৫০, মোট ১০০ মিটার।
ফাঁদ হলো শুধু দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ যোগ করে ৫০ পাওয়া বা ক্ষেত্রফলের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা। পরিসীমায় দুই গুণ করতে হয়, তবেই ১০০।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য:প্রস্থ = ৩:২ ধরে ৩k × ২k = ৬k² = ৬০০, k = ১০; পরিসীমা = ২ × ৫k = ১০০।
২৫. a+b =17 এবং ab=60 হলে a-b = কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক7
- খ8
- গ9
- ঘ10
সঠিক উত্তর: ক. 7
প্রশ্নটা দুটি সংখ্যার যোগফল আর গুণফল দিয়ে তাদের বিয়োগফল বের করতে বলেছে। এখানে a ও b আলাদা করে বের করার দরকার নেই; একটি বীজগাণিতিক সূত্রই যথেষ্ট।
সূত্রটি হলো: a বিয়োগ b-এর বর্গ সমান a যোগ b-এর বর্গ বিয়োগ ৪ গুণ ab। কারণ দুই বর্গের বিস্তারে মাঝের পদ ২ab একবার যোগ আর একবার বিয়োগ হয়, পার্থক্য দাঁড়ায় ৪ab।
এখানে a যোগ b-এর বর্গ ১৭ গুণ ১৭, মানে ২৮৯। ৪ গুণ ab হলো ৪ গুণ ৬০, মানে ২৪০। বিয়োগ করলে ৪৯, আর ৪৯-এর বর্গমূল ৭। যাচাই: a সমান ১২, b সমান ৫ হলে যোগফল ১৭, গুণফল ৬০, বিয়োগফল ৭।
অনেকে বর্গমূল নিতে ভুলে যান বা ৪ab-এর জায়গায় ২ab বিয়োগ করেন; তখন উত্তর মেলে না। মনে রাখুন, বর্গ থেকে বিয়োগ হয় ৪ab।
মনে রাখুন: যোগফল ও গুণফল দেখলেই চেনা জোড়া খুঁজুন: কোন দুটি সংখ্যার যোগ ১৭, গুণ ৬০? ১২ আর ৫; পার্থক্য ৭।
২৬. ধানে চাল ও তুষের অনুপাত ৭:৩ হলে এতে শতকরা কি পরিমাণ চাল আছে? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৬০%
- খ৭০%
- গ৩০%
- ঘকোনটিই নয়
সঠিক উত্তর: খ. ৭০%
প্রশ্নটা অনুপাতকে শতকরায় রূপান্তর করতে বলেছে। ধানে চাল আর তুষের অনুপাত ৭ অনুপাত ৩, মানে ধানকে মোট ৭ যোগ ৩, অর্থাৎ ১০টি সমান ভাগ ধরলে চাল ৭ ভাগ।
চালের অংশ তাই ১০ ভাগের ৭ ভাগ। শতকরা করতে ১০০ দিয়ে গুণ করি: ৭ ভাগ ১০ গুণ ১০০, মানে ৭০ শতাংশ।
সহজ কথা: যখন অনুপাতের দুই অংশের যোগফল ১০, তখন যে অংশটি চাই তার পাশে একটি শূন্য বসালেই শতকরা পাওয়া যায়।
ফাঁদ হলো তুষের অংশ ৩০ শতাংশ বেছে নেওয়া, অথবা ৭ ভাগ ৩ ধরে হিসাব করা। শতকরা হয় সবসময় মোটের উপর, এক অংশের উপর নয়।
মনে রাখুন: অনুপাতের যোগফল ১০ হলে প্রতিটি অংশ × ১০ = শতকরা।
২৭. ১ থেকে ১০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক২টি
- খ৫টি
- গ৪টি
- ঘ৩টি
সঠিক উত্তর: গ. ৪টি
মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় সেই সংখ্যা, যাকে কেবল ১ আর সে নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মিলিয়ে দেখি: ২, ৩, ৫ ও ৭ মৌলিক। ৪, ৬, ৮, ৯ ও ১০ যৌগিক, কারণ এদের অন্য উৎপাদক আছে; যেমন ৯ যায় ৩ দিয়ে।
১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়, কারণ এর উৎপাদক মাত্র একটি। তাই মোট মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
