গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১৮
৩৪১. One of the factors of x⁴ + x² + 1 is - (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কx² − x + 1
- খx + 1
- গx² − x − 1
- ঘx² + 1
সঠিক উত্তর: ক. x² − x + 1
x এর ঘাত ৪ যোগ x বর্গ যোগ ১ কে উৎপাদকে ভাঙতে একটা কৌশল লাগে: পূর্ণবর্গ বানানো। x এর ঘাত ৪ যোগ ২x বর্গ যোগ ১ হলো x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ। আমাদের রাশিতে x বর্গ একবার আছে, তাই একবার বাড়তি যোগ করে আবার বিয়োগ করি।
তাহলে রাশি হয় x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ বিয়োগ x বর্গ। এটি a বর্গ বিয়োগ b বর্গ আকার, যার উৎপাদক a যোগ b গুণ a বিয়োগ b।
ফলে উৎপাদক দুটি: x বর্গ যোগ x যোগ ১, আর x বর্গ বিয়োগ x যোগ ১। অপশনে দ্বিতীয়টি আছে।
x যোগ ১ উৎপাদক নয়, কারণ x সমান ঋণাত্মক ১ বসালে রাশির মান ৩ হয়, শূন্য নয়। এটাই এখানে প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: x⁴ + x² + ১ = (x² + x + ১)(x² − x + ১); মুখস্থ রাখুন, প্রায়ই আসে।
৩৪২. Max goes to the gym every fourth day. Ellen's exercise routine is to go every third day. Today is Monday and both Max and Ellen are at the gym. What will the day of the week be the next time they are both at the gym? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- কSunday
- খWednesday
- গFriday
- ঘSaturday
সঠিক উত্তর: ঘ. Saturday
দুজন আবার কবে একসাথে জিমে থাকবে, সেটা বের করতে লাগে ল.সা.গু। ম্যাক্স যায় প্রতি ৪ দিন পরপর, এলেন প্রতি ৩ দিন পরপর। ৪ আর ৩ এর লসাগু ১২, তাই ১২ দিন পর দুজন আবার একসাথে থাকবে।
এখন ১২ দিন পর কী বার, তা বের করতে ১২ কে ৭ দিয়ে ভাগ করি, কারণ সপ্তাহে ৭ দিন। ভাগশেষ থাকে ৫। মানে পুরো এক সপ্তাহ পার হয়ে আরও ৫ দিন এগোতে হবে।
সোমবার থেকে ৫ দিন এগোলে: মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি, শুক্র, শনি। তাই উত্তর শনিবার।
অনেকে ৪ আর ৩ যোগ করে ৭ দিন ধরেন, তাহলে আবার সোমবার আসে, যা অপশনেও নেই। আবার কেউ ৪ গুণ ৩ না করে শুধু ৪ দিন গুনে শুক্রবার বেছে নেন। দুই সংখ্যার লসাগুই এখানে আসল চাবি।
মনে রাখুন: লসাগু বের করে ৭ দিয়ে ভাগ করুন; ভাগশেষ যত, আজকের বার থেকে ততদিন এগোন।
৩৪৩. Bill and Ben can clean the garage together in 6 hours. If it takes Bill 10 hours working alone, how long will it take Ben working alone? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক11 hours
- খ4 hours
- গ16 hours
- ঘ15 hours
সঠিক উত্তর: ঘ. 15 hours
কাজের প্রশ্নে সময়ের বদলে প্রতি ঘণ্টার কাজ ধরলে হিসাব সহজ হয়। পুরো গ্যারেজ পরিষ্কারকে ১টি কাজ ধরি।
দুজন মিলে ৬ ঘণ্টায় করে, তাই একসাথে প্রতি ঘণ্টায় করে ৬ ভাগের ১ ভাগ। বিল একা ১০ ঘণ্টায় করে, তাই সে প্রতি ঘণ্টায় করে ১০ ভাগের ১ ভাগ।
