গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৪৫

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৪৫/৫৩ · প্রশ্ন ৮৮১–৯০০সব উত্তর দেখান

৮৮১. In a two digit number, the digit in the unit's place is two more than the three times of the digit in ten's place. If the sum of the two digits is 6, the number is (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. ক51
2. খ24
3. গ15
4. ঘ42
সঠিক উত্তর: গ. 15
দুই অঙ্কের সংখ্যার প্রশ্নে দশকের অঙ্ককে একটা চলক ধরে একক অঙ্ককে তার মাধ্যমে লিখতে হয়। এখানে একক অঙ্ক হলো দশকের অঙ্কের ৩ গুণের চেয়ে ২ বেশি।
দশকের অঙ্ক x ধরলে একক অঙ্ক ৩x যোগ ২। দুই অঙ্কের যোগফল ৬, তাই x যোগ ৩x যোগ ২ সমান ৬, মানে ৪x সমান ৪, x সমান ১।
তাহলে দশকের অঙ্ক ১, একক অঙ্ক ৫, সংখ্যাটি ১৫। যাচাই: ১ এর ৩ গুণ ৩, তার সঙ্গে ২ যোগে ৫; আর ১ যোগ ৫ হয় ৬।
ফাঁদ হলো ৫১: এখানে অঙ্ক দুটো ঠিক, কিন্তু জায়গা উল্টো। ৪২ আর ২৪-এর যোগফলও ৬, কিন্তু প্রথম শর্ত মানে না।
মনে রাখুন: অপশনে যোগফল ৬ সবারই; দেখুন কোনটির একক অঙ্ক = ৩ × দশক + ২: শুধু ১৫ (৫ = ৩ × ১ + ২)।
পুরো পাতা ›
৮৮২. A number when divided by 3 leaves a remainder 1. When the quotient is divided by 2, it leaves a remainder 1. What will be the remainder when the number is divided by 6? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. ক2
2. খ3
3. গ4
4. ঘ5
সঠিক উত্তর: গ. 4
প্রশ্নটা ধাপে ধাপে ভাগশেষের। সংখ্যাকে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল q আর ভাগশেষ ১, মানে সংখ্যা সমান ৩q যোগ ১। আবার q কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১, মানে q সমান ২k যোগ ১।
দ্বিতীয়টা প্রথমটায় বসাই: সংখ্যা সমান ৩ গুণ, ২k যোগ ১, তার সঙ্গে ১। খুললে হয় ৬k যোগ ৩ যোগ ১, মানে ৬k যোগ ৪।
৬k অংশটা ৬ দিয়ে পুরো ভাগ যায়, তাই ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪। উদাহরণ: ৪, ১০, ১৬; প্রতিটিতে শর্ত মেলে আর ৬ দিয়ে ভাগশেষ ৪।
ফাঁদ হলো দুটো ভাগশেষ যোগ করে ২ বলা। প্রথম ভাজকের সঙ্গে দ্বিতীয় ভাগশেষ গুণ হয়, তাই সূত্র: ৩ গুণ ১ যোগ ১, মানে ৪।
মনে রাখুন: ভাগশেষ = প্রথম ভাজক × দ্বিতীয় ভাগশেষ + প্রথম ভাগশেষ = ৩ × ১ + ১ = ৪।
পুরো পাতা ›
৮৮৩. A train starts from city Y at 2 pm and travels towards city X at 75 km/hr. Another train starts from city X at 1 pm and travels towards Y at 60 km/hr. If the distance between these two cities is 330km then at what time will they meet? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. ক4:00 pm
