গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৫
৮১. If Pˣ = Qʸ = Rᶻ and Q/P = R/Q, then 2z/(x + z) = ? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- কx/y
- খz/y
- গy/x
- ঘy/z
সঠিক উত্তর: গ. y/x
এখানে x, y, z হলো ঘাত বা সূচক। প্রশ্নটা সূচক ও লগারিদমের সম্পর্ক যাচাই করছে। P-এর x ঘাত, Q-এর y ঘাত আর R-এর z ঘাত সবাইকে একটি ধ্রুবক k ধরি।
লগ নিলে x গুণ log P সমান y গুণ log Q সমান z গুণ log R সমান log k। তাই log P সমান log k ভাগ x, log Q সমান log k ভাগ y, আর log R সমান log k ভাগ z।
Q ভাগ P সমান R ভাগ Q মানে Q-এর বর্গ সমান P গুণ R। লগ নিলে ২ log Q সমান log P যোগ log R, অর্থাৎ ২ ভাগ y সমান ১ ভাগ x যোগ ১ ভাগ z। এ থেকে y সমান ২xz ভাগ x যোগ z।
এখন ২z ভাগ x যোগ z হলো y-কে x দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায় তাই; সুতরাং উত্তর y ভাগ x। y ভাগ z বা x ভাগ y-এর মতো উল্টানো অপশনগুলো ভাগের দিক গুলিয়ে ফেলার ফাঁদ।
মনে রাখুন: Q² = PR (গুণোত্তর) হলে ঘাতগুলো বিপরীত অনুপাতে সমান্তর: ২/y = ১/x + ১/z। এটি মুখস্থ থাকলে দুই লাইনে শেষ।
৮২. Karim weighs 65.7 kg. If he reduces his weight in the ratio 5 : 4, find his reduced weight in kg. (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক55.25
- খ52.56
- গ57.20
- ঘ61.25
সঠিক উত্তর: খ. 52.56
প্রশ্নটা অনুপাতে কোনো রাশি বাড়ানো বা কমানোর নিয়ম যাচাই করছে। ৫ অনুপাত ৪-এ কমানো মানে আগের মান ৫ ভাগ হলে নতুন মান ৪ ভাগ।
তাই নতুন ওজন সমান পুরনো ওজন গুণ ৪ ভাগ ৫। ৬৫ দশমিক ৭ কে ৪ দিয়ে গুণ করলে ২৬২ দশমিক ৮, তাকে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ৫২ দশমিক ৫৬ কেজি।
যাচাই: ৬৫ দশমিক ৭ আর ৫২ দশমিক ৫৬-এর অনুপাত ঠিক ৫ অনুপাত ৪, কারণ ৫২ দশমিক ৫৬ কে ৫ ভাগ ৪ দিয়ে গুণ করলে ফেরত ৬৫ দশমিক ৭ আসে।
ভুল হয় যখন কেউ উল্টো করে ৫ ভাগ ৪ দিয়ে গুণ করেন; তখন ওজন কমে না বেড়ে যায়। কমানো হলে গুণক সবসময় ১-এর চেয়ে ছোট হবে।
মনে রাখুন: a : b অনুপাতে পরিবর্তন মানে নতুন মান = পুরনো × b/a।
৮৩. If an exponent or index has base 25 and power zero, then which of the following will be its value? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক25
- খ5
- গ1
- ঘ250
সঠিক উত্তর: গ. 1
প্রশ্নটা সূচকের একটি মৌলিক নিয়ম যাচাই করছে: শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যার শূন্য ঘাত সমান ১। তাই ২৫-এর শূন্য ঘাত সমান ১।
কেন ১ হয়, তা ভাগের নিয়মে বোঝা যায়। a-এর m ঘাতকে a-এর m ঘাত দিয়ে ভাগ করলে ফল ১; আবার সূচকের নিয়মে ফল a-এর m বিয়োগ m, মানে শূন্য ঘাত। দুটো একই জিনিস বলে a-এর শূন্য ঘাত সমান ১।
যেমন ২৫-এর বর্গকে ২৫-এর বর্গ দিয়ে ভাগ করলে ১ পাওয়া যায়, আবার সেটাই ২৫-এর শূন্য ঘাত।
অনেকে ভাবেন শূন্য ঘাত মানে শূন্য, বা ভিত্তিটাই অপরিবর্তিত থাকে, তাই ২৫ বেছে নেন। ৫ হলো বর্গমূল, যা অর্ধেক ঘাতের মান।
