গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৪৮

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৪৮/৫৩ · প্রশ্ন ৯৪১–৯৬০সব উত্তর দেখান

৯৪১. A = {x|x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x²<25}, B = {x|x মৌলিক সংখ্যা এবং x²<25}, C = {x|x মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং x²=25}, হলে, A∩B∩C =? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক{1,2,3,4}
2. খ{2,3,4}
3. গ∅
সঠিক উত্তর: গ. ∅
ছেদ সেট মানে যে উপাদান সবগুলো সেটে একসাথে আছে। তাই আগে প্রতিটি সেটের উপাদান তালিকা করে নিন, তারপর মিল খুঁজুন।
A তে আছে সেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাদের বর্গ ২৫ এর ছোট: ১, ২, ৩, ৪। পাঁচের বর্গ ঠিক ২৫, ছোট নয়, তাই ৫ বাদ। B তে একই শর্তের মৌলিক সংখ্যা: শুধু ২ আর ৩, কারণ ১ আর ৪ মৌলিক নয়।
C তে সেই মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ঠিক ২৫: শুধু ৫। A আর B এর সাধারণ উপাদান ২ ও ৩, যা C তে নেই। তাই তিন সেটের ছেদ ফাঁকা সেট।
ফাঁদ হলো শুধু A আর B দেখে উত্তর দেওয়া। দুই সেটের ছেদ ২ আর ৩, কিন্তু C যোগ হতেই সব বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: C তে শুধু ৫, অথচ A তে ৫ নেই (৫² = ২৫, ২৫ এর ছোট নয়); তাই ছেদ সরাসরি ∅।
পুরো পাতা ›
৯৪২. একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক2/3
2. খ1/3
3. গ3/4
4. ঘ1/4
সঠিক উত্তর: ক. 2/3
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ। “না হওয়ার” সম্ভাবনা চাইলে হয় সরাসরি বাকিগুলো গুনুন, নয়তো এক থেকে “হওয়ার” সম্ভাবনা বাদ দিন।
থলিতে মোট বল ৬ যোগ ৮ যোগ ১০, অর্থাৎ ২৪টি। সাদা নয় এমন বল হলো নীল ৬টি আর কালো ১০টি, মোট ১৬টি।
তাই সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা চব্বিশ ভাগের ষোলো, সরল করলে তিন ভাগের দুই। অন্যভাবে, সাদা হওয়ার সম্ভাবনা চব্বিশ ভাগের আট বা তিন ভাগের এক, এক থেকে বাদ দিলে তিন ভাগের দুই।
ফাঁদ হলো তিন ভাগের এক, যা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা। প্রশ্নে “না” শব্দটা খেয়াল করুন।
মনে রাখুন: P(না হওয়া) = ১ − P(হওয়া) = ১ − ৮/২৪ = ২/৩।
পুরো পাতা ›
৯৪৩. কলার দাম 20% কমে যাওয়ায় 12 টাকায় পূর্ব অপেক্ষা 2টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমান একটি কলার দাম কত টাকা? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক1.2
2. খ2.50
3. গ3.00
4. ঘ4.00
সঠিক উত্তর: ক. 1.2
প্রশ্নটা দাম কমলে একই টাকায় কতটা বেশি জিনিস পাওয়া যায়, সেই সম্পর্ক যাচাই করছে। দাম আর পরিমাণ উল্টোভাবে চলে: দাম কমলে পরিমাণ বাড়ে।
দাম ২০ শতাংশ কমা মানে নতুন দাম আগের পাঁচ ভাগের চার ভাগ। তাহলে একই ১২ টাকায় কলা পাওয়া যাবে আগের চার ভাগের পাঁচ গুণ, অর্থাৎ ২৫ শতাংশ বেশি।