2. খ5:00 pm
3. গ5:30 pm
4. ঘ6:00 pm
সঠিক উত্তর: ক. 4:00 pm
দুই ট্রেন বিপরীত দিক থেকে একে অপরের দিকে আসছে, তাই তাদের মধ্যের দূরত্ব কমে দুই গতির যোগফল হারে। তবে এখানে দুই ট্রেন একসঙ্গে ছাড়েনি, সেটাই আসল খেয়াল রাখার বিষয়।
X থেকে ট্রেনটি দুপুর ১টায় ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে ছাড়ে। দুপুর ২টায় অন্য ট্রেন ছাড়ার আগেই সে ৬০ কিলোমিটার চলে যায়। তখন বাকি দূরত্ব ৩৩০ বিয়োগ ৬০, মানে ২৭০ কিলোমিটার।
২টা থেকে দুই ট্রেন একসঙ্গে চলে, দূরত্ব কমে ঘণ্টায় ৬০ যোগ ৭৫, মানে ১৩৫ কিলোমিটার। ২৭০ ভাগ ১৩৫ হয় ২ ঘণ্টা। তাই দেখা হবে বিকেল ৪টায়।
ফাঁদ হলো দেরিতে ছাড়ার ব্যাপারটা ভুলে ৩৩০ কে ১৩৫ দিয়ে ভাগ করা, বা ২ ঘণ্টা ১টা থেকে গুনে ৩টা বলা। সময় গুনতে হবে ২টা থেকে।
মনে রাখুন: আগে ছাড়া ট্রেনের বাড়তি পথ বাদ দাও, তারপর বাকি দূরত্ব ÷ (বেগের যোগফল)।
পুরো পাতা ›
৮৮৪. Two trains P and Q are moving in opposite direction at a rate of 36km/hr and 45km/hr respectively. A passenger is sitting in train P, finds that his train passes train Q in 8 seconds. What is the length of train Q? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. ক195m
2. খ175m
3. গ190m
4. ঘ180m
সঠিক উত্তর: ঘ. 180m
যাত্রী P ট্রেনে বসে Q ট্রেনকে পার হতে দেখছেন। তিনি একটি বিন্দুর মতো, তাই Q ট্রেনের পুরো দৈর্ঘ্য তাঁর পাশ দিয়ে যেতে যে সময় লাগে, সেখান থেকেই Q-এর দৈর্ঘ্য বের হয়। P ট্রেনের দৈর্ঘ্য এখানে লাগে না।
ট্রেন দুটো বিপরীত দিকে চলছে, তাই আপেক্ষিক বেগ দুটোর যোগফল: ৩৬ যোগ ৪৫, মানে ঘণ্টায় ৮১ কিলোমিটার।
কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টাকে মিটার প্রতি সেকেন্ড করতে ৫ ভাগ ১৮ দিয়ে গুণ করি: ৮১ গুণ ৫ ভাগ ১৮, মানে সেকেন্ডে ২২ দশমিক ৫ মিটার। ৮ সেকেন্ডে যায় ১৮০ মিটার, এটাই Q-এর দৈর্ঘ্য।
ফাঁদ হলো বেগ বিয়োগ করা বা দুই ট্রেনের দৈর্ঘ্য যোগ করতে চাওয়া। বিপরীত দিকে বেগ যোগ হয়, আর যাত্রী নিজে বিন্দু।
মনে রাখুন: কিমি/ঘণ্টা × ৫/১৮ = মি/সেকেন্ড; যাত্রী দেখলে শুধু অন্য ট্রেনের দৈর্ঘ্য।
পুরো পাতা ›
৮৮৫. A boat takes 4 hours to cover a certain distance running downstream, while running upstream it requires 8 hours 48 minutes to cover the same distance. Find the ratio between the speed of the current and the speed of the boat? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. ক1 : 2
2. খ3 : 8
3. গ2 : 3