মনে রাখুন: যেকোনো শূন্যেতর সংখ্যার শূন্য ঘাত ১; ০-এর শূন্য ঘাত অনির্ণেয় ধরা হয়।
৮৪. How many years will it take for an investment of Tk.5000 to earn Tk. 1200 in simple interest rate of 6%? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক4
- খ3
- গ5
- ঘ2.5
সঠিক উত্তর: ক. 4
প্রশ্নটা সরল মুনাফার সূত্র যাচাই করছে: মুনাফা সমান আসল গুণ হার গুণ সময়। এখান থেকে সময় সমান মুনাফা ভাগ আসল আর হারের গুণফল।
আসল ৫০০০ টাকা, হার ৬ শতাংশ, তাই এক বছরের মুনাফা ৫০০০-এর ৬ শতাংশ, মানে ৩০০ টাকা।
মোট মুনাফা ১২০০ টাকা পেতে লাগবে ১২০০ ভাগ ৩০০, মানে ৪ বছর।
সরল মুনাফায় প্রতি বছর একই পরিমাণ মুনাফা আসে, তাই বছরের হিসাব সোজা ভাগ। চক্রবৃদ্ধি ভেবে জটিল হিসাব করলে ভুল সংখ্যায় পৌঁছানো সম্ভব।
মনে রাখুন: সময় = (মুনাফা × ১০০) ÷ (আসল × হার) = ১২০০০০ ÷ ৩০০০০ = ৪।
৮৫. Solve for x: √(2x − 3) = 5 (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- কx = 4
- খx = 5.5
- গx = 14
- ঘx = 28
সঠিক উত্তর: গ. x = 14
মূল প্রশ্নে সমীকরণটি ছিল ২x বিয়োগ ৩-এর বর্গমূল সমান ৫; অনলাইন লেখায় বর্গমূল চিহ্নটি হারিয়ে গেছে। অপশনে ১৪ আর ২৮ থাকাই তার প্রমাণ।
বর্গমূলযুক্ত সমীকরণ সমাধানের নিয়ম: দুই পাশকে বর্গ করি। তাহলে ২x বিয়োগ ৩ সমান ৫-এর বর্গ, মানে ২৫।
এরপর দুই পাশে ৩ যোগ করি: ২x সমান ২৮। দুই পাশকে ২ দিয়ে ভাগ করলে x সমান ১৪। যাচাই: ২ গুণ ১৪ বিয়োগ ৩ সমান ২৫, যার বর্গমূল ৫।
শেষ ধাপে ২ দিয়ে ভাগ করতে ভুলে গেলে ২৮ আসে, আর বর্গ না করে সমাধান করলে আসে ৪। এই দুটোই প্রশ্নের পাতা ফাঁদ।
মনে রাখুন: সমাধান শেষে মান বসিয়ে যাচাই করুন: অপশন ধরে ধরে বসালে ১৪-ই শুধু ৫ দেয়।
৮৬. What is the probability of rolling an even number on a standard six-sided die? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক1/6
- খ1/2
- গ1/3
- ঘ2/3
সঠিক উত্তর: খ. 1/2
প্রশ্নটা সম্ভাবনার মূল সংজ্ঞা যাচাই করছে: সম্ভাবনা সমান অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা।
একটি সাধারণ ছক্কায় ১ থেকে ৬ পর্যন্ত মোট ৬টি সমান সম্ভাব্য ফল। এর মধ্যে জোড় সংখ্যা ২, ৪ আর ৬, মোট ৩টি।
তাই সম্ভাবনা ৩ ভাগ ৬, মানে ১ ভাগ ২। অর্থাৎ জোড় আর বিজোড় ওঠার সম্ভাবনা সমান।
১ ভাগ ৬ হলো একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা, আর ১ ভাগ ৩ হতো যদি অনুকূল ফল ২টি হতো; এ দুটোই সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: ছক্কায় জোড় আর বিজোড় সংখ্যা সমান সমান, তাই উত্তর সরাসরি ১/২।
৮৭. If p × q = p + q + p/q, then according to this the value of 8 × 2 is? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক6
- খ10
- গ14
- ঘ16
সঠিক উত্তর: গ. 14
এই প্রশ্নে গুণ চিহ্নটি সাধারণ গুণ নয়, একটি নতুন সংজ্ঞায়িত নিয়ম। মূল প্রশ্নে নিয়মটি ছিল p যোগ q যোগ p ভাগ q; অনলাইন লেখায় ভাগচিহ্ন হারিয়ে pq দেখাচ্ছে।
