গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২০

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২০/৫০ · প্রশ্ন ৩৮১–৪০০সব উত্তর দেখান

৩৮১. The H.C.F of x² − 1, x⁴ − 1 and x⁴ + x³ + x − 1 is - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. কx⁶ − 1
2. খx³ + 1
3. গx² − 1
4. ঘx³ − 1
সঠিক উত্তর: গ. x² − 1
প্রশ্নটা তিনটি বহুপদী রাশির গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু চেয়েছে। নিয়ম হলো: প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে ভাঙা, তারপর যে উৎপাদকগুলো তিনটিতেই আছে সেগুলো গুণ করা।
x বর্গ বিয়োগ ১ হলো দুটি বর্গের অন্তর, তাই এটি x যোগ ১ আর x বিয়োগ ১-এর গুণফল। x-এর চার ঘাত বিয়োগ ১ ভাঙলে আসে x বর্গ যোগ ১, x যোগ ১ আর x বিয়োগ ১।
তৃতীয় রাশিটি ছাপায় এসেছে x-এর চার ঘাত যোগ x ঘন যোগ x বিয়োগ ১, কিন্তু প্রশ্নকারীর উদ্দেশ্য ছিল শেষের দিকে বিয়োগ x বিয়োগ ১। প্রথম দুই পদ থেকে x ঘন আর শেষ দুই পদ থেকে ১ বের করলে সাধারণ উৎপাদক হয় x যোগ ১, বাকি থাকে x ঘন বিয়োগ ১, যার ভেতরে আছে x বিয়োগ ১।
তাই তিনটিতেই সাধারণ উৎপাদক x যোগ ১ আর x বিয়োগ ১, যাদের গুণফল x বর্গ বিয়োগ ১; এটাই গ.সা.গু। ছাপা রূপটি অক্ষরে অক্ষরে নিলে x সমান ১ বসালে মান শূন্য হয় না, তখন গ.সা.গু হতো ১; পরীক্ষায় অপশন দেখে উদ্দিষ্ট রাশিটাই ধরতে হবে।
ফাঁদ হলো x ঘন বিয়োগ ১ বা x ঘন যোগ ১ বেছে নেওয়া: এগুলো কেবল একটি রাশির উৎপাদক বা অংশ, তিনটির সাধারণ উৎপাদক নয়।
মনে রাখুন: সবচেয়ে ছোট রাশিটা (x² − 1) বাকি দুটোকে ভাগ করে কিনা দেখুন: x = 1 ও x = −1 বসিয়ে বাকি দুটো শূন্য হলেই গ.সা.গু x² − 1।
পুরো পাতা ›
৩৮২. If 3x +2y=7 and 3x-2y=5, then xy =? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক6
2. খ24
3. গ4
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: ঘ. 1
দুটি সরল সমীকরণ থেকে x আর y বের করে তাদের গুণফল চাওয়া হয়েছে। এখানে দুই সমীকরণে ২y-এর চিহ্ন উল্টো, তাই যোগ করলেই y বাদ পড়ে যায়; একে অপনয়ন পদ্ধতি বলে।
যোগ করলে ৬x সমান ১২, তাই x সমান ২। এখন প্রথম সমীকরণে x সমান ২ বসালে ৬ যোগ ২y সমান ৭, অর্থাৎ ২y সমান ১, y সমান আধা।
তাহলে xy সমান ২ গুণ আধা, মানে ১।
অনেকে বিয়োগ করে ৪y সমান ২ পেয়ে y-এর জায়গায় ২ ধরে ফেলেন, তখন উত্তর আসে ৪। আবার কেউ x আর y-এর মান না বের করে ৭ আর ৫ নিয়ে অনুমান করেন।
মনে রাখুন: (৩x + ২y)² − (৩x − ২y)² = ২৪xy। তাই ৪৯ − ২৫ = ২৪xy, xy = ১। মান আলাদা না করেই সরাসরি গুণফল।
পুরো পাতা ›
৩৮৩. How many real roots does the polynomial 2x³ + 8x − 7 have? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. কNone
2. খOne
3. গTwo
4. ঘThree
সঠিক উত্তর: খ. One
ঘন বা তিন মাত্রার বহুপদীর বাস্তব মূল সবসময় অন্তত একটি, কারণ x খুব বড় ঋণাত্মক আর খুব বড় ধনাত্মক হলে রাশির মানের চিহ্ন উল্টো হয়; মাঝে কোথাও শূন্য ছুঁতেই হবে। তাই কোনো মূল নেই উত্তরটা আগেই বাদ।