4. ঘ4 : 3
সঠিক উত্তর: খ. 3 : 8
একই দূরত্বে সময় আর বেগ ব্যস্তানুপাতিক। ভাটিতে ৪ ঘণ্টা, উজানে ৮ ঘণ্টা ৪৮ মিনিট মানে ৮ দশমিক ৮ ঘণ্টা। তাই ভাটির বেগ অনুপাত উজানের বেগ সমান ৮ দশমিক ৮ অনুপাত ৪, মানে ১১ অনুপাত ৫।
ভাটির বেগ হলো নৌকার বেগ যোগ স্রোতের বেগ, আর উজানের বেগ হলো নৌকার বেগ বিয়োগ স্রোতের বেগ। তাই নৌকার বেগ দুটোর গড়, আর স্রোতের বেগ দুটোর অন্তরের অর্ধেক।
নৌকার বেগ ১১ যোগ ৫ ভাগ ২, মানে ৮। স্রোতের বেগ ১১ বিয়োগ ৫ ভাগ ২, মানে ৩। প্রশ্ন চেয়েছে স্রোত অনুপাত নৌকা, তাই ৩ অনুপাত ৮।
উল্টো ক্রমে ৮ অনুপাত ৩ লেখা বা ৪৮ মিনিটকে দশমিক ৪৮ ঘণ্টা ধরা, এ দুটোই এখানকার ফাঁদ। ৪৮ মিনিট মানে ৪৮ ভাগ ৬০, মানে শূন্য দশমিক ৮ ঘণ্টা।
মনে রাখুন: সময়ের অনুপাত উল্টে বেগ; নৌকা = যোগ/২, স্রোত = বিয়োগ/২।
পুরো পাতা ›
৮৮৬. Lubana purchases 20kg of pulses at a rate of Tk. 14.25 per kg and 30kg of pulses at a rate of Tk. 11.50 per kg. She decided to mix the two and sold the mixture. To make a profit of 30%, what price per kg should he sell the mixture? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. ক15.60
2. খ14.80
3. গ16.38
4. ঘ18.20
সঠিক উত্তর: গ. 16.38
মিশ্রণের প্রশ্নে আগে মোট কেনা দাম আর মোট ওজন বের করে প্রতি কেজির গড় কেনা দাম বের করতে হয়। তারপর সেই দামের উপর লাভের হার বসাতে হয়।
২০ কেজি ১৪ টাকা ২৫ পয়সা দরে কিনতে লাগে ২৮৫ টাকা। ৩০ কেজি ১১ টাকা ৫০ পয়সা দরে কিনতে লাগে ৩৪৫ টাকা। মোট ৫০ কেজির দাম ৬৩০ টাকা, তাই প্রতি কেজির গড় দাম ১২ টাকা ৬০ পয়সা।
৩০ শতাংশ লাভ করতে বেচা দাম হবে কেনা দামের ১ দশমিক ৩ গুণ: ১২ দশমিক ৬ গুণ ১ দশমিক ৩, মানে ১৬ টাকা ৩৮ পয়সা।
ফাঁদ হলো দুই দরের সাধারণ গড় নেওয়া। দুই পরিমাণ সমান নয়, তাই ওজনভিত্তিক গড় লাগে; সাধারণ গড় নিলে উত্তর বেশি আসে।
মনে রাখুন: ওজনভিত্তিক গড় × (১ + লাভের হার): ১২.৬ × ১.৩ = ১৬.৩৮।
পুরো পাতা ›
৮৮৭. Rahim invested in all Tk. 2,600 in three different schemes at 8%, 4% and 6% per annum simple interest. At the end of the year, he received the same interest in all the three schemes. What is the money invested in scheme having 4% rate of interest? (সোনালী ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ, মুক্তিযোদ্ধা কোটা) (২০১৯)
1. কTk. 700
2. খTk. 800
3. গTk. 750
4. ঘTk. 1,200
সঠিক উত্তর: ঘ. Tk. 1,200
তিনটি প্রকল্পেই এক বছরে সমান সুদ এসেছে। সুদ মানে আসল গুণ হার, তাই সুদ সমান হলে যে প্রকল্পে হার কম, সেখানে আসল বেশি। মানে আসল হারের ব্যস্তানুপাতে ভাগ হয়েছে।
