গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৫৩
১০৪১. ১.১, .০১, ও .০০১১ -এর সমষ্টি কত? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক০.০১১১১
- খ১.১১১১
- গ১১.১১০১
- ঘ১.১০১১১
সঠিক উত্তর: খ. ১.১১১১
দশমিক সংখ্যা যোগের মূল নিয়ম: দশমিক বিন্দুগুলো একই সারিতে রেখে ঘর মিলিয়ে যোগ করা। ঘর সমান করতে শেষে শূন্য বসালে মান বদলায় না।
তিনটি সংখ্যাকে দশমিকের পরে চার ঘর করে লিখি: ১ দশমিক ১০০০, শূন্য দশমিক ০১০০, আর শূন্য দশমিক ০০১১।
এবার ঘর ধরে যোগ করলে এককের ঘরে ১, আর দশমিকের পরে প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ প্রতিটি ঘরে একটি করে ১ পড়ে। ফল ১ দশমিক ১১১১।
আন্দাজ দিয়েও যাচাই করা যায়: ১ দশমিক ১ এর সঙ্গে শূন্য দশমিক শূন্য ১ যোগ করলেই ১ দশমিক ১১, তাই যোগফল ১ দশমিক ১১ এর একটু বেশি হবে; অপশনে এমন একটাই আছে। চতুর্থ অপশন ১ দশমিক ১০১১১ তার চেয়ে ছোট, প্রথমটি ১ এর চেয়েও ছোট, আর তৃতীয়টি প্রায় দশ গুণ বড়।
মনে রাখুন: আন্দাজ: ১.১ + ০.০১ = ১.১১, তার সঙ্গে আরও সামান্য যোগ; অপশনে ১.১১-এর একটু বেশি শুধু ১.১১১১।
১০৪২. পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে- (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক৯
- খ১২
- গ১৪
- ঘ১৫
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৫
পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল দেওয়া থাকলে সংখ্যাগুলো খোঁজার দ্রুত উপায় হলো ঘনমূল আন্দাজ করা। তিনটি কাছাকাছি সংখ্যার গুণফল মাঝের সংখ্যার ঘনের কাছাকাছি হয়।
১২০ এর ঘনমূল ৫ এর কাছাকাছি, কারণ ৫ এর ঘন ১২৫। তাই মাঝের সংখ্যা ৫ ধরে যাচাই করি: ৪ গুণ ৫ গুণ ৬ সমান ১২০। মিলে গেছে।
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫ ও ৬, আর তাদের যোগফল ১৫। লক্ষ্য করুন, পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল সবসময় মাঝের সংখ্যার তিনগুণ।
এই নিয়ম থেকেই বোঝা যায় ১৪ কখনো উত্তর হতে পারে না, কারণ ১৪ তিন দিয়ে বিভাজ্য নয়। ৯ হলো ২, ৩, ৪ এর যোগফল যাদের গুণফল ২৪; আর ১২ হলো ৩, ৪, ৫ এর যোগফল যাদের গুণফল ৬০।
মনে রাখুন: পরপর তিনটি সংখ্যার যোগফল = ৩ × মাঝের সংখ্যা; ৩-এর গুণিতক নয় এমন অপশন সরাসরি বাদ।
১০৪৩. Which of the following integers has the most divisors? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক88
- খ91
- গ95
- ঘ99
সঠিক উত্তর: ক. 88
কোনো সংখ্যার ভাজক বা উৎপাদকের সংখ্যা গুনতে তাকে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙতে হয়। প্রতিটি মৌলিকের ঘাতের সঙ্গে ১ যোগ করে সেগুলো গুণ করলেই মোট ভাজকের সংখ্যা।
