গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১৬
৩০১. The 180 students in a group are to be seated in rows so that there are an equal number of students in each row. Each of the following could be the number of rows except (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক4
- খ20
- গ30
- ঘ40
সঠিক উত্তর: ঘ. 40
প্রতিটি সারিতে সমান সংখ্যক ছাত্র বসাতে হলে সারির সংখ্যা দিয়ে ১৮০ নিঃশেষে ভাগ যেতে হবে। অর্থাৎ সারির সংখ্যা অবশ্যই ১৮০-এর একটি গুণনীয়ক।
১৮০ ভাগ ৪ সমান ৪৫, ১৮০ ভাগ ২০ সমান ৯, ১৮০ ভাগ ৩০ সমান ৬; তিনটিই পূর্ণসংখ্যা, তাই এগুলো সম্ভব।
কিন্তু ১৮০ ভাগ ৪০ সমান ৪ দশমিক ৫; অর্ধেক ছাত্র বসানো যায় না। তাই ৪০টি সারি সম্ভব নয়।
দ্রুত যাচাই: ১৮০ সমান ২ গুণ ২ গুণ ৩ গুণ ৩ গুণ ৫। ৪০ সমান ২ গুণ ২ গুণ ২ গুণ ৫, তাতে তিনটি ২ লাগে, কিন্তু ১৮০-তে আছে মাত্র দুটি। except শব্দটা খেয়াল করুন, যেটা সম্ভব নয় সেটাই উত্তর।
মনে রাখুন: ১৮০ = ২² × ৩² × ৫; যে অপশনে ২³ লাগে (৪০, ৮, ২৪), সেটি গুণনীয়ক নয়।
৩০২. The price of a coat in a certain store is tk 500. If the price of the coat is to be reduced by tk 150, by what percent is the price to be reduced? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক10%
- খ15%
- গ20%
- ঘ30%
সঠিক উত্তর: ঘ. 30%
শতকরা কত কমল জানতে হলে, কমার পরিমাণকে আসল দাম দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করতে হয়। ভিত্তি সবসময় আগের দাম।
কোটের দাম ছিল ৫০০ টাকা, কমানো হবে ১৫০ টাকা। ১৫০ ভাগ ৫০০ সমান শূন্য দশমিক তিন, ১০০ দিয়ে গুণ করলে ৩০ শতাংশ।
অন্যভাবে: ৫০০ টাকার ১০ শতাংশ ৫০ টাকা। ১৫০ টাকা তার তিন গুণ, তাই ৩০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ১৫ শতাংশ: ১৫০ সংখ্যাটা দেখে সরাসরি ১৫ ধরে ফেলা। আবার নতুন দাম ৩৫০ টাকাকে ভিত্তি ধরলে প্রায় ৪৩ শতাংশ আসে, যা ভুল পদ্ধতি।
মনে রাখুন: ৫০০-এর ১০% = ৫০; ১৫০ = ৩ × ৫০, তাই ৩০%।
৩০৩. Which of the following is equivalent to the pair of inequalities x + 6 > 10 and x − 3 ≤ 5? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক2
- খ2 ≤ x < 4
- গ2
- ঘ4 < x ≤ 8
সঠিক উত্তর: ঘ. 4 < x ≤ 8
দুটি অসমতা একসঙ্গে সত্য হতে হবে, তাই প্রত্যেকটি আলাদা করে সমাধান করে তাদের সাধারণ অংশটা নিতে হবে।
প্রথমটি: x যোগ ৬ বড় ১০। দুই পাশ থেকে ৬ বাদ দিলে x বড় ৪। খেয়াল করুন, এখানে চিহ্ন শুধু বড়, সমান নয়; তাই ৪ নিজে বাদ।
দ্বিতীয়টি: x বিয়োগ ৩ ছোট বা সমান ৫। দুই পাশে ৩ যোগ করলে x ছোট বা সমান ৮। তাই ৮ অন্তর্ভুক্ত।
দুটি মিলিয়ে: x ৪-এর চেয়ে বড় এবং ৮-এর সমান বা ছোট, অর্থাৎ x থাকবে ৪-এর বেশি থেকে ৮ পর্যন্ত, ৮ সহ। ফাঁদ হলো সীমার চিহ্ন: ৪-এ সমান চিহ্ন বসালে বা ৮-এ সমান চিহ্ন বাদ দিলে উত্তর ভুল হয়। ছাপা অপশনে চিহ্নগুলো হারিয়ে গেছে, তাই ৪ দিয়ে শুরু হওয়া অপশনটিই এই উত্তর।
