গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৫৭
১১২১. ২-এর কত শতাংশ ৮ হবে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক২০০
- খ৪০০
- গ৩৪৫
- ঘ৩০০
সঠিক উত্তর: খ. ৪০০
প্রশ্নটা জানতে চায়, ২ এর কত শতাংশ নিলে ৮ পাওয়া যায়। নিয়ম হলো: পাওয়া সংখ্যাটাকে ভিত্তি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ করা। “২ এর” কথাটাই বলে দেয় ভিত্তি হলো ২।
৮ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৪, মানে ৮ হলো ২ এর চার গুণ। চার গুণকে শতাংশে বললে চারশো শতাংশ।
যাচাই করি: ২ এর একশো শতাংশ হলো ২ নিজেই, তাই চারশো শতাংশ হলো তার চার গুণ, অর্থাৎ ৮।
ফাঁদ হলো তিনশো। ২ থেকে ৮ এ বাড়তি ৬, আর ৬ হলো ২ এর তিনশো শতাংশ; এটা বৃদ্ধির হার, পুরো ৮ এর শতাংশ নয়।
মনে রাখুন: b, a এর কত শতাংশ: (b ÷ a) × ১০০। ৮ ÷ ২ = ৪, তাই ৪০০।
১১২২. 10% মুনাফায় 3000 টাকা এবং 8% মুনাফায় 2000 টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত হারে মুনাফা পাওয়া যাবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক9%
- খ9.2%
- গ8%
- ঘ8.2%
সঠিক উত্তর: খ. 9.2%
প্রশ্নটা দুই ভিন্ন হারের বিনিয়োগের গড় মুনাফার হার চায়। গড় হার বের করতে হয় মোট মুনাফাকে মোট মূলধন দিয়ে ভাগ করে; দুই হারের সরল গড় নিলে চলে না, কারণ দুই অংশে টাকার পরিমাণ সমান নয়।
৩০০০ টাকার ১০ শতাংশ মুনাফা ৩০০ টাকা। ২০০০ টাকার ৮ শতাংশ মুনাফা ১৬০ টাকা। মোট মুনাফা ৪৬০ টাকা, আর মোট মূলধন ৫০০০ টাকা।
৪৬০ টাকা ৫০০০ টাকার কত শতাংশ: ৪৬০ কে ৫০০০ দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ করলে হয় ৯ দশমিক ২ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ৯ শতাংশ, যা ১০ আর ৮ এর সরল গড়। বেশি টাকা খাটছে ১০ শতাংশ হারে, তাই আসল গড় ৯ এর চেয়ে একটু বেশি, ১০ এর দিকে ঝুঁকে থাকে।
মনে রাখুন: গড় হার = (৩০০০ × ১০ + ২০০০ × ৮) ÷ (৩০০০ + ২০০০) = ৪৬০০০ ÷ ৫০০০ = ৯.২%।
১১২৩. 100 টাকায় 10 টি ডিম কিনে 100 টাকায় 8 টি ডিম বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত হবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক16%
- খ20%
- গ25%
- ঘ28%
সঠিক উত্তর: গ. 25%
প্রশ্নটা লাভের শতকরা হার চায়। লাভের হার সবসময় কেনা দামের উপর হিসাব হয়: লাভকে কেনা দাম দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ।
১০০ টাকায় ১০টি কিনলে একটির কেনা দাম ১০ টাকা। ১০০ টাকায় ৮টি বেচলে একটির বেচা দাম ১২ টাকা ৫০ পয়সা। তাহলে প্রতিটিতে লাভ ২ টাকা ৫০ পয়সা।
২ টাকা ৫০ পয়সা হলো ১০ টাকার চার ভাগের এক ভাগ, অর্থাৎ ২৫ শতাংশ। তাই লাভ ২৫ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ। লাভ ২ টাকা ৫০ পয়সাকে বেচা দাম ১২ টাকা ৫০ পয়সা দিয়ে ভাগ করলে ২০ শতাংশ আসে, কিন্তু লাভের হার হয় কেনা দামের উপর।
মনে রাখুন: একই টাকায় কেনা ও বেচা হলে: (কেনা সংখ্যা − বেচা সংখ্যা) ÷ বেচা সংখ্যা × ১০০ = (১০ − ৮) ÷ ৮ × ১০০ = ২৫%।
