গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৬/৫৩ · প্রশ্ন ১০১–১২০সব উত্তর দেখান

১০১. The range of f(x) = 1/(x + 1) is: (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
1. কR\{0}
2. খx > -1
3. গx <-1
4. ঘR\{-1}
সঠিক উত্তর: ক. R\{0}
প্রশ্নটা ফাংশনের রেঞ্জ বা পরিসর জানতে চেয়েছে, অর্থাৎ f(x) কোন কোন মান নিতে পারে। ডোমেইন আর রেঞ্জ গুলিয়ে ফেলাই এখানে মূল ফাঁদ।
রেঞ্জ বের করতে y সমান ১ ভাগ x যোগ ১ ধরে x বের করি: x যোগ ১ সমান ১ ভাগ y, তাই x সমান ১ ভাগ y বিয়োগ ১। এটি y শূন্য ছাড়া সব বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞায়িত।
অন্যভাবে, একটি ভগ্নাংশের লব ১ হলে তা কখনো শূন্য হতে পারে না। তাই রেঞ্জ হলো শূন্য বাদে সব বাস্তব সংখ্যা।
x সমান বিয়োগ ১ এ হর শূন্য হয়, তাই বিয়োগ ১ বাদ দেওয়া হলো ডোমেইন, রেঞ্জ নয়। এই অপশনটিই সবচেয়ে বড় ফাঁদ।
মনে রাখুন: 1/(x − a) + b ধাঁচে ডোমেইন ℝ \ {a}, রেঞ্জ ℝ \ {b}; এখানে a = −1, b = 0।
পুরো পাতা ›
১০২. Which of the following is a perfect square? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
1. ক45
2. খ72
3. গ49
4. ঘ81.5
সঠিক উত্তর: গ. 49
প্রশ্নটা পূর্ণবর্গ সংখ্যা চিনতে বলেছে। পূর্ণবর্গ হলো এমন পূর্ণসংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যাকে নিজের সঙ্গে গুণ করে পাওয়া যায়।
৪৯ সমান ৭ গুণ ৭, তাই ৪৯ পূর্ণবর্গ।
৪৫ আছে ৩৬ আর ৪৯ এর মাঝে, ৭২ আছে ৬৪ আর ৮১ এর মাঝে, তাই কোনোটিই পূর্ণবর্গ নয়। ৮১ দশমিক ৫ পূর্ণসংখ্যাই নয়; ৮১ পূর্ণবর্গ হলেও দশমিক যুক্ত হওয়ায় এটি ফাঁদ।
মনে রাখুন: পূর্ণবর্গের শেষ অঙ্ক কখনো 2, 3, 7, 8 হয় না; তাই 72 সঙ্গে সঙ্গে বাদ।
পুরো পাতা ›
১০৩. If tan A = 3/4 then sec A = ? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
1. ক5/4
2. খ4/5
3. গ3/5
4. ঘ5/3
সঠিক উত্তর: ক. 5/4
প্রশ্নটা ত্রিকোণমিতির অনুপাতের সম্পর্ক যাচাই করছে। tan A মানে লম্ব ভাগ ভূমি, আর sec A মানে অতিভুজ ভাগ ভূমি। তাই tan জানা থাকলে অতিভুজ বের করতে পারলেই sec পাওয়া যায়।
tan A সমান ৩ ভাগ ৪ হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ ভাবি যার লম্ব ৩ আর ভূমি ৪। পিথাগোরাসের উপপাদ্যে অতিভুজের বর্গ হয় ৩-এর বর্গ যোগ ৪-এর বর্গ, মানে ৯ যোগ ১৬ সমান ২৫। তাই অতিভুজ ৫।
এখন sec A সমান অতিভুজ ভাগ ভূমি, মানে ৫ ভাগ ৪। একই কথা সূত্র দিয়েও আসে: sec বর্গ A সমান ১ যোগ tan বর্গ A, যা ২৫ ভাগ ১৬, বর্গমূল নিলে ৫ ভাগ ৪।
ফাঁদ হলো sec আর cosec গুলিয়ে ফেলা। অতিভুজ ভাগ লম্ব নিলে আসে ৫ ভাগ ৩, যা আসলে cosec A। আর ৪ ভাগ ৫ হলো cos A, যা sec-এর উল্টো।
মনে রাখুন: sec² A = ১ + tan² A সূত্রে সরাসরি: ১ + ৯/১৬ = ২৫/১৬, তাই sec A = ৫/৪। ৩-৪-৫ ত্রিভুজ চিনে রাখলে মুহূর্তেই হয়।