হার ৮, ৪ আর ৬ শতাংশ। ব্যস্ত অনুপাত ১ ভাগ ৮, ১ ভাগ ৪, ১ ভাগ ৬। এদের ২৪ দিয়ে গুণ করলে পাই ৩, ৬, ৪।
অনুপাতের যোগফল ১৩। মোট ২ হাজার ৬০০ টাকাকে ১৩ ভাগে ভাগ করলে প্রতি ভাগ ২০০ টাকা। ৪ শতাংশ প্রকল্পের ভাগ ৬, তাই সেখানে ১ হাজার ২০০ টাকা।
যাচাই: ৬০০ এর ৮ শতাংশ, ১২০০ এর ৪ শতাংশ আর ৮০০ এর ৬ শতাংশ, তিনটিই ৪৮ টাকা। ৮০০ টাকা বেছে নেওয়া ফাঁদ, ওটা ৬ শতাংশ প্রকল্পের অঙ্ক।
মনে রাখুন: সমান সুদ হলে আসল ∝ ১/হার; LCM দিয়ে গুণ করে পূর্ণসংখ্যার অনুপাত নিন।
পুরো পাতা ›
৮৮৮. 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক210
2. খ304
3. গ84
4. ঘ120
সঠিক উত্তর: গ. 84
কমিটি গঠনে ক্রম লাগে না, তাই এটা সমাবেশের প্রশ্ন। কোনো নির্দিষ্ট ব্যক্তি সবসময় থাকবেন বললে তাকে আগেই কমিটিতে বসিয়ে দিন; তখন আসনও এক কমে, বাছাইয়ের লোকও এক কমে।
মোট লোক ৪ জন মহিলা আর ৬ জন পুরুষ, অর্থাৎ ১০ জন। নির্দিষ্ট পুরুষকে বসানোর পর বাকি আসন ৩টি, আর বাছাই করতে হবে বাকি ৯ জন থেকে।
৯ জন থেকে ৩ জন বাছাইয়ের উপায় হলো ৯ গুণ ৮ গুণ ৭ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ৫০৪ কে ৬ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৮৪।
ফাঁদ দুটি। শর্ত ভুলে ১০ জন থেকে ৪ জন নিলে আসে ২১০। আর আসন ৩টি ঠিক ধরে নির্দিষ্ট লোককে বাছাইয়ের তালিকায় রেখে দিলে আসে ১২০।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k জন সবসময় থাকলে: ⁽ⁿ⁻ᵏ⁾C₍ᵣ₋ₖ₎ = ⁹C₃ = ৮৪।
পুরো পাতা ›
৮৮৯. টাকায় 5টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক4 টি
2. খ3 টি
3. গ2 টি
4. ঘকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ক. 4 টি
এখানে দাম নয়, এক টাকায় কয়টা বিক্রি করতে হবে সেটা চাওয়া হয়েছে। মূল কথা: টাকার পরিমাণ এক থাকলে বিক্রির সংখ্যা আর প্রতিটির বিক্রয়মূল্য ব্যস্তানুপাতিক; প্রতিটির দাম বাড়াতে চাইলে টাকায় কম সংখ্যা দিতে হয়।
প্রতিটির ক্রয়মূল্য একশো ধরি। ১২ শতাংশ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৮৮, আর ১০ শতাংশ লাভ করতে বিক্রয়মূল্য হতে হবে ১১০।
৮৮ দামে টাকায় ৫টি দেওয়া যায়। ১১০ দামে দিতে হবে ৫ গুণ ৮৮, মানে ৪৪০, তাকে ১১০ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৪টি।
ফাঁদ হলো দাম বাড়াতে গিয়ে সংখ্যা কমাতে ভুলে যাওয়া বা বেশি কমিয়ে ফেলা। টাকায় ৩টি বা ২টি দিলে লাভ ১০ শতাংশের অনেক বেশি হয়ে যায়।
মনে রাখুন: নতুন সংখ্যা = পুরনো সংখ্যা × (১০০ − ক্ষতি) ÷ (১০০ + লাভ) = ৫ × ৮৮ ÷ ১১০ = ৪।
পুরো পাতা ›