১১২৪. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক57
- খ75
- গ39
- ঘ93
সঠিক উত্তর: গ. 39
দুই অঙ্কের সংখ্যায় দশকের অঙ্ককে ১০ দিয়ে গুণ করে এককের অঙ্ক যোগ করলে সংখ্যাটা পাওয়া যায়। অঙ্ক দুটি স্থান বদলালে যে পার্থক্য হয়, তা সবসময় অঙ্ক দুটির পার্থক্যের ৯ গুণ।
এখানে স্থান বদলে সংখ্যা ৫৪ বেড়েছে। ৫৪ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ৬, তাই অঙ্ক দুটির পার্থক্য ৬। সংখ্যা বেড়েছে, মানে এককের অঙ্কটাই বড়।
অঙ্ক দুটির যোগফল ১২ আর পার্থক্য ৬। যোগফল আর পার্থক্য যোগ করে অর্ধেক নিলে বড় অঙ্ক ৯, ছোট অঙ্ক ৩। ছোট অঙ্ক দশকের ঘরে, তাই সংখ্যা ৩৯। যাচাই: ৯৩ থেকে ৩৯ বাদ দিলে ঠিক ৫৪।
ফাঁদ হলো ৯৩। এর অঙ্কের যোগফলও ১২, কিন্তু উল্টালে ৩৯ হয়, অর্থাৎ সংখ্যা ৫৪ কমে যায়, বাড়ে না।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই: অঙ্কের যোগফল ১২ আর এককের অঙ্ক দশকের চেয়ে ৫৪ ÷ ৯ = ৬ বেশি, এমন সংখ্যা শুধু ৩৯।
১১২৫. একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে 15-তম পদটি– (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক140
- খ142
- গ148
- ঘ150
সঠিক উত্তর: খ. 142
সমান্তর অনুক্রমে প্রতিটি পদ আগের পদের সাথে একই সংখ্যা, মানে সাধারণ অন্তর, যোগ করে পাওয়া যায়। তাই যেকোনো পদ হলো প্রথম পদের সাথে, পদের ক্রম থেকে এক কম বার, সাধারণ অন্তর যোগ।
ষষ্ঠ পদ মানে প্রথম পদের সাথে পাঁচবার ১০ যোগ, অর্থাৎ প্রথম পদ যোগ ৫০। এটা ৫২ হলে প্রথম পদ ২।
পঞ্চদশ পদ হলো প্রথম পদের সাথে চোদ্দোবার ১০, মানে ২ যোগ ১৪০, অর্থাৎ ১৪২। আরও সহজে: ষষ্ঠ থেকে পঞ্চদশ পদে যেতে আরও নয়বার ১০ যোগ হয়, তাই ৫২ যোগ ৯০, সেই ১৪২।
ফাঁদ হলো ১৫০, যেখানে পদের ক্রম পনেরোকে সরাসরি ১০ দিয়ে গুণ করা হয়েছে। আর প্রথম পদ ২ যোগ করতে ভুলে গেলে আসে ১৪০।
মনে রাখুন: a₁₅ = a₆ + ৯d = ৫২ + ৯০ = ১৪২; প্রথম পদ বের না করেই।
১১২৬. একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি - – (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক5
- খ10
- গ12
- ঘ8
সঠিক উত্তর: ক. 5
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রতিটি পদ আগের পদকে একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা, মানে সাধারণ অনুপাত, দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়। তৃতীয় পদ থেকে ষষ্ঠ পদে যেতে তিনবার সেই অনুপাত দিয়ে গুণ করতে হয়।
তাই ষষ্ঠ পদকে তৃতীয় পদ দিয়ে ভাগ করলে পাই অনুপাতের ঘন। ১৬০ কে ২০ দিয়ে ভাগ করলে ৮, আর ৮ হলো ২ এর ঘন, তাই সাধারণ অনুপাত ২।
তৃতীয় পদ মানে প্রথম পদকে দুবার ২ দিয়ে গুণ, অর্থাৎ চার গুণ। চার গুণ যদি ২০ হয়, প্রথম পদ ৫। অনুক্রমটা দাঁড়ায় ৫, ১০, ২০, ৪০, ৮০, ১৬০।
ফাঁদ হলো ১০ আর ৮। ১০ আসলে দ্বিতীয় পদ, আর ৮ হলো অনুপাতের ঘন, অনুপাত বা প্রথম পদ নয়।