এখন দেখতে হবে মূল একটির বেশি কিনা। ২x³ আর ৮x দুটো পদই x বাড়লে বাড়ে; তাই পুরো রাশিটা সবসময় বাড়তে থাকে, কখনো নামে না। অন্তরজ ৬x² যোগ ৮ সবসময় ধনাত্মক, এটাই তার প্রমাণ।
যে রেখা সবসময় উপরে উঠছে, সেটি x-অক্ষকে একবারের বেশি কাটতে পারে না। তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি। x সমান ০-তে মান ঋণাত্মক ৭, আর x সমান ১-এ মান ৩; তাই মূলটি ০ আর ১-এর মাঝে।
তিন মাত্রা দেখে অনেকে তিনটি মূল ধরে নেন। তিনটি মূল থাকে ঠিকই, কিন্তু এখানে বাকি দুটি জটিল সংখ্যা, বাস্তব নয়।
মনে রাখুন: ax³ + bx + c আকারে a আর b একই চিহ্নের হলে রাশিটি সবসময় বাড়ে বা কমে, তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি।
পুরো পাতা ›
৩৮৪. A coin is tossed four times. What is the probability of getting head on all tosses? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক1/4
2. খ1/8
3. গ1/16
4. ঘ3/16
সঠিক উত্তর: গ. 1/16
প্রতিটি টসে হেড আসার সম্ভাবনা আধা, আর একেকটি টস অন্যটির উপর নির্ভর করে না। স্বাধীন ঘটনাগুলো একসাথে ঘটার সম্ভাবনা হলো তাদের সম্ভাবনার গুণফল।
তাই চার টসেই হেড আসার সম্ভাবনা আধা গুণ আধা গুণ আধা গুণ আধা, মানে ১ ভাগ ১৬।
অন্যভাবে দেখলে, চারবার টসে মোট ফলাফল ২-এর ঘাত ৪, অর্থাৎ ১৬টি সমান সম্ভাব্য বিন্যাস। এর মধ্যে সবগুলো হেড, এমন বিন্যাস মাত্র ১টি।
১ ভাগ ৪ বা ১ ভাগ ৮ আসে টসের সংখ্যা ভুল গুনলে: দুবার টসে সব হেড ১ ভাগ ৪, তিনবারে ১ ভাগ ৮। ৩ ভাগ ১৬ কোনো সঠিক হিসাব থেকেই আসে না; চার টসে ঠিক তিনটি হেডের সম্ভাবনাও ৪ ভাগ ১৬।
মনে রাখুন: n বার টসে সব হেড (বা সব টেল) আসার সম্ভাবনা = ১/২ⁿ।
পুরো পাতা ›
৩৮৫. If cosθ + sinθ = 1, then θ = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক30°
2. খ45°
3. গ60°
4. ঘ90°
সঠিক উত্তর: ঘ. 90°
প্রশ্নটা চায় এমন কোণ, যেখানে cos আর sin-এর যোগফল ঠিক ১। সবচেয়ে দ্রুত উপায় হলো অপশনের কোণগুলোর পরিচিত মান বসিয়ে দেখা।
৯০ ডিগ্রিতে cos শূন্য আর sin ১, যোগফল ১; শর্ত মিলে গেল। ৪৫ ডিগ্রিতে দুটোই ১ ভাগ রুট ২, যোগফল রুট ২, প্রায় ১ দশমিক ৪১৪।
বীজগণিতেও দেখা যায়: দুই পাশ বর্গ করলে ১ যোগ ২ sin cos সমান ১, তাই sin গুণ cos শূন্য। মানে sin বা cos এর একটি শূন্য; শূন্য ডিগ্রি বা ৯০ ডিগ্রি। অপশনে শুধু ৯০ ডিগ্রি আছে।
৩০ আর ৬০ ডিগ্রিতে যোগফল একই, ১ দশমিক ৩৬৬; অনেকে এগুলোকে কাছাকাছি ভেবে ভুল করেন।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: শুধু ০° আর ৯০°-তে একটি মান ১ আর অন্যটি ০।
পুরো পাতা ›
৩৮৬. If the sum of x and its multiplicative inverse is 3, then x³ + 1/x³ = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক36
2. খ0
3. গ1
4. ঘ18
সঠিক উত্তর: ঘ. 18