সাধারণ ভুল হলো ১-কে মৌলিক ধরে ৫টি গোনা, অথবা ২-কে জোড় বলে বাদ দেওয়া। ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
মনে রাখুন: মুখস্থ রাখুন: ১-১০ এ ৪টি, ১-২০ এ ৮টি, ১-৫০ এ ১৫টি, ১-১০০ এ ২৫টি মৌলিক সংখ্যা।
২৮. কোন সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ ৫০ ডিগ্রি হলে অপরটি কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৩০ ডিগ্রি
- খ৫০ ডিগ্রি
- গ২০ ডিগ্রি
- ঘ৪০ ডিগ্রি
সঠিক উত্তর: ঘ. ৪০ ডিগ্রি
প্রশ্নে ছাপা হয়েছে “সমকোণের বিপরীত একটি কোণ”, কিন্তু সমকোণের বিপরীতে থাকে অতিভুজ, কোণ নয়। বোঝানো হয়েছে সমকোণ ছাড়া বাকি দুটি সূক্ষ্মকোণের একটি ৫০ ডিগ্রি।
যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি। সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি, তাই বাকি দুটি সূক্ষ্মকোণের যোগফল ৯০ ডিগ্রি; এরা পরস্পর পূরক।
একটি সূক্ষ্মকোণ ৫০ ডিগ্রি হলে অপরটি ৯০ বিয়োগ ৫০, মানে ৪০ ডিগ্রি।
৫০ ডিগ্রি বেছে নেওয়া ফাঁদ: দুই সূক্ষ্মকোণকে সমান ভেবে নিলে এটা আসে, কিন্তু তখন তিন কোণ মিলে ১৯০ ডিগ্রি হয়ে যায়।
মনে রাখুন: সমকোণী ত্রিভুজে একটি সূক্ষ্মকোণ দেওয়া থাকলে অন্যটি = ৯০ − সেই কোণ।
২৯. ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ ভাজক ০.৫ হলে ভাজ্য কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক০.২৫
- খ০.০২৫
- গ২৫
- ঘ২.৫
সঠিক উত্তর: খ. ০.০২৫
ভাগের মূল সম্পর্ক: ভাজ্য সমান ভাজক গুণ ভাগফল যোগ ভাগশেষ। এখানে ভাগশেষের কথা নেই, তাই ভাগশেষ শূন্য ধরে ভাজ্য সমান ভাজক গুণ ভাগফল।
ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, আর ভাজক ০ দশমিক ৫। তাহলে ভাগফল হলো ০ দশমিক ৫ ভাগ ১০, মানে ০ দশমিক ০৫।
ভাজ্য তাই ০ দশমিক ৫ গুণ ০ দশমিক ০৫, মানে ০ দশমিক ০২৫। দশমিক গুণে দুই সংখ্যার দশমিকের পরের অঙ্ক গুনে মোট তিন ঘর দশমিক বসাতে হয়।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল সম্পর্কটা উল্টে ভাগফলকে ভাজকের ১০ গুণ, মানে ৫ ধরা; তখন ভাজ্য আসে ২ দশমিক ৫। আরেকটি ভুল দশমিকের ঘর গুনতে ভুল করে ০ দশমিক ২৫ লেখা।
মনে রাখুন: ভাজক = k × ভাগফল হলে ভাজ্য = ভাজক² ÷ k = ০.২৫ ÷ ১০ = ০.০২৫।
৩০. পিতা, মাতা ও কন্যার বয়সের গড় ৩০ বছর। মাতা ও কন্যার গড় বয়স ২৫ বছর হলে পিতার বয়স কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৩৫
- খ৪৫
- গ৪০
- ঘ৩০
সঠিক উত্তর: গ. ৪০
গড়ের প্রশ্নে আগে মোট বের করতে হয়: মোট সমান গড় গুণ সংখ্যা। তিনজনের গড় ৩০ বছর, তাই তিনজনের বয়সের মোট ৩ গুণ ৩০, মানে ৯০ বছর।
মাতা ও কন্যার গড় ২৫ বছর, তাই এই দুজনের মোট বয়স ২ গুণ ২৫, মানে ৫০ বছর।
তিনজনের মোট থেকে দুজনের মোট বাদ দিলে পিতার বয়স থাকে: ৯০ বিয়োগ ৫০, মানে ৪০ বছর।