মনে রাখুন: ৩য় থেকে ৬ষ্ঠ পদ ৩ ধাপ: ১৬০ ÷ ২০ = ৮ = ২³; ৩য় পদ থেকে ২ ধাপ পিছিয়ে ২০ ÷ ২ ÷ ২ = ৫।
১১২৭. 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে - - (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- কসমবাহু
- খসমদ্বিবাহু
- গসমকোণী
- ঘস্থূলকোণী
সঠিক উত্তর: গ. সমকোণী
বাহুর দৈর্ঘ্য দেখে ত্রিভুজের ধরন চেনার নিয়ম: বৃহত্তম বাহুর বর্গকে বাকি দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সাথে তুলনা করুন। সমান হলে সমকোণী, বড় হলে স্থূলকোণী, ছোট হলে সূক্ষ্মকোণী।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১৭, তার বর্গ ২৮৯। বাকি দুই বাহু ৮ আর ১৫ এর বর্গ ৬৪ আর ২২৫, যোগফল ২৮৯।
দুটো সমান, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য খাটে, আর ১৭ সেন্টিমিটার বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ। ৮, ১৫, ১৭ একটা পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী, যেমন ৩, ৪, ৫ বা ৫, ১২, ১৩।
তিনটি বাহুই আলাদা, তাই সমবাহু বা সমদ্বিবাহু হওয়ার প্রশ্নই নেই। আর বর্গের যোগফল ঠিক সমান বলে এটা স্থূলকোণীও নয়।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৮-১৫-১৭, ৭-২৪-২৫: এই পিথাগোরীয় ত্রয়ীগুলো মুখস্থ রাখুন, দেখেই উত্তর।
১১২৮. 13 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা- এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা- এর লম্ব দূরত্ব কত সেমি? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক3
- খ4
- গ5
- ঘ6
সঠিক উত্তর: গ. 5
বৃত্তের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য: কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা এর উপর লম্ব টানলে সেই লম্ব জ্যাকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। ফলে কেন্দ্র, জ্যা এর মধ্যবিন্দু আর জ্যা এর এক প্রান্ত মিলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
সেই ত্রিভুজের অতিভুজ হলো ব্যাসার্ধ, ১৩ সেন্টিমিটার। একটি বাহু অর্ধেক জ্যা, অর্থাৎ ২৪ এর অর্ধেক ১২ সেন্টিমিটার। অন্য বাহুটাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাস অনুযায়ী ১৩ এর বর্গ ১৬৯ থেকে ১২ এর বর্গ ১৪৪ বাদ দিলে থাকে ২৫, যার বর্গমূল ৫। তাই দূরত্ব ৫ সেন্টিমিটার; এটা পরিচিত ৫, ১২, ১৩ ত্রয়ী।
ভুল হয় যখন কেউ অর্ধেক না নিয়ে পুরো জ্যা ২৪ ব্যবহার করেন। তখন ২৪ এর বর্গ ১৩ এর বর্গের চেয়েও বড়, কোনো উত্তরই মেলে না; তাই আগে জ্যা অর্ধেক করুন।
মনে রাখুন: ৫-১২-১৩ ত্রয়ী: ব্যাসার্ধ ১৩, অর্ধজ্যা ১২ দেখলেই দূরত্ব ৫।
১১২৯. 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক170
- খ182
- গ190
- ঘ192
সঠিক উত্তর: খ. 182
একই রকম জিনিস থাকলে সাধারণ সমাবেশ সূত্র সরাসরি খাটে না, কারণ একজাতীয় দুটির কোনটা নিলাম তাতে বাছাই বদলায় না। তাই একজাতীয় জিনিস কয়টা নিচ্ছি, সেই অনুযায়ী আলাদা আলাদা ক্ষেত্র গুনতে হয়।