কোনো সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত মানে ১ ভাগ সেই সংখ্যা। তাই শর্তটা হলো x যোগ ১ ভাগ x সমান ৩।
ঘনের সূত্র: a যোগ b-এর ঘন সমান a ঘন যোগ b ঘন যোগ ৩ab গুণ a যোগ b। এখানে a সমান x আর b সমান ১ ভাগ x, তাই ab সমান ১।
সূত্র উল্টে লিখলে x ঘন যোগ ১ ভাগ x ঘন সমান ৩-এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ১ গুণ ৩, মানে ২৭ বিয়োগ ৯, অর্থাৎ ১৮।
সাধারণ ভুল: শুধু ৩-এর ঘন ২৭ লিখে থেমে যাওয়া, বা বর্গের সূত্র থেকে ৭ বের করে বিভ্রান্ত হওয়া। আবার কেউ ৩৬ বেছে নেন, যা ১৮-এর দ্বিগুণ।
মনে রাখুন: x + ১/x = k হলে x³ + ১/x³ = k³ − ৩k। k = ৩ হলে ২৭ − ৯ = ১৮।
পুরো পাতা ›
৩৮৭. Let M be the median and m the mode of the following set of numbers: 10, 70, 20, 40, 70, 90. What is the arithmetic mean of M and m ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক50
2. খ60
3. গ62.5
4. ঘ65
সঠিক উত্তর: গ. 62.5
মধ্যক বা median বের করতে আগে সংখ্যাগুলো ছোট থেকে বড় সাজাতে হয়। সাজালে হয় ১০, ২০, ৪০, ৭০, ৭০, ৯০।
সংখ্যা ৬টি, জোড়; তাই মাঝের দুটি, তৃতীয় আর চতুর্থ সংখ্যা ৪০ ও ৭০-এর গড়ই মধ্যক। ৪০ যোগ ৭০ সমান ১১০, অর্ধেক ৫৫। সুতরাং M সমান ৫৫।
প্রচুরক বা mode হলো যে সংখ্যা সবচেয়ে বেশিবার আছে: ৭০ আছে দুবার, তাই m সমান ৭০।
এখন ৫৫ আর ৭০-এর গড় হলো ১২৫ ভাগ ২, মানে ৬২ দশমিক ৫। না সাজিয়ে মাঝের দুটি সংখ্যা ২০ ও ৪০ নিলে মধ্যক ভুল আসে; এটাই প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: সাজানোর পর জোড় সংখ্যক মান হলে মাঝের দুটির গড়ই মধ্যক।
পুরো পাতা ›
৩৮৮. If (7ᵃ)(7ᵇ) = 7ᶜ(7ᵈ), what is d in terms of a, b, and c? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক3ab
2. খc − a − b
3. গa + b − c
4. ঘc − ab
সঠিক উত্তর: গ. a + b − c
এটি সূচকের গুণের নিয়মের প্রশ্ন। একই ভিত্তির দুটি ঘাত গুণ করলে সূচকগুলো যোগ হয়: ৭-এর ঘাত a গুণ ৭-এর ঘাত b সমান ৭-এর ঘাত a যোগ b।
তাই বাম পাশ হয় ৭-এর ঘাত a যোগ b, আর ডান পাশ ৭-এর ঘাত c যোগ d। ভিত্তি সমান হলে সূচকও সমান, তাই a যোগ b সমান c যোগ d।
এখন d-কে আলাদা করলে d সমান a যোগ b বিয়োগ c।
c বিয়োগ a বিয়োগ b হলো ঠিক উল্টো চিহ্নের উত্তর; c-কে ভুল পাশে রেখে পক্ষান্তর করলে এই ফাঁদে পড়তে হয়। আবার সূচক যোগের বদলে গুণ করলে ab ধরনের উত্তর আসে।
মনে রাখুন: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: a = ২, b = ৩, c = ১ নিলে ৭⁵ = ৭¹ × ৭ᵈ, তাই d = ৪ = ২ + ৩ − ১।
পুরো পাতা ›
৩৮৯. If the lines AB and CD meet at O and ∠BOD = 60°, then ∠BOC = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক27°
2. খ63°
3. গ120°
4. ঘ297°
সঠিক উত্তর: গ. 120°
দুটি সরলরেখা AB ও CD বিন্দু O-তে ছেদ করেছে। একটি সরলরেখার উপর এক পাশে তৈরি সন্নিহিত দুটি কোণের যোগফল সবসময় ১৮০ ডিগ্রি; এদের সরল কোণ জোড় বা রৈখিক যুগল বলে।