পুরো পাতা ›
১০৪. Find the midpoint of the line segment joining the points P1 = (4, −3) and P2 = (6, 1). (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
1. ক(5,-1)
2. খ(5, 1)
3. গ(-1, 5)
4. ঘ(0, 1)
সঠিক উত্তর: ক. (5,-1)
প্রশ্নটা মধ্যবিন্দুর সূত্র যাচাই করছে। দুটি বিন্দুর ঠিক মাঝের বিন্দু পেতে x স্থানাঙ্ক দুটির গড় আর y স্থানাঙ্ক দুটির গড় নিতে হয়।
x স্থানাঙ্ক ৪ আর ৬, এদের যোগফল ১০, অর্ধেক ৫। y স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক ৩ আর ১, এদের যোগফল ঋণাত্মক ২, অর্ধেক ঋণাত্মক ১।
তাই মধ্যবিন্দু হলো পাঁচ, ঋণাত্মক এক। গড় নেওয়ার কারণ হলো মধ্যবিন্দু দুই প্রান্ত থেকে সমান দূরে থাকে, তাই প্রতিটি স্থানাঙ্কও ঠিক মাঝামাঝি হয়।
ফাঁদ হলো চিহ্নে ভুল করা। ঋণাত্মক ৩ যোগ ১ কে ভুলে ধনাত্মক ধরলে উত্তর আসে পাঁচ, এক। আবার স্থানাঙ্ক উল্টে লিখলে আসে ঋণাত্মক এক, পাঁচ।
মনে রাখুন: দুই বিন্দুর x যোগ করে অর্ধেক, y যোগ করে অর্ধেক: মুখে মুখেই (৫, −১)।
পুরো পাতা ›
১০৫. Find an equation for the line with X-intercept = 2, Y-intercept = -1 . (X-অক্ষচ্ছেদ = ২ এবং Y-অক্ষচ্ছেদ = -১ বিশিষ্ট রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করুন।) (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, জেনারেল) (২০২৫)
1. ক2x - y = 1
2. খx - 2y = 2
3. গy = - 1
4. ঘx = 2
সঠিক উত্তর: খ. x - 2y = 2
প্রশ্নটা অক্ষচ্ছেদ আকারে সরলরেখার সমীকরণ যাচাই করছে। কোনো রেখা x অক্ষকে a বিন্দুতে আর y অক্ষকে b বিন্দুতে ছেদ করলে তার সমীকরণ হয় x ভাগ a যোগ y ভাগ b সমান ১।
এখানে a সমান ২ আর b সমান ঋণাত্মক ১। বসালে পাই x ভাগ ২ বিয়োগ y সমান ১। দুই পাশকে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় x বিয়োগ ২y সমান ২।
যাচাই করি: বিন্দু দুই, শূন্য বসালে ২ বিয়োগ ০ সমান ২, মিলে যায়। বিন্দু শূন্য, ঋণাত্মক এক বসালে ০ যোগ ২ সমান ২, এটাও মিলে যায়। তাই রেখাটি দুই অক্ষচ্ছেদ বিন্দু দিয়েই যায়।
ফাঁদ হলো y সমান ঋণাত্মক ১ বা x সমান ২ বেছে নেওয়া। এগুলো অক্ষের সমান্তরাল রেখা, যারা একটিমাত্র অক্ষকে ছেদ করে; দুই অক্ষচ্ছেদ একসাথে মেলে না।
মনে রাখুন: অপশনে সরাসরি (২, ০) আর (০, −১) বসিয়ে দেখুন; যে সমীকরণ দুটোতেই মেলে সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
১০৬. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক20%
2. খ25%
3. গ21%
4. ঘ16%
সঠিক উত্তর: গ. 21%
প্রশ্নটা শতকরা পরিবর্তনের প্রভাব ক্ষেত্রফলে যাচাই করছে। ক্ষেত্রফল দুই মাত্রার, বাহু গুণ বাহু, তাই বাহু ১০ শতাংশ বাড়লে ক্ষেত্রফল দুবার ১০ শতাংশ বাড়ে।
