গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৭

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৭/৫৩ · প্রশ্ন ১২১–১৪০সব উত্তর দেখান

১২১. The line y = 2x - 1 cuts the x -axis at P. The coordinates of P are (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক(0, -1)
2. খ(1/2, 0)
3. গ(-1/2, 0)
4. ঘ(-1, 0)
সঠিক উত্তর: খ. (1/2, 0)
কোনো রেখা x অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেখানে y-এর মান সবসময় শূন্য। তাই সমীকরণে y সমান শূন্য বসালেই x পাওয়া যায়।
y সমান ২x বিয়োগ ১ সমীকরণে y সমান শূন্য বসালে হয় ২x বিয়োগ ১ সমান শূন্য, অর্থাৎ ২x সমান ১, আর x সমান ১ ভাগ ২। তাই P বিন্দু হলো এক অর্ধ, শূন্য।
ফাঁদ হলো শূন্য, ঋণাত্মক ১। এটি y অক্ষের ছেদবিন্দু, যেখানে x শূন্য। x অক্ষের ছেদবিন্দুতে y শূন্য, y অক্ষের ছেদবিন্দুতে x শূন্য।
মনে রাখুন: x অক্ষের ছেদবিন্দু: y = 0 বসান; y অক্ষের ছেদবিন্দু: x = 0 বসান।
পুরো পাতা ›
১২২. How many prime numbers are there between 50 and 60? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক1
2. খ2
3. গ3
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: খ. 2
মৌলিক সংখ্যা হলো যার ১ আর সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক নেই। ৫০ ও ৬০-এর মাঝে আছে ৫১ থেকে ৫৯ পর্যন্ত নয়টি সংখ্যা।
জোড় সংখ্যা ও ৫৫ সহজেই বাদ যায়। বাকি থাকে ৫১, ৫৩, ৫৭, ৫৯। এর মধ্যে ৫১ সমান ৩ গুণ ১৭, আর ৫৭ সমান ৩ গুণ ১৯; অঙ্কের যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য বলে এ দুটি মৌলিক নয়।
তাই মৌলিক সংখ্যা মাত্র দুটি: ৫৩ ও ৫৯। ফাঁদ হলো ৫১ ও ৫৭, যেগুলো দেখতে মৌলিক মনে হয়।
মনে রাখুন: বিজোড় সংখ্যার অঙ্কের যোগফল ৩ দিয়ে ভাগ গেলে মৌলিক নয়; ৫১ ও ৫৭ এভাবেই ধরা পড়ে।
পুরো পাতা ›
১২৩. The highest common factor (HCF) of x² − 1, x⁴ − 1 and x⁴ − x³ + x − 1 is — (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. কx⁶ − 1
2. খx³ + 1
3. গx² − 1
4. ঘx³ − 1
সঠিক উত্তর: গ. x² − 1
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বের করতে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে ভাঙতে হয়, তারপর যে উৎপাদকগুলো সবগুলোতে আছে সেগুলো গুণ করতে হয়।
x বর্গ বিয়োগ ১ ভাঙলে হয় x বিয়োগ ১ গুণ x যোগ ১। x চতুর্থ ঘাত বিয়োগ ১ হয় x বিয়োগ ১, x যোগ ১, আর x বর্গ যোগ ১-এর গুণফল।
তৃতীয় রাশিতে প্রথম দুই পদ থেকে x ঘন সাধারণ নিলে পাই x ঘন গুণ x বিয়োগ ১, যোগ x বিয়োগ ১; অর্থাৎ x বিয়োগ ১ গুণ x ঘন যোগ ১। আর x ঘন যোগ ১ সমান x যোগ ১ গুণ x বর্গ বিয়োগ x যোগ ১।