এ ধরনের প্রশ্নে শুধু সংজ্ঞায় p-এর জায়গায় ৮ আর q-এর জায়গায় ২ বসাতে হয়। তাহলে মান হয় ৮ যোগ ২ যোগ ৮ ভাগ ২।
৮ ভাগ ২ সমান ৪, তাই মোট ৮ যোগ ২ যোগ ৪ সমান ১৪।
ছাপা লেখা অনুযায়ী pq ধরলে ৮ যোগ ২ যোগ ১৬ সমান ২৬ হয়, যা কোনো অপশনে নেই; তাই প্রশ্নটি p ভাগ q-ই ছিল। আর সাধারণ গুণ ভেবে ১৬ বেছে নেওয়া এখানে মূল ফাঁদ।
মনে রাখুন: নতুন সংজ্ঞার চিহ্নে সাধারণ অর্থ ভুলে যান; সংজ্ঞায় মান বসান, ব্যস।
৮৮. The volume of a cuboid with length, breadth and height as 5x, 3x² and 7x⁴ respectively is: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক105x⁷
- খ105x²
- গ105x⁴
- ঘ105x
সঠিক উত্তর: ক. 105x⁷
প্রশ্নটা আয়তঘনের আয়তন আর সূচকের গুণের নিয়ম যাচাই করছে। আয়তন সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ গুণ উচ্চতা।
সংখ্যাগুলো আলাদা গুণ করি: ৫ গুণ ৩ গুণ ৭ সমান ১০৫।
একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে ঘাতগুলো যোগ হয়। x-এর ঘাত ১, ২ আর ৪; যোগফল ৭। তাই আয়তন ১০৫ x-এর ৭ ঘাত।
ঘাত যোগ না করে শুধু বড় ঘাত ৪ নিলে বা ঘাতগুলো গুণ করে ৮ ধরলে ভুল হয়। গুণে ঘাত যোগ, এটাই মূল নিয়ম।
মনে রাখুন: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: সহগ গুণ, ঘাত যোগ।
৮৯. The area of a rectangle that has length = 2a²b and breadth = 3ab² is: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- ক6a³b²
- খa³b³
- গ2a³b²
- ঘ4a³b³
- ঙকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঙ. কোনোটিই নয়
প্রশ্নটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আর বীজগাণিতিক পদের গুণ যাচাই করছে। ক্ষেত্রফল সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ।
সহগ গুণ করি: ২ গুণ ৩ সমান ৬। এরপর একই অক্ষরের ঘাত যোগ করি: a-এর ঘাত ২ যোগ ১ সমান ৩, আর b-এর ঘাত ১ যোগ ২ সমান ৩।
তাই ক্ষেত্রফল ৬ a-এর ৩ ঘাত b-এর ৩ ঘাত। ছাপা অপশনগুলোর কোনোটিতে এই মান নেই; প্রথম অপশন ৬ a কিউব b বর্গ, যা শুধু প্রস্থ ৩ab হলে সঠিক হতো।
পরীক্ষায় এমন হলে সহগ ৬ যেখানে আছে সেটি দেখে নিন, কারণ বাকি অপশনগুলোর সহগই ভুল। তবে নিয়মটা মনে রাখুন: গুণে প্রতিটি অক্ষরের ঘাত আলাদাভাবে যোগ হয়।
মনে রাখুন: সহগ গুণ, প্রতিটি অক্ষরের ঘাত আলাদা যোগ; সহগ দেখেই ভুল অপশন বাদ দেওয়া যায়।
৯০. Triangle PQR has angles in the ratio of 2 : 3 : 5. Which type of triangle is PQR? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, ক্যাশ) (২০২৫)
- কacute
- খisosceles
- গobtuse
- ঘright
সঠিক উত্তর: ঘ. right
প্রশ্নটা কোণ দেখে ত্রিভুজের শ্রেণি চেনা যাচাই করছে। তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি, আর কোণগুলো ২, ৩ আর ৫ অনুপাতে, মানে মোট ১০ ভাগ।
এক ভাগ ১৮০ ভাগ ১০, মানে ১৮ ডিগ্রি। তাই কোণগুলো ৩৬, ৫৪ আর ৯০ ডিগ্রি।