C, O, D একই সরলরেখায়। তাই রশ্মি OB রেখা CD-র উপর দাঁড়িয়ে দুটি কোণ বানিয়েছে: কোণ BOC আর কোণ BOD। এদের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি।
কোণ BOD ৬০ ডিগ্রি হলে কোণ BOC সমান ১৮০ বিয়োগ ৬০, মানে ১২০ ডিগ্রি। এর বিপ্রতীপ কোণ AOD-ও ১২০ ডিগ্রি, আর AOC সমান ৬০ ডিগ্রি।
অনেকে ৯০ থেকে বিয়োগ করে পূরক কোণ ভেবে ফেলেন, বা ৩৬০ থেকে বিয়োগ করেন; দুটোই এখানে ভুল।
মনে রাখুন: ছেদ করা দুই রেখায় পাশাপাশি কোণ যোগে ১৮০°, মুখোমুখি (বিপ্রতীপ) কোণ সমান।
পুরো পাতা ›
৩৯০. The next term of the series 9 + 36 + 81 + 144 + ____ is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক169
2. খ256
3. গ272
4. ঘ225
সঠিক উত্তর: ঘ. 225
ধারাটির প্রতিটি পদ একটি পূর্ণবর্গ: ৯ হলো ৩-এর বর্গ, ৩৬ হলো ৬-এর বর্গ, ৮১ হলো ৯-এর বর্গ, ১৪৪ হলো ১২-এর বর্গ।
বর্গমূলগুলো ৩, ৬, ৯, ১২; প্রতিবার ৩ করে বাড়ছে। তাই পরের বর্গমূল ১৫, আর পরের পদ ১৫-এর বর্গ, মানে ২২৫।
অন্তর দিয়েও দেখা যায়: পদগুলোর অন্তর ২৭, ৪৫, ৬৩; এরা প্রতিবার ১৮ করে বাড়ছে। পরের অন্তর ৮১, আর ১৪৪ যোগ ৮১ সমান ২২৫।
১৬৯ আর ২৫৬ দুটোই পূর্ণবর্গ বলে ফাঁদ; কিন্তু ১৩ বা ১৬ ধারার ৩-এর গুণিতক নিয়ম মানে না।
মনে রাখুন: প্রতিটি পদ ৯ × n²: ৯ × ১, ৯ × ৪, ৯ × ৯, ৯ × ১৬; পরের পদ ৯ × ২৫ = ২২৫।
পুরো পাতা ›
৩৯১. If a = 0.67, then which one of the following is smaller than a? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক√a
2. খ1/a
3. গa²
4. ঘ1/a²
সঠিক উত্তর: গ. a²
এখানে a শূন্য আর ১-এর মাঝের একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ। এমন সংখ্যার বেলায় নিয়ম উল্টো খাটে: বর্গ করলে মান কমে, বর্গমূল নিলে মান বাড়ে, আর উল্টে নিলে মান ১-এর চেয়েও বড় হয়।
a-এর বর্গ হলো ০ দশমিক ৬৭ গুণ ০ দশমিক ৬৭, মানে প্রায় ০ দশমিক ৪৪৯; এটি a-এর চেয়ে ছোট।
অন্যদিকে a-এর বর্গমূল প্রায় ০ দশমিক ৮১৯, ১ ভাগ a প্রায় ১ দশমিক ৪৯, আর ১ ভাগ a-এর বর্গ প্রায় ২ দশমিক ২৩; তিনটিই a-এর চেয়ে বড়।
বর্গমূলে মান কমে, এই পূর্ণসংখ্যার অভ্যাস থেকে অনেকে রুট a বেছে নেন। কিন্তু ১-এর চেয়ে ছোট সংখ্যার বর্গমূল আসলে বড় হয়।
মনে রাখুন: ০ আর ১-এর মাঝের সংখ্যা: ঘাত বাড়ালে ছোট হয়, বর্গমূল বা উল্টো নিলে বড় হয়।
পুরো পাতা ›
৩৯২. The difference between simple and compound interest at 5% annually on a sum of Tk. 10000 at the end of 2 years is? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক25
2. খ50
3. গ100
4. ঘ250
সঠিক উত্তর: ক. 25
সরল সুদে প্রতি বছর সুদ হয় শুধু আসলের উপর; চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের সুদের উপরও সুদ হয়। দুই বছরে পার্থক্য তাই ঠিক প্রথম বছরের সুদের উপর এক বছরের সুদ।
প্রথম বছরের সুদ ১০০০০ টাকার ৫ শতাংশ, মানে ৫০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে চক্রবৃদ্ধিতে এই ৫০০ টাকার উপরও ৫ শতাংশ সুদ হয়, যা ২৫ টাকা।