বাহু ১০ মিটার ধরি, ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার। ১০ শতাংশ বাড়লে বাহু ১১ মিটার, ক্ষেত্রফল ১২১ বর্গমিটার। বৃদ্ধি ২১ বর্গমিটার, যা ১০০ এর উপর ২১ শতাংশ।
শর্টকাট সূত্র: দুটি পরপর a শতাংশ আর b শতাংশ বৃদ্ধি মিলে হয় a যোগ b যোগ a আর b এর গুণফলকে ১০০ দিয়ে ভাগ করলে যা হয়। এখানে ১০ যোগ ১০ যোগ ১, মানে ২১ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ বিকল্পটি। ১০ আর ১০ যোগ করলে ২০ হয়, কিন্তু বাড়তি অংশের উপরও বৃদ্ধি হয়, সেই ১ শতাংশ বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: x% বাড়লে বর্গের ক্ষেত্রফল বাড়ে ২x + x²/১০০; x = ১০ হলে ২০ + ১ = ২১%।
পুরো পাতা ›
১০৭. 100 টাকা 10% হারে 5 বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে, সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক10.05 টাকা
2. খ11.05 টাকা
3. গ12.05 টাকা
4. ঘ13.05 টাকা
সঠিক উত্তর: খ. 11.05 টাকা
প্রশ্নটা সরল মুনাফা আর চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য যাচাই করছে। সরল মুনাফায় প্রতি বছর শুধু আসলের উপর মুনাফা হয়; চক্রবৃদ্ধিতে আগের মুনাফার উপরও মুনাফা হয়।
সরল মুনাফা: ১০০ টাকার ১০ শতাংশ মানে বছরে ১০ টাকা, ৫ বছরে ৫০ টাকা।
চক্রবৃদ্ধি: প্রতি বছর মোট টাকা ১ দশমিক এক গুণ হয়। পাঁচ বছর পর ১০০ টাকা হয় ১৬১ দশমিক শূন্য পাঁচ এক টাকা, তাই মুনাফা ৬১ দশমিক শূন্য পাঁচ টাকা প্রায়।
পার্থক্য ৬১ দশমিক শূন্য পাঁচ বিয়োগ ৫০, মানে ১১ দশমিক শূন্য পাঁচ টাকা। বিকল্পগুলো সবই দশমিক শূন্য পাঁচ এ শেষ, তাই আন্দাজে নয়, পুরো হিসাব করতে হবে।
মনে রাখুন: (১.১)⁵ = ১.৬১০৫১ মুখস্থ রাখুন; ১০% হারে ৫ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা আসলের ৬১.০৫১%।
পুরো পাতা ›
১০৮. যদি x = √5 + √3 হয়, তবে x³ + 8/x³ এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক18√5
2. খ22√5
3. গ28√5
4. ঘ32√5
সঠিক উত্তর: গ. 28√5
প্রশ্নটা চায় x ঘন যোগ x ঘন ভাগের ৮ এর মান। এটা অনুবন্ধী করণী আর ঘন সূত্রের প্রশ্ন।
x সমান রুট ৫ যোগ রুট ৩। লক্ষ করুন, রুট ৫ যোগ রুট ৩ আর রুট ৫ বিয়োগ রুট ৩ এর গুণফল ৫ বিয়োগ ৩, মানে ২। তাই x ভাগের ২ সমান রুট ৫ বিয়োগ রুট ৩।
তাহলে x যোগ x ভাগের ২ সমান ২ রুট ৫, আর x গুণ x ভাগের ২ সমান ২। সূত্র: a ঘন যোগ b ঘন সমান a যোগ b এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ab গুণ a যোগ b। এখানে a হলো x, b হলো x ভাগের ২।
২ রুট ৫ এর ঘন ৪০ রুট ৫। বিয়োগ ৩ গুণ ২ গুণ ২ রুট ৫, মানে ১২ রুট ৫। ফল ২৮ রুট ৫।
ফাঁদ হলো ab কে ১ ধরে নেওয়া, যেমন x ভাগের ১ এর প্রশ্নে হয়। এখানে গুণফল ২, তাই ১২ রুট ৫ বাদ দিতে হয়, ৬ রুট ৫ নয়।
মনে রাখুন: x³ + ৮/x³ = (x + ২/x)³ − ৬(x + ২/x); x + ২/x = ২√৫ বসান।
পুরো পাতা ›
