গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৫৬
১১০১. ∆ABC এ ∠B=90°, যদি AC=2AB হয় তবে, ∠C এর মান কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
- ক45°
- খ22.5°
- গ30°
- ঘ60°
সঠিক উত্তর: গ. 30°
সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহু হলো অতিভুজ, সবচেয়ে বড় বাহু। এখানে কোণ B সমকোণ, তাই AC অতিভুজ।
কোণ C এর বিপরীত বাহু AB। কোনো কোণের সাইন হলো বিপরীত বাহুকে অতিভুজ দিয়ে ভাগ। AC যেহেতু AB এর দ্বিগুণ, তাই সাইন C হলো দুই ভাগের এক।
যে কোণের সাইন দুই ভাগের এক, সেটি ৩০ ডিগ্রি। মনে রাখার নিয়ম: ৩০, ৬০, ৯০ ত্রিভুজে ৩০ ডিগ্রির বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক।
ফাঁদ হলো ৬০ ডিগ্রি, যা আসলে কোণ A। AB বাহুটা কোণ A এর সংলগ্ন, আর কোণ C এর বিপরীতে; কোন বাহু কোন কোণের বিপরীতে, আগে ঠিক করে নিন।
মনে রাখুন: অতিভুজ কোনো বাহুর দ্বিগুণ হলে সেই বাহুর বিপরীত কোণ ৩০°।
১১০২. সেট A = {x: x Fibonacci সংখ্যা এবং x²<64} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
- ক128
- খ32
- গ64
- ঘ256
সঠিক উত্তর: খ. 32
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার শক্তি সেটে, অর্থাৎ সব উপসেটের সেটে, উপাদান থাকে ২ এর ঘাত n টি। তাই আগে A তে কয়টি উপাদান, সেটা নিখুঁতভাবে গুনতে হবে।
x এর বর্গ ৬৪ এর ছোট মানে x, ৮ এর ছোট। ফিবোনাচ্চি ধারা শূন্য, এক, এক, দুই, তিন, পাঁচ, আট, এভাবে চলে; প্রতিটি পদ আগের দুটি পদের যোগফল। ৮ এর ছোট পদগুলো শূন্য, এক, দুই, তিন আর পাঁচ।
সেটে একই উপাদান একবারই গোনা হয়, তাই ধারায় দুবার আসা ১ সেটে একবার। A তে উপাদান ৫টি, আর শক্তি সেটে ২ এর ঘাত পাঁচ, অর্থাৎ ৩২টি।
এখানে শূন্যকে ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ধরা হয়েছে, যা আধুনিক সংজ্ঞায় প্রচলিত। শূন্য বাদ দিলে উত্তর হতো ১৬, যা বিকল্পে নেই। আর ১ কে দুবার গুনলে আসে ৬৪, এটাই মূল ফাঁদ।
মনে রাখুন: n উপাদানের সেটের উপসেট ২ⁿ টি; ২⁵ = ৩২, ২⁶ = ৬৪, ২⁷ = ১২৮, ২⁸ = ২৫৬।
১১০৩. ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
- ক5/11
- খ1/2
- গ3/5
- ঘ6/11
সঠিক উত্তর: ক. 5/11
“অথবা” থাকলে দুই ঘটনার অনুকূল ফলাফল একসাথে গুনতে হয়, তবে কোনো সংখ্যা দুই দলেই থাকলে তাকে একবারই গুনতে হবে। তারপর মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ।
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত, দুই প্রান্তসহ, মোট ১১টি সংখ্যা। এর মধ্যে মৌলিক শুধু ৩১ আর ৩৭; ৩৩, ৩৯ তিন দিয়ে আর ৩২, ৩৪, ৩৬, ৩৮ দুই দিয়ে বিভাজ্য।
৫ এর গুণিতক ৩০, ৩৫ আর ৪০, মোট ৩টি। এদের কোনোটি মৌলিক নয়, তাই দুই দলে মিল নেই। অনুকূল সংখ্যা ২ যোগ ৩, মোট ৫টি, আর সম্ভাবনা এগারো ভাগের পাঁচ।
ভুল হয় মোট সংখ্যা ১০ ধরলে, কারণ ৪০ বিয়োগ ৩০ সমান ১০; কিন্তু দুই প্রান্তসহ গুনলে ১১। প্রান্ত বাদ পড়লে মৌলিক বা গুণিতকও বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: a থেকে b পর্যন্ত দুই প্রান্তসহ সংখ্যা b − a + ১ টি; এখানে ১১।
১১০৪. কোন আসল 3 বছরের মুনাফা-আসলে 5500 টাকা হয়। মুনাফা আসলের 3/8 অংশ হলে, মুনাফার হার কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
- ক10%
- খ12.5%
- গ15%
- ঘ12%
সঠিক উত্তর: খ. 12.5%