এই বাড়তি ২৫ শতাংশই হলো ২টি কলা। ২টি যদি আগের সংখ্যার চার ভাগের এক ভাগ হয়, তাহলে আগে পাওয়া যেত ৮টি, এখন ১০টি।
এখন ১২ টাকায় ১০টি, তাই এখন একটির দাম ১ টাকা ২০ পয়সা। আগের দাম ছিল ১ টাকা ৫০ পয়সা, যা বিকল্পে নেই; বর্তমান দাম চাওয়া হয়েছে, এটা খেয়াল রাখুন।
মনে রাখুন: দাম x% কমলে পরিমাণ বাড়ে x ÷ (১০০ − x) অংশ: ২০ ÷ ৮০ = ১/৪; ২টি = ১/৪ ⇒ আগে ৮টি, এখন ১০টি, দাম ১.২ টাকা।
পুরো পাতা ›
৯৪৪. 60 লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত 2 : 1। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি 1 : 2 হবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক40
2. খ50
3. গ60
4. ঘ70
সঠিক উত্তর: গ. 60
মিশ্রণের অনুপাত বদলের প্রশ্নে কৌশল হলো: যে উপাদান বদলাচ্ছে না, তাকে স্থির ধরে হিসাব করা। এখানে শুধু কমলার রস যোগ হচ্ছে, আমের রস একই থাকছে।
৬০ লিটারে আম আর কমলা ২ অনুপাত ১, মোট ৩ ভাগ। তাই আম ৬০ এর ৩ ভাগের ২ ভাগ, মানে ৪০ লিটার, আর কমলা ২০ লিটার।
নতুন অনুপাত ১ অনুপাত ২ মানে কমলা হবে আমের দ্বিগুণ। আম ৪০ লিটারই থাকে, তাই কমলা লাগবে ৮০ লিটার। আছে ২০, তাই যোগ করতে হবে ৬০ লিটার।
অনেকে কমলার শেষ পরিমাণ ৮০ বা আমের পরিমাণ ৪০ কে উত্তর ভেবে ফেলেন। প্রশ্ন চেয়েছে কত লিটার বাড়াতে হবে, মানে ৮০ বিয়োগ ২০।
মনে রাখুন: স্থির উপাদান আম ৪০; কমলা হবে ২ × ৪০ = ৮০; বাড়াতে হবে ৮০ − ২০ = ৬০।
পুরো পাতা ›
৯৪৫. দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু. 11 এবং ল. সা. গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি- (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক318
2. খ308
3. গ283
4. ঘ279
সঠিক উত্তর: খ. 308
প্রশ্নটা গসাগু আর লসাগুর একটা মৌলিক সম্পর্ক যাচাই করছে: যেকোনো দুটি সংখ্যার গুণফল সমান তাদের গসাগু গুণ লসাগু।
কেন সত্যি: দুটো সংখ্যার সাধারণ উৎপাদকগুলো গসাগুতে থাকে, আর বাকি সব উৎপাদক লসাগুতে; দুটো মিলিয়ে গুণ করলে ঠিক দুই সংখ্যার সব উৎপাদকই একবার করে আসে।
এখানে গুণফল ১১ গুণ ৭৭০০, মানে ৮৪৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫, তাই অপরটি ৮৪৭০০ ভাগ ২৭৫, মানে ৩০৮।
দ্রুত বাদ দেওয়ার উপায়: গসাগু ১১, তাই উত্তর অবশ্যই ১১ দিয়ে বিভাজ্য হবে। ৩১৮, ২৮৩, ২৭৯ কোনোটাই ১১ দিয়ে ভাগ যায় না; শুধু ৩০৮, যা ১১ গুণ ২৮।
মনে রাখুন: উত্তর গসাগুর গুণিতক হতেই হবে: বিকল্পগুলোর মধ্যে শুধু ৩০৮ (= ১১ × ২৮) ১১ দিয়ে বিভাজ্য।
পুরো পাতা ›
৯৪৬. x-y=2 এবং xy=24 হলে, x-এর ধনাত্মক মানটি- (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক3
2. খ4
3. গ5
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: ঘ. 6