তিনটিতেই সাধারণ উৎপাদক x বিয়োগ ১ ও x যোগ ১, যাদের গুণফল x বর্গ বিয়োগ ১। x ঘন যোগ ১ শুধু তৃতীয় রাশিতে আছে, তাই সেটি ফাঁদ।
মনে রাখুন: প্রথম রাশি x² − 1 নিজেই বাকি দুটির উৎপাদক হলে সেটিই গ.সা.গু.; x = ১ ও x = −১ বসিয়ে দেখুন তিনটিই শূন্য হয় কিনা।
পুরো পাতা ›
১২৪. If a ladder touches the roof of a wall and makes an angle of 30° with the 15 meter long wall, then the length of the ladder is- (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক30 m
2. খ7.5 m
3. গ15 m
4. ঘ17.3 m
সঠিক উত্তর: ঘ. 17.3 m
মই, দেয়াল আর মাটি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে। মইটি অতিভুজ, আর দেয়ালের উচ্চতা ১৫ মিটার। মই দেয়ালের সঙ্গে ৩০ ডিগ্রি কোণ করেছে, তাই দেয়াল হলো এই কোণের সন্নিহিত বাহু।
সন্নিহিত বাহু ও অতিভুজের সম্পর্ক দেয় cos। cos ৩০ ডিগ্রি সমান ১৫ ভাগ মইয়ের দৈর্ঘ্য। cos ৩০ ডিগ্রি সমান বর্গমূল ৩ ভাগ ২, তাই মইয়ের দৈর্ঘ্য সমান ৩০ ভাগ বর্গমূল ৩, যা প্রায় ১৭ দশমিক ৩ মিটার।
যাচাই: মই অতিভুজ বলে এটি দেয়ালের ১৫ মিটারের চেয়ে লম্বা হতেই হবে। তাই ৭ দশমিক ৫ বা ১৫ মিটার হতে পারে না।
ফাঁদ হলো কোণটি মাটির সঙ্গে ধরে sin ৩০ ব্যবহার করা; তাতে ৩০ মিটার আসে। প্রশ্নে কোণটি দেয়ালের সঙ্গে।
মনে রাখুন: কোণ দেয়ালের সঙ্গে হলে মই = উচ্চতা ÷ cos θ; মাটির সঙ্গে হলে মই = উচ্চতা ÷ sin θ।
পুরো পাতা ›
১২৫. If you write down all the numbers from 1 to 100, then how many times do you write 5? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক12
2. খ19
3. গ20
4. ঘ25
সঠিক উত্তর: গ. 20
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখলে ৫ অঙ্কটি দুই জায়গায় আসতে পারে: একক স্থানে আর দশক স্থানে। দুটো আলাদা গুনে যোগ করতে হবে।
একক স্থানে ৫ আসে ৫, ১৫, ২৫ থেকে ৯৫ পর্যন্ত, প্রতি দশে একবার, মোট ১০ বার। দশক স্থানে ৫ আসে ৫০ থেকে ৫৯ পর্যন্ত দশটি সংখ্যায়, মোট আরও ১০ বার।
তাই মোট ২০ বার। এখানে ৫৫ সংখ্যাটিতে ৫ দুবার লেখা হয়, আর দুই হিসাবেই সেটি একবার করে গোনা হয়েছে, যা ঠিক।
ফাঁদ হলো ১৯, যা আসে যখন কেউ ৫৫-কে একটি সংখ্যা হিসেবে একবারই গোনেন। প্রশ্ন জানতে চেয়েছে ৫ কতবার লেখা হয়, কতগুলো সংখ্যায় ৫ আছে তা নয়।
মনে রাখুন: ১ থেকে ১০০-তে ২ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো অঙ্ক ২০ বার লেখা হয়; ১ লেখা হয় ২১ বার, কারণ ১০০-তে আরেকটি।
পুরো পাতা ›
১২৬. What is the value of sin 45°? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক1
2. খ1/2
3. গ1/√2
4. ঘ1/√3
সঠিক উত্তর: গ. 1/√2
৪৫ ডিগ্রি কোণে একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ভাবুন, যার দুই বাহু ১ করে। পিথাগোরাসের উপপাদ্যে অতিভুজ হয় বর্গমূল ২।