বেনের প্রতি ঘণ্টার কাজ হলো দুটোর পার্থক্য: ৬ ভাগের ১ থেকে ১০ ভাগের ১ বাদ দিলে হয় ১৫ ভাগের ১। তাই বেন একা পুরো কাজ করতে লাগবে ১৫ ঘণ্টা।
সাধারণ ভুল হলো সময় সরাসরি বিয়োগ করা: ১০ থেকে ৬ বাদ দিয়ে ৪ ঘণ্টা। কিন্তু একজন সাহায্যকারী থাকলে সময় কমে, তাই একা কাজ করা লোকের সময় অবশ্যই ৬ ঘণ্টার বেশি হবে।
মনে রাখুন: অন্যজনের সময় = (একসাথে × একজনের সময়) ÷ (একজনের সময় − একসাথে) = ৬ × ১০ ÷ ৪ = ১৫ ঘণ্টা।
৩৪৪. A sector of a circle of radius 5 cm is recast into a right circular cone of height 4 cm. What is the volume of the resulting cone? (৫ সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের কোনো বৃত্তকলাকে একটি ৪ সেমি উচ্চতার সমবৃত্তভূমিক কোণকে রূপান্তরিত করা হলো। নতুন গঠিত কোণটির আয়তন কত?) (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক12π cm³
- খ33π cm³
- গ32π cm³
- ঘ4π cm³
সঠিক উত্তর: ক. 12π cm³
বৃত্তকলা ভাঁজ করে কোণক বানালে বৃত্তের ব্যাসার্ধটাই কোণকের হেলানো উচ্চতা হয়ে যায়। তাই এখানে কোণকের হেলানো উচ্চতা ৫ সেন্টিমিটার, আর খাড়া উচ্চতা দেওয়া আছে ৪ সেন্টিমিটার।
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, খাড়া উচ্চতা আর হেলানো উচ্চতা মিলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে। পিথাগোরাসের উপপাদ্যে ভূমির ব্যাসার্ধের বর্গ হলো ৫ এর বর্গ থেকে ৪ এর বর্গ বাদ, মানে ২৫ থেকে ১৬ বাদ দিয়ে ৯। তাই ভূমির ব্যাসার্ধ ৩ সেন্টিমিটার।
কোণকের আয়তন হলো তিন ভাগের এক গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ গুণ উচ্চতা। বসালে হয় তিন ভাগের এক গুণ পাই গুণ ৯ গুণ ৪, মানে ১২ পাই ঘন সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ৫ কে কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ ধরে নেওয়া। তাহলে আয়তন আসে প্রায় ৩৩ পাই, যা খ অপশনের কাছাকাছি। মনে রাখুন, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোণকে গিয়ে হয় হেলানো উচ্চতা।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫ ত্রিভুজ চিনে ফেলুন: হেলানো উচ্চতা ৫, উচ্চতা ৪ হলে ব্যাসার্ধ ৩, সাথে সাথে আয়তন ⅓ × ৯ × ৪ = ১২π।
৩৪৫. Melissa is four times as old as Jim. Pat is 5 years older than Melissa. If Jim is y years old, how old is Pat? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক4y +5
- খ5y +4
- গ4-5y
- ঘy+5
সঠিক উত্তর: ক. 4y +5
বয়সের কথাকে বীজগণিতে রূপান্তর করাই এখানে কাজ। জিমের বয়স y বছর ধরা আছে।
মেলিসা জিমের চার গুণ বয়সী, তাই মেলিসার বয়স ৪ গুণ y, মানে ৪y।
প্যাট মেলিসার চেয়ে ৫ বছরের বড়, তাই প্যাটের বয়স ৪y যোগ ৫। উত্তর ৪y যোগ ৫।
ফাঁদ হলো ৫ আর ৪ উল্টে ৫y যোগ ৪ লেখা। গুণ হয় চার দিয়ে, যোগ হয় পাঁচ।
মনে রাখুন: times মানে গুণ, older than মানে যোগ; ক্রম ধরে লিখুন।