প্রশ্নটা দুটি শর্ত থেকে একটা দ্বিঘাত সমীকরণ গড়ে সমাধান করা যাচাই করছে। x বিয়োগ y সমান ২ থেকে y সমান x বিয়োগ ২।
এটা দ্বিতীয় শর্তে বসাই: x গুণ x বিয়োগ ২ সমান ২৪, মানে x এর বর্গ বিয়োগ ২x বিয়োগ ২৪ সমান শূন্য। উৎপাদকে ভাঙলে x বিয়োগ ৬ গুণ x যোগ ৪ সমান শূন্য।
তাই x হয় ৬ অথবা ঋণাত্মক ৪। ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে, তাই x সমান ৬, আর তখন y সমান ৪। যাচাই: ৬ বিয়োগ ৪ সমান ২, ৬ গুণ ৪ সমান ২৪।
ফাঁদ হলো ৪, কারণ ৪ এখানে y এর মান। বিকল্প বসিয়েও দ্রুত পারা যায়: x গুণ x বিয়োগ ২ সমান ২৪ হয় শুধু x ছয় হলে।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই: x(x − ২) = ২৪ কেবল x = ৬ এ মেলে (৬ × ৪)।
পুরো পাতা ›
৯৪৭. |x-3| < 5 হলে- (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক2 < x < 8
2. খ-2 < x < 8
3. গ-8 < x < -2
4. ঘ-4 < x < -2
সঠিক উত্তর: খ. -2 < x < 8
পরমমানের অসমতার প্রশ্ন। পরমমান মানে সংখ্যারেখায় দূরত্ব: x বিয়োগ ৩ এর পরমমান ৫ এর কম মানে x এর অবস্থান ৩ থেকে ৫ এককের কম দূরে।
তাই নিয়ম: কোনো কিছুর পরমমান a এর কম হলে সেটা ঋণাত্মক a আর a এর মাঝে থাকে। এখানে x বিয়োগ ৩ থাকে ঋণাত্মক ৫ আর ৫ এর মাঝে।
সব দিকে ৩ যোগ করলে x থাকে ঋণাত্মক ২ আর ৮ এর মাঝে। অর্থাৎ ৩ থেকে বামে ৫ গেলে ঋণাত্মক ২, ডানে ৫ গেলে ৮।
ফাঁদ হলো ২ থেকে ৮, যেখানে বাম সীমায় ঋণাত্মক চিহ্ন হারিয়ে গেছে। পরীক্ষা: x শূন্য হলে শূন্য বিয়োগ ৩ এর পরমমান ৩, যা ৫ এর কম; অথচ শূন্য ২ থেকে ৮ এর মধ্যে নেই।
মনে রাখুন: |x − a| < b ⇒ a − b < x < a + b: ৩ − ৫ = −২, ৩ + ৫ = ৮।
পুরো পাতা ›
৯৪৮. 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক728
2. খ286
3. গ364
4. ঘ1001
সঠিক উত্তর: খ. 286
এটা সমাবেশ বা বাছাইয়ের প্রশ্ন, যেখানে একজন আগে থেকেই নিশ্চিত। নিয়ম হলো: যিনি নিশ্চিত, তাকে আগেই দলে বসিয়ে দিন, তারপর বাকি জায়গাগুলো বাকিদের মধ্য থেকে বাছুন।
অধিনায়ক নির্দিষ্ট, তাই ১৪ জনের মধ্যে তিনি বাদে থাকেন ১৩ জন, আর দলে খালি থাকে ১১ বিয়োগ ১, মানে ১০টি জায়গা। কাজটা হলো ১৩ জন থেকে ১০ জন বাছাই।
১৩ থেকে ১০ জন বাছা আর ১৩ থেকে ৩ জন বাদ দেওয়া একই কথা। তাই মান ১৩ গুণ ১২ গুণ ১১ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ১৭১৬ ভাগ ৬, অর্থাৎ ২৮৬।
ফাঁদ হলো ৩৬৪, যা আসে অধিনায়কের শর্ত ভুলে ১৪ জন থেকে ১১ জন বাছলে। আর ১০০১ আসে ১৪ জন থেকে ১০ জন বাছলে, মানে অধিনায়ককে বাকিদের মধ্যেও রেখে দিলে।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k জন থাকলে উত্তর ⁿ⁻ᵏCᵣ₋ₖ: ¹³C₁₀ = ¹³C₃ = ২৮৬।
পুরো পাতা ›
৯৪৯. 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70। এদের মধ্যে 60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক55.5