মনে রাখুন: অসমতায় যোগ-বিয়োগে চিহ্ন বদলায় না; শুধু ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়।
৩০৪. If the sum of 5, 8, 12 and 15 is equal to the sum of 3, 4, x and x+3, what is the value of x? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক14
- খ15
- গ16
- ঘ17
সঠিক উত্তর: খ. 15
প্রশ্নটা একটা সহজ সমীকরণ গঠন। প্রথম চারটি সংখ্যার যোগফল দ্বিতীয় চারটির যোগফলের সমান, এটাই সমীকরণ।
প্রথম পক্ষ: ৫ যোগ ৮ যোগ ১২ যোগ ১৫ সমান ৪০। দ্বিতীয় পক্ষ: ৩ যোগ ৪ যোগ x যোগ x যোগ ৩, অর্থাৎ ২x যোগ ১০।
তাই ২x যোগ ১০ সমান ৪০, অর্থাৎ ২x সমান ৩০, x সমান ১৫। যাচাই: ৩ যোগ ৪ যোগ ১৫ যোগ ১৮ সমান ৪০।
ফাঁদ হলো x যোগ ৩-এর ৩ বাদ দেওয়া; তখন ২x যোগ ৭ সমান ৪০ থেকে x হয় ১৬ দশমিক ৫, যা অপশনে নেই। আবার x দুবার আছে তা ভুলে গেলে উত্তর ৩০ আসে।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: x = ১৫ হলে ৩ + ৪ + ১৫ + ১৮ = ৪০ ✓।
৩০৫. A rectangular floor that measures 8 meters by 10 meters is to be covered with carpets that each measure 2 meters by 2 meters. If the carpets cost Tk. 12 a piece, what is the total cost to cover the floor? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- কTk. 200
- খTk. 240
- গTk. 480
- ঘTk. 960
সঠিক উত্তর: খ. Tk. 240
মেঝে ঢাকতে কয়টি কার্পেট লাগবে তা বের করতে, মেঝের ক্ষেত্রফলকে একটি কার্পেটের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করতে হয়। তারপর সংখ্যাকে প্রতিটির দাম দিয়ে গুণ।
মেঝের ক্ষেত্রফল ৮ গুণ ১০, অর্থাৎ ৮০ বর্গমিটার। একটি কার্পেটের ক্ষেত্রফল ২ গুণ ২, অর্থাৎ ৪ বর্গমিটার। তাই কার্পেট লাগবে ৮০ ভাগ ৪, অর্থাৎ ২০টি।
অন্যভাবেও দেখা যায়: ৮ মিটার দিকে ৪টি, ১০ মিটার দিকে ৫টি কার্পেট বসে, ৪ গুণ ৫ সমান ২০টি; কোনো কাটা টুকরা লাগে না। মোট খরচ ২০ গুণ ১২, অর্থাৎ ২৪০ টাকা।
ফাঁদ হলো ৯৬০ টাকা: ক্ষেত্রফল ৮০-কে সরাসরি ১২ দিয়ে গুণ করে ফেলা, কার্পেটের মাপ ভুলে। আবার ৪৮০ আসে কার্পেটের ক্ষেত্রফল ৪-এর বদলে ২ ধরলে।
মনে রাখুন: (৮ ÷ ২) × (১০ ÷ ২) = ৪ × ৫ = ২০টি; ২০ × ১২ = ২৪০।
৩০৬. For which of the following values of s is (50 + s)/s an integer? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক3
- খ4
- গ9
- ঘ50
সঠিক উত্তর: ঘ. 50
প্রশ্নে আসলে আছে পঞ্চাশ যোগ s, ভাগ s; ছাপায় ভাগ চিহ্নটি হারিয়ে গেছে। ভগ্নাংশটি ভেঙে লিখলে হয় পঞ্চাশ ভাগ s, যোগ s ভাগ s, অর্থাৎ পঞ্চাশ ভাগ s যোগ ১।
১ তো পূর্ণসংখ্যা, তাই পুরো রাশিটি পূর্ণসংখ্যা হবে কেবল যদি পঞ্চাশ ভাগ s পূর্ণসংখ্যা হয়। অর্থাৎ s হতে হবে ৫০-এর একটি গুণনীয়ক।