দশটির মধ্যে ২টি একজাতীয়, বাকি ৮টি আলাদা। একজাতীয় একটিও না নিলে ৮টি থেকে ৫টি বাছতে হয়, উপায় ৫৬। একটি নিলে বাকি ৪টি আসে ৮টি থেকে, উপায় ৭০। দুটোই নিলে বাকি ৩টি আসে ৮টি থেকে, উপায় ৫৬।
তিন ক্ষেত্র যোগ করলে ৫৬ যোগ ৭০ যোগ ৫৬, মোট ১৮২।
সব জিনিস আলাদা ধরে দশটি থেকে পাঁচটি নিলে আসে ২৫২। একজাতীয় একটি নেওয়ার ৭০টি বাছাই সেখানে দুবার গোনা হয়, তাই ২৫২ থেকে ৭০ বাদ দিলেও ঠিক ১৮২ পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: সব আলাদা ধরে ¹⁰C₅ = ২৫২, তা থেকে দুবার গোনা ⁸C₄ = ৭০ বাদ: ২৫২ − ৭০ = ১৮২।
১১৩০. ৫-এর কত শতাংশ ৭ হবে ? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক৪০
- খ১২৫
- গ৯০
- ঘ১৪০
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৪০
প্রশ্নটা জানতে চায়, ৫ এর কত শতাংশ নিলে ৭ পাওয়া যায়। নিয়ম: পাওয়া সংখ্যাকে ভিত্তি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ। এখানে ভিত্তি ৫।
৭ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ১ দশমিক ৪, একশো দিয়ে গুণ করলে ১৪০। তাই ৭ হলো ৫ এর ১৪০ শতাংশ।
অন্যভাবে দেখুন: ৭ এর মধ্যে পুরো ৫ আছে, মানে একশো শতাংশ, আর বাড়তি ২। ২ হলো ৫ এর পাঁচ ভাগের দুই, অর্থাৎ ৪০ শতাংশ। মোট একশো যোগ ৪০, সমান ১৪০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ৪০, যা শুধু বাড়তি অংশের হার। ৭ যেহেতু ৫ এর চেয়ে বড়, উত্তর একশোর বেশি হবেই।
মনে রাখুন: b, a এর কত শতাংশ = (b ÷ a) × ১০০ = ৭ × ২০ = ১৪০।
১১৩১. ০.৪ × ০.০২ × ০.০৮ = ? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক০.৬৪
- খ০.০৬৪
- গ০.০০০৬৪
- ঘ৬.৪০
সঠিক উত্তর: গ. ০.০০০৬৪
দশমিক সংখ্যা গুণ করার সহজ নিয়ম: আগে দশমিক বিন্দু সরিয়ে অঙ্কগুলো সাধারণ সংখ্যার মতো গুণ করুন। তারপর সব সংখ্যায় দশমিকের পরে মোট যত ঘর ছিল, গুণফলে ডান দিক থেকে তত ঘর গুনে দশমিক বসান।
দশমিক বাদ দিলে অঙ্কগুলো ৪, ২ আর ৮; এদের গুণফল ৬৪।
দশমিকের পরের ঘর গুনি: শূন্য দশমিক চার এ এক ঘর, শূন্য দশমিক শূন্য দুই এ দুই ঘর, শূন্য দশমিক শূন্য আট এ দুই ঘর; মোট পাঁচ ঘর। ৬৪ এ মাত্র দুটি অঙ্ক, তাই সামনে তিনটি শূন্য বসিয়ে পাঁচ ঘর পূরণ করতে হয়। উত্তর শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য ছয় চার।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল ঘর কম গোনা। দুই ঘর ধরলে আসে শূন্য দশমিক ছয় চার, তিন ঘর ধরলে শূন্য দশমিক শূন্য ছয় চার; দুটোই বিকল্পে ফাঁদ হিসেবে রাখা।
মনে রাখুন: দশমিক গুণে: অঙ্ক গুণ করুন, ঘর যোগ করুন। ৬৪, পাঁচ ঘর: ০.০০০৬৪।
১১৩২. ২০০৯ সালের ২৮ আগস্ট শুক্রবার ছিল। ঐ বছরের ১ অক্টোবর কি বার ছিল। (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- কবুধবার
- খবৃহস্পতিবার
- গশুক্রবার
- ঘশনিবার
সঠিক উত্তর: খ. বৃহস্পতিবার
বার নির্ণয়ের মূল কথা: প্রতি ৭ দিন পর একই বার ফিরে আসে। তাই দুই তারিখের মাঝের দিনসংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ দেখতে হয়; বার ঠিক ততদিন এগোয়।