2. খ60.5
3. গ65.5
4. ঘ62.5
সঠিক উত্তর: ঘ. 62.5
গড়ের প্রশ্নে সবচেয়ে নিরাপদ কৌশল হলো গড়কে মোটে রূপান্তর করা, কারণ মোট যোগ বিয়োগ করা যায়, গড় সরাসরি করা যায় না।
১০০ জনের গড় ৭০, তাই সবার মোট নম্বর ৭০০০। ৬০ জন ছাত্রীর গড় ৭৫, তাই তাদের মোট ৪৫০০।
বাকি নম্বর ৭০০০ বিয়োগ ৪৫০০, মানে ২৫০০, এটা ৪০ জন ছাত্রের। তাই ছাত্রদের গড় ২৫০০ ভাগ ৪০, অর্থাৎ ৬২ দশমিক ৫।
যাচাই: ছাত্রীরা গড়ের চেয়ে ৫ বেশি পেয়েছে, ৬০ জনে মোট ৩০০ বেশি। ছাত্রদের সেটা পুষিয়ে দিতে হবে ৪০ জনে ৩০০ কম, মানে প্রত্যেকে সাড়ে ৭ কম; ৭০ বিয়োগ সাড়ে ৭ সমান সাড়ে ৬২।
মনে রাখুন: ব্যবধানে হিসাব: ছাত্রী +৫ × ৬০ = +৩০০; ছাত্রদের −৩০০ ÷ ৪০ = −৭.৫; গড় ৭০ − ৭.৫ = ৬২.৫।
পুরো পাতা ›
৯৫০. 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কতজন কথা বলতে পারেন? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক10
2. খ15
3. গ40
4. ঘ30
সঠিক উত্তর: গ. 40
এটা সেটের প্রশ্ন: দুই দলে কেউ কেউ দুটোতেই আছেন। এখানে মূল তথ্য হলো, প্রত্যেকে অন্তত একটি ভাষা জানেন, তাই কেউ বাইরে নেই।
ইংরেজি জানেন ৩৫ জন, তাদের ২৫ জন বাংলাও জানেন। তাহলে শুধু ইংরেজি জানেন, বাংলা জানেন না, এমন মানুষ ৩৫ বিয়োগ ২৫, মানে ১০ জন।
৫০ জনের মধ্যে এই ১০ জন ছাড়া বাকি সবাই বাংলা জানেন, কারণ সবাই অন্তত একটা ভাষা জানেন। তাই বাংলা জানেন ৫০ বিয়োগ ১০, মানে ৪০ জন।
সূত্রেও মেলে: মোট সমান ইংরেজি যোগ বাংলা বিয়োগ উভয়, অর্থাৎ ৫০ সমান ৩৫ যোগ বাংলা বিয়োগ ২৫। ফাঁদ হলো ১৫, যা শুধু বাংলা জানেন এমন মানুষের সংখ্যা; প্রশ্ন চেয়েছে মোট বাংলা জানা মানুষ।
মনে রাখুন: বাংলা = মোট − শুধু ইংরেজি = ৫০ − (৩৫ − ২৫) = ৪০।
পুরো পাতা ›
৯৫১. CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক2
2. খ3
3. গ4
4. ঘ5
সঠিক উত্তর: ক. 2
প্রশ্নটা পুনরাবৃত্ত বর্ণসহ বিন্যাস যাচাই করছে। n টি বর্ণের বিন্যাস n ফ্যাক্টোরিয়াল, কিন্তু কোনো বর্ণ বারবার থাকলে তাদের নিজেদের অদলবদলে নতুন শব্দ হয় না, তাই প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হয়।
CALCUTTA তে ৮টি বর্ণ, যেখানে C, A, T প্রতিটি দুবার। তাই বিন্যাস ৮ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২ গুণ ২ গুণ ২, মানে ৪০৩২০ ভাগ ৮, অর্থাৎ ৫০৪০।
AMERICA তে ৭টি বর্ণ, শুধু A দুবার। তাই বিন্যাস ৭ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২, মানে ৫০৪০ ভাগ ২, অর্থাৎ ২৫২০।
৫০৪০ হলো ২৫২০ এর ঠিক ২ গুণ। সাধারণ ভুল হলো পুনরাবৃত্তি ভুলে যাওয়া: CALCUTTA তে ভাগ না করলে অনুপাত দাঁড়ায় ১৬, আর AMERICA তে A দুবার ভুললে অনুপাত হয় ১।
মনে রাখুন: ৮!/(২!)³ ÷ ৭!/২! = ৮ ÷ (২!)² = ৮ ÷ ৪ = ২; বড় সংখ্যা গুনতেই হয় না।