ফাঁদ হলো দুই গড়ের পার্থক্য ৫ দেখে ৩০ যোগ ৫, অর্থাৎ ৩৫ ধরে নেওয়া। গড় সরাসরি বিয়োগ করা যায় না, মোট বিয়োগ করতে হয়।
মনে রাখুন: পিতা = ৩ × ৩০ − ২ × ২৫ = ৪০। একজনের মান = বড় দলের মোট − ছোট দলের মোট।
৩১. 4(x + y),10(x - y),12(x^2 - y^2) এর গ.সাগু কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- কx-y
- খx+y
- গ2
- ঘ12(x^2 - y^2)
সঠিক উত্তর: গ. 2
গসাগু মানে সব রাশির মধ্যে সাধারণ সবচেয়ে বড় উৎপাদক। এর জন্য সংখ্যার অংশ আর বীজগাণিতিক অংশ আলাদা করে দেখতে হয়।
সংখ্যার অংশ ৪, ১০ ও ১২-এর গসাগু ২। এবার বীজগাণিতিক অংশ: প্রথমটিতে x যোগ y, দ্বিতীয়টিতে x বিয়োগ y, আর তৃতীয়টি x বর্গ বিয়োগ y বর্গ, যা ভাঙলে x যোগ y গুণ x বিয়োগ y।
x যোগ y দ্বিতীয় রাশিতে নেই, আবার x বিয়োগ y প্রথম রাশিতে নেই। তাই তিনটিতেই সাধারণ কোনো বীজগাণিতিক উৎপাদক নেই; গসাগু শুধু ২।
ফাঁদ হলো x যোগ y বা x বিয়োগ y বেছে নেওয়া, কারণ এরা দুটি রাশিতে আছে, কিন্তু তিনটিতে নয়। আর ১২ গুণ x বর্গ বিয়োগ y বর্গ হলো লসাগুর দিকের রাশি, গসাগু নয়।
মনে রাখুন: যে উৎপাদক তিনটির প্রতিটিতে নেই, সেটা গসাগুতে আসে না; সংখ্যাগুলোর গসাগুই উত্তর।
৩২. আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক১২ মিটার ও ৬ মিটার
- খ৫ মিটার ও ৪ মিটার
- গ৯ মিটার ও ২ মিটার
- ঘ১০ মিটার ও ২ মিটার
সঠিক উত্তর: খ. ৫ মিটার ও ৪ মিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সমান ২ গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ, আর ক্ষেত্রফল সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। দুটি তথ্য থেকে দুটি শর্ত পাই।
পরিসীমা ১৮ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ সমান ১৮ ভাগ ২, মানে ৯ মিটার। ক্ষেত্রফল ২০, তাই দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ ২০।
এমন দুটি সংখ্যা চাই যাদের যোগফল ৯ আর গুণফল ২০: সেগুলো ৫ ও ৪। তাই দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৪ মিটার।
ফাঁদ হলো ৯ মিটার ও ২ মিটার: অনেকে দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থকে ৯ দেখে বিভ্রান্ত হন, কিন্তু ৯ ও ২-এর যোগফল ১১, গুণফল ১৮। অপশন থেকে উত্তর বাছতে দুটি শর্তই মিলিয়ে নিন।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: যোগফল ৯ আর গুণফল ২০, দুটিই মেলে কেবল ৫ ও ৪-এ।
৩৩. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9, সংখ্যাটি হতে 9 বিয়োগ করলে এর অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক34
- খ62
- গ54
- ঘ23
সঠিক উত্তর: গ. 54
দুই অঙ্কের সংখ্যার দশকের অঙ্ক x আর এককের অঙ্ক y হলে সংখ্যাটি ১০x যোগ y, আর অঙ্ক উল্টালে হয় ১০y যোগ x।