২৮ আগস্টের পর আগস্টে আরও ৩ দিন, সেপ্টেম্বরে ৩০ দিন, আর অক্টোবরের ১ তারিখ; মোট ৩৪ দিন। ৩৪ এ ৪টি পূর্ণ সপ্তাহ, অর্থাৎ ২৮ দিন, আর বাড়তি ৬ দিন।
শুক্রবার থেকে ৬ দিন এগোলে বৃহস্পতিবার। আরও সহজে, ৬ দিন এগোনো মানে ১ দিন পিছানো, তাই শুক্রবারের আগের দিন বৃহস্পতিবার।
ভুল হয় মাসের দিন গুনতে গিয়ে। সেপ্টেম্বরকে ৩১ দিনের ধরলে মোট ৩৫ দিন, ভাগশেষ শূন্য, আর উত্তর আসে শুক্রবার; আগস্টকে ৩০ দিনের ধরলে ৩৩ দিন, উত্তর আসে বুধবার।
মনে রাখুন: ভাগশেষ ৬ মানে এক দিন পিছানো: শুক্রবারের আগের দিন বৃহস্পতিবার।
১১৩৩. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত % কমবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক১০%
- খ২০%
- গ৩৬%
- ঘ৪০%
সঠিক উত্তর: গ. ৩৬%
বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। তাই ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের সাথে নয়, ব্যাসার্ধের বর্গের সাথে বদলায়; এটাই প্রশ্নের মূল কথা।
ব্যাসার্ধ ২০ শতাংশ কমলে নতুন ব্যাসার্ধ আগেরটার শূন্য দশমিক আট গুণ। বর্গ নিলে শূন্য দশমিক আট গুণ শূন্য দশমিক আট, মানে শূন্য দশমিক ছয় চার। তাই নতুন ক্ষেত্রফল আগের ৬৪ শতাংশ।
ক্ষেত্রফল কমেছে একশো থেকে ৬৪ বাদে ৩৬ শতাংশ। শর্টকাটে: ২০ এর দ্বিগুণ ৪০ থেকে ২০ এর বর্গকে একশো দিয়ে ভাগ করা ৪ বাদ দিলে ৩৬।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ, যেন ক্ষেত্রফলও ব্যাসার্ধের মতো একই হারে কমে। আর শুধু দ্বিগুণ করে বর্গের অংশটা বাদ দিলে আসে ৪০ শতাংশ।
মনে রাখুন: x% কমলে ক্ষেত্রফল কমে (২x − x² ÷ ১০০)% = ৪০ − ৪ = ৩৬%।
১১৩৪. 261 টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে 1/3 :1/5 :1/9 অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক45
- খ81
- গ90
- ঘ135
সঠিক উত্তর: ঘ. 135
ভগ্নাংশে দেওয়া অনুপাতকে আগে পূর্ণসংখ্যায় আনতে হয়। নিয়ম: হরগুলোর লসাগু দিয়ে প্রতিটি ভগ্নাংশ গুণ করুন; সবগুলো একই সংখ্যায় গুণ হয় বলে অনুপাত বদলায় না।
হর ৩, ৫ আর ৯ এর লসাগু ৪৫। তিন ভাগের এক কে ৪৫ দিয়ে গুণ করলে ১৫, পাঁচ ভাগের এক কে করলে ৯, নয় ভাগের এক কে করলে ৫। অনুপাত দাঁড়ায় ১৫, ৯ আর ৫; মোট ২৯ ভাগ।
২৬১ কে ২৯ দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ভাগে ৯টি আম। প্রথম ভাই পাবেন ১৫ ভাগ, মানে ১৩৫টি; দ্বিতীয় ভাই ৮১টি, তৃতীয় ভাই ৪৫টি।
ফাঁদ হলো হর দেখে অনুপাত ৩, ৫, ৯ ধরে ফেলা; তখন প্রথম ভাই সবচেয়ে কম পান। আসলে তিন ভাগের এক সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ, তাই প্রথম ভাইয়ের ভাগই সবচেয়ে বড়।
মনে রাখুন: প্রথম ভাইয়ের ভাগ = ২৬১ × ১৫ ÷ ২৯ = ৯ × ১৫ = ১৩৫।
১১৩৫. x² – 3x + 1 = 0 হলে (x² – 1/x²) এর মান কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক5√3
- খ3√5
- গ4√5
- ঘ6√5