সূত্রেও একই: দুই বছরের পার্থক্য সমান আসল গুণ হারের বর্গ। ১০০০০ গুণ ০ দশমিক ০৫-এর বর্গ, অর্থাৎ ১০০০০ গুণ ০ দশমিক ০০২৫, সমান ২৫ টাকা।
অনেকে ৫০০ টাকার সুদ ভুলে ৫০ বা ১০০ বের করেন, বা মোট সুদ ১০০০ এর সঙ্গে গুলিয়ে ফেলেন।
মনে রাখুন: ২ বছরে পার্থক্য = P × (r/১০০)² = ১০০০০ × (৫/১০০)² = ২৫।
পুরো পাতা ›
৩৯৩. If a ladder touches the roof of a wall and makes an angle of 45° with the 15 metre long wall, then the length of the ladder is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক30m
2. খ15m
3. গ45m
4. ঘ15√2m
সঠিক উত্তর: ঘ. 15√2m
মই, দেয়াল আর মাটি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ। দেয়ালটি লম্ব, ১৫ মিটার; মইটি অতিভুজ, কারণ এটি সমকোণের বিপরীতে।
মই দেয়ালের সাথে ৪৫ ডিগ্রি কোণ বানিয়েছে। ওই কোণের সন্নিহিত বাহু দেয়াল, তাই cos ৪৫ সমান দেয়াল ভাগ মই। cos ৪৫ হলো ১ ভাগ রুট ২।
তাই মই সমান ১৫ গুণ রুট ২ মিটার, প্রায় ২১ দশমিক ২১ মিটার। ৪৫ ডিগ্রিতে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, ভূমিও ১৫ মিটার; পিথাগোরাসে ১৫-এর বর্গ যোগ ১৫-এর বর্গের বর্গমূলও ১৫ রুট ২।
১৫ মিটার ফাঁদ: এটা দেয়ালের উচ্চতা, মইয়ের দৈর্ঘ্য নয়। অতিভুজ সবসময় অন্য দুই বাহুর চেয়ে বড়।
মনে রাখুন: ৪৫°-এর সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ = বাহু × √২।
পুরো পাতা ›
৩৯৪. A product is bought and sold at a profit of 15%. The ratio of selling and buying cost is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক17:20
2. খ23:20
3. গ20:23
4. ঘ20:17
সঠিক উত্তর: খ. 23:20
লাভের শতকরা হার সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর। তাই ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ধরলে ১৫ শতাংশ লাভে বিক্রয়মূল্য হয় ১১৫ টাকা।
প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে বিক্রয়মূল্য আর ক্রয়মূল্যের অনুপাত, এই ক্রমে। তাই অনুপাত ১১৫ বনাম ১০০।
দুটোকেই ৫ দিয়ে ভাগ করলে পাই ২৩ বনাম ২০।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো ক্রম উল্টে ফেলা: ২০ বনাম ২৩ হলো ক্রয় বনাম বিক্রয়। আর ১৭ বনাম ২০ আসে লাভকে ক্ষতি ভাবলে।
মনে রাখুন: লাভ r% হলে বিক্রয় : ক্রয় = (১০০ + r) : ১০০; ক্ষতি হলে (১০০ − r) : ১০০।
পুরো পাতা ›
৩৯৫. If the ratio of two numbers is 3 : 4 and their least common multiple is 60, then the numbers are (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক15, 20
2. খ12,16
3. গ9, 12
4. ঘ18, 24
সঠিক উত্তর: ক. 15, 20
অনুপাত ৩ বনাম ৪ মানে সংখ্যা দুটি ৩k আর ৪k, যেখানে k তাদের গ.সা.গু। ৩ আর ৪ সহমৌলিক, তাই এদের ল.সা.গু হয় ৩ গুণ ৪ গুণ k, মানে ১২k।
শর্ত অনুযায়ী ১২k সমান ৬০, তাই k সমান ৫। সংখ্যা দুটি তাহলে ৩ গুণ ৫ সমান ১৫ আর ৪ গুণ ৫ সমান ২০।