৩৪৬. The temperature in a city was 20⁰ Celsius. What is the equivalent of this temperature in degrees Fahrenheit? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক4°
- খ43.1°
- গ68°
- ঘ132°
সঠিক উত্তর: গ. 68°
সেলসিয়াস থেকে ফারেনহাইটে নিতে সূত্র হলো: ফারেনহাইট সমান সেলসিয়াস গুণ ৯ ভাগ ৫, তার সাথে ৩২ যোগ।
এর কারণ, পানির হিমাঙ্ক সেলসিয়াসে শূন্য, ফারেনহাইটে ৩২; আর স্ফুটনাঙ্ক সেলসিয়াসে ১০০, ফারেনহাইটে ২১২। মানে সেলসিয়াসের ১০০ ঘর ফারেনহাইটের ১৮০ ঘরের সমান, অনুপাত ৯ ভাগ ৫।
এখন ২০ কে ৯ ভাগ ৫ দিয়ে গুণ করলে হয় ৩৬, তার সাথে ৩২ যোগ করলে ৬৮। তাই ২০ ডিগ্রি সেলসিয়াস মানে ৬৮ ডিগ্রি ফারেনহাইট।
অনেকে ৩২ যোগ করতে ভুলে যান, তখন উত্তর আসে ৩৬; আবার কেউ ৯ ভাগ ৫ এর বদলে ৫ ভাগ ৯ দিয়ে গুণ করে ভুল সংখ্যা পান।
মনে রাখুন: দ্রুত হিসাব: সেলসিয়াসকে দ্বিগুণ করে ১০ শতাংশ বাদ দিয়ে ৩২ যোগ: ২০ থেকে ৪০, ৩৬, তারপর ৬৮।
৩৪৭. The average (arithmetic mean) of x and y is 20. If z = 5, what is the average of x, y and z? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক15
- খ12.5
- গ10
- ঘ25
সঠিক উত্তর: ক. 15
গড়ের প্রশ্নে সবচেয়ে কাজের কথা: গড় গুণ সংখ্যার সংখ্যা সমান মোট যোগফল। x আর y এর গড় ২০, তাই x যোগ y সমান ২০ গুণ ২, মানে ৪০।
প্রশ্নে যেভাবে ছাপা আছে, x সমান ৫, তাতে z এর মান অজানা থাকে, আর তিনটির গড় বের করা যায় না। আসলে প্রশ্নটি হবে z সমান ৫; এটাই এই প্রচলিত প্রশ্নের সঠিক রূপ।
z সমান ৫ হলে x, y আর z এর যোগফল হয় ৪০ যোগ ৫, মানে ৪৫। তিনটি সংখ্যার গড় হলো ৪৫ ভাগ ৩, মানে ১৫।
অনেকে ২০ আর ৫ এর গড় করে সাড়ে ১২ পান। কিন্তু ২০ হলো দুটি সংখ্যার গড়, তাই এর ওজন দুই গুণ; আগে যোগফলে ফিরে যেতে হয়।
মনে রাখুন: গড় থেকে আগে যোগফল বের করুন, তারপর নতুন সংখ্যা যোগ করে নতুন মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন।
৩৪৮. The sum of two integers is 36, and the difference is 6. What is the smaller of the two numbers? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক21
- খ15
- গ16
- ঘ18
সঠিক উত্তর: খ. 15
দুটি সংখ্যার যোগফল আর অন্তর জানা থাকলে বড়টি হলো যোগফল আর অন্তরের যোগফলের অর্ধেক, ছোটটি হলো যোগফল আর অন্তরের পার্থক্যের অর্ধেক।
এখানে যোগফল ৩৬, অন্তর ৬। ছোট সংখ্যা হলো ৩৬ বিয়োগ ৬, মানে ৩০, তার অর্ধেক ১৫। বড় সংখ্যা ৩৬ যোগ ৬, মানে ৪২ এর অর্ধেক ২১।
যাচাই: ২১ যোগ ১৫ সমান ৩৬, আর ২১ বিয়োগ ১৫ সমান ৬। দুটো শর্তই মেলে।
প্রশ্ন ছোট সংখ্যাটি চেয়েছে, তাই উত্তর ১৫। বড় সংখ্যা ২১ ও অপশনে আছে, ওটাই প্রধান ফাঁদ; আর ১৮ হলো শুধু ৩৬ এর অর্ধেক।
মনে রাখুন: ছোট = (যোগফল − অন্তর) ÷ ২; বড় = (যোগফল + অন্তর) ÷ ২।