একটি কোণ ঠিক ৯০ ডিগ্রি, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী, অর্থাৎ right triangle। দ্রুত কৌশল: বড় অংশ ৫ বাকি দুটি অংশের যোগফল ২ যোগ ৩-এর সমান, তাই সেটি অর্ধেক মানে ৯০ ডিগ্রি।
কোণগুলো সব আলাদা, তাই সমদ্বিবাহু নয়; কোনো কোণ ৯০-এর বেশি নয়, তাই স্থূলকোণী নয়; আর একটি কোণ ৯০ বলে সূক্ষ্মকোণীও নয়।
মনে রাখুন: বড় অংশ = বাকি দুই অংশের যোগফল হলে সমকোণী; বেশি হলে স্থূলকোণী, কম হলে সূক্ষ্মকোণী।
৯১. Which of the following is irrational? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক3/5
- খ√2
- গ0.75
- ঘ1.2
সঠিক উত্তর: খ. √2
প্রশ্নটা অমূলদ সংখ্যা চিনতে বলেছে। মূলদ সংখ্যা হলো যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ p ভাগ q আকারে লেখা যায়, যেখানে q শূন্য নয়। যাকে এভাবে লেখা যায় না, তার দশমিক রূপ অসীম ও অনাবৃত্ত, সেটিই অমূলদ।
৩ ভাগ ৫ নিজেই ভগ্নাংশ। শূন্য দশমিক সাত পাঁচ হলো ৩ ভাগ ৪, আর এক দশমিক দুই হলো ৬ ভাগ ৫। তিনটিই সসীম দশমিক, তাই মূলদ।
বর্গমূল ২ এর মান এক দশমিক চার এক চার দুই এক তিন, এভাবে চলতেই থাকে, কোনো অংশ পুনরাবৃত্ত হয় না। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল সবসময় অমূলদ।
প্রশ্নের অনলাইন কপিতে মূল চিহ্ন হারিয়ে শুধু ২ দেখা যায়; ২ নিজে মূলদ। আসল অপশনটি বর্গমূল ২।
মনে রাখুন: পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল (√2, √3, √5) আর π সবসময় অমূলদ।
৯২. The value of lim(x→0) (sin x)/x is (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক0
- খ1
- গUndefined
- ঘInfinity
সঠিক উত্তর: খ. 1
প্রশ্নটা ক্যালকুলাসের একটি মৌলিক সীমা জানতে চেয়েছে: x শূন্যের দিকে গেলে sin x ভাগ x এর মান কত।
সরাসরি শূন্য বসালে পাই শূন্য ভাগ শূন্য, যা অনির্ণেয় রূপ। কিন্তু x খুব ছোট হলে, রেডিয়ানে মাপা কোণের জন্য sin x প্রায় x-এর সমান। যেমন x শূন্য দশমিক শূন্য এক হলে sin x প্রায় শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য নয় নয় নয় নয় আট, তাই অনুপাত প্রায় ১।
জ্যামিতিকভাবে স্যান্ডউইচ উপপাদ্য দিয়ে প্রমাণ হয় যে cos x আর ১ এর মাঝে এই অনুপাত আটকে থাকে, আর দুটোরই সীমা ১। তাই সীমার মান ১।
শূন্য ভাগ শূন্য দেখে সীমা অসংজ্ঞায়িত বা শূন্য বলে ফেলা সাধারণ ভুল; অনির্ণেয় রূপ মানে সীমা নেই এমন নয়, শুধু আরও বিশ্লেষণ দরকার।
মনে রাখুন: মুখস্থ রাখুন: lim sin x/x = 1, lim tan x/x = 1, lim (1 − cos x)/x = 0।
৯৩. The solution to log₂ x = 5 is: (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক10
- খ25
- গ15
- ঘ32
সঠিক উত্তর: ঘ. 32
প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা যাচাই করছে। log ভিত্তি a তে x সমান b মানে a এর ঘাত b সমান x। অর্থাৎ লগারিদম হলো সূচক।
এখানে ভিত্তি ২, মান ৫। তাই x সমান ২ এর ঘাত ৫, মানে ২ কে পাঁচবার গুণ: ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২। সুতরাং x সমান ৩২।