যাচাই: ১৫ আর ২০-এর ল.সা.গু ৬০, অনুপাতও ৩ বনাম ৪।
বাকি সব অপশনও ৩ বনাম ৪ অনুপাতে আছে, তাই শুধু অনুপাত দেখে উত্তর হবে না; ল.সা.গু মিলিয়ে দেখতেই হবে। ১২ ও ১৬-এর ল.সা.গু ৪৮, এটাই সবচেয়ে কাছের ফাঁদ।
মনে রাখুন: অনুপাত a : b (সহমৌলিক) আর ল.সা.গু L হলে k = L ÷ (a × b); সংখ্যা ak ও bk।
পুরো পাতা ›
৩৯৬. Mr. X will be the Chairman of the committee. In how many ways can a committee of 5 members be chosen from a total of 8 people given that Mr. X must be one of them? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক35
2. খ70
3. গ120
4. ঘ56
সঠিক উত্তর: ক. 35
এটা সমাবেশ বা combination-এর প্রশ্ন, কারণ কমিটিতে সদস্যদের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। শর্ত হলো মিস্টার X অবশ্যই থাকবেন।
X-কে আগেই কমিটিতে বসিয়ে দিলে বাকি থাকে ৪টি আসন, আর বাছাই করার লোক থাকে ৮ বিয়োগ ১, মানে ৭ জন।
৭ জন থেকে ৪ জন বাছাইয়ের উপায় হলো ৭ সি ৪, যা ৭ গুণ ৬ গুণ ৫ ভাগ ৩ গুণ ২ গুণ ১, মানে ৩৫।
সাধারণ ভুল হলো X-এর শর্ত ভুলে ৮ জন থেকে ৫ জন নেওয়া, তখন আসে ৫৬। আর ৭০ হলো ৮ সি ৪।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট একজন থাকবেই: ⁽ⁿ⁻¹⁾C₍ᵣ₋₁₎। থাকবে না: ⁽ⁿ⁻¹⁾Cᵣ।
পুরো পাতা ›
৩৯৭. If the radius of a circle is 6 cm and a circular segment subtends an angle 30° at the center, then the length of the arc is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক2πcm
2. খ6πcm
3. গπcm
4. ঘ3πcm
সঠিক উত্তর: গ. πcm
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ৩৬০ ডিগ্রির যত অংশ, বৃত্তচাপও পুরো পরিধির তত অংশ। সূত্র: চাপ সমান কোণ ভাগ ৩৬০ গুণ ২ পাই r।
এখানে কোণ ৩০ ডিগ্রি, যা ৩৬০ ডিগ্রির ১২ ভাগের এক ভাগ। ব্যাসার্ধ ৬ সেমি হলে পরিধি ১২ পাই সেমি।
তাহলে চাপ সমান ১২ পাই-এর ১২ ভাগের এক, মানে পাই সেমি, প্রায় ৩ দশমিক ১৪ সেমি। রেডিয়ানেও দেখা যায়: ৩০ ডিগ্রি সমান পাই ভাগ ৬, আর চাপ সমান r গুণ কোণ, তাই ৬ গুণ পাই ভাগ ৬ সমান পাই।
পুরো পরিধির অর্ধেক বা সিকি নেওয়া হলে ৬ পাই বা ৩ পাই আসে, এগুলোই ফাঁদ।
মনে রাখুন: রেডিয়ানে: s = rθ = ৬ × π/৬ = π। ৩০° = π/৬ মনে রাখুন।
পুরো পাতা ›
৩৯৮. If A³ is odd, which of the following is true? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. কA is odd only
2. খA² is odd only
3. গA² is even
4. ঘBoth A and A² are odd
সঠিক উত্তর: ঘ. Both A and A² are odd
জোড়-বিজোড়ের মূল নিয়ম: দুটি বিজোড়ের গুণফল বিজোড়, আর যেকোনো গুণে একটি জোড় থাকলেই গুণফল জোড়।
A যদি জোড় হতো, তবে A ঘন মানে A গুণ A গুণ A-তে জোড় উৎপাদক থাকত, ফলে A ঘন জোড় হতো। কিন্তু A ঘন বিজোড় দেওয়া আছে, তাই A অবশ্যই বিজোড় (এখানে A পূর্ণসংখ্যা ধরে)।