৮৯০. দুটি সংখ্যা অনুপাত 2:3 এবং গ. সা. গু. 4 হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক6
2. খ12
3. গ8
4. ঘ16
সঠিক উত্তর: খ. 12
দুটি সংখ্যার অনুপাত দুই অনুপাত তিন মানে সংখ্যা দুটি কোনো একটা সংখ্যার দুই গুণ আর তিন গুণ। সেই সাধারণ সংখ্যাটাকে k ধরলে সংখ্যা দুটি দুই k আর তিন k।
২ আর ৩ এর মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, অর্থাৎ এরা সহমৌলিক। তাই দুই k আর তিন k এর গসাগু ঠিক k।
গসাগু ৪ দেওয়া আছে, তাই k সমান ৪। সংখ্যা দুটি ৮ আর ১২; বৃহত্তর সংখ্যা ১২। যাচাই: ৮ আর ১২ এর অনুপাত দুই অনুপাত তিন, গসাগু ৪।
ফাঁদ হলো ৮, যা ছোট সংখ্যাটি। প্রশ্ন বৃহত্তর সংখ্যা চেয়েছে।
মনে রাখুন: অনুপাতের পদ সহমৌলিক হলে: সংখ্যা = অনুপাতের পদ × গ.সা.গু.; বড়টা ৩ × ৪ = ১২।
পুরো পাতা ›
৮৯১. একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2
2. খ10
3. গ4
4. ঘ12
সঠিক উত্তর: ঘ. 12
সমান্তর ধারার যোগফলের একটা কাজের সূত্র: পদসংখ্যাকে প্রথম আর শেষ পদের যোগফল দিয়ে গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ। কারণ সমান্তর ধারায় পদগুলোর গড়, প্রথম আর শেষ পদের গড়ের সমান।
এখানে প্রথম ৫টি পদের শেষ পদ হলো পঞ্চম পদ, মানে ১৮। যোগফল ৭৫ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে গড় ১৫। তাই প্রথম আর শেষ পদের যোগফল ১৫ এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ ৩০।
প্রথম পদ যোগ ১৮ সমান ৩০, তাই প্রথম পদ ১২। যাচাই: সাধারণ অন্তর ১ দশমিক ৫, পদগুলো ১২, সাড়ে ১৩, ১৫, সাড়ে ১৬, ১৮; যোগফল ৭৫।
এখানে সাধারণ অন্তর বের করার দরকারই নেই। প্রথম পদ, শেষ পদ আর যোগফলের সম্পর্কটা মনে রাখলেই এক লাইনে উত্তর আসে।
মনে রাখুন: গড় = ৭৫ ÷ ৫ = ১৫ = মধ্যপদ (৩য় পদ); ১৮ থেকে ১৫ এ ৩ কম, তাই প্রথম পদ ১৫ থেকে আরও ৩ কম, ১২।
পুরো পাতা ›
৮৯২. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা সমূহের যোগফল কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক৪৯৯৯
2. খ৫৫০১
3. গ৫০৫০
4. ঘ৫০০১
সঠিক উত্তর: গ. ৫০৫০
১ থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র হলো n গুণ n যোগ এক, তারপর ২ দিয়ে ভাগ। সূত্রটা কোথা থেকে আসে, সেটা জানলে আর ভুলবেন না।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে দুই প্রান্ত থেকে জোড়া বাঁধুন: ১ আর ১০০, ২ আর ৯৯, ৩ আর ৯৮। প্রতিটি জোড়ার যোগফল ১০১, আর জোড়া হয় মোট ৫০টি।
তাই যোগফল ৫০ গুণ ১০১, অর্থাৎ ৫০৫০। সূত্রেও একই: ১০০ গুণ ১০১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ৫০৫০।