৮৮ হলো ২ এর ঘন গুণ ১১। ঘাত ৩ আর ১, তাই ভাজক ৪ গুণ ২, মানে ৮টি।
৯১ হলো ৭ গুণ ১৩, আর ৯৫ হলো ৫ গুণ ১৯; দুটিরই ভাজক ২ গুণ ২, মানে ৪টি। ৯৯ হলো ৩ এর বর্গ গুণ ১১, তাই ভাজক ৩ গুণ ২, মানে ৬টি।
তাই সবচেয়ে বেশি ভাজক ৮৮ এর। বড় সংখ্যার বেশি ভাজক থাকবে ভাবা ভুল; ছোট মৌলিক বারবার থাকলে ভাজক বেশি হয়।
মনে রাখুন: ভাজকের সংখ্যা = প্রতিটি মৌলিকের (ঘাত + ১)-এর গুণফল।
১০৪৪. Successive discount of 20% and 15% are equal to a single discount of- (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক30%
- খ32%
- গ34%
- ঘ35%
সঠিক উত্তর: খ. 32%
পরপর দুটি ছাড় কখনো সরাসরি যোগ হয় না, কারণ দ্বিতীয় ছাড়টা হয় প্রথম ছাড়ের পরের কমে যাওয়া দামের উপর।
দাম ১০০ ধরি। ২০ শতাংশ ছাড়ে দাম হয় ৮০। এবার ৮০ এর ১৫ শতাংশ, মানে ১২ ছাড় দিলে দাম হয় ৬৮।
১০০ থেকে ৬৮, মোট ৩২ কমেছে, অর্থাৎ একক ছাড় ৩২ শতাংশ। সূত্রে: a যোগ b বিয়োগ a গুণ b ভাগ ১০০, মানে ২০ যোগ ১৫ বিয়োগ ৩, সমান ৩২।
ফাঁদ হলো ২০ আর ১৫ যোগ করে ৩৫ শতাংশ বলা। দ্বিতীয় ছাড় ছোট ভিত্তির উপর হয় বলে মোট ছাড় সবসময় দুই হারের যোগফলের চেয়ে কম।
মনে রাখুন: a + b − ab/১০০ = ২০ + ১৫ − ৩ = ৩২%।
১০৪৫. City B is 5 miles east of city A. City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closest to the distance from city A to City C? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক11 miles
- খ12 miles
- গ13 miles
- ঘ14 miles
সঠিক উত্তর: ঘ. 14 miles
দিক ও দূরত্বের প্রশ্নে প্রতিটি সরণকে পূর্ব-পশ্চিম আর উত্তর-দক্ষিণ এই দুই অংশে ভাঙতে হয়। দক্ষিণ-পূর্ব মানে পূর্ব আর দক্ষিণের ঠিক মাঝখানের দিক, পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি কোণে।
B থেকে দক্ষিণ-পূর্বে ১০ মাইল গেলে পূর্বে যায় প্রায় ৭ দশমিক ০৭ মাইল আর দক্ষিণেও প্রায় ৭ দশমিক ০৭ মাইল, কারণ ১০ কে ২ এর বর্গমূল দিয়ে ভাগ করলে এটাই হয়।
A থেকে হিসাব করলে C আছে পূর্বে ৫ যোগ ৭ দশমিক ০৭, মানে প্রায় ১২ দশমিক ০৭ মাইল, আর দক্ষিণে ৭ দশমিক ০৭ মাইল। পিথাগোরাসে দূরত্বের বর্গ প্রায় ১৪৫ দশমিক ৭ যোগ ৫০, মানে ১৯৫ দশমিক ৭; এর বর্গমূল প্রায় ১৩ দশমিক ৯৯, অর্থাৎ প্রায় ১৪ মাইল।
দক্ষিণ-পূর্বকে সরাসরি দক্ষিণ ধরলে দূরত্ব হতো ১২৫ এর বর্গমূল, প্রায় ১১; এটাই প্রথম অপশনের ফাঁদ। আবার ১২ হলো শুধু পূর্ব দিকের সরণ, দক্ষিণের অংশ বাদ দিলে আসে।