পুরো পাতা ›
৯৫২. .০৩ × .০০৬ × .০০৭ =? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক.০০০১২৬
2. খ.০০০০০১২৬
3. গ.০০০১২৬০
4. ঘ.১২৬০০০
সঠিক উত্তর: খ. .০০০০০১২৬
দশমিক সংখ্যা গুণ করার নিয়ম: দশমিক বিন্দু বাদ দিয়ে সাধারণ সংখ্যার মতো গুণ করুন, তারপর সব গুণ্যের দশমিকের পরের অঙ্কসংখ্যা যোগ করে ফলের ডান দিক থেকে ততঘর গুনে বিন্দু বসান।
অঙ্কগুলো গুণ: ৩ গুণ ৬ গুণ ৭ সমান ১২৬।
দশমিকের পরের অঙ্ক গুনি: দশমিক শূন্য তিনে ২টি, দশমিক শূন্য শূন্য ছয়ে ৩টি, দশমিক শূন্য শূন্য সাতে ৩টি; মোট ৮টি। তাই ১২৬ কে ৮ ঘর সরাতে হবে: দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য এক দুই ছয়।
খেয়াল করুন, দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য এক দুই ছয়, আর শেষে একটা বাড়তি শূন্যসহ একই লেখা, এই দুই বিকল্পের মান আসলে এক, কারণ শেষের শূন্য মান বদলায় না। দুটোতেই অর্থপূর্ণ অঙ্ক শেষ হয় দশমিকের পর ৬ ঘরে, তাই এরা উত্তরের চেয়ে ১০০ গুণ বড়।
মনে রাখুন: গুণফলে দশমিক ঘর = সব গুণ্যের দশমিক ঘরের যোগফল (২ + ৩ + ৩ = ৮)।
পুরো পাতা ›
৯৫৩. নিচের নম্বর সিরিজে কোনটি বসবে? ১, ২, ৮, ৪৮, ৩৮৪ (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক১৯৮০
2. খ২৮৪০
3. গ৩৮৪০
4. ঘ৪৬২০
সঠিক উত্তর: গ. ৩৮৪০
সংখ্যা ধারার প্রশ্নে প্রথমে দেখুন পরপর পদের মধ্যে পার্থক্য বাড়ছে, নাকি অনুপাত। এখানে সংখ্যাগুলো দ্রুত বাড়ছে, তাই অনুপাত দেখা ভালো।
১ থেকে ২ পেতে ২ দিয়ে গুণ, ২ থেকে ৮ পেতে ৪ দিয়ে, ৮ থেকে ৪৮ পেতে ৬ দিয়ে, ৪৮ থেকে ৩৮৪ পেতে ৮ দিয়ে। গুণকগুলো জোড় সংখ্যা: ২, ৪, ৬, ৮।
তাই পরের গুণক ১০, আর পরের পদ ৩৮৪ গুণ ১০, মানে ৩৮৪০।
অন্য বিকল্পগুলো ৩৮৪ এর পূর্ণ গুণিতকই নয়, তাই গুণের ধারায় বসতে পারে না।
মনে রাখুন: অনুপাত ২, ৪, ৬, ৮ → পরের ১০; ৩৮৪ এর শেষে একটা শূন্য বসান।
পুরো পাতা ›
৯৫৪. আপনার কাছে পাঁচটি আধুলি, ৮টা সিকি আছে। আর কয়টা ১০ পয়সার মুদ্রা দিলে মোট ৫ টাকা হবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক১০
2. খ১৫
3. গ৫
4. ঘ০৩
সঠিক উত্তর: গ. ৫
মুদ্রার প্রশ্নে সব টাকা পয়সায় রূপান্তর করলে হিসাব সহজ হয়। এক টাকা সমান ১০০ পয়সা, আধুলি মানে ৫০ পয়সা, আর সিকি মানে ২৫ পয়সা।
৫টি আধুলি সমান ২৫০ পয়সা। ৮টি সিকি সমান ২০০ পয়সা। দুটো মিলে ৪৫০ পয়সা, মানে ৪ টাকা ৫০ পয়সা।
লক্ষ্য ৫ টাকা, মানে ৫০০ পয়সা। বাকি থাকে ৫০ পয়সা, আর ৫০ পয়সা হয় ৫টি দশ পয়সার মুদ্রায়।
আধুলি আর সিকির মান গুলিয়ে ফেললে ভুল হয়। ১০টি মুদ্রা দিলে হতো ১ টাকা, তখন মোট ৫ টাকা ৫০ পয়সা, ৫ টাকার বেশি।
মনে রাখুন: সব পয়সায়: ৫০০ − (৫ × ৫০ + ৮ × ২৫) = ৫০ পয়সা = ৫টি।
পুরো পাতা ›
৯৫৫. ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক১১০