বিকল্পের বাকি সংখ্যাগুলো কাছাকাছি রাখা হয়েছে বিভ্রান্ত করতে। যোগফল অবশ্যই ১০১ এর গুণিতক হবে; এই একটা যাচাইয়েই বাকি তিনটি বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: n(n + ১) ÷ ২: ১০০ × ১০১ ÷ ২ = ৫০৫০।
পুরো পাতা ›
৮৯৩. দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক২০ দিনে
2. খ২৫ দিনে
3. গ২৪ দিনে
4. ঘ৩০ দিনে
সঠিক উত্তর: গ. ২৪ দিনে
কাজের প্রশ্নে দিন নয়, প্রতিদিনের কাজের হার যোগ বিয়োগ হয়। সহজ উপায়: মোট কাজকে এমন একক ধরুন যা সব দিনসংখ্যা দিয়ে ভাগ যায়, তারপর কে দিনে কত একক করে তা দেখুন।
৮ আর ১২ এর লসাগু ২৪, তাই মোট কাজ ২৪ একক ধরি। দুজনে মিলে ৮ দিনে করেন, মানে প্রতিদিন ৩ একক। প্রথম জন একা ১২ দিনে করেন, মানে প্রতিদিন ২ একক।
তাহলে দ্বিতীয় জন প্রতিদিন করেন ৩ বিয়োগ ২, অর্থাৎ ১ একক। ২৪ একক কাজ শেষ করতে তাঁর লাগবে ২৪ দিন।
ফাঁদ হলো ২০, যা ১২ আর ৮ যোগ করে আসে। দিনসংখ্যা সরাসরি যোগ বিয়োগ করা যায় না; যোগ বিয়োগ হয় কাজের হারের।
মনে রাখুন: দ্বিতীয় জনের দিন = (৮ × ১২) ÷ (১২ − ৮) = ৯৬ ÷ ৪ = ২৪।
পুরো পাতা ›
৮৯৪. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক২৬৩
2. খ২৩৩
3. গ২৫৩
4. ঘ২৪১
সঠিক উত্তর: গ. ২৫৩
কোনো সংখ্যা মৌলিক কি না যাচাই করতে তার বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখাই যথেষ্ট। কারণ কোনো সংখ্যার একটা গুণনীয়ক বর্গমূলের বড় হলে অন্যটা অবশ্যই বর্গমূলের ছোট হবে।
এখানে সব সংখ্যা ২৭০ এর নিচে, তাদের বর্গমূল ১৭ এর কম। তাই ২, ৩, ৫, ৭, ১১ আর ১৩ দিয়ে ভাগ যায় কি না দেখলেই চলে।
২৫৩ এ ১১ এর পরীক্ষা খাটান: তিন অঙ্কের সংখ্যায় দুই পাশের অঙ্কের যোগফল মাঝের অঙ্কের সমান হলে সংখ্যাটা ১১ দিয়ে বিভাজ্য। ২ আর ৩ এর যোগফল ৫, মাঝের অঙ্কও ৫। সত্যিই ২৫৩ হলো ১১ গুণ ২৩, তাই এটি মৌলিক নয়।
২৩৩, ২৪১ আর ২৬৩ এর কোনোটাই ২, ৩, ৫, ৭, ১১ বা ১৩ দিয়ে ভাগ যায় না, তাই এরা মৌলিক। বিজোড় দেখে সবগুলোকে মৌলিক ভাবা, বা ৩ এর পরীক্ষায় থেমে যাওয়াই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: তিন অঙ্কের সংখ্যায় পাশের দুই অঙ্কের যোগ = মাঝের অঙ্ক হলে ১১ দিয়ে বিভাজ্য: ২৫৩, ১৪৩, ৩৬৩।
পুরো পাতা ›
৮৯৫. একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে ১২ কিলোমিটার উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে ৫ কিলোমিটার পূর্ব দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে A অবস্থান থেকে কত দূরে থাকবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক১৭ কি. মি.
2. খ১৫ কি. মি.
3. গ১৪ কি. মি.
4. ঘ১৩ কি. মি.
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৩ কি. মি.