শর্ত দুটি: অঙ্কের যোগফল x যোগ y সমান ৯। আর সংখ্যা থেকে ৯ বিয়োগ করলে অঙ্ক উল্টে যায়, মানে ১০x যোগ y বিয়োগ ৯ সমান ১০y যোগ x; সরল করলে x বিয়োগ y সমান ১।
যোগফল ৯ আর বিয়োগফল ১ থেকে x সমান ৫, y সমান ৪। সংখ্যাটি ৫৪। যাচাই: ৫৪ বিয়োগ ৯ সমান ৪৫, অঙ্ক উল্টে গেছে।
এ ধরনের প্রশ্নে কাজের নিয়ম: কোনো সংখ্যা ও তার উল্টো সংখ্যার পার্থক্য সবসময় ৯ গুণ অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য। তাই পার্থক্য ৯ মানে অঙ্ক দুটির পার্থক্য ১।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: অঙ্কের যোগফল ৯ শুধু ৫৪-তে; ৫৪ − ৯ = ৪৫।
৩৪. ৬% হারে নয় মাসে ১০,০০০ টাকা উপর সুদ কত হবে? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৫০০ টাকা
- খ৬০০ টাকা
- গ৪৫০ টাকা
- ঘ৬৫০ টাকা
সঠিক উত্তর: গ. ৪৫০ টাকা
সরল সুদের সূত্র: সুদ সমান আসল গুণ হার গুণ সময়, যেখানে হার শতকরায় আর সময় বছরে। সময় মাসে দেওয়া থাকলে ১২ দিয়ে ভাগ করে বছরে নিতে হয়।
এখানে আসল ১০ হাজার টাকা, হার ৬ শতাংশ, সময় ৯ মাস মানে ৯ ভাগ ১২, অর্থাৎ ০ দশমিক ৭৫ বছর।
এক বছরের সুদ ১০ হাজারের ৬ শতাংশ, মানে ৬০০ টাকা। ৯ মাস হলো এক বছরের তিন চতুর্থাংশ, তাই সুদ ৬০০-এর তিন চতুর্থাংশ, মানে ৪৫০ টাকা।
ফাঁদ হলো ৬০০ টাকা: সময় ৯ মাস না ধরে পুরো এক বছর ধরলে এই উত্তর আসে।
মনে রাখুন: সুদ = আসল × হার × মাস ÷ ১২০০ = ১০০০০ × ৬ × ৯ ÷ ১২০০ = ৪৫০।
৩৫. দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৩:২ হলে বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৯:৪
- খ২:৩
- গ৬:৪
- ঘ৪:৯
সঠিক উত্তর: ক. ৯:৪
বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। ব্যাসার্ধ ব্যাসের অর্ধেক, তাই ক্ষেত্রফল ব্যাসের বর্গের সমানুপাতিক।
দুই বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৩ অনুপাত ২ হলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে ৩-এর বর্গ অনুপাত ২-এর বর্গ, মানে ৯ অনুপাত ৪। পাই আর অর্ধেকের ভাগ দুই দিকেই কেটে যায়।
সাধারণ নিয়ম: যেকোনো সদৃশ আকৃতিতে দৈর্ঘ্যের অনুপাত বর্গ করলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত, আর ঘন করলে আয়তনের অনুপাত পাওয়া যায়।
ফাঁদ হলো ৪ অনুপাত ৯, মানে অনুপাত উল্টে লেখা; অথবা বর্গ না করে ৬ অনুপাত ৪ লেখা, যা আসলে ৩ অনুপাত ২-এরই সমান।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্যের অনুপাত বর্গ = ক্ষেত্রফলের অনুপাত; ঘন = আয়তনের অনুপাত।
৩৬. কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৩/৫
- খ৩৩/৫০
- গ৮/১১
- ঘ১১/১৭
সঠিক উত্তর: গ. ৮/১১
ভগ্নাংশের তুলনার সবচেয়ে নিরাপদ উপায় দশমিকে রূপান্তর, বা আড়গুণন করে জোড়ায় জোড়ায় মেলানো।
দশমিকে নিলে ৩ ভাগ ৫ হয় ০ দশমিক ৬, ৩৩ ভাগ ৫০ হয় ০ দশমিক ৬৬, ৮ ভাগ ১১ প্রায় ০ দশমিক ৭২৭, আর ১১ ভাগ ১৭ প্রায় ০ দশমিক ৬৪৭।