মনে রাখুন: কোসাইন সূত্রে (B-তে কোণ ১৩৫°): AC² = ৫² + ১০² + ২ × ৫ × ১০ × cos৪৫° ≈ ১৯৫.৭, AC ≈ ১৪।
১০৪৬. ৪ টি ১ টাকার নোট ও ৮ টি ২ টাকার নোট একত্রে ৮টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক১/৪
- খ১/২
- গ১/৮
- ঘ১/১৬
সঠিক উত্তর: খ. ১/২
এখানে নোটের সংখ্যা নয়, টাকার মূল্য তুলনা করতে হবে। কত অংশ জানতে ছোট মূল্যকে বড় মূল্য দিয়ে ভাগ করতে হয়।
৪টি ১ টাকার নোট মানে ৪ টাকা, আর ৮টি ২ টাকার নোট মানে ১৬ টাকা; একত্রে ২০ টাকা। ৮টি ৫ টাকার নোট মানে ৪০ টাকা।
২০ টাকা হলো ৪০ টাকার অর্ধেক, তাই উত্তর ২ ভাগের ১।
নোট গুনে তুলনা করলে ১২টি নোট বনাম ৮টি নোট দাঁড়ায়, যা কোনো অপশনের সঙ্গেই মেলে না; তাই সবসময় টাকার অঙ্কে রূপান্তর করুন।
মনে রাখুন: নোটকে টাকায় বদলে ভাগ: ২০/৪০ = ১/২।
১০৪৭. 1.16 এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি? (২৯তম বিসিএস, ২০০৯)
- ক1(1/6)
- খ1(8/45)
- গ1(16/99)
- ঘ1(4/25)
সঠিক উত্তর: ঘ. 1(4/25)
দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে নিতে দশমিকের পরে যত অঙ্ক, হরে ১ এর পরে তত শূন্য বসাতে হয়। তারপর লব ও হরকে লঘিষ্ঠ আকারে আনতে হয়।
১ দশমিক ১৬ মানে ১ পূর্ণ আর ১৬ ভাগ ১০০। ১৬ আর ১০০ দুটোকেই ৪ দিয়ে ভাগ করলে পাই ৪ ভাগ ২৫। তাই উত্তর ১ পূর্ণ ৪ ভাগ ২৫।
পৌনঃপুনিক দশমিক হলে উত্তর বদলে যায়। শুধু ৬ পৌনঃপুনিক হলে মান ১ পূর্ণ ১ ভাগ ৬, আর ১৬ দুটোই পৌনঃপুনিক হলে ১ পূর্ণ ১৬ ভাগ ৯৯। প্রশ্নে কোনো পৌনঃপুনিক চিহ্ন নেই, তাই সাধারণ দশমিক ধরেই উত্তর।
অপশনগুলো এমনভাবে সাজানো যাতে পৌনঃপুনিক আর সাধারণ দশমিক গুলিয়ে যায়; তাই প্রশ্নে চিহ্ন আছে কিনা আগে ভালো করে দেখুন।
মনে রাখুন: যাচাই: ৪/২৫ = ১৬/১০০ = ০.১৬।
১০৪৮. 30% of 10 is 10% of which? (২৮তম বিসিএস, ২০০৮)
- ক30
- খ60
- গ40
- ঘ600
সঠিক উত্তর: ক. 30
কোনো সংখ্যার নির্দিষ্ট শতাংশ মানে সংখ্যাটাকে হার দিয়ে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ। এখানে আগে বাম দিকের মানটা বের করে, তারপর অজানা সংখ্যাটা খুঁজতে হবে।
১০ এর ৩০ শতাংশ হলো ৩। এবার প্রশ্ন দাঁড়াল, ৩ কোন সংখ্যার ১০ শতাংশ।
১০ শতাংশ মানে দশ ভাগের এক ভাগ, তাই পুরো সংখ্যাটা ৩ এর দশ গুণ, মানে ৩০। একটা সুন্দর নিয়মও আছে: a এর b শতাংশ আর b এর a শতাংশ সবসময় সমান, তাই ১০ এর ৩০ শতাংশ আর ৩০ এর ১০ শতাংশ একই।
যাচাই করলেই বাকি অপশন বাদ পড়ে: ৬০ এর ১০ শতাংশ ৬, ৪০ এর ১০ শতাংশ ৪, আর ৬০০ এর ১০ শতাংশ ৬০; কোনোটিই ৩ নয়।
মনে রাখুন: a-এর b% = b-এর a%: ১০-এর ৩০% = ৩০-এর ১০%, তাই উত্তর ৩০।