দিকের প্রশ্নে উত্তর আর পূর্ব দিক পরস্পর লম্ব। তাই উত্তরে যাওয়া পথ আর পূর্বে যাওয়া পথ একটা সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু, আর শুরুর বিন্দু থেকে সোজা দূরত্ব হলো অতিভুজ।
দুই বাহু ১২ আর ৫ কিলোমিটার। এদের বর্গ ১৪৪ আর ২৫, যোগফল ১৬৯।
১৬৯ এর বর্গমূল ১৩। তাই লোকটি A থেকে ১৩ কিলোমিটার দূরে। এটা পরিচিত ৫, ১২, ১৩ পিথাগোরীয় ত্রয়ী।
ফাঁদ হলো ১৭, যা ১২ আর ৫ যোগ করে আসে। সেটা মোট হাঁটা পথ, শুরুর বিন্দু থেকে সোজা দূরত্ব নয়।
মনে রাখুন: ৫-১২-১৩ ত্রয়ী: ১২ আর ৫ দেখলেই ১৩।
পুরো পাতা ›
৮৯৬. বাস্তব সংখ্যায় |2x-3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান___ (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক1 < x < 2
2. খx ≤ 1 অথবা x ≥ 2
3. গ1 ≤ x ≤ 2
4. ঘ-1 < x < 2
সঠিক উত্তর: গ. 1 ≤ x ≤ 2
পরমমানের অসমতার মূল নিয়ম: কোনো রাশির পরমমান একের সমান বা ছোট হওয়া মানে রাশিটা ঋণাত্মক এক আর ধনাত্মক একের মাঝে, দুই প্রান্তসহ। পরমমান মানে শূন্য থেকে দূরত্ব, আর সেই দূরত্ব একের বেশি নয়।
তাই দুই x বিয়োগ ৩ থাকবে ঋণাত্মক ১ থেকে ধনাত্মক ১ এর মধ্যে। সবখানে ৩ যোগ করলে দুই x থাকে ২ থেকে ৪ এর মধ্যে।
এবার ২ দিয়ে ভাগ করলে x থাকে ১ থেকে ২ এর মধ্যে, ১ আর ২ সহ। যাচাই: x সমান ১ বা ২ বসালে পরমমান ঠিক ১, যা শর্ত মানে।
ফাঁদ দুটি। প্রান্তবিন্দু বাদ দিয়ে খোলা ব্যবধান লেখা, অথবা চিহ্ন উল্টে “বাইরের” সমাধান লেখা; শেষেরটা আসলে পরমমান একের বড় বা সমান হওয়ার সমাধান।
মনে রাখুন: |ax − b| ≤ c হলে x থাকে (b − c)/a থেকে (b + c)/a পর্যন্ত: (৩ − ১)/২ = ১ থেকে (৩ + ১)/২ = ২।
পুরো পাতা ›
৮৯৭. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক(√3/2)a²
2. খ(2/3)a²
3. গ(2/√3)a²
4. ঘ(√3/4)a²
সঠিক উত্তর: ঘ. (√3/4)a²
সমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুই a। ক্ষেত্রফল হলো ভূমি গুণ উচ্চতার অর্ধেক, তাই আগে উচ্চতা বের করতে হয়।
শীর্ষ থেকে ভূমিতে লম্ব টানলে ভূমি সমান দুই ভাগ হয়, প্রতিটি a এর অর্ধেক। তখন একটা সমকোণী ত্রিভুজ পাই, যার অতিভুজ a আর ভূমি a এর অর্ধেক। পিথাগোরাসে উচ্চতা আসে a গুণ রুট তিনের অর্ধেক, মানে দুই ভাগের রুট তিন গুণ a।
ক্ষেত্রফল তাহলে ভূমি a আর এই উচ্চতার গুণফলের অর্ধেক, অর্থাৎ চার ভাগের রুট তিন গুণ a এর বর্গ।
ফাঁদ হলো দুই ভাগের রুট তিন গুণ a এর বর্গ। দুই ভাগের রুট তিন গুণ a আসলে উচ্চতা; উচ্চতাকে a দিয়ে গুণ করে অর্ধেক না নিলে এই দ্বিগুণ মানটা আসে।
মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজ: উচ্চতা (√৩/২)a, ক্ষেত্রফল (√৩/৪)a²; দুটো একসাথে মুখস্থ রাখুন।
পুরো পাতা ›
৮৯৮. মিঃ রেজা তাঁর সম্পদের 12% স্ত্রীকে, 58% ছেলেকে এবং অবশিষ্ট 720000/- টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পদের মোট মূল্য কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2400000 Tk