A বিজোড় হলে A বর্গ মানে বিজোড় গুণ বিজোড়, তাও বিজোড়। তাই A আর A বর্গ দুটোই বিজোড়; যেমন A সমান ৩ হলে A বর্গ ৯, A ঘন ২৭।
শুধু A বিজোড় বা শুধু A বর্গ বিজোড়, এই অপশনগুলো আংশিক সত্য; only শব্দটা অন্যটিকে বাদ দেয় বলে ভুল।
মনে রাখুন: পূর্ণসংখ্যার যেকোনো ধনাত্মক ঘাতের জোড়-বিজোড় সংখ্যাটির নিজেরই মতো।
পুরো পাতা ›
৩৯৯. A rectangle is 14 cm long and 10 cm wide. If the length is reduced by x cm and its width is increased also by x cm so as to make a square, then its area increased by (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক4 cm²
2. খ144 cm²
3. গ12 cm²
4. ঘ140 cm²
সঠিক উত্তর: ক. 4 cm²
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x কমিয়ে আর প্রস্থ x বাড়িয়ে বর্গ বানাতে হবে। বর্গে দুই বাহু সমান, তাই ১৪ বিয়োগ x সমান ১০ যোগ x, অর্থাৎ x সমান ২।
নতুন বাহু ১২ সেমি, তাই বর্গের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গসেমি। পুরোনো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৪ গুণ ১০, মানে ১৪০ বর্গসেমি।
ক্ষেত্রফল বেড়েছে ১৪৪ বিয়োগ ১৪০, মানে ৪ বর্গসেমি। পরিসীমা একই থাকলে বর্গের ক্ষেত্রফলই সবচেয়ে বেশি, তাই বৃদ্ধি হওয়াটা স্বাভাবিক।
প্রশ্ন বৃদ্ধি চেয়েছে, নতুন ক্ষেত্রফল নয়; তাই ১৪৪ বেছে নেওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: বাহু দুটির গড় ১২ হলো বর্গের বাহু; বৃদ্ধি = (অর্ধ-পার্থক্য)² = ((১৪ − ১০) ÷ ২)² = ৪।
পুরো পাতা ›
৪০০. In triangle PQR length of the side QR is less than twice the length of the side PQ by 2 cm. Length of the side PR exceeds the length of the side PQ by 10 cm. The perimeter is 40 cm. the length of the smallest side of the triangle PQR is: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক6 cm
2. খ8 cm
3. গ9 cm
4. ঘ10 cm
সঠিক উত্তর: খ. 8 cm
প্রশ্নটা কথায় দেওয়া তথ্য থেকে সমীকরণ বানানো যাচাই করছে। তিনটি বাহুই PQ-এর সাপেক্ষে বলা আছে, তাই PQ-কে x ধরলেই সব বাহু এক চলকে লেখা যায়।
QR বাহু PQ-এর দ্বিগুণের চেয়ে ২ সেন্টিমিটার কম, তাই QR হলো ২x বিয়োগ ২। PR বাহু PQ-এর চেয়ে ১০ সেন্টিমিটার বেশি, তাই PR হলো x যোগ ১০।
পরিসীমা মানে তিন বাহুর যোগফল: x যোগ ২x বিয়োগ ২ যোগ x যোগ ১০, মানে ৪x যোগ ৮, যা ৪০-এর সমান। তাহলে ৪x সমান ৩২, অর্থাৎ x সমান ৮।
বাহু তিনটি ৮, ১৪ আর ১৮ সেন্টিমিটার; যোগফল ৪০ মিলে যায়, আর ছোট দুই বাহুর যোগফল ২২ বড় বাহু ১৮-এর চেয়ে বেশি, তাই ত্রিভুজ সম্ভব। সবচেয়ে ছোট বাহু ৮ সেন্টিমিটার।
কম শব্দটা দেখে অনেকে ২ যোগ করে ফেলেন, তখন হিসাব ভুল আসে; দ্বিগুণের চেয়ে কম মানে দ্বিগুণ থেকে বিয়োগ।
মনে রাখুন: সব বাহু এক চলকে লিখে যোগ করুন: 4x + 8 = 40। অপশন বসিয়েও দেখা যায়: x = 8 হলে 8 + 14 + 18 = 40।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৪০১–৪২০ ›