৫০-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৫, ১০, ২৫, ৫০। অপশনের মধ্যে শুধু ৫০ আছে। s সমান ৫০ হলে রাশিটি ১০০ ভাগ ৫০, অর্থাৎ ২, পূর্ণসংখ্যা।
৩, ৪, ৯ দিয়ে ৫০ নিঃশেষে ভাগ যায় না, তাই সেগুলোতে ভগ্নাংশ আসে। যেমন s সমান ৪ হলে ৫৪ ভাগ ৪ সমান ১৩ দশমিক ৫।
মনে রাখুন: (a + s)/s পূর্ণসংখ্যা ⇔ s হলো a-এর গুণনীয়ক।
৩০৭. The amounts of time that three secretaries worked on a special project are in the ratio of 1 to 2 to 5. If they worked a combined total of 112 hours, how many hours did the secretary who worked the longest spend on the project? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক80
- খ70
- গ56
- ঘ16
সঠিক উত্তর: খ. 70
অনুপাতের প্রশ্নে অনুপাতের অংশগুলো যোগ করে মোটকে সেই যোগফল দিয়ে ভাগ করলে এক অংশের মান পাওয়া যায়।
অনুপাত ১ অনুপাত ২ অনুপাত ৫, মোট অংশ ১ যোগ ২ যোগ ৫, অর্থাৎ ৮। মোট সময় ১১২ ঘণ্টা, তাই এক অংশ ১১২ ভাগ ৮, অর্থাৎ ১৪ ঘণ্টা।
সবচেয়ে বেশি কাজ করেছেন যিনি, তাঁর ভাগ ৫ অংশ, অর্থাৎ ৫ গুণ ১৪, ৭০ ঘণ্টা। অন্য দুজন ১৪ আর ২৮ ঘণ্টা; তিনজনের যোগফল ১১২, মিলে যায়।
ফাঁদ হলো ৫৬: ১১২-এর অর্ধেক নিয়ে ফেলা। ৮০ সংখ্যাটি মোট অংশ ৮ দেখে বিভ্রান্ত করার জন্য রাখা, আর ১৬ আসে এক অংশ ভুল করে ১১২ ভাগ ৭ ধরলে।
মনে রাখুন: সবচেয়ে বড় অংশ = মোট × (তার অংশ ÷ মোট অংশ) = ১১২ × ৫/৮ = ৭০।
৩০৮. The ratio of the length to the width of a rectangular advertising display is approximately 3.3 to 2. If the width of the display is 8 meters, what is the approximate length of the display, in meters? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক7
- খ11
- গ13
- ঘ16
সঠিক উত্তর: গ. 13
অনুপাত দেওয়া আছে দৈর্ঘ্য অনুপাত প্রস্থ সমান ৩ দশমিক ৩ অনুপাত ২। প্রস্থ ৮ মিটার জানা, তাই দৈর্ঘ্য বের করতে অনুপাতটাকে সমান অনুপাতে বড় করতে হবে।
প্রস্থ ২ থেকে ৮ হয়েছে, মানে ৪ গুণ। তাই দৈর্ঘ্যও ৪ গুণ হবে: ৩ দশমিক ৩ গুণ ৪ সমান ১৩ দশমিক ২ মিটার।
প্রশ্নে approximate বা আনুমানিক মান চাওয়া হয়েছে; ১৩ দশমিক ২-এর সবচেয়ে কাছের অপশন ১৩।
ফাঁদ হলো ১৬: প্রস্থ ৮-কে সরাসরি দ্বিগুণ করা; অনুপাত ৩ দশমিক ৩ অনুপাত ২ মানে দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১ দশমিক ৬৫ গুণ, ২ গুণ নয়। আর দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড়, তাই ৭ হতেই পারে না।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য = প্রস্থ × (৩.৩ ÷ ২) = ৮ × ১.৬৫ = ১৩.২।
৩০৯. A gym class can be divided into 8 teams with an equal number of players on each team or into 12 teams with an equal number of players on each team. What is the lowest possible number of students in the class? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক20
- খ24
- গ36
- ঘ48