প্রশ্নটা সরল মুনাফার হার বের করতে বলছে। সরল মুনাফায় মুনাফা সমান আসল গুণ হার গুণ সময়, তাই হার পেতে মুনাফাকে আসল আর সময়ের গুণফল দিয়ে ভাগ করতে হয়।
মুনাফা আসলের আট ভাগের তিন, তাই মুনাফা-আসল হলো আসলের আট ভাগের এগারো। আসলকে ৮ ভাগ ধরলে মুনাফা-আসল ১১ ভাগ, যা ৫৫০০ টাকা; তাই এক ভাগ ৫০০ টাকা, আসল ৪০০০ টাকা আর মুনাফা ১৫০০ টাকা।
তিন বছরে ১৫০০ টাকা মানে বছরে ৫০০ টাকা। ৪০০০ টাকায় বছরে ৫০০ টাকা মুনাফা হলো ১২ দশমিক পাঁচ শতাংশ। আরও দ্রুত পথ: আট ভাগের তিন মানে ৩৭ দশমিক পাঁচ শতাংশ, তাকে তিন বছরে ভাগ করলে বছরে ১২ দশমিক পাঁচ শতাংশ।
ফাঁদ হলো সময় দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া, অথবা মুনাফা-আসলের উপর হার ধরা। হার সবসময় আসলের উপর, আর এক বছরের জন্য।
মনে রাখুন: হার = (মুনাফার ভগ্নাংশ ÷ সময়) × ১০০ = (৩/৮ ÷ ৩) × ১০০ = ১২.৫%। ৫৫০০ টাকার তথ্য আসলে লাগেই না।
১১০৫. A = হলে, P(A)এর সদস্য সংখ্যা কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক8
- খ7
- গ6
- ঘ3
সঠিক উত্তর: ক. 8
শক্তি সেট মানে কোনো সেটের সব উপসেট নিয়ে গঠিত সেট, ফাঁকা সেট আর সেটটা নিজেও তার মধ্যে থাকে।
n সদস্যের সেটের প্রতিটা সদস্যের জন্য দুটো পথ: উপসেটে থাকবে, নয়তো থাকবে না। তাই মোট উপসেট ২ গুণ ২ গুণ ২ এভাবে n বার, মানে ২ এর ঘাত n।
প্রশ্নপাঠে সেট A এর সদস্যগুলো হারিয়ে গেছে, কিন্তু উত্তরটা শক্তি সেটের সদস্যসংখ্যা, যা অবশ্যই ২ এর কোনো ঘাত। বিকল্পগুলোর মধ্যে কেবল ৮ হলো ২ এর ঘাত, ২ এর ঘন; তাই A তিন সদস্যের আর উত্তর ৮।
ফাঁদ হলো ৭, যা ফাঁকা সেট বাদ দিয়ে উপসেট গুনলে আসে। আর ৩ হলো A এর নিজের সদস্যসংখ্যা, শক্তি সেটের নয়।
মনে রাখুন: শক্তি সেটের সদস্যসংখ্যা সবসময় ২ এর ঘাত: ১, ২, ৪, ৮, ১৬...
১১০৬. 12টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক252
- খ792
- গ224
- ঘ120
সঠিক উত্তর: ঘ. 120
এটা শর্তযুক্ত বাছাইয়ের প্রশ্ন। যে জিনিস সর্বদা থাকবে, তাকে আগেই বেছে রাখুন; তারপর বাকি জায়গা বাকি জিনিস থেকে পূরণ করুন।
২টি বই সবসময় থাকবে, তাই সেগুলো নিয়ে রাখি। এখন বাকি থাকে ১০টি বই, আর বাছতে হবে ৫ বিয়োগ ২, মানে ৩টি।
১০টি থেকে ৩টি বাছাই: ১০ গুণ ৯ গুণ ৮ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ৭২০ ভাগ ৬, অর্থাৎ ১২০।
৭৯২ আসে শর্ত ভুলে ১২টি থেকে ৫টি বাছলে, আর ২৫২ আসে বাকি ১০টি থেকে পুরো ৫টি বাছলে; দুটোই সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k টি থাকলে ⁿ⁻ᵏCᵣ₋ₖ: ¹⁰C₃ = ১২০।
১১০৭. আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী -২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক1
- খ5/7
- গ2/7
- ঘ1/7
সঠিক উত্তর: গ. 2/7
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ঘটনার সংখ্যা ভাগ মোট সমান সম্ভাব্য ঘটনার সংখ্যা। এখানে মোট ঘটনা সপ্তাহের ৭ দিন।
৭ দিনের ৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে, তাই বৃষ্টি হয়নি ২ দিন। কোন দিনগুলোতে বৃষ্টি হয়েছে জানা নেই, তাই প্রতিটা দিনের সমান সুযোগ।
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার জন্য বুধবারকে ওই ২ দিনের একটা হতে হবে। তাই সম্ভাবনা সাত ভাগের দুই।
ফাঁদ হলো সাত ভাগের পাঁচ, যা বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা। প