৩৪৯. The angle measure of the base angles of an isosceles triangle are represented by x and the vertex angle is 3x + 10. Find the measure of base angle. (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক112°
- খ42.5°
- গ34°
- ঘ16°
সঠিক উত্তর: গ. 34°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুটি কোণ সমান। এখানে দুটোই x, আর শীর্ষকোণ ৩x যোগ ১০।
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি। তাই x যোগ x যোগ ৩x যোগ ১০ সমান ১৮০, মানে ৫x যোগ ১০ সমান ১৮০।
দুই দিক থেকে ১০ বাদ দিলে ৫x সমান ১৭০, তাই x সমান ৩৪। ভূমি কোণ ৩৪ ডিগ্রি, আর শীর্ষকোণ ৩ গুণ ৩৪ যোগ ১০, মানে ১১২ ডিগ্রি।
প্রশ্ন ভূমি কোণ চেয়েছে, তাই ৩৪ ডিগ্রি। শীর্ষকোণ ১১২ ডিগ্রিও অপশনে আছে, সেটাই ফাঁদ। আর একটা ভূমি কোণ ভুলে ২x এর বদলে x ধরলে আসে সাড়ে ৪২।
মনে রাখুন: উত্তর পেয়ে তিন কোণ যোগ করে ১৮০ মিলিয়ে নিন, আর দেখুন প্রশ্ন কোন কোণ চেয়েছে।
৩৫০. Wendy has 5 pairs of pants and 8 shirts. How many different combinations can she make with these items? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক13
- খ24
- গ40
- ঘ21
সঠিক উত্তর: গ. 40
একটি প্যান্ট আর একটি শার্ট মিলে একটি পোশাকের সেট হয়। প্রতিটি প্যান্টের সাথে প্রতিটি শার্ট পরা যায়, তাই এখানে গণনার গুণের নিয়ম খাটে।
৫টি প্যান্টের প্রত্যেকটির সাথে ৮টি করে শার্ট মেলানো যায়। তাই মোট সেট ৫ গুণ ৮, মানে ৪০টি।
যোগ করলে ১৩ আসে, যা শুধু মোট কাপড়ের সংখ্যা, সেটের সংখ্যা নয়। একটির পর আরেকটি বাছাই করতে হলে গুণ, যেকোনো একটি বাছাই করতে হলে যোগ।
এই নিয়ম আরও বাড়ানো যায়: ৩ জোড়া জুতা থাকলে মোট সেট হতো ৫ গুণ ৮ গুণ ৩, মানে ১২০।
মনে রাখুন: এটা এবং ওটা দুটোই বাছতে হলে গুণ; এটা অথবা ওটা হলে যোগ।
৩৫১. The width of a rectangle is 20 cm. the diagonal is 8 cm more than the length. Find the length of the rectangle. (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক20
- খ23
- গ22
- ঘ21
সঠিক উত্তর: ঘ. 21
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ আর কর্ণ মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়, যেখানে কর্ণই অতিভুজ। তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য খাটবে।
দৈর্ঘ্য L ধরি, তাহলে কর্ণ L যোগ ৮। প্রস্থ ২০। সূত্র: কর্ণের বর্গ সমান দৈর্ঘ্যের বর্গ যোগ প্রস্থের বর্গ।
L যোগ ৮ এর বর্গ ভাঙলে আসে L এর বর্গ যোগ ১৬L যোগ ৬৪। দুই পাশ থেকে L এর বর্গ কেটে গেলে থাকে ৪০০ সমান ১৬L যোগ ৬৪। তাই ১৬L সমান ৩৩৬, আর L সমান ২১।
যাচাই: দৈর্ঘ্য ২১, প্রস্থ ২০ হলে কর্ণ হয় ২৯, যা ২১ এর চেয়ে ঠিক ৮ বেশি। ২০, ২১, ২৯ একটি পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: ২১² + ২০² = ৮৪১ = ২৯², আর ২৯ − ২১ = ৮।
৩৫২. Find the next number in the following pattern: 320, 160, 80, 40,....... (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক35