সঠিক উত্তর: খ. 24
ক্লাসকে ৮টি দলে সমানভাবে ভাগ করা যায়, আবার ১২টি দলেও। তাই ছাত্রসংখ্যা ৮ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য, ১২ দিয়েও। সর্বনিম্ন এমন সংখ্যা হলো ৮ ও ১২-এর লসাগু।
৮ সমান ২ গুণ ২ গুণ ২, আর ১২ সমান ২ গুণ ২ গুণ ৩। লসাগুতে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সর্বোচ্চ ঘাত নিই: তিনটি ২ আর একটি ৩, অর্থাৎ ৮ গুণ ৩ সমান ২৪।
যাচাই: ২৪ ভাগ ৮ সমান ৩, ২৪ ভাগ ১২ সমান ২; দুটোই পূর্ণসংখ্যা। তাই সর্বনিম্ন ২৪ জন।
ফাঁদ হলো ৪৮ আর ৩৬। ৪৮ দুটো দিয়েই বিভাজ্য, কিন্তু সর্বনিম্ন নয়। ৩৬ দিয়ে ১২ ভাগ যায় কিন্তু ৮ যায় না। আর ২০ আসে ৮ যোগ ১২ করে ফেললে।
মনে রাখুন: সর্বনিম্ন সংখ্যা যা একাধিক সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য = লসাগু; ১২-এর গুণিতক ১২, ২৪ ... এর মধ্যে প্রথম যেটা ৮ দিয়ে যায়: ২৪।
৩১০. A retail appliance store priced a video recorder at 20 percent above the wholesale cost of Tk. 200. If a store employee applied the 10 percent employee discount to the retail price to buy the recorder, how much did the employee pay for the recorder? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- কTk. 198
- খTk. 216
- গTk. 220
- ঘTk. 230
সঠিক উত্তর: খ. Tk. 216
এখানে দুই ধাপে শতকরা হিসাব: প্রথমে পাইকারি দামের উপর ২০ শতাংশ বাড়িয়ে খুচরা দাম, তারপর সেই খুচরা দামের উপর ১০ শতাংশ ছাড়।
পাইকারি দাম ২০০ টাকা। ২০ শতাংশ বেশি মানে ২০০-এর ২০ শতাংশ, ৪০ টাকা যোগ; খুচরা দাম ২৪০ টাকা।
কর্মচারী ছাড় পান খুচরা দামের উপর: ২৪০-এর ১০ শতাংশ ২৪ টাকা। তাই তিনি দেন ২৪০ বিয়োগ ২৪, অর্থাৎ ২১৬ টাকা।
ফাঁদ হলো ২২০ টাকা: ২০ শতাংশ বেড়ে ১০ শতাংশ কমলে নিট ১০ শতাংশ বাড়ল ভেবে ২০০-এর ১০ শতাংশ যোগ করা। কিন্তু ছাড়ের ভিত্তি ২৪০, ২০০ নয়; তাই দুই ধাপ আলাদা গুণ করতে হয়।
মনে রাখুন: পরপর শতকরা পরিবর্তন গুণ হয়: ২০০ × ১.২ × ০.৯ = ২১৬; নিট পরিবর্তন +৮%।
৩১১. A bag contains 7 red, 9 yellow and 3 black balls. If a ball is picked at random, what is the probability that the ball drawn will be either a red or a black ball? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক7/19
- খ9/19
- গ10/19
- ঘ11/19
সঠিক উত্তর: গ. 10/19
সম্ভাবনা সমান অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট ফলাফলের সংখ্যা। একটি বল তোলা হবে, তাই মোট ফলাফল হলো ব্যাগের মোট বল।
মোট বল ৭ যোগ ৯ যোগ ৩, অর্থাৎ ১৯টি। লাল অথবা কালো চাই, তাই অনুকূল বল ৭ যোগ ৩, অর্থাৎ ১০টি।
সম্ভাবনা ১০ ভাগ ১৯। একটা বল একসঙ্গে লাল ও কালো হতে পারে না, তাই অথবা মানে সরাসরি যোগ।
ফাঁদ হলো ৯ ভাগ ১৯, যা হলুদ বলের সম্ভাবনা; আর ৭ ভাগ ১৯ শুধু লাল বলের। দুটো রং চাওয়া হয়েছে, তাই যোগ করতে হবে।