তাই সবচেয়ে বড় ৮ ভাগ ১১। আড়গুণনেও দেখা যায়: ৮ গুণ ৫০ সমান ৪০০, যা ৩৩ গুণ ১১ সমান ৩৬৩-এর চেয়ে বড়; তাই ৮ ভাগ ১১ বড় ৩৩ ভাগ ৫০-এর চেয়ে।
ফাঁদ হলো বড় লব-হর দেখে ৩৩ ভাগ ৫০ বা ১১ ভাগ ১৭ কে বড় ভাবা। লব-হর বড় হলেই ভগ্নাংশ বড় হয় না; লব হরের কত অংশ, সেটাই আসল।
মনে রাখুন: আড়গুণন: a/b ও c/d এর মধ্যে a × d বড় হলে a/b বড়।
৩৭. ১৮টি ছাগলের দাম ৪টি গরুর দামের সমান হলে, ৪৫টি ছাগলের পরিবর্তে কতটি গরু পাওয়া যাবে? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৭টি
- খ৮টি
- গ৯টি
- ঘ১০টি
সঠিক উত্তর: ঘ. ১০টি
এটি ঐকিক নিয়মের প্রশ্ন: ১৮টি ছাগলের দাম ৪টি গরুর দামের সমান, মানে দামের দিক থেকে ১৮ ছাগল সমান ৪ গরু।
৪৫টি ছাগলে কয়টি ১৮-এর দল আছে দেখি: ৪৫ ভাগ ১৮ সমান ২ দশমিক ৫। প্রতিটি দলের বদলে ৪টি গরু, তাই ২ দশমিক ৫ গুণ ৪, মানে ১০টি গরু।
অন্যভাবে: ৪৫ গুণ ৪ ভাগ ১৮ সমান ১৮০ ভাগ ১৮, মানে ১০।
ফাঁদ হলো ৯টি বা ৮টি: ৯টি গরু মানে সাড়ে চল্লিশটি ছাগল, ৮টি গরু মানে ৩৬টি ছাগল; কোনোটিই ৪৫ নয়। ছাগল বেশি মানে গরুও একই অনুপাতে বেশি, এটি সরল অনুপাত।
মনে রাখুন: গরু = ৪৫ × ৪ ÷ ১৮ = ১০।
৩৮. x সংখ্যক আমের দাম y টাকা হলে, x টাকায় কতটি আম পাওয়া যাবে? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক(x^3)/y
- খ(x^2)/y
- গx/y
- ঘ(x^4)/y
সঠিক উত্তর: খ. (x^2)/y
প্রশ্নটা বীজগাণিতিক ঐকিক নিয়ম: আগে ১ টাকায় কয়টি আম পাওয়া যায় বের করি, তারপর x টাকায়।
y টাকায় পাওয়া যায় x টি আম, তাই ১ টাকায় পাওয়া যায় x ভাগ y টি আম।
x টাকায় তাহলে x গুণ x ভাগ y, মানে x বর্গ ভাগ y টি আম।
ফাঁদ হলো x ভাগ y বেছে নেওয়া, যা আসলে ১ টাকায় পাওয়া আমের সংখ্যা; শেষ ধাপে x দিয়ে গুণ করতে ভুলে গেলে এই ভুল হয়। সংখ্যা বসিয়ে যাচাই করুন: ৪টি আম ২ টাকা হলে ৪ টাকায় ৮টি, আর ৪ বর্গ ভাগ ২ সমান ৮।
মনে রাখুন: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: x = ৪, y = ২ নিলে ৪ টাকায় ৮টি আম; শুধু x²/y = ৮ দেয়।
৩৯. ১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩ ...... শেষের সংখ্যাটি কত? (মাউশি অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক নিয়োগ পরীক্ষা, ২০২২)
- ক৯১
- খ৯৯
- গ৮৯
- ঘ৯৫
সঠিক উত্তর: খ. ৯৯
ধারার প্রশ্নে প্রথম কাজ পরপর পদগুলোর পার্থক্য বের করা। ৩৩ বিয়োগ ১৯ সমান ১৪, ৫১ বিয়োগ ৩৩ সমান ১৮, ৭৩ বিয়োগ ৫১ সমান ২২।
পার্থক্যগুলো ১৪, ১৮, ২২, প্রতিবার ৪ করে বাড়ছে। তাই পরের পার্থক্য হবে ২৬।
পরের পদ তাই ৭৩ যোগ ২৬, মানে ৯৯।
ফাঁদ হলো ৯৫ বা ৯১: শেষ পার্থক্য ২২ আবার যোগ করলে ৯৫ আসে, অথবা পার্থক্যের ধারা না দেখে আন্দাজ করলে অন্য সংখ্যা আসে।
মনে রাখুন: পার্থক্যের পার্থক্য সমান হলে পরের পার্থক্য সহজেই বের হয়।