- খ30
- গ10
- ঘ20
সঠিক উত্তর: ঘ. 20
ধারাটিতে প্রতিটি পদ আগের পদের অর্ধেক: ৩২০ এর অর্ধেক ১৬০, ১৬০ এর অর্ধেক ৮০, ৮০ এর অর্ধেক ৪০।
এ ধরনের ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে, যেখানে সাধারণ অনুপাত ২ ভাগের ১। তাই পরের পদ ৪০ এর অর্ধেক, মানে ২০।
অনেকে পার্থক্য দেখে বিয়োগের ধারা ভাবেন। কিন্তু পার্থক্যগুলো ১৬০, ৮০, ৪০, তাই বিয়োগ নির্দিষ্ট নয়; অনুপাতই নির্দিষ্ট।
মনে রাখুন: পার্থক্য সমান না হলে অনুপাত দেখুন; এখানে প্রতিবার ২ দিয়ে ভাগ।
৩৫৩. Two planes leave the airport at the same time. A few minutes later, plane A is 70 miles due north of the airport, and plane B is 168 miles due east of the airport. How far apart are the two airplanes? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক182 miles
- খ119 miles
- গ163.8 miles
- ঘ238 miles
সঠিক উত্তর: ক. 182 miles
একটি বিমান ঠিক উত্তরে, অন্যটি ঠিক পূর্বে গেছে। উত্তর আর পূর্ব দিক পরস্পর লম্ব, তাই বিমানবন্দর ও দুই বিমান মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
দুই বিমানের দূরত্ব হলো এই ত্রিভুজের অতিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্যে অতিভুজের বর্গ সমান ৭০ এর বর্গ যোগ ১৬৮ এর বর্গ, মানে ৪ হাজার ৯০০ যোগ ২৮ হাজার ২২৪, সমান ৩৩ হাজার ১২৪। এর বর্গমূল ১৮২।
দ্রুত উপায়: ৭০ আর ১৬৮ দুটোই ১৪ দিয়ে ভাগ যায়, ভাগফল ৫ আর ১২। ৫, ১২, ১৩ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী, তাই অতিভুজ ১৩ গুণ ১৪, মানে ১৮২ মাইল।
দুই দূরত্ব সরাসরি যোগ করলে আসে ২৩৮, যা ভুল, কারণ বিমান দুটি একই সরলরেখায় নেই।
মনে রাখুন: বাহুগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বের করে ৩-৪-৫ বা ৫-১২-১৩ ত্রয়ী খুঁজুন।
৩৫৪. If the area of a small pizza is 78.5 sq. in., what size pizza box would best fit the small pizza? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক12 in
- খ11 in
- গ9 in
- ঘ10 in
সঠিক উত্তর: ঘ. 10 in
প্রশ্নে গোল পিৎজার ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে, আর জানতে চাওয়া হয়েছে কোন মাপের বর্গাকার বাক্সে সেটি ঠিকঠাক আঁটবে। পিৎজার বাক্সের মাপ বলা হয় তার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দিয়ে, তাই আমাদের পিৎজার ব্যাস বের করতে হবে।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। পাই-এর মান ৩ দশমিক ১৪ ধরলে, ৭৮ দশমিক ৫ কে ৩ দশমিক ১৪ দিয়ে ভাগ করলে পাই ২৫। সুতরাং ব্যাসার্ধের বর্গ ২৫, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ ৫ ইঞ্চি।
ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, তাই ব্যাস ১০ ইঞ্চি। যে বর্গাকার বাক্সের প্রতিটি বাহু ১০ ইঞ্চি, তাতেই পিৎজাটি একদম মাপমতো বসবে।