সঠিক উত্তর: খ. 3√5
এ ধরনের প্রশ্নে x এর মান আলাদা করে বের করার দরকার নেই। সমীকরণকে x দিয়ে ভাগ করলেই x আর তার উল্টো সংখ্যার যোগফল পাওয়া যায়, আর সেখান থেকে বাকি সব রাশি।
x এর বর্গ বিয়োগ তিন x যোগ এক সমান শূন্য, একে x দিয়ে ভাগ করলে পাই: x আর x ভাগের এক এর যোগফল ৩।
বিয়োগফলের বর্গ হলো যোগফলের বর্গ থেকে ৪ কম, কারণ x আর x ভাগের এক এর গুণফল ১। তাই বিয়োগফলের বর্গ ৯ থেকে ৪ বাদে ৫, আর বিয়োগফল ৫ এর বর্গমূল।
নির্ণেয় রাশিটি দুই বর্গের অন্তর, যা যোগফল আর বিয়োগফলের গুণফল: ৩ গুণ ৫ এর বর্গমূল, অর্থাৎ তিন রুট পাঁচ। কঠোরভাবে বিয়োগফল ঋণাত্মকও হতে পারে, কিন্তু বিকল্পে শুধু ধনাত্মক মানটা আছে।
ফাঁদ হলো পাঁচ রুট তিন, যেখানে ৩ আর ৫ এর জায়গা উল্টে গেছে।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে x² − ১/x² = a√(a² − ৪) = ৩√(৯ − ৪) = ৩√৫।
১১৩৬. x² – 5x + 6 < 0 হলে- (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক2 < x < 3
- খ-3 < x < -2
- গx < 2
- ঘx < 3
সঠিক উত্তর: ক. 2 < x < 3
দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের নিয়ম: আগে রাশিটাকে উৎপাদকে ভাঙুন, মূল দুটি বের করুন। x এর বর্গের সহগ ধনাত্মক হলে রাশিটা মূল দুটির মাঝখানে ঋণাত্মক, আর বাইরে ধনাত্মক।
x এর বর্গ বিয়োগ পাঁচ x যোগ ছয় ভাঙলে হয় x বিয়োগ ২ আর x বিয়োগ ৩ এর গুণফল। মূল দুটি ২ আর ৩।
গুণফল শূন্যের চেয়ে ছোট হতে হলে একটি গুণনীয়ক ধনাত্মক আর অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে। তা হয় কেবল যখন x, ২ এর চেয়ে বড় কিন্তু ৩ এর চেয়ে ছোট। যাচাই: x সমান আড়াই বসালে মান হয় ঋণাত্মক চার ভাগের এক।
ফাঁদ হলো শুধু x, ৩ এর চেয়ে ছোট বা ২ এর চেয়ে ছোট বলা। x সমান শূন্য বসালে রাশির মান ৬, যা ধনাত্মক; তাই ওই বিকল্প দুটি খাটে না।
মনে রাখুন: x² এর সহগ ধনাত্মক হলে: “< ০” মানে মূলের মাঝে, “> ০” মানে মূলের বাইরে।
১১৩৭. logₓ(3/2) = -1/2 হলে, x এর মান- (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক4/9
- খ9/4
- গ√(3/2)
- ঘ√(⅔)
সঠিক উত্তর: ক. 4/9
লগারিদমের সংজ্ঞাই এখানে চাবি: x ভিত্তিক লগে কোনো সংখ্যার মান k হলে, x এর ঘাত k সমান সেই সংখ্যা। তাই লগের সমীকরণকে ঘাতের সমীকরণে বদলে নিন।
এখানে x এর ঘাত ঋণাত্মক অর্ধেক সমান দুই ভাগের তিন। ঋণাত্মক অর্ধেক ঘাত মানে বর্গমূলের উল্টো, অর্থাৎ x এর বর্গমূলের উল্টো সংখ্যা দুই ভাগের তিন।
উল্টে নিলে x এর বর্গমূল তিন ভাগের দুই, আর বর্গ করলে x সমান নয় ভাগের চার। যাচাই: নয় ভাগের চার এর বর্গমূল তিন ভাগের দুই, তার উল্টো দুই ভাগের তিন।
ফাঁদ হলো চার ভাগের নয়। ঋণাত্মক চিহ্নটা উপেক্ষা করলে, মানে উল্টো না নিলে, এই উত্তর আসে।
মনে রাখুন: x = (৩/২)^(−২) = (২/৩)² = ৪/৯: লগের মানের উল্টো ঘাতে সংখ্যাটা তুলুন।
১১৩৮. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক35√5
- খ40√5
- গ45√5
- ঘ50√5