2. খ2000000 Tk
3. গ1600000 Tk
4. ঘ1200000 Tk
সঠিক উত্তর: ক. 2400000 Tk
এটা শতকরার উল্টো হিসাব: অংশের মান জানা, পুরোটা বের করতে হবে। কৌশল হলো পুরো সম্পদকে একশো শতাংশ ধরে দেখা, জানা টাকাটা কত শতাংশ।
স্ত্রী পেলেন ১২ শতাংশ আর ছেলে ৫৮ শতাংশ, মোট ৭০ শতাংশ। বাকি ৩০ শতাংশ পেল মেয়ে, আর তার মান ৭ লাখ ২০ হাজার টাকা।
৩০ শতাংশ যদি ৭ লাখ ২০ হাজার হয়, তবে ১০ শতাংশ ২ লাখ ৪০ হাজার, আর একশো শতাংশ ২৪ লাখ টাকা। যাচাই: ২৪ লাখের ৩০ শতাংশ ঠিক ৭ লাখ ২০ হাজার।
ফাঁদ হলো ১২ লাখ। ৭ লাখ ২০ হাজার হলো ১২ লাখের ৬০ শতাংশ, ৩০ শতাংশ নয়; মেয়ের অংশ ঠিক কত শতাংশ, সেটা আগে নিশ্চিত করুন।
মনে রাখুন: মোট = অবশিষ্ট টাকা × ১০০ ÷ অবশিষ্ট শতাংশ = ৭২০০০০ × ১০০ ÷ ৩০ = ২৪ লাখ।
পুরো পাতা ›
৮৯৯. x = √3+√2 হলে, x³+(1/x³) (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক3√2
2. খ18√3
3. গ12√3
4. ঘ8
সঠিক উত্তর: খ. 18√3
এ ধরনের প্রশ্নে চাবি হলো x আর x ভাগের এক এর যোগফল বের করা। ঘনের যোগফল সেই যোগফলের মাধ্যমেই লেখা যায়, তাই x এর ঘন সরাসরি হিসাব করার দরকার নেই।
রুট তিন যোগ রুট দুই এর উল্টো বের করতে অনুবন্ধী, মানে রুট তিন বিয়োগ রুট দুই, দিয়ে লব হর গুণ করি। হর হয় তিন বিয়োগ দুই, মানে ১। তাই x ভাগের এক হলো রুট তিন বিয়োগ রুট দুই, আর যোগফল দুই রুট তিন; রুট দুই অংশ কেটে যায়।
সূত্র অনুযায়ী ঘনের যোগফল হলো যোগফলের ঘন থেকে তিন গুণ যোগফল বাদ। দুই রুট তিনের ঘন চব্বিশ রুট তিন, আর তিন গুণ দুই রুট তিন হলো ছয় রুট তিন। বিয়োগ করলে আঠারো রুট তিন।
রুট দুই যোগফলে কেটে যায় বলে উত্তরে রুট দুই থাকতে পারে না, আর উত্তর মূলদ সংখ্যাও নয়। এই দুই পর্যবেক্ষণেই তিন রুট দুই আর ৮ বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে x³ + ১/x³ = a³ − ৩a; a = ২√৩ বসালে ২৪√৩ − ৬√৩ = ১৮√৩।
পুরো পাতা ›
৯০০. logₓ(1/8) = -2 হলে, x = কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2
2. খ√2
3. গ2√2
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: গ. 2√2
লগের সংজ্ঞা: x ভিত্তিক লগে কোনো সংখ্যার মান k হলে, x এর ঘাত k সমান সেই সংখ্যা। তাই প্রথমেই লগের সমীকরণকে ঘাতের সমীকরণে বদলান।
এখানে x এর ঘাত ঋণাত্মক ২ সমান আট ভাগের এক। ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো, তাই x এর বর্গের উল্টো সমান আট ভাগের এক, অর্থাৎ x এর বর্গ ৮।
৮ এর বর্গমূল দুই রুট দুই। লগের ভিত্তি সবসময় ধনাত্মক, তাই ঋণাত্মক মূল বাদ, x সমান দুই রুট দুই।
ফাঁদ হলো ২। আট ভাগের এক দেখে অনেকে ২ এর ঘাত ভাবেন, কিন্তু ২ ভিত্তিক লগে আট ভাগের এক এর মান ঋণাত্মক ৩, ঋণাত্মক ২ নয়।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: (২√২)² = ৮, তাই (২√২)⁻² = ১/৮।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৯০১–৯২০ ›