সাধারণ ভুল হলো ব্যাসার্ধ ৫ পেয়ে থেমে যাওয়া, অথবা ক্ষেত্রফল ৭৮ দশমিক ৫ দেখে বড় মাপ বেছে নেওয়া। ৯ ইঞ্চির বাক্সে পিৎজা ঢুকবেই না, আর ১১ বা ১২ ইঞ্চিতে ঢুকলেও ফাঁকা জায়গা থাকবে।
মনে রাখুন: ৭৮.৫ = ৩.১৪ × ২৫ চেনা থাকলে সাথে সাথে r = ৫, ব্যাস = ১০। মনে রাখুন: ৩.১৪ × ২৫ = ৭৮.৫, ৩.১৪ × ১০০ = ৩১৪।
৩৫৫. If the radius of a circle is tripled, the circumference is (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- কmultiplied by 3
- খmultiplied by 6
- গmultiplied by 9
- ঘmultiplied by 12
সঠিক উত্তর: ক. multiplied by 3
বৃত্তের পরিধি হলো ২ গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধ। এখানে ২ আর পাই দুটোই ধ্রুবক, তাই পরিধি ব্যাসার্ধের সাথে সরাসরি সমানুপাতিক।
ব্যাসার্ধ ৩ গুণ হলে নতুন পরিধি হয় ২ গুণ পাই গুণ ৩r, যা আগের পরিধির ঠিক ৩ গুণ। অর্থাৎ পরিধি বাড়ে ব্যাসার্ধ যত গুণ বাড়ে ঠিক তত গুণ।
ক্ষেত্রফলের বেলায় নিয়মটা আলাদা: ক্ষেত্রফল পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ, তাই ব্যাসার্ধ ৩ গুণ হলে ক্ষেত্রফল হয় ৩ এর বর্গ, মানে ৯ গুণ।
এখানেই ফাঁদ: অনেকে ক্ষেত্রফলের নিয়ম মাথায় রেখে ৯ গুণ বেছে নেন। আবার সূত্রের ২ দেখে কেউ কেউ ৬ গুণ ভাবেন, কিন্তু ২ তো আগেও ছিল, পরেও আছে।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য (পরিধি, পরিসীমা) বাড়ে k গুণ, ক্ষেত্রফল k² গুণ, আয়তন k³ গুণ।
৩৫৬. Which of the following terms does not describe the number 9? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- কPrime
- খInteger
- গReal Number
- ঘWhole Number
সঠিক উত্তর: ক. Prime
মৌলিক সংখ্যা হলো যার ঠিক দুটি উৎপাদক: ১ আর সংখ্যাটি নিজে। ৯ কে ৩ দিয়েও ভাগ করা যায়, কারণ ৯ সমান ৩ গুণ ৩। তাই ৯ এর উৎপাদক ১, ৩ আর ৯; এটি যৌগিক সংখ্যা, মৌলিক নয়।
বাকি তিনটি পরিচয় ৯ এর ক্ষেত্রে সত্য। ৯ একটি পূর্ণসংখ্যা বা integer, কারণ এতে ভগ্নাংশ নেই। এটি whole number, কারণ শূন্য ও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোই whole number। আর সব পূর্ণসংখ্যাই real number।
ফাঁদ হলো বিজোড় মানেই মৌলিক ভেবে নেওয়া। ৯, ১৫, ২১, ২৫ বিজোড় হলেও মৌলিক নয়।
মনে রাখুন: বিজোড় হলেই মৌলিক নয়: ৯, ১৫, ২১, ২৫, ২৭ যৌগিক।
৩৫৭. Jennifer flipped a coin three times and got heads each time. What is the probability that she gets heads on the next flip? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক1
- খ1/16
- গ1/2
- ঘ0
সঠিক উত্তর: গ. 1/2
একটি সুষম মুদ্রার প্রতিটি নিক্ষেপ স্বাধীন ঘটনা। আগের নিক্ষেপে কী এসেছে, মুদ্রা তা মনে রাখে না। তাই পরের নিক্ষেপে হেড আসার সম্ভাবনা সবসময় ১ ভাগ ২।
আগের তিনবার হেড আসাটা এই সম্ভাবনায় কোনো প্রভাব ফেলে না। পরপর চারবার হেড আসার সম্ভাবনা ১ ভাগ ১৬ হতো, কিন্তু এখানে তিনটি ইতিমধ্যে ঘটে গেছে; প্রশ্ন শুধু পরের একটি নিক্ষেপ নিয়ে।