2. খ১৫০
3. গ১২৫
4. ঘ১৬০
সঠিক উত্তর: খ. ১৫০
শতাংশের প্রশ্নে আগে ঠিক করুন ভিত্তি কোনটা। “১২ এর কত শতাংশ” কথাটা বলছে ভিত্তি ১২, মানে ১২ কে ১০০ শতাংশ ধরতে হবে।
তাহলে ১৮ কে ১২ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ: ১৮ ভাগ ১২ সমান দেড়, আর দেড় গুণ ১০০ সমান ১৫০ শতাংশ।
অন্যভাবে: ১৮ হলো ১২ যোগ ৬। ৬ হলো ১২ এর অর্ধেক, মানে ৫০ শতাংশ; তাই ১৮ হলো ১০০ যোগ ৫০, অর্থাৎ ১৫০ শতাংশ।
ফলাফল ১০০ এর বেশি হওয়ায় অনেকে দ্বিধায় পড়েন, কিন্তু কোনো সংখ্যা ভিত্তির চেয়ে বড় হলে শতাংশ ১০০ ছাড়াবেই।
মনে রাখুন: “a এর কত শতাংশ b” = b ÷ a × ১০০ = ১৮ ÷ ১২ × ১০০ = ১৫০।
পুরো পাতা ›
৯৫৬. 3/x + 4/(x+1) = 2 হলে x = ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক1
2. খ3
3. গ2
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: খ. 3
প্রশ্নটা ভগ্নাংশযুক্ত সমীকরণ সমাধান যাচাই করছে। দ্বিতীয় পদের হর x যোগ ১; আক্ষরিকভাবে চার ভাগ x যোগ ১ পড়লে উত্তর হয় ৭, যা কোনো বিকল্পে নেই।
হর দূর করতে দুই পাশকে x গুণ x যোগ ১ দিয়ে গুণ করি। পাই ৩ গুণ x যোগ ১, যোগ ৪x, সমান ২x গুণ x যোগ ১; অর্থাৎ ৭x যোগ ৩ সমান ২x এর বর্গ যোগ ২x।
সাজালে ২x এর বর্গ বিয়োগ ৫x বিয়োগ ৩ সমান শূন্য, যার উৎপাদক x বিয়োগ ৩ গুণ ২x যোগ ১। তাই x সমান ৩, অথবা ঋণাত্মক অর্ধেক; বিকল্পে আছে ৩।
বিকল্প বসিয়ে যাচাই সবচেয়ে দ্রুত: x তিন হলে ৩ ভাগ ৩ সমান ১, আর ৪ ভাগ ৪ সমান ১, যোগফল ২।
মনে রাখুন: বিকল্প বসান: x = ৩ এ ৩/৩ + ৪/৪ = ২, সঙ্গে সঙ্গে মিলে যায়।
পুরো পাতা ›
৯৫৭. x⁻³ − 0.001 = 0 হলে x² = ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক100
2. খ10
3. গ110
4. ঘ1100
সঠিক উত্তর: ক. 100
প্রশ্নটা ঋণাত্মক সূচকের ধারণা যাচাই করছে। x এর ঘাত ঋণাত্মক ৩ মানে ১ কে x এর ঘন দিয়ে ভাগ। ছাপায় ঘাত হারিয়ে গেছে; x বিয়োগ ৩ পড়লে কোনো বিকল্প মেলে না, তাই ঘাত ঋণাত্মক ৩ ধরাই একমাত্র সংগত পাঠ।
শর্ত থেকে x এর ঘাত ঋণাত্মক ৩ সমান দশমিক শূন্য শূন্য এক, মানে এক হাজার ভাগের এক। অর্থাৎ ১ কে x এর ঘন দিয়ে ভাগ করলে পাই এক হাজার ভাগের এক, তাই x এর ঘন ১০০০।
১০০০ হলো ১০ এর ঘন, তাই x সমান ১০। এখন x এর বর্গ মানে ১০ গুণ ১০, অর্থাৎ ১০০।
ফাঁদ হলো ১০, কারণ ওটা x এর মান; প্রশ্ন চেয়েছে x এর বর্গ। শেষ ধাপে কী চাওয়া হয়েছে, আবার পড়ে নিন।
মনে রাখুন: ০.০০১ = ১০⁻³, তাই x = ১০ সরাসরি দেখা যায়; বর্গ ১০০।
পুরো পাতা ›
৯৫৮. log₃(1/9) = ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক2
2. খ3
3. গ-2
4. ঘ-3
সঠিক উত্তর: গ. -2
লগারিদমের সংজ্ঞা: ভিত্তি a তে কোনো সংখ্যার লগ মানে, a কে কোন ঘাতে তুললে সেই সংখ্যা পাওয়া যায়। এখানে প্রশ্ন: ৩ কে কোন ঘাতে তুললে নয় ভাগের এক হয়?
৯ হলো ৩ এর বর্গ। আর কোনো সংখ্যার উল্টো মানে ঋণাত্মক ঘাত, তাই নয় ভাগের এক হলো ৩ এর ঘাত ঋণাত্মক ২।
অতএব ভিত্তি ৩ তে নয় ভাগের এক এর লগ সমান ঋণাত্মক ২।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ধনাত্মক ২, যা ভিত্তি ৩ তে ৯ এর লগ। নিয়ম মনে রাখুন: ১ এর চেয়ে ছোট সংখ্যার লগ, ভিত্তি ১ এর বেশি হলে, সবসময় ঋণাত্মক।
মনে রাখুন: logₐ(১/b) = −logₐb; log₃৯ = ২, তাই উত্তর −২।
পুরো পাতা ›
৯৫৯. একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক1/2
2. খ1/4
3. গ-1/2
4. ঘ-1/4
সঠিক উত্তর: ঘ. -1/4
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রতিটি পদ আগের পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়, এটাই সাধারণ অনুপাত r। n তম পদ হলো প্রথম পদ a গুণ r এর ঘাত n বিয়োগ ১।
দ্বিতীয় পদ a গুণ r, সমান ঋণাত্মক ৪৮। পঞ্চম পদ a গুণ r এর চতুর্থ ঘাত, সমান চার ভাগের তিন। দুটো ভাগ করলে a কেটে যায় আর থাকে r এর ঘন।
r এর ঘন সমান চার ভাগের তিন কে ঋণাত্মক ৪৮ দিয়ে ভাগ, মানে ঋণাত্মক চৌষট্টি ভাগের এক। ৬৪ হলো ৪ এর ঘন, তাই r সমান ঋণাত্মক চার ভাগের এক।
চিহ্নটাই আসল ফাঁদ। দ্বিতীয় পদ ঋণাত্মক আর পঞ্চম ধনাত্মক; বিজোড়বার গুণে চিহ্ন বদলেছে, তাই r অবশ্যই ঋণাত্মক। ধনাত্মক চার ভাগের এক নিলে পঞ্চম পদ হয় ঋণাত্মক চার ভাগের তিন।
মনে রাখুন: দুই পদের ব্যবধান ৩ ধাপ, তাই r³ = পঞ্চম ÷ দ্বিতীয়; চিহ্ন বদলালে r ঋণাত্মক।
পুরো পাতা ›
৯৬০. নিচের দুইটি প্রশ্নবোধ চিহ্নের জায়গায় কোন সংখ্যাটি বসবে? ৭/?=?/৩৪৩ (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক৭
2. খ৭৭
3. গ৩৪৩
4. ঘ৪৯
সঠিক উত্তর: ঘ. ৪৯
প্রশ্নে দুটো প্রশ্নবোধক চিহ্নে একই সংখ্যা বসবে: ৭ কে x দিয়ে ভাগ করলে যা হয়, x কে ৩৪৩ দিয়ে ভাগ করলেও তা-ই। এ ধরনের সমানুপাতে x কে বলে ৭ আর ৩৪৩ এর মধ্যসমানুপাতী।
আড়গুণন করলে x এর বর্গ সমান ৭ গুণ ৩৪৩, মানে ২৪০১। তাই x সমান ২৪০১ এর বর্গমূল, অর্থাৎ ৪৯।
কেন ৪৯: ৩৪৩ হলো ৭ এর ঘন, তাই ৭ গুণ ৩৪৩ হলো ৭ এর চতুর্থ ঘাত, যার বর্গমূল ৭ এর বর্গ, মানে ৪৯। দুই পাশই তখন সাত ভাগের এক।
৭ বা ৩৪৩ বসালে এক পাশ ১ আর অন্য পাশ উনপঞ্চাশ ভাগের এক হয়, সমান হয় না।
মনে রাখুন: মধ্যসমানুপাতী = √(a × b) = √(৭ × ৩৪৩) = ৭² = ৪৯।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৯৬১–৯৮০ ›