sin হলো লম্ব ভাগ অতিভুজ। তাই sin ৪৫ ডিগ্রি সমান ১ ভাগ বর্গমূল ২, দশমিকে প্রায় ০ দশমিক ৭০৭। cos ৪৫ ডিগ্রিও একই মানের।
১ ভাগ ২ হলো sin ৩০ ডিগ্রির মান, আর ১ ভাগ বর্গমূল ৩ হলো tan ৩০ ডিগ্রির মান। ১ হলো tan ৪৫ বা sin ৯০ ডিগ্রির মান। এসব মান গুলিয়ে ফেলাই সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: sin ০, ৩০, ৪৫, ৬০, ৯০ = √০/২, √১/২, √২/২, √৩/২, √৪/২; √২/২ মানেই ১/√২।
পুরো পাতা ›
১২৭. The area of a circle is 36π cm². The circumference is equal to (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক6π cm
2. খ18π cm
3. গ12√π cm
4. ঘ12π cm
সঠিক উত্তর: ঘ. 12π cm
বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। ক্ষেত্রফল ৩৬ পাই বর্গ সেন্টিমিটার, তাই ব্যাসার্ধের বর্গ ৩৬, আর ব্যাসার্ধ ৬ সেন্টিমিটার।
পরিধি সমান ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ। ব্যাসার্ধ ৬ বসালে পরিধি হয় ১২ পাই সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ৬ পাই, যা আসে ব্যাসার্ধকে পাই দিয়ে গুণ করে ২ ভুলে গেলে। ১৮ পাই আসে ক্ষেত্রফলকে অর্ধেক করলে, যার কোনো যুক্তি নেই।
১২ গুণ বর্গমূল পাই সেন্টিমিটার অপশনটি সংখ্যা ১২ ঠিক রেখে পাই-এর জায়গায় বর্গমূল পাই বসিয়ে বিভ্রান্ত করে। পরিধির সূত্রে পাই সরাসরি গুণ হয়, তার বর্গমূল নয়।
মনে রাখুন: ক্ষেত্রফল kπ হলে ব্যাসার্ধ √k, পরিধি 2√k π; এখানে √36 = 6, তাই 12π।
পুরো পাতা ›
১২৮. If logₓ(144) = 4, then x = ? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক2√3
2. খ4
3. গ3
4. ঘ3√2
সঠিক উত্তর: ক. 2√3
লগারিদমের সংজ্ঞা হলো: x ভিত্তিতে ১৪৪-এর লগ ৪ মানে x-কে ৪ ঘাতে তুললে ১৪৪ হয়। তাই x-এর চতুর্থ ঘাত সমান ১৪৪।
উভয় পক্ষের বর্গমূল নিলে x বর্গ সমান ১২। আবার বর্গমূল নিলে x সমান বর্গমূল ১২, যা সরল করলে ২ গুণ বর্গমূল ৩। লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই ঋণাত্মক মান বাদ।
যাচাই: ২ বর্গমূল ৩-এর বর্গ ১২, আর ১২-এর বর্গ ১৪৪। ঠিক মিলেছে।
ফাঁদ হলো ৪ ঘাতকে ভাগ ভেবে ১৪৪ ভাগ ৪ বা অন্য সংখ্যা বসানো। ৩ বর্গমূল ২-এর চতুর্থ ঘাত ৩২৪, আর ৩-এর চতুর্থ ঘাত ৮১।
মনে রাখুন: অপশনগুলোর চতুর্থ ঘাত দেখুন: (2√3)² = 12, তার বর্গ 144; বাকি তিনটি মেলে না।
পুরো পাতা ›
১২৯. If sin x + cos x = 1, then x = ? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক30°
2. খ45°
3. গ60°
4. ঘ90°
সঠিক উত্তর: ঘ. 90°
প্রশ্নটা ত্রিকোণমিতির আদর্শ কোণগুলোর মান মনে রাখার পরীক্ষা। কোন কোণে sin আর cos যোগ করলে ঠিক ১ হয়, তা অপশনগুলো বসিয়ে দেখলেই পাওয়া যায়।