ফাঁদ হলো জুয়াড়ির ভ্রান্তি: অনেক হেড আসায় এবার টেল আসবেই ভেবে শূন্য বলা, বা চার হেডের সম্ভাবনা ১ ভাগ ১৬ বলা।
মনে রাখুন: স্বাধীন ঘটনায় অতীত ভুলে যান: পরের মুদ্রা নিক্ষেপে হেড = ১/২।
৩৫৮. What is the greatest common factor of 24 and 64? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক4
- খ8
- গ12
- ঘ36
সঠিক উত্তর: খ. 8
গসাগু বা greatest common factor হলো দুটি সংখ্যার সাধারণ উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি। মৌলিক উৎপাদকে ভাঙলে সহজে বের হয়।
২৪ সমান ২ গুণ ২ গুণ ২ গুণ ৩, আর ৬৪ সমান ছয়টি ২ এর গুণফল। দুটিতে সাধারণ আছে তিনটি ২, মানে ২ গুণ ২ গুণ ২ সমান ৮।
যাচাই: ২৪ ভাগ ৮ সমান ৩, ৬৪ ভাগ ৮ সমান ৮, আর ৩ ও ৮ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। ফাঁদ হলো ৪, যা সাধারণ উৎপাদক ঠিকই, কিন্তু সবচেয়ে বড় নয়।
মনে রাখুন: দুই সংখ্যার পার্থক্য ৪০; গসাগু অবশ্যই ৪০ এর উৎপাদক। ৮ দিয়ে দুটোই ভাগ যায়, ১০/২০/৪০ দিয়ে যায় না, তাই ৮।
৩৫৯. What is the annual interest rate on an account that earns Tk. 948 in simple interest over 36 months with an initial deposit of Tk. 7900? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক40%
- খ4%
- গ3%
- ঘ3.3%
সঠিক উত্তর: খ. 4%
সরল সুদের সূত্র: সুদ সমান আসল গুণ হার গুণ সময়। এখানে সময় মাসে দেওয়া, ৩৬ মাস, যা ৩ বছর। বার্ষিক হার চাইলে সময় অবশ্যই বছরে নিতে হবে।
আসল ৭৯০০ টাকা, ৩ বছরে সুদ ৯৪৮ টাকা। তাই এক বছরের সুদ ৯৪৮ ভাগ ৩, মানে ৩১৬ টাকা।
৩১৬ টাকা ৭৯০০ টাকার কত শতাংশ? ৩১৬ কে ৭৯০০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে ৪ শতাংশ।
ফাঁদ হলো সময় বছরে না নিয়ে ভুল করা, অথবা দশমিক ভুলে ৪০ শতাংশ লেখা।
মনে রাখুন: আসলের ১% প্রতি বছর ৭৯ টাকা; ৩১৬ ÷ ৭৯ = ৪, তাই ৪%।
৩৬০. There are 5 doors to a lecture hall. In how many ways can a student enter the hall through a door and leave the hall by a different door? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
- ক10
- খ20
- গ9
- ঘ625
সঠিক উত্তর: খ. 20
এটা গণনার মৌলিক নীতির প্রশ্ন: দুটি কাজ পরপর করতে হলে মোট উপায় হলো দুই কাজের উপায়ের গুণফল।
ঢোকার জন্য ৫টি দরজার যেকোনোটি বেছে নেওয়া যায়, তাই ৫ উপায়। বের হতে হবে ভিন্ন দরজা দিয়ে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকেছে সেটি বাদ, বাকি থাকে ৪টি। মোট উপায় ৫ গুণ ৪, মানে ২০।
এখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: ক দিয়ে ঢুকে খ দিয়ে বের হওয়া আর খ দিয়ে ঢুকে ক দিয়ে বের হওয়া আলাদা। তাই ১০, যা শুধু দরজার জোড়া গোনে, ভুল। আর ৬২৫ বা ৯ এর মতো সংখ্যা ভুল নিয়ম থেকে আসে।
মনে রাখুন: n টি পথ, আসা-যাওয়া ভিন্ন পথে: n × (n − ১) = ৫ × ৪ = ২০।