মনে রাখুন: অনুকূল না চাওয়া রং বাদ দিয়েও করা যায়: ১ − ৯/১৯ = ১০/১৯।
৩১২. Committee X has 4 members, Committee Y has 5 members, and these committee's have no members in common. If a task force is to be formed consisting of one member of X and one member of Y, how many different task forces are possible (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক6
- খ9
- গ10
- ঘ20
সঠিক উত্তর: ঘ. 20
প্রশ্নটা গণনার মৌলিক নীতি যাচাই করছে। দুটি আলাদা কাজ পরপর করতে হলে, প্রথমটির উপায়ের সংখ্যাকে দ্বিতীয়টির উপায়ের সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হয়।
টাস্কফোর্সে কমিটি এক্স থেকে একজন আর কমিটি ওয়াই থেকে একজন লাগবে। এক্স থেকে একজন বাছাই করা যায় ৪ ভাবে, ওয়াই থেকে একজন বাছাই করা যায় ৫ ভাবে।
এক্সের প্রতিটি সদস্যের সঙ্গে ওয়াইয়ের ৫ জনের যেকোনো একজন জোড়া বাঁধতে পারেন। তাই মোট জোড়া ৪ গুণ ৫, মানে ২০টি আলাদা টাস্কফোর্স।
দুই কমিটিতে কোনো সাধারণ সদস্য নেই বলে কোনো জোড়া দুবার গোনা হয় না। সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো ৪ আর ৫ যোগ করে ৯ বলা; যোগ হয় তখন, যখন দুটির যেকোনো একটি কাজ করলেই চলে।
মনে রাখুন: “এটা এবং ওটা” দুটোই বাছতে হলে উপায়গুলো গুণ, “এটা অথবা ওটা” হলে যোগ।
৩১৩. As a salesperson, Poly can choose one of two methods of annual payment either an annual salary of Tk. 35,000 with no commission or an annual salary of Tk. 10,000 plus a 20 percent commission on her total annual sales. What must her total annual sales be to give her the same annual pay with either method? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- কTk. 100,000
- খTk. 120,000
- গTk. 125,000
- ঘTk. 130,000
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 125,000
প্রশ্নটা জানতে চায়, মোট বিক্রি কত হলে দুই পদ্ধতিতে পলির বার্ষিক আয় সমান হবে। এর জন্য দুই পদ্ধতির আয়কে সমান ধরে একটি সরল সমীকরণ বানাতে হয়।
প্রথম পদ্ধতিতে আয় সোজা ৩৫ হাজার টাকা। দ্বিতীয় পদ্ধতিতে আয় ১০ হাজার টাকা বেতন, সঙ্গে মোট বিক্রির ২০ শতাংশ কমিশন।
দুই আয়ের পার্থক্য ২৫ হাজার টাকা। এই ২৫ হাজার টাকাই কমিশন থেকে আসতে হবে। বিক্রির ২০ শতাংশ মানে বিক্রির পাঁচ ভাগের এক ভাগ, তাই বিক্রি হবে ২৫ হাজারের ৫ গুণ, মানে ১ লাখ ২৫ হাজার টাকা।
যাচাই: ১ লাখ ২৫ হাজারের ২০ শতাংশ ২৫ হাজার, তার সঙ্গে ১০ হাজার বেতন যোগ করলে ঠিক ৩৫ হাজার। অনেকে ৩৫ হাজারকেই ২০ শতাংশ ধরে হিসাব শুরু করেন, কিন্তু আগে বেতনের ১০ হাজার বাদ দিতে হবে।
মনে রাখুন: বিক্রি = আয়ের পার্থক্য ÷ কমিশনের হার = ২৫,০০০ ÷ ০.২০ = ১,২৫,০০০।
৩১৪. The largest prime factor of (2⁴)² − 1 is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক3