১০৪৯. If a man swims 4 meters upstream at 1 mph and back downstream to the same point at 4 mph, what is his average speed? (২৮তম বিসিএস, ২০০৮)
- ক0.8 mph
- খ1.6 mph
- গ2.4 mph
- ঘ3.2 mph
সঠিক উত্তর: খ. 1.6 mph
সমান দূরত্ব দুটি ভিন্ন গতিতে গেলে গড় গতি দুই গতির সাধারণ গড় হয় না। গড় গতি সবসময় মোট দূরত্ব ভাগ মোট সময়।
প্রশ্নে দূরত্ব মিটারে আর গতি মাইল প্রতি ঘণ্টায় দেওয়া, তবে গড় গতি দূরত্বের উপর নির্ভর করে না। হিসাব সহজ করতে একমুখী দূরত্ব ৪ মাইল ধরি। উজানে ঘণ্টায় ১ মাইল বেগে ৪ মাইল যেতে লাগে ৪ ঘণ্টা, আর ভাটিতে ঘণ্টায় ৪ মাইল বেগে ফিরতে লাগে ১ ঘণ্টা। মোট পথ ৮ মাইল, মোট সময় ৫ ঘণ্টা।
তাহলে গড় গতি ৮ ভাগ ৫, মানে ঘণ্টায় ১ দশমিক ৬ মাইল। সূত্র আকারে, সমান দূরত্বে গড় গতি সমান দুই গুণ x গুণ y ভাগ x যোগ y; এখানে ২ গুণ ১ গুণ ৪ ভাগ ৫।
সাধারণ গড় ২ দশমিক ৫ ধরা মূল ভুল; ধীর গতিতে বেশি সময় কাটে বলে গড় ধীর গতির দিকে ঝুঁকে থাকে।
মনে রাখুন: সমান দূরত্বে গড় গতি = ২xy/(x + y) = ২ × ১ × ৪/৫ = ১.৬।
১০৫০. ৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪৫%
- খ৪৮.৫০%
- গ৫২.৭৫%
- ঘ৫৬.২৫%
সঠিক উত্তর: ঘ. ৫৬.২৫%
প্রশ্নটা লাভের শতকরা হার জানতে চেয়েছে। লাভের হার সবসময় কেনা দামের উপর হিসাব হয়: লাভকে কেনা দাম দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ।
আগে একটি জিনিসের দাম বের করি। ৪ টাকায় ৫টি কিনলে একটির কেনা দাম ৪ ভাগ ৫, মানে ৮০ পয়সা। ৫ টাকায় ৪টি বেচলে একটির বেচা দাম ৫ ভাগ ৪, মানে ১ টাকা ২৫ পয়সা। তাহলে প্রতিটিতে লাভ ৪৫ পয়সা।
এখন দেখি ৪৫ পয়সা ৮০ পয়সার কত শতাংশ: ৪৫ কে ৮০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে হয় ৫৬ দশমিক ২৫ শতাংশ।
অনেকে ৪৫ পয়সা লাভ দেখে সরাসরি ৪৫ শতাংশ ধরে নেন। কিন্তু ৪৫ পয়সা ১ টাকার উপর লাভ নয়, ৮০ পয়সার উপর; তাই হার আরও বেশি।
মনে রাখুন: (৫ × ৫ − ৪ × ৪) ÷ (৪ × ৪) × ১০০ = ৯/১৬ × ১০০ = ৫৬.২৫%। “a টাকায় b টি কিনে b টাকায় a টি বেচা” ধরনের সব প্রশ্নে চলে।
১০৫১. এক ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ২৫% বাড়ালো, অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ২৫% কমালো। সর্বশেষ মূল্য সর্বপ্রথম মূল্যের তুলনায়- (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪৫% কমানো হয়েছে
- খ৬.২৫% কমানো হয়েছে
- গ৫% বাড়ানো হয়েছে
- ঘ৬.২৫% বাড়ানো হয়েছে
সঠিক উত্তর: খ. ৬.২৫% কমানো হয়েছে
প্রশ্নটা পরপর দুটি শতকরা পরিবর্তনের মোট প্রভাব জানতে চেয়েছে। মূল কথা হলো, দ্বিতীয় পরিবর্তনটা হয় নতুন দামের উপর, শুরুর দামের উপর নয়।