৯০ ডিগ্রিতে sin এর মান ১ আর cos এর মান শূন্য, তাই যোগফল ১ যোগ শূন্য, মানে ১। শূন্য ডিগ্রিতেও যোগফল ১ হয়, কিন্তু সেটি অপশনে নেই।
বাকি কোণগুলোতে যোগফল ১ এর চেয়ে বেশি। ৩০ আর ৬০ ডিগ্রিতে যোগফল প্রায় ১ দশমিক ৩৭, আর ৪৫ ডিগ্রিতে রুট ২, মানে প্রায় ১ দশমিক ৪১। আসলে শূন্য থেকে ৯০ ডিগ্রির মাঝের যেকোনো কোণে যোগফল ১ এর বেশি থাকে।
অনেকে ৪৫ ডিগ্রি বেছে নেন, কারণ সেখানে sin আর cos সমান। কিন্তু সমান হওয়া মানে যোগফল ১ নয়; সেখানে যোগফল সবচেয়ে বেশি।
মনে রাখুন: যোগফল ঠিক ১ হয় শুধু সেই কোণে, যেখানে একটির মান ১ আর অন্যটি শূন্য: ০° বা ৯০°।
পুরো পাতা ›
১৩০. At x = 0, the value of f(x) = e^(−x²) is equal to- (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক1
2. খ3/5
3. গ2
4. ঘ5
সঠিক উত্তর: ক. 1
প্রশ্নে ফাংশনটি হলো e এর ঘাত মাইনাস x বর্গ। কোনো বিন্দুতে ফাংশনের মান বের করতে শুধু x এর জায়গায় সেই সংখ্যা বসাতে হয়।
x সমান শূন্য বসালে ঘাতটা হয় মাইনাস শূন্য বর্গ, মানে শূন্য। তাহলে f এর মান হয় e এর ঘাত শূন্য।
যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত শূন্য হলে মান ১। e প্রায় ২ দশমিক ৭১৮, অশূন্য, তাই e এর ঘাত শূন্য সমান ১।
ফাঁদ হলো e এর মান বা ২ ধরে নেওয়া। ঘাত শূন্য হয়ে গেলে ভিত্তি যা-ই হোক, উত্তর ১।
মনে রাখুন: ঘাতের রাশিটা যদি x = ০ বসালে শূন্য হয়ে যায়, তবে উত্তর সরাসরি ১, কারণ যেকোনো অশূন্য ভিত্তির ঘাত শূন্য হলে মান ১।
পুরো পাতা ›
১৩১. The formula b + x/a = c is rearranged to make x the subject. What is x? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. কa(c − b)
2. খac − b
3. গ(c − b)/a
4. ঘac + ab
সঠিক উত্তর: ক. a(c − b)
প্রশ্নটা সূত্রকে নতুন করে সাজানোর। x কে বিষয় করা মানে সমীকরণের এক পাশে শুধু x রাখা। প্রতিটি ধাপে দুই পাশে একই কাজ করতে হয়।
প্রথমে b কে ডান পাশে নিই। দুই পাশ থেকে b বিয়োগ করলে x ভাগ a সমান c বিয়োগ b।
এবার a দিয়ে ভাগ উঠাতে দুই পাশকে a দিয়ে গুণ করি। তাহলে x সমান a গুণ, c বিয়োগ b।
সাধারণ ভুল হলো গুণের বদলে ভাগ করে ফেলা, তখন উত্তর আসে c বিয়োগ b ভাগ a। আবার বন্ধনী ভুলে গেলে আসে ac বিয়োগ b, যা ঠিক নয়, কারণ b কেও a দিয়ে গুণ হওয়ার কথা।
মনে রাখুন: উল্টো ক্রমে খুলুন: শেষে যা যোগ হয়েছে তা আগে সরান, তারপর ভাগের বদলে গুণ। একটা সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: a=২, b=১, c=৪ হলে x = ৬।
পুরো পাতা ›
১৩২. If x is a natural number and S = {x : x² ≥ 64 and x³ < 1000}, then S = ? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক{8, 9, 10}
2. খ{8,9}
3. গ{9}
4. ঘ{4, 5, 6}
সঠিক উত্তর: খ. {8,9}