অনেকে ২ আর ৫ গুণ করে ১০ লেখেন, বা ৫ এর বর্গ ২৫ ধরে নেন। মনে রাখুন, ভিত্তি থাকে নিচে আর উত্তরটা ভিত্তির ঘাত।
মনে রাখুন: logₐ x = b হলে x = aᵇ; ভিত্তিকে উত্তরের দিকে তুলে দিন।
৯৪. State the order of the matrix [2 −3 0; 5 1 −4] (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক2 × 3
- খ6
- গ2
- ঘ3
সঠিক উত্তর: ক. 2 × 3
প্রশ্নটা ম্যাট্রিক্সের ক্রম বা order জানতে চেয়েছে। Order লেখা হয় সারি সংখ্যা গুণ কলাম সংখ্যা আকারে, সারি আগে, কলাম পরে।
এই ম্যাট্রিক্সে প্রথম সারিতে ২, বিয়োগ ৩, ০ আর দ্বিতীয় সারিতে ৫, ১, বিয়োগ ৪। তাই সারি ২টি, প্রতিটি সারিতে ৩টি সংখ্যা, মানে কলাম ৩টি। Order হলো ২ গুণ ৩।
৬ হলো মোট উপাদানের সংখ্যা, order নয়। শুধু ২ বা শুধু ৩ লিখলে সারি বা কলামের একটা মাত্র তথ্য দেওয়া হয়।
মনে রাখুন: m × n: m সারি (row), n কলাম (column); মোট উপাদান m গুণ n।
৯৫. If A = [1 2; 3 4], then the trace of A is: (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক8
- খ5
- গ6
- ঘ7
সঠিক উত্তর: খ. 5
প্রশ্নটা বর্গ ম্যাট্রিক্সের trace জানতে চেয়েছে। Trace হলো মুখ্য কর্ণের, অর্থাৎ উপরের বাম কোণ থেকে নিচের ডান কোণ পর্যন্ত কর্ণের উপাদানগুলোর যোগফল।
A ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারি ১, ২ আর দ্বিতীয় সারি ৩, ৪। মুখ্য কর্ণে আছে ১ আর ৪। তাই trace সমান ১ যোগ ৪, মানে ৫।
সব উপাদান যোগ করলে আসে ১০, যা অপশনে নেই। অন্য কর্ণ ২ আর ৩ যোগ করলেও ৫ আসে, কাকতালীয়ভাবে; কিন্তু নিয়ম হলো মুখ্য কর্ণ। ৪ আর ২ এর মতো ভুল জোড়া নিলে ৬ আসে।
মনে রাখুন: Trace = a₁₁ + a₂₂ + … ; শুধু বর্গ ম্যাট্রিক্সের হয়।
৯৬. The solution to the system x + y = 5, x - y = 1 is (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- কx= 3,y=1
- খx = 3, y = 2
- গx = 2, y = 3
- ঘx = 4, y = 1
সঠিক উত্তর: খ. x = 3, y = 2
প্রশ্নটা দুই চলকের সরল সহসমীকরণ সমাধান করতে বলেছে। সবচেয়ে দ্রুত পদ্ধতি অপনয়ন: দুটো সমীকরণ যোগ করলে y বাদ পড়ে যায়।
x যোগ y সমান ৫ আর x বিয়োগ y সমান ১ যোগ করলে পাই ২x সমান ৬, তাই x সমান ৩। এখন প্রথম সমীকরণে বসালে ৩ যোগ y সমান ৫, তাই y সমান ২।
যাচাই: ৩ যোগ ২ সমান ৫, আর ৩ বিয়োগ ২ সমান ১; দুটোই মিলেছে। x ও y অদলবদল করে x সমান ২, y সমান ৩ নিলে x বিয়োগ y হয় বিয়োগ ১, তাই সেটি ফাঁদ।
মনে রাখুন: x + y = a, x − y = b হলে x = (a + b)/2, y = (a − b)/2: x = 6/2 = 3, y = 4/2 = 2।
৯৭. A person spends 80% of his income. If he earns $5000, what is his savings? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক$400
- খ$1000
- গ$4000
- ঘ$500
সঠিক উত্তর: খ. $1000
প্রশ্নটা আয়, ব্যয় আর সঞ্চয়ের সম্পর্ক যাচাই করছে। আয়ের যে অংশ খরচ হয় না, সেটাই সঞ্চয়।