১০৯. |x - 5| < 2, x ∈ IN অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক(3, 7)
2. খ[3, 7]
3. গ{4, 5, 6}
4. ঘ{3, 4, 5, 6, 7}
সঠিক উত্তর: গ. {4, 5, 6}
প্রশ্নটা পরমমান অসমতা আর সেট লেখার ধরন দুটোই যাচাই করছে। পরমমান x বিয়োগ ৫ ছোট ২ মানে x এর দূরত্ব ৫ থেকে ২ এর কম।
তাই x বিয়োগ ৫ থাকবে ঋণাত্মক ২ আর ২ এর মাঝে, অর্থাৎ x থাকবে ৩ আর ৭ এর মাঝে, ৩ ও ৭ বাদে, কারণ চিহ্নটা ছোট, ছোট অথবা সমান নয়।
কিন্তু x স্বাভাবিক সংখ্যা, মানে শুধু ১, ২, ৩ এর মতো পূর্ণ ধনাত্মক সংখ্যা। ৩ আর ৭ এর মাঝের স্বাভাবিক সংখ্যা ৪, ৫ আর ৬। তাই সমাধান সেট চার, পাঁচ, ছয়।
দুটি ফাঁদ আছে। ব্যবধি দিয়ে লেখা বিকল্প দুটি সব বাস্তব সংখ্যা ধরে, স্বাভাবিক সংখ্যার শর্ত মানে না। আর তিন থেকে সাত পর্যন্ত সেটে ৩ ও ৭ ঢুকে গেছে, যা প্রান্তবিন্দু, সমাধান নয়।
মনে রাখুন: |x − a| < b মানে a থেকে b দূরত্বের ভেতরে: (a − b, a + b), প্রান্ত বাদ।
পুরো পাতা ›
১১০. যদি 5x³ - 2x² + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক50
2. খ60
3. গ– 120
4. ঘ- 60
সঠিক উত্তর: গ. – 120
প্রশ্নটা উৎপাদক উপপাদ্য যাচাই করছে। x বিয়োগ a যদি কোনো বহুপদীর উৎপাদক হয়, তাহলে x এর জায়গায় a বসালে বহুপদীর মান শূন্য হয়।
এখানে উৎপাদক x বিয়োগ ৩, তাই x সমান ৩ বসিয়ে মান শূন্য ধরতে হবে। ৫ গুণ ৩ এর ঘন মানে ৫ গুণ ২৭, অর্থাৎ ১৩৫। বিয়োগ ২ গুণ ৩ এর বর্গ মানে ১৮। যোগ ৩, যোগ k।
১৩৫ বিয়োগ ১৮ যোগ ৩ সমান ১২০। তাই ১২০ যোগ k সমান শূন্য, আর k সমান ঋণাত্মক ১২০।
ফাঁদ হলো চিহ্ন। x বিয়োগ ৩ দেখে কেউ কেউ ঋণাত্মক ৩ বসিয়ে ফেলেন। উৎপাদক x বিয়োগ a হলে বসাতে হয় ধনাত্মক a।
মনে রাখুন: উৎপাদক (x − a) মানে f(a) = ০; ধ্রুবক k সবসময় বাকি পদগুলোর মানের ঋণাত্মক।
পুরো পাতা ›
১১১. নিচের সিরিজের ফাঁকা যায়গায় কোন সংখ্যা হবে? 243, 81, ___ , 9, 3, 1 (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক9
2. খ27
3. গ12
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: খ. 27
এটা গুণোত্তর ধারার প্রশ্ন। পদগুলো দ্রুত ছোট হচ্ছে, তাই পার্থক্য নয়, অনুপাত দেখতে হবে।
২৪৩ থেকে ৮১ এ যেতে ৩ দিয়ে ভাগ, ৯ থেকে ৩ আর ৩ থেকে ১ এও ৩ দিয়ে ভাগ। প্রতিটি পদ আগের পদের ৩ ভাগের ১।
তাই ফাঁকা পদ ৮১ কে ৩ দিয়ে ভাগ, মানে ২৭। যাচাই: ২৭ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ৯, যা পরের পদ।
আসলে সব পদই ৩ এর ঘাত: ৩ এর পঞ্চম ঘাত ২৪৩ থেকে শূন্য ঘাত ১ পর্যন্ত। মাঝে ৩ এর ঘন, অর্থাৎ ২৭ ই বাদ পড়েছে।
মনে রাখুন: ২৪৩ = ৩⁵ চিনলেই ধারাটা ৩⁵, ৩⁴, ৩³, ৩², ৩¹, ৩⁰।
পুরো পাতা ›
১১২. যদি logₓ324 = 4 হয়, তবে x এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক3√2
2. খ4√2
3. গ5√2
4. ঘ√2
সঠিক উত্তর: ক. 3√2