- খ5
- গ17
- ঘ19
সঠিক উত্তর: গ. 17
প্রশ্নের রাশিটি হলো ২-এর ঘাত ৪, তার বর্গ, তারপর ১ বিয়োগ। অর্থাৎ ২-এর ঘাত ৮ বিয়োগ ১, যার মান ২৫৫। ছাপায় ঘাত চিহ্ন হারিয়ে চব্বিশের বর্গ মনে হতে পারে, কিন্তু সেটা ধরলে উত্তর কোনো অপশনেই মেলে না।
এ ধরনের রাশিতে সূত্র কাজে লাগাই: a বর্গ বিয়োগ b বর্গ সমান a যোগ b গুণ a বিয়োগ b। এখানে a হলো ১৬, তাই ২৫৫ সমান ১৭ গুণ ১৫।
১৫ ভাঙলে ৩ গুণ ৫। তাহলে ২৫৫ এর মৌলিক উৎপাদক ৩, ৫ এবং ১৭। এর মধ্যে বৃহত্তম ১৭।
৩ আর ৫ মৌলিক উৎপাদক ঠিকই, কিন্তু বৃহত্তম নয়। আর ১৯ দিয়ে ২৫৫ ভাগ যায় না।
মনে রাখুন: ২⁸ − ১ = (২⁴ + ১)(২² + ১)(২ + ১)(২ − ১) = ১৭ × ৫ × ৩; ঘাতের বিয়োগফলে বারবার a² − b² লাগান।
৩১৫. Find the value of k if (x − 1) is a factor of 4x² + 3x − 4x + k. (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক1
- খ-3
- গ2
- ঘ3
সঠিক উত্তর: খ. -3
প্রশ্নটি উৎপাদক উপপাদ্য যাচাই করছে। x বিয়োগ a যদি কোনো বহুপদীর উৎপাদক হয়, তবে x এর জায়গায় a বসালে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
এখানে উৎপাদক x বিয়োগ ১, তাই x সমান ১ বসাই। ৪ যোগ ৩ বিয়োগ ৪ যোগ k পাই, মানে ৩ যোগ k।
এই মান শূন্য হতে হবে, তাই k সমান ঋণাত্মক ৩।
চিহ্নের ভুলে অনেকে ৩ বেছে নেন। মনে রাখবেন, ৩ যোগ k শূন্য হতে হলে k কে ঋণাত্মক হতেই হবে।
মনে রাখুন: (x − 1) উৎপাদক হলে সব সহগের যোগফল শূন্য: ৪ + ৩ − ৪ + k = ০।
৩১৬. The sum of two numbers is 22 and the sum of their squares is 404 . the product of two numbers is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক40
- খ44
- গ80
- ঘ88
সঠিক উত্তর: ক. 40
দুটি সংখ্যার যোগফল আর বর্গের যোগফল দেওয়া আছে, গুণফল চাই। এর জন্য সূত্র: যোগফলের বর্গ সমান বর্গের যোগফল যোগ দুই গুণ গুণফল।
যোগফল ২২, তার বর্গ ৪৮৪। বর্গের যোগফল ৪০৪। তাই দুই গুণ গুণফল সমান ৪৮৪ বিয়োগ ৪০৪, মানে ৮০।
দুই দিয়ে ভাগ করলে গুণফল ৪০। যাচাই: সংখ্যা দুটি ২০ ও ২, যোগফল ২২, বর্গের যোগফল ৪০০ যোগ ৪ সমান ৪০৪।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ৮০, কারণ ৪৮৪ বিয়োগ ৪০৪ করেই অনেকে থেমে যান; ওটা আসলে দুই গুণ গুণফল।
মনে রাখুন: গুণফল = (যোগফলের বর্গ − বর্গের যোগফল) ÷ ২ = (৪৮৪ − ৪০৪) ÷ ২ = ৪০।
৩১৭. If t is an odd integer, which of the following must be an even integer? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কt-2
- খ2t+3
- গ4t+1
- ঘ3t+1
সঠিক উত্তর: ঘ. 3t+1
জোড়-বিজোড়ের নিয়ম দিয়েই প্রশ্নটি সমাধান হয়। জোড় গুণ যেকোনো সংখ্যা জোড়; বিজোড় গুণ বিজোড় বিজোড়; বিজোড় যোগ বিজোড় জোড়; জোড় যোগ বিজোড় বিজোড়।
t বিজোড় হলে ৩t বিজোড়, কারণ দুটি বিজোড়ের গুণফল বিজোড়। তার সঙ্গে ১ যোগ করলে বিজোড় যোগ বিজোড়, তাই ৩t যোগ ১ সবসময় জোড়।