সঠিক উত্তর: ঘ. 50√5
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ তাকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে ভাগ করে। প্রতিটি ত্রিভুজে কর্ণ হলো অতিভুজ, আর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দুটি লম্ব বাহু। তাই পিথাগোরাস দিয়ে অজানা বাহুটা বের করা যায়।
কর্ণের বর্গ ২২৫, প্রস্থের বর্গ ১০০। দৈর্ঘ্যের বর্গ হলো ২২৫ থেকে ১০০ বাদে ১২৫।
১২৫ হলো ২৫ গুণ ৫, তাই এর বর্গমূল পাঁচ রুট পাঁচ মিটার; এটাই দৈর্ঘ্য। ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, মানে পাঁচ রুট পাঁচ গুণ ১০, অর্থাৎ পঞ্চাশ রুট পাঁচ বর্গমিটার।
বিকল্পগুলোর সবাই রুট পাঁচের গুণিতক, তাই বর্গমূল সরল করার ধাপটা নিখুঁত হওয়া চাই। ১২৫ কে ২৫ আর ৫ এ ভাঙুন; ২৫ এর বর্গমূল ৫ বাইরে আসে।
মনে রাখুন: ক্ষেত্রফল = প্রস্থ × √(কর্ণ² − প্রস্থ²) = ১০ × √১২৫ = ৫০√৫।
১১৩৯. A = {x|x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x²<25}, B = {x|x মৌলিক সংখ্যা এবং x²<25}, C = {x|x মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং x²=25}, হলে, A∩B∩C =? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক{1,2,3,4}
- খ{2,3,4}
- গ∅
সঠিক উত্তর: গ. ∅
ছেদ সেট মানে যে উপাদান সবগুলো সেটে একসাথে আছে। তাই আগে প্রতিটি সেটের উপাদান তালিকা করে নিন, তারপর মিল খুঁজুন।
A তে আছে সেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাদের বর্গ ২৫ এর ছোট: ১, ২, ৩, ৪। পাঁচের বর্গ ঠিক ২৫, ছোট নয়, তাই ৫ বাদ। B তে একই শর্তের মৌলিক সংখ্যা: শুধু ২ আর ৩, কারণ ১ আর ৪ মৌলিক নয়।
C তে সেই মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ঠিক ২৫: শুধু ৫। A আর B এর সাধারণ উপাদান ২ ও ৩, যা C তে নেই। তাই তিন সেটের ছেদ ফাঁকা সেট।
ফাঁদ হলো শুধু A আর B দেখে উত্তর দেওয়া। দুই সেটের ছেদ ২ আর ৩, কিন্তু C যোগ হতেই সব বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: C তে শুধু ৫, অথচ A তে ৫ নেই (৫² = ২৫, ২৫ এর ছোট নয়); তাই ছেদ সরাসরি ∅।
১১৪০. একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক2/3
- খ1/3
- গ3/4
- ঘ1/4
সঠিক উত্তর: ক. 2/3
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ। “না হওয়ার” সম্ভাবনা চাইলে হয় সরাসরি বাকিগুলো গুনুন, নয়তো এক থেকে “হওয়ার” সম্ভাবনা বাদ দিন।
থলিতে মোট বল ৬ যোগ ৮ যোগ ১০, অর্থাৎ ২৪টি। সাদা নয় এমন বল হলো নীল ৬টি আর কালো ১০টি, মোট ১৬টি।
তাই সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা চব্বিশ ভাগের ষোলো, সরল করলে তিন ভাগের দুই। অন্যভাবে, সাদা হওয়ার সম্ভাবনা চব্বিশ ভাগের আট বা তিন ভাগের এক, এক থেকে বাদ দিলে তিন ভাগের দুই।
ফাঁদ হলো তিন ভাগের এক, যা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা। প্রশ্নে “না” শব্দটা খেয়াল করুন।
মনে রাখুন: P(না হওয়া) = ১ − P(হওয়া) = ১ − ৮/২৪ = ২/৩।