প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা যাচাই করছে। x ভিত্তিতে ৩২৪ এর লগ ৪ মানে x এর চতুর্থ ঘাত সমান ৩২৪।
চতুর্থ ঘাত মানে বর্গের বর্গ। তাই x এর বর্গ হবে ৩২৪ এর বর্গমূল, মানে ১৮। আবার x হবে ১৮ এর বর্গমূল।
১৮ সমান ৯ গুণ ২, তাই ১৮ এর বর্গমূল ৩ রুট ২। অতএব x সমান ৩ রুট ২। লগের ভিত্তি ধনাত্মক হতে হয়, তাই ঋণাত্মক মান বাদ।
যাচাই: ৩ রুট ২ এর বর্গ ১৮, ১৮ এর বর্গ ৩২৪। মিলে গেল। বাকি বিকল্পগুলোর চতুর্থ ঘাত ৩২৪ থেকে অনেক দূরে।
মনে রাখুন: বিকল্পের বর্গ নিন: (৩√২)² = ১৮, আর ১৮² = ৩২৪; এক নজরে মিলে যায়।
পুরো পাতা ›
১১৩. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক1/3
2. খ1/525
3. গ1/729
4. ঘ1/615
সঠিক উত্তর: গ. 1/729
প্রশ্নটা গুণোত্তর ধারার n তম পদের সূত্র যাচাই করছে। n তম পদ সমান প্রথম পদ গুণ অনুপাতের n বিয়োগ ১ তম ঘাত।
প্রথম পদ ২৭, দ্বিতীয় পদ ৯, তাই অনুপাত ২৭ ভাগের ৯, মানে ৩ ভাগের ১। দশম পদে অনুপাতের ঘাত হবে ৯, কারণ প্রথম পদ থেকে দশম পদে ৯টি ধাপ।
২৭ হলো ৩ এর ঘন, আর ৩ ভাগের ১ এর নবম ঘাত মানে হরে ৩ এর নবম ঘাত। তাই দশম পদ ৩ এর ঘনকে ৩ এর নবম ঘাত দিয়ে ভাগ, মানে ৩ এর ষষ্ঠ ঘাতের বিপরীত, অর্থাৎ ৭২৯ ভাগের ১।
ফাঁদ হলো ঘাত ১০ ধরে ফেলা। তাহলে উত্তর আসে ২১৮৭ ভাগের ১, যা নেই। আর ৩ ভাগের ১ বিকল্পটি আসলে পঞ্চম পদ, অথবা শুধু অনুপাত।
মনে রাখুন: সব পদ ৩ এর ঘাত: ৩³ থেকে শুরু করে প্রতি পদে ঘাত ১ কমে; দশম পদে ঘাত ৩ − ৯ = −৬।
পুরো পাতা ›
১১৪. একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. কπ
2. খ2π
3. গ√2π
4. ঘ2√2π
সঠিক উত্তর: খ. 2π
প্রশ্নটা বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ধর্ম যাচাই করছে। বর্গের চারটি কোণ বৃত্তের উপর থাকলে বর্গের কর্ণই বৃত্তের ব্যাস, কারণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।
বাহু ২ সেন্টিমিটার হলে কর্ণ হলো বাহু গুণ রুট ২, মানে ২ রুট ২ সেন্টিমিটার। এটাই ব্যাস, তাই ব্যাসার্ধ রুট ২ সেন্টিমিটার।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। রুট ২ এর বর্গ ২, তাই ক্ষেত্রফল ২ পাই বর্গ সেন্টিমিটার।
দুটি ফাঁদ আছে। বাহুর অর্ধেককে ব্যাসার্ধ ধরলে, যা আসলে বর্গের ভেতরে আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ, উত্তর আসে পাই। আর ২ রুট ২ পাই হলো এই বৃত্তের পরিধি, ক্ষেত্রফল নয়।
মনে রাখুন: বৃত্তস্থ বর্গে r² = বাহু² ÷ ২; এখানে ৪ ÷ ২ = ২, ক্ষেত্রফল ২π।
পুরো পাতা ›
১১৫. 4 জন তাঁতী 4 দিনে 4টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে 8 জন তাঁতী 8 দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক8টি
2. খ12টি
3. গ16টি
4. ঘ20টি
সঠিক উত্তর: গ. 16টি
এটা লোক, দিন আর কাজের সমানুপাতের প্রশ্ন। তৈরি জিনিসের সংখ্যা লোকের সংখ্যা আর দিনের সংখ্যা দুটোরই সমানুপাতিক।