বাকিগুলো দেখি: t বিয়োগ ২ মানে বিজোড় থেকে জোড় বাদ, বিজোড়ই থাকে। ২t ও ৪t জোড়, তাদের সঙ্গে ৩ বা ১ যোগ করলে বিজোড় হয়।
দ্রুত যাচাইয়ের জন্য t সমান ১ বসান: ঋণাত্মক ১, ৫, ৫ আর ৪। শুধু শেষটিই জোড়।
মনে রাখুন: t = ১ বসিয়ে প্রতিটি অপশন যাচাই করুন; must be প্রশ্নে একটি উদাহরণেই ভুলগুলো বাদ পড়ে।
৩১৮. One of the factors of x⁴ + x² + 1 is - (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কx² − x + 1
- খx + 1
- গx² − x − 1
- ঘx² + 1
সঠিক উত্তর: ক. x² − x + 1
x এর ঘাত ৪ যোগ x বর্গ যোগ ১ কে উৎপাদকে ভাঙতে একটা কৌশল লাগে: পূর্ণবর্গ বানানো। x এর ঘাত ৪ যোগ ২x বর্গ যোগ ১ হলো x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ। আমাদের রাশিতে x বর্গ একবার আছে, তাই একবার বাড়তি যোগ করে আবার বিয়োগ করি।
তাহলে রাশি হয় x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ বিয়োগ x বর্গ। এটি a বর্গ বিয়োগ b বর্গ আকার, যার উৎপাদক a যোগ b গুণ a বিয়োগ b।
ফলে উৎপাদক দুটি: x বর্গ যোগ x যোগ ১, আর x বর্গ বিয়োগ x যোগ ১। অপশনে দ্বিতীয়টি আছে।
x যোগ ১ উৎপাদক নয়, কারণ x সমান ঋণাত্মক ১ বসালে রাশির মান ৩ হয়, শূন্য নয়। এটাই এখানে প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: x⁴ + x² + ১ = (x² + x + ১)(x² − x + ১); মুখস্থ রাখুন, প্রায়ই আসে।
৩১৯. If x + 1/x = 3 then (x − 1/x)² = ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক5
- খ13
- গ7
- ঘ
সঠিক উত্তর: ক. 5
প্রশ্নে x যোগ x এর উল্টো দেওয়া আছে, চাওয়া হয়েছে x বিয়োগ x এর উল্টো রাশির বর্গ। এ দুটোকে জোড়ে একটি সূত্র: বিয়োগ রাশির বর্গ সমান যোগ রাশির বর্গ বিয়োগ ৪।
কারণ যোগ রাশির বর্গে মাঝের পদ প্লাস ২, আর বিয়োগ রাশির বর্গে মাঝের পদ মাইনাস ২; x গুণ x এর উল্টো সবসময় ১। দুটোর পার্থক্য তাই ৪।
এখানে যোগ রাশি ৩, তার বর্গ ৯। ৯ বিয়োগ ৪ সমান ৫। তাই বিয়োগ রাশির বর্গ ৫।
সাবধান: প্রশ্ন যদি বর্গ ছাড়া শুধু x বিয়োগ x এর উল্টো চায়, তবে উত্তর হবে ৫ এর বর্গমূল। আর ৭ হলো x বর্গ যোগ x বর্গের উল্টো, এটি আরেকটি পরিচিত ফাঁদ।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে: x² + ১/x² = a² − ২, (x − ১/x)² = a² − ৪।
৩২০. If logₓ 625 = 4 then x = ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক15
- খ5
- গ4
- ঘ25
সঠিক উত্তর: খ. 5
লগারিদমের সংজ্ঞা: ভিত্তি x হলে log ৬২৫ সমান ৪ মানে x এর ঘাত ৪ সমান ৬২৫। লগকে সূচকে রূপ দিলেই সমাধান।
৬২৫ কে ভাঙি: ৬২৫ সমান ২৫ গুণ ২৫, আর ২৫ সমান ৫ গুণ ৫। তাই ৬২৫ হলো ৫ এর ঘাত ৪।
x এর ঘাত ৪ সমান ৫ এর ঘাত ৪, তাই x সমান ৫।
অনেকে ২৫ বেছে নেন, কারণ ২৫ এর বর্গ ৬২৫। কিন্তু এখানে ঘাত ৪, ২ নয়; ২৫ এর ঘাত ৪ অনেক বড় সংখ্যা।
মনে রাখুন: logₐ N = p মানে aᵖ = N। ৫ এর ঘাত মুখস্থ রাখুন: ২৫, ১২৫, ৬২৫, ৩১২৫।