প্রশ্নটা সেট গঠন পদ্ধতি থেকে তালিকা পদ্ধতিতে যাওয়ার। দুটি শর্ত একসঙ্গে মানতে হবে: x এর বর্গ ৬৪ বা তার বেশি, আর x এর ঘন ১০০০ এর কম।
প্রথম শর্ত: ৮ এর বর্গ ৬৪, তাই x কমপক্ষে ৮। দ্বিতীয় শর্ত: ১০ এর ঘন ঠিক ১০০০, যা ১০০০ এর কম নয়; তাই x সর্বোচ্চ ৯।
দুটো মিলিয়ে x হতে পারে ৮ অথবা ৯। তাই S সমান সেট ৮, ৯।
বড় ফাঁদ হলো ১০ কে রাখা। চিহ্নটা ছোট, সমান নয়; ১০ এর ঘন ১০০০ এর সমান, কম নয়, তাই ১০ বাদ।
মনে রাখুন: সীমার দুই প্রান্ত শুধু পরীক্ষা করুন: ৮² = ৬৪ (ঢোকে), ১০³ = ১০০০ (ঢোকে না)।
পুরো পাতা ›
১৩৩. A man paid tax on 9000 Taka at 30%. He paid the tax in 12 equal payments. Each payment was. (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক2.25 Taka
2. খ22.50 Taka
3. গ225 Taka
4. ঘ250 Taka
সঠিক উত্তর: গ. 225 Taka
প্রশ্নটা শতকরা আর সমান কিস্তির। আগে মোট কর বের করতে হবে, তারপর সেটাকে ১২ ভাগে ভাগ করতে হবে।
৯০০০ টাকার ৩০ শতাংশ মানে ৯০০০ গুণ ৩০ ভাগ ১০০, যা ২৭০০ টাকা। এটাই মোট কর।
এই ২৭০০ টাকা ১২টি সমান কিস্তিতে দিলে প্রতিটি কিস্তি ২৭০০ ভাগ ১২, মানে ২২৫ টাকা।
ফাঁদ হলো দশমিক বিন্দু সরানো: ২২.৫০ বা ২.২৫ একই অঙ্ক দিয়ে বানানো। মোট কর ২৭০০ মনে রাখলে বোঝা যায় কিস্তি কয়েকশো টাকার হবে।
মনে রাখুন: একবারে: ৯০০০ × ০.৩ ÷ ১২ = ২২৫। আগে ৯০০০ কে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ৭৫০, তার ৩০% = ২২৫।
পুরো পাতা ›
১৩৪. If the ratio of two numbers is 3 : 4 and their least common multiple is 60, then the numbers are (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক15, 20
2. খ12, 16
3. গ9, 12
4. ঘ18, 24
সঠিক উত্তর: ক. 15, 20
প্রশ্নটা অনুপাত আর লসাগুর সম্পর্কের। অনুপাত ৩ অনুপাত ৪ হলে সংখ্যা দুটি ৩k আর ৪k, যেখানে k তাদের গসাগু।
৩ আর ৪ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই ৩k আর ৪k এর লসাগু হলো ৩ গুণ ৪ গুণ k, মানে ১২k।
১২k সমান ৬০ থেকে k সমান ৫। তাই সংখ্যা দুটি ১৫ আর ২০। যাচাই: ১৫ আর ২০ এর লসাগু ৬০।
সব অপশনই ৩ অনুপাত ৪ মানে, তাই শুধু অনুপাত দেখে উত্তর হয় না; লসাগু মিলিয়ে দেখতে হবে। ১২ ও ১৬ এর লসাগু ৪৮, ৯ ও ১২ এর ৩৬, ১৮ ও ২৪ এর ৭২।
মনে রাখুন: লসাগু ÷ (অনুপাতের পদের গুণফল) = k: ৬০ ÷ ১২ = ৫। অথবা প্রতিটি অপশনের লসাগু দেখে নিন।
পুরো পাতা ›
১৩৫. If two coins are tossed, what is the probability of getting at least one head? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক1/4
2. খ1/2
3. গ3/4
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: গ. 3/4
প্রশ্নটা সম্ভাবনার। দুটি মুদ্রা ছুড়লে মোট সম্ভাব্য ফল ৪টি: HH, HT, TH, TT। প্রতিটির সম্ভাবনা সমান।