৪ জন ৪ দিনে ৪টি মাদুর বানায়, তাই ১ জন ৪ দিনে ১টি বানায়। মানে একজন তাঁতী ৪ দিনে একটি মাদুর।
৮ দিনে একজন বানাবে ২টি। ৮ জন হলে ৮ গুণ ২, মানে ১৬টি মাদুর।
ফাঁদ হলো ৮টি বিকল্পটি। সবগুলো সংখ্যা ৪ থেকে ৮ হয়েছে দেখে মনে হয় উত্তরও ৮। কিন্তু লোক দ্বিগুণ আর দিনও দ্বিগুণ, তাই কাজ হয় ৪ গুণ।
মনে রাখুন: মাদুর = ৪ × (৮/৪) × (৮/৪) = ৪ × ২ × ২ = ১৬।
পুরো পাতা ›
১১৬. (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. কy = x
2. খy = 3x
3. গy = x + 3
4. ঘy = 3x + 3
সঠিক উত্তর: ক. y = x
প্রশ্নটা দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ যাচাই করছে। সরলরেখার সাধারণ রূপ y সমান mx যোগ c, যেখানে m ঢাল আর c হলো y অক্ষের ছেদক।
রেখাটি মূলবিন্দু শূন্য শূন্য দিয়ে যায়, তাই x শূন্য হলে y শূন্য; মানে c সমান শূন্য।
ঢাল m পেতে y এর পরিবর্তনকে x এর পরিবর্তন দিয়ে ভাগ করি। y বেড়েছে ৩, x-ও বেড়েছে ৩; ৩ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে ১। তাই সমীকরণ y সমান x।
সহজ যাচাই: দুটি বিন্দুতেই x আর y সমান, তাই রেখাটা y সমান x। যেসব বিকল্পে যোগ ৩ আছে, সেগুলো মূলবিন্দু দিয়ে যায় না, আর y সমান ৩x এ x ৩ হলে y ৯ হয়।
মনে রাখুন: বিকল্পে দুটি বিন্দু বসান: (০, ০) আর (৩, ৩) দুটোতেই যে সমীকরণ সত্য, সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
১১৭. যদি nC12 = nC8 হয়, তবে 22Cn এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক230
2. খ231
3. গ232
4. ঘ233
সঠিক উত্তর: খ. 231
প্রশ্নটা সমাবেশের একটি মৌলিক ধর্ম যাচাই করছে: n টি জিনিস থেকে r টি বাছাই করার উপায় আর বাকি n বিয়োগ r টি বাদ রাখার উপায় একই। তাই n থেকে r বাছাই সমান n থেকে n বিয়োগ r বাছাই।
এখন n থেকে ১২ টি বাছাই আর n থেকে ৮ টি বাছাই সমান। ১২ আর ৮ আলাদা, তাই সমান হওয়ার একমাত্র উপায় হলো ১২ যোগ ৮ সমান n, অর্থাৎ n হলো ২০।
তাহলে চাওয়া হয়েছে ২২ থেকে ২০ টি বাছাই, যা ২২ থেকে ২ টি বাছাইয়ের সমান। এটা ২২ গুণ ২১, তারপর ২ দিয়ে ভাগ, মানে ২৩১।
ফাঁদ হলো ২২ থেকে ২০ সরাসরি গুণতে বসে সময় নষ্ট করা বা ভুল করা। বড় r দেখলে আগে n বিয়োগ r করে ছোট সংখ্যায় নিয়ে আসুন।
মনে রাখুন: nCa = nCb এবং a ≠ b হলে n = a + b। তারপর nCr কে nC(n−r) বানিয়ে ছোট দিক থেকে গুণুন।
পুরো পাতা ›
১১৮. A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 6} এবং B = {x ∈ IN : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে A ∩ B এর মান কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক{3, 2}
2. খ{4, 6}
3. গ{5, 6}
4. ঘ{4, 8}
সঠিক উত্তর: খ. {4, 6}
প্রশ্নটা সেটের ছেদ যাচাই করছে। দুটি সেটের ছেদ মানে যে উপাদানগুলো দুই সেটেই আছে, শুধু সেগুলো।