দাম ১০০ টাকা ধরি। ২৫ শতাংশ বাড়ালে হয় ১২৫ টাকা। এবার ১২৫ টাকার ২৫ শতাংশ, মানে ৩১ দশমিক ২৫ টাকা কমালে থাকে ৯৩ দশমিক ৭৫ টাকা।
শুরুর ১০০ টাকার তুলনায় শেষে ৬ দশমিক ২৫ টাকা কম, অর্থাৎ দাম ৬ দশমিক ২৫ শতাংশ কমেছে। সাধারণ নিয়ম: একই হারে বাড়িয়ে তারপর কমালে সবসময় দাম কমে, আর কমার হার হলো হারের বর্গকে ১০০ দিয়ে ভাগ; এখানে ২৫ গুণ ২৫ ভাগ ১০০।
অনেকে ভাবেন ২৫ বাড়ল আর ২৫ কমল, তাই দাম একই থাকবে বা বাড়বে। কিন্তু কমানোটা বড় ভিত্তির উপর হয়েছে বলে কমার পরিমাণ বেশি; তাই দাম কমেছে, বাড়েনি।
মনে রাখুন: একই হার r% বাড়িয়ে কমালে মোট r²/১০০ % কমে: ২৫²/১০০ = ৬.২৫%।
১০৫২. যদি একটি কাজ ৯ জন লোক ১২ দিনে করতে পারে, অতিরিক্ত ৩ জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৭
- খ৯
- গ১০
- ঘ১২
সঠিক উত্তর: খ. ৯
এটা জন-দিনের প্রশ্ন। একটা কাজে মোট যত শ্রম লাগে তা স্থির থাকে; লোক বাড়লে দিন কমে, মানে লোক আর দিন ব্যস্ত অনুপাতে চলে।
৯ জন ১২ দিনে কাজটা করে, তাই মোট কাজ ৯ গুণ ১২, মানে ১০৮ জন-দিন। অতিরিক্ত ৩ জন যোগ হলে লোক হয় ১২ জন।
১২ জনে ১০৮ জন-দিনের কাজ শেষ করতে লাগবে ১০৮ ভাগ ১২, অর্থাৎ ৯ দিন।
ফাঁদ হলো ১২ দিনই রেখে দেওয়া। লোক বেশি মানে সময় কম, তাই উত্তর অবশ্যই ১২-এর কম হবে।
মনে রাখুন: লোক₁ × দিন₁ = লোক₂ × দিন₂: ৯ × ১২ = ১২ × দিন, দিন = ৯।
১০৫৩. শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪০
- খ৪৮
- গ৫০
- ঘ৬০
সঠিক উত্তর: ঘ. ৬০
প্রশ্নটা মোট খরচ স্থির রেখে মাথাপিছু ভাগের পরিবর্তন নিয়ে। মোট ভাড়া ২৪০০ টাকা বদলায় না; লোক বাড়লে মাথাপিছু ভাড়া কমে।
শুরুতে x জন ধরি। তখন মাথাপিছু ভাড়া ২৪০০ ভাগ x, আর ১০ জন বাড়লে ২৪০০ ভাগ x যোগ ১০। এই দুইয়ের পার্থক্য ৮ টাকা। সমীকরণটা সাজালে দাঁড়ায় x গুণ x যোগ ১০ সমান ৩০০০।
যে দুটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ আর গুণফল ৩০০০, সেগুলো ৫০ আর ৬০। তাই শুরুতে ছিল ৫০ জন, আর বাসে গেছে ৬০ জন। যাচাই: ২৪০০ ভাগ ৫০ হলো ৪৮, ২৪০০ ভাগ ৬০ হলো ৪০; পার্থক্য ঠিক ৮।
বড় ফাঁদ হলো ৫০ লিখে দেওয়া। ৫০ হলো শুরুর পরিকল্পনার সংখ্যা; প্রশ্ন জানতে চেয়েছে আসলে কতজন গিয়েছিল, অর্থাৎ অতিরিক্ত ১০ জনসহ।
মনে রাখুন: অপশন থেকে যাচাই: ২৪০০/৬০ = ৪০ আর ২৪০০/৫০ = ৪৮, পার্থক্য ৮; তাই ৬০ জন।
১০৫৪. পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৩৮ বছর
- খ৪১ বছর
- গ৪৫ বছর
- ঘ৪৮ বছর
সঠিক উত্তর: খ. ৪১ বছর