অন্তত একটি হেড মানে একটি বা দুটি হেড। এর উল্টো ঘটনা হলো একটিও হেড না পাওয়া, মানে দুটোই টেল, যা মাত্র একটি ফল।
তাই অন্তত একটি হেডের সম্ভাবনা ১ বিয়োগ ১ ভাগ ৪, মানে ৩ ভাগ ৪। সরাসরি গুনলেও HH, HT, TH এই ৩টি ফল অনুকূল।
ফাঁদ হলো ১ ভাগ ২: এটি ঠিক একটি হেডের সম্ভাবনা। আর ১ ভাগ ৪ হলো দুটোই হেড বা দুটোই টেলের সম্ভাবনা।
মনে রাখুন: অন্তত একটি মানেই উল্টো দিক থেকে ভাবুন: ১ − (একটিও না)। n টি মুদ্রায় অন্তত একটি হেড = ১ − ১/২ⁿ।
পুরো পাতা ›
১৩৬. Given 16^x = 4^4. What is x? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক-2
2. খ-1/2
3. গ1/2
4. ঘ2
সঠিক উত্তর: ঘ. 2
প্রশ্নটা সূচকের সমীকরণ। কৌশল হলো দুই পাশকে একই ভিত্তিতে লেখা, তারপর ঘাত দুটো সমান ধরা।
১৬ হলো ৪ এর বর্গ। তাই ১৬ এর ঘাত x মানে ৪ এর ঘাত ২x। সমীকরণ দাঁড়ায় ৪ এর ঘাত ২x সমান ৪ এর ঘাত ৪।
ভিত্তি সমান হলে ঘাতও সমান, তাই ২x সমান ৪, x সমান ২। যাচাই: ১৬ এর বর্গ ২৫৬, আর ৪ এর চতুর্থ ঘাতও ২৫৬।
ফাঁদ হলো ভিত্তি বদলানোর সময় উল্টো ভাগ করা: ৪ কে ১৬ এর বর্গমূল ভাবলে ভুলে ১ ভাগ ২ চলে আসে।
মনে রাখুন: সব ২ এর ঘাতে নিন: ১৬^x = ২^(৪x), ৪⁴ = ২⁸; ৪x = ৮, x = ২।
পুরো পাতা ›
১৩৭. If the universal set consists of two sets A and B, then the complementary set of A is- (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. কA ∩ B
2. খA
3. গB
4. ঘA ∪ B
সঠিক উত্তর: গ. B
প্রশ্নটা পূরক সেটের সংজ্ঞা নিয়ে। সার্বিক সেট U এর যে উপাদানগুলো A তে নেই, সেগুলো নিয়ে গঠিত সেটই A এর পূরক সেট, যাকে লেখা হয় A প্রাইম বা U বিয়োগ A।
এখানে বলা হয়েছে সার্বিক সেট শুধু দুটি সেট A আর B নিয়ে গঠিত। প্রশ্নকর্তার ভাবনা হলো U কে A আর B এই দুই ভাগে ভাগ করা। তাহলে A বাদ দিলে যা থাকে, তা B।
একটু সতর্কতা: A আর B এর মধ্যে সাধারণ উপাদান থাকলে A এর পূরক আসলে B বিয়োগ A, পুরো B নয়। অপশনে এটি নেই, তাই A ও B নিশ্ছেদ ধরে উত্তর B।
A ইউনিয়ন B হলো পুরো সার্বিক সেট নিজেই, পূরক নয়। আর A ইন্টারসেকশন B তো A এর ভেতরেই থাকে, তাই সেটি A এর পূরক হতে পারে না।
মনে রাখুন: U = A ∪ B হলে A′ = B − A; নিশ্ছেদ হলে সরাসরি A′ = B।
পুরো পাতা ›
১৩৮. নিচের কোন ভগ্নাংশটি ২/৩ হতে বড়? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক৩৩/৫০
2. খ৮/১১
3. গ৩/৫
4. ঘ১৩/২৭
সঠিক উত্তর: খ. ৮/১১
প্রশ্নটা ভগ্নাংশের তুলনা যাচাই করছে। দুটি ভগ্নাংশ তুলনার সবচেয়ে নিরাপদ উপায় আড়গুণন: a ভাগ b আর c ভাগ d তুলনায় a গুণ d আর b গুণ c তুলনা করুন।
২ ভাগ ৩ এর সাথে ৮ ভাগ ১১ তুলনা করি: ৮ গুণ ৩ সমান ২৪, আর ১১ গুণ ২ সমান ২২। ২৪ বড়, তাই ৮ ভাগ ১১ বড়।