সেট A তে আছে এমন স্বাভাবিক সংখ্যা যা ২ এর বড় এবং ৬ এর সমান বা ছোট। ২ নিজে বাদ, ৬ নিজে আছে: তাই A হলো ৩, ৪, ৫ ও ৬।
সেট B তে আছে ৮ পর্যন্ত জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা: ২, ৪, ৬ ও ৮। দুই তালিকা মিলিয়ে দেখলে দুটোতেই আছে শুধু ৪ আর ৬, তাই ছেদ হলো ৪ ও ৬।
ফাঁদ হলো চিহ্ন খেয়াল না করা। ২ এর পরে আছে কঠোর ছোট চিহ্ন, তাই ২ সেট A তে নেই; ৩ আবার জোড় নয়, তাই B তে নেই। আর ৮ জোড় হলেও ৬ এর বড়, তাই A তে নেই।
মনে রাখুন: ছেদের প্রশ্নে দুই সেট তালিকা করে লিখুন, তারপর যেগুলো দুই জায়গাতেই আছে শুধু সেগুলো নিন।
পুরো পাতা ›
১১৯. একটি ব্যাগে 2টি লাল, 3টি সবুজ এবং 2টি নীল বল আছে। যদি দৈবভাবে 2টি বল নেওয়া হয়, তাহলে বল দুটির কোনটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৪৭তম বিসিএস, ২০২৫)
1. ক10/21
2. খ11/21
3. গ2/7
4. ঘ5/7
সঠিক উত্তর: ক. 10/21
প্রশ্নটা সমাবেশ দিয়ে সম্ভাবনা হিসাব যাচাই করছে। একসাথে দুটি বল তোলা মানে ক্রম নয়, বাছাই; তাই অনুকূল বাছাই কে মোট বাছাই দিয়ে ভাগ করতে হবে।
মোট বল ৭টি। ৭টি থেকে যেকোনো ২টি বাছাই করা যায় ২১ উপায়ে। নীল নয় এমন বল লাল ২টি আর সবুজ ৩টি মিলে ৫টি; এগুলো থেকে ২টি বাছাই ১০ উপায়ে।
তাই কোনোটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা ২১ ভাগের ১০। অন্যভাবে: প্রথমটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা ৭ ভাগের ৫, তারপর দ্বিতীয়টিও নীল না হওয়ার সম্ভাবনা ৬ ভাগের ৪; গুণ করলেও ২১ ভাগের ১০।
ফাঁদ হলো ২১ ভাগের ১১ বিকল্প। এটা উল্টো ঘটনা, মানে অন্তত একটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা। আরেক ফাঁদ ৭ ভাগের ৫, যা মাত্র একটি বল নীল না হওয়ার সম্ভাবনা।
মনে রাখুন: সরাসরি গুণ: ৫/৭ × ৪/৬ = ১০/২১। “কোনোটিই নয়” এর প্রশ্নে শুধু বাকি বলগুলো থেকে বাছাই করুন।
পুরো পাতা ›
১২০. The price of a TV changed from 240 Taka to 300 Taka. What is the percentage increase? (সমন্বিত ৮ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২৫)
1. ক15%
2. খ20%
3. গ60%
4. ঘ25%
সঠিক উত্তর: ঘ. 25%
প্রশ্নটা শতকরা বৃদ্ধি জানতে চেয়েছে। নিয়ম হলো: বৃদ্ধির পরিমাণকে আগের দাম, মানে মূল দাম দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ।
দাম বেড়েছে ৩০০ থেকে ২৪০ বাদে ৬০ টাকা। এখন ৬০ কে ২৪০ দিয়ে ভাগ করলে হয় এক চতুর্থাংশ, মানে ২৫ শতাংশ।
ফাঁদ হলো নতুন দাম ৩০০ দিয়ে ভাগ করা; তাতে ২০ শতাংশ আসে, যা অপশনে আছে। আবার বৃদ্ধির ৬০ টাকা দেখে সরাসরি ৬০ শতাংশ বলাও ভুল।
মনে রাখুন: ২৪০ থেকে ৬০ বাড়া মানে ২৪০-এর চার ভাগের এক ভাগ, তাই ২৫%।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১২১–১৪০ ›