গড়ের প্রশ্নে মূল কৌশল হলো গড়কে মোটে রূপান্তর করা: মোট সমান গড় গুণ সংখ্যা। মোট পেলে বিয়োগ করেই যার বয়স জানতে চাই তা পাওয়া যায়।
তিনজনের গড় ৩৭, তাই তিনজনের মোট বয়স ৩৭ গুণ ৩, মানে ১১১ বছর। পিতা ও পুত্রের গড় ৩৫, তাই তাদের মোট ৩৫ গুণ ২, মানে ৭০ বছর।
তিনজনের মোট থেকে পিতা ও পুত্রের মোট বাদ দিলে থাকে মাতার বয়স: ১১১ বিয়োগ ৭০, অর্থাৎ ৪১ বছর।
গড় কখনো সরাসরি যোগ বা বিয়োগ করা যায় না, আগে মোট বের করতে হয়। উত্তর যাচাই করাও সহজ: মাতা ৪১ হলে তিনজনের মোট ১১১, গড় ঠিক ৩৭।
মনে রাখুন: মাতা = ৩ × ৩৭ − ২ × ৩৫ = ১১১ − ৭০ = ৪১।
১০৫৫. যদি (x – y)² = 14 এবং xy = 2 হয় তবে x² + y² = কত? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক12
- খ14
- গ16
- ঘ18
সঠিক উত্তর: ঘ. 18
প্রশ্নটা বীজগণিতের একটা মৌলিক সূত্র যাচাই করছে: x বিয়োগ y এর বর্গ সমান x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ বিয়োগ দুই xy।
সূত্রটা উল্টে লিখলে পাই, x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান x বিয়োগ y এর বর্গ যোগ দুই xy। অর্থাৎ বিয়োগে যা বাদ গিয়েছিল, সেটা ফিরিয়ে যোগ করতে হবে।
এখানে x বিয়োগ y এর বর্গ ১৪, আর xy সমান ২, তাই দুই xy সমান ৪। যোগ করলে ১৪ যোগ ৪, মানে ১৮।
সাধারণ ভুল দুটো: দুই xy না নিয়ে শুধু xy যোগ করে ১৬ পাওয়া, অথবা যোগের বদলে বিয়োগ করা। সূত্রের দুই গুণটা কখনো ভুলবেন না।
মনে রাখুন: x² + y² = (x − y)² + ২xy = (x + y)² − ২xy; যেটা দেওয়া আছে সেটা ব্যবহার করুন।
১০৫৬. বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৪
- খ৯
- গ১২
- ঘ৬
সঠিক উত্তর: খ. ৯
প্রশ্নটা মাপ বাড়ালে ক্ষেত্রফল কীভাবে বাড়ে তা যাচাই করছে। বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ, তাই ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে বাড়ে।
ব্যাস তিনগুণ হলে ব্যাসার্ধও তিনগুণ হয়। তখন ব্যাসার্ধের বর্গ হয় ৩ গুণ ৩, মানে ৯ গুণ; তাই ক্ষেত্রফলও ৯ গুণ।
একই নিয়ম সব আকৃতিতে খাটে: দৈর্ঘ্য k গুণ হলে ক্ষেত্রফল k এর বর্গ গুণ, আর আয়তন k এর ঘন গুণ।
ফাঁদ হলো ৩ কে ২ দিয়ে গুণ করে ৬ লেখা; বর্গ মানে সংখ্যাটাকে নিজেকে দিয়ে গুণ। আক্ষরিক অর্থে তিনগুণ বৃদ্ধি মানে চারগুণ হওয়া, তবে অপশন দেখে বোঝা যায় এখানে তিনগুণ হওয়া বোঝানো হয়েছে।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য k গুণ → ক্ষেত্রফল k² গুণ → আয়তন k³ গুণ।
১০৫৭. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৩৬
- খ৪৮
- গ৫৬
- ঘ৭২
সঠিক উত্তর: ক. ৩৬