লোকটি আয়ের ৮০ শতাংশ খরচ করে, তাই সঞ্চয় করে বাকি ২০ শতাংশ। ৫০০০ ডলারের ২০ শতাংশ মানে ৫০০০ কে ১০০ দিয়ে ভাগ করে ২০ দিয়ে গুণ, যা ১০০০ ডলার।
৪০০০ ডলার হলো খরচের পরিমাণ, সঞ্চয় নয়; প্রশ্ন ভালো করে না পড়লে এটাই বেছে ফেলা হয়।
মনে রাখুন: সঞ্চয় = আয় × (100 − ব্যয়ের হার)/100 = 5000 × 0.2।
৯৮. The value of cos 60° is: (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক1
- খ1/2
- গ√3/2
- ঘ0
সঠিক উত্তর: খ. 1/2
প্রশ্নটা একটি আদর্শ কোণের ত্রিকোণমিতিক মান জানতে চেয়েছে। cos ৬০ ডিগ্রির মান ১ ভাগ ২।
কারণটা সমবাহু ত্রিভুজ থেকে বোঝা যায়। ২ একক বাহুর সমবাহু ত্রিভুজের একটি শীর্ষ থেকে লম্ব টানলে ভূমি দুই ভাগ হয়, প্রতিটি ১ একক। ৬০ ডিগ্রি কোণের সংলগ্ন বাহু ১, অতিভুজ ২, তাই cos সমান ১ ভাগ ২।
বর্গমূল ৩ ভাগ ২ হলো cos ৩০ বা sin ৬০ এর মান; sin আর cos গুলিয়ে ফেললে এই ভুল হয়। cos ০ ডিগ্রি সমান ১ আর cos ৯০ ডিগ্রি সমান ০।
মনে রাখুন: sin-এর মান 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 (0° থেকে 90°); cos ঠিক উল্টো ক্রমে।
৯৯. A train travels 180 km in 3 hours. What is its average speed? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক80 km/h
- খ60 km/h
- গ70 km/h
- ঘ50 km/h
সঠিক উত্তর: খ. 60 km/h
প্রশ্নটা গড় গতিবেগ জানতে চেয়েছে। গড় গতিবেগ হলো মোট দূরত্বকে মোট সময় দিয়ে ভাগ।
ট্রেনটি ৩ ঘণ্টায় ১৮০ কিলোমিটার যায়। তাই গড় গতিবেগ ১৮০ ভাগ ৩, মানে ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার।
এককের দিকে খেয়াল রাখুন: দূরত্ব কিলোমিটারে আর সময় ঘণ্টায় থাকলে উত্তর কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় আসে। অন্য অপশনগুলো হিসাবের কোনো ধাপ থেকে আসে না।
মনে রাখুন: গতি = দূরত্ব ÷ সময়; দূরত্ব = গতি × সময়।
১০০. If x² + 4x + 4 = 0, then the value of x is: (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
- ক-2
- খ-2 (repeated root)
- গ2
- ঘNone of these
সঠিক উত্তর: খ. -2 (repeated root)
প্রশ্নটা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে বলেছে। x বর্গ যোগ ৪x যোগ ৪ একটি পূর্ণবর্গ রাশি, কারণ এটি x যোগ ২ এর বর্গ।
তাই সমীকরণটি দাঁড়ায় x যোগ ২ এর বর্গ সমান শূন্য, ফলে x যোগ ২ সমান শূন্য, আর x সমান বিয়োগ ২। দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল থাকে; এখানে দুটোই বিয়োগ ২, অর্থাৎ পুনরাবৃত্ত মূল।
নিশ্চায়ক দিয়েও দেখা যায়: b বর্গ বিয়োগ ৪ac সমান ১৬ বিয়োগ ১৬, মানে শূন্য। নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূল দুটি বাস্তব ও সমান হয়।
শুধু বিয়োগ ২ অপশনটিও মান হিসেবে ঠিক, তবে পুনরাবৃত্ত মূল কথাটি মূলের পূর্ণ প্রকৃতি বলে দেয়, তাই এটিই সবচেয়ে নির্ভুল উত্তর। চিহ্ন ভুল করে ২ লেখা আরেকটি ফাঁদ।
মনে রাখুন: a² + 2ab + b² দেখলেই (a + b)²; নিশ্চায়ক শূন্য মানে দুটি সমান মূল।