দশমিকেও দেখা যায়: ২ ভাগ ৩ প্রায় ০ দশমিক ৬৬৭, আর ৮ ভাগ ১১ প্রায় ০ দশমিক ৭২৭।
ফাঁদ হলো ৩৩ ভাগ ৫০, যা ০ দশমিক ৬৬, মানে ২ ভাগ ৩ এর খুব কাছে কিন্তু সামান্য ছোট। আড়গুণনে ৯৯ বনাম ১০০, তাই এটি ছোট।
মনে রাখুন: লবের ৩ গুণ যদি হরের ২ গুণের চেয়ে বড় হয়, তবেই ভগ্নাংশটি 2/3 এর চেয়ে বড়।
পুরো পাতা ›
১৩৯. বার্ষিক ৫% হার মুনাফায় ৪০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক৪৪০ টাকা
2. খ৪৪১ টাকা
3. গ৪৪৫ টাকা
4. ঘ৪৫০ টাকা
সঠিক উত্তর: খ. ৪৪১ টাকা
প্রশ্নটা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার মূল ধারণা যাচাই করছে: প্রতি বছরের শেষে মুনাফা আসলের সঙ্গে যোগ হয়ে যায়, আর পরের বছর মুনাফা হয় এই বাড়া মূলধনের উপর।
প্রথম বছর ৪০০ টাকার ৫ শতাংশ, মানে ২০ টাকা মুনাফা; মূলধন হয় ৪২০ টাকা।
দ্বিতীয় বছর মুনাফা হয় ৪২০ টাকার উপর; ৪২০ এর ৫ শতাংশ হলো ২১ টাকা। তাই ২ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৪২০ যোগ ২১, মানে ৪৪১ টাকা।
সূত্রে লিখলে: আসলকে এক দশমিক শূন্য পাঁচ দিয়ে দুবার গুণ করা। ৪০০ গুণ এক দশমিক এক শূন্য দুই পাঁচ সমান ৪৪১।
ফাঁদ হলো ৪৪০ টাকা। এটা সরল মুনাফার উত্তর, যেখানে দুই বছরই ৪০০ টাকার উপর ২০ টাকা করে ধরা হয়। চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরে সুদের উপরও সুদ যোগ হয়, সেই বাড়তি ১ টাকাই পার্থক্য।
মনে রাখুন: ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য = P × (r ÷ ১০০)² = ৪০০ × ০.০০২৫ = ১; তাই সরলের ৪৪০ + ১ = ৪৪১।
পুরো পাতা ›
১৪০. ১০০ হতে বড় দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ৩০০ হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত? (৪৬তম বিসিএস, ২০২৪)
1. ক১ : ৯
2. খ২ : ৫
3. গ২ : ৩
4. ঘ৩ : ৫
সঠিক উত্তর: গ. ২ : ৩
দুটো শর্ত একসাথে মানতে হবে: দুটি সংখ্যাই ১০০-এর বড় পূর্ণসংখ্যা, আর যোগফল ৩০০। একটা ১০০-এর বড় হলে অন্যটা ২০০-এর ছোট, তাই দুটো সংখ্যাই ১০১ থেকে ১৯৯-এর মধ্যে।
এখন প্রতিটি বিকল্প অনুপাত দিয়ে ৩০০ কে ভাগ করে দেখি। অনুপাত ক অনুপাত খ হলে প্রথম সংখ্যা ৩০০ গুণ ক ভাগ ক যোগ খ।
২ অনুপাত ৩ হলে অংশ মোট ৫, প্রতি অংশ ৬০। সংখ্যা দুটি ১২০ ও ১৮০; দুটোই ১০০-এর বড় পূর্ণসংখ্যা, শর্ত পূরণ হয়।
১ অনুপাত ৯ দিলে ৩০ ও ২৭০, প্রথমটা ১০০-এর ছোট। ২ অনুপাত ৫-এ মোট অংশ ৭, আর ৩ অনুপাত ৫-এ মোট অংশ ৮; ৩০০ কে ৭ বা ৮ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাই পূর্ণসংখ্যা আসে না। পূর্ণসংখ্যার শর্তটা অনেকেই চোখ এড়িয়ে যান।
মনে রাখুন: অনুপাতের অংশের যোগফল দিয়ে ৩০০ ভাগ যায় কি না আগে দেখুন; ৭ ও ৮ দিয়ে যায় না, তাই ২ : ৫ ও ৩ : ৫ সঙ্গে সঙ্গে বাদ।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১৪১–১৬০ ›