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের দুই পাশের বাহু সমান। পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী অতিভুজের বর্গ সমান এই দুই বাহুর বর্গের যোগফল।
বাহু a ধরলে অতিভুজের বর্গ সমান দুই গুণ a এর বর্গ। অতিভুজ ১২, তাই ১৪৪ সমান দুই গুণ a এর বর্গ, অর্থাৎ a এর বর্গ ৭২।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমকোণের দুই বাহুর গুণফলের অর্ধেক, মানে a এর বর্গের অর্ধেক: ৭২ এর অর্ধেক ৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার। সংক্ষেপে, ক্ষেত্রফল সমান অতিভুজের বর্গ ভাগ ৪।
সাধারণ ফাঁদ ৭২, যা আসলে a এর বর্গ; ক্ষেত্রফলের জন্য অর্ধেক করতে ভুলে গেলে এটাই আসে।
মনে রাখুন: সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = অতিভুজ²/৪ = ১৪৪/৪ = ৩৬।
১০৫৮. ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৮
- খ১২
- গ১৮
- ঘ১৪০
সঠিক উত্তর: গ. ১৮
মৌলিক সংখ্যা হলো যার ১ আর নিজে ছাড়া কোনো উৎপাদক নেই। ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যের মৌলিক সংখ্যাগুলো চেনাই এই প্রশ্নের কাজ।
৬০ এর ঠিক পরে ৬১ মৌলিক, এটাই ক্ষুদ্রতম। ৮০ থেকে নিচে নামলে প্রথম মৌলিক ৭৯, এটাই বৃহত্তম। পুরো তালিকা: ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩ আর ৭৯।
অন্তর মানে বিয়োগফল: ৭৯ বিয়োগ ৬১ সমান ১৮।
১৪০ হলো ৬১ আর ৭৯ এর যোগফল; অন্তরের বদলে যোগ করলে এই ভুল হয়। কোনো সংখ্যা মৌলিক কিনা দেখতে তার বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক দিয়ে ভাগ করাই যথেষ্ট; ৮০ এর নিচে ২, ৩, ৫ আর ৭ দিয়েই চলে।
মনে রাখুন: শুধু দুই প্রান্ত দরকার: ৭৯ − ৬১ = ১৮; মাঝের মৌলিকগুলো খোঁজার দরকার নেই।
১০৫৯. ১²+২²+৩²+ - - +৫০² = ? (২৭তম বিসিএস, ২০০৫)
- ক৩৫৭২৫
- খ৪২৯২৫
- গ৪৫৫০০
- ঘ৪৭২২৫
সঠিক উত্তর: খ. ৪২৯২৫
প্রশ্নটা প্রথম n টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র যাচাই করছে। সূত্রটি হলো n গুণ n যোগ ১ গুণ দুই n যোগ ১, তারপর পুরোটা ভাগ ৬।
এখানে n সমান ৫০। তাহলে ৫০ গুণ ৫১ গুণ ১০১, ভাগ ৬। ভাগটা আগে সেরে নিলে সহজ: ৫০ কে ২ দিয়ে আর ৫১ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে থাকে ২৫ গুণ ১৭ গুণ ১০১।
২৫ গুণ ১৭ হলো ৪২৫, আর ৪২৫ গুণ ১০১ হলো ৪২৯২৫। এটাই উত্তর।
সূত্র থেকে বোঝা যায়, উত্তরকে অবশ্যই ১০১ দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। বাকি তিনটি অপশন ১০১ দিয়ে ভাগ যায় না, তাই পুরো হিসাব না করেও এগুলো বাদ দেওয়া যায়।
মনে রাখুন: উত্তর অবশ্যই ১০১ (= ২n + ১) দিয়ে বিভাজ্য: অপশনগুলোর মধ্যে শুধু ৪২৯২৫ = ১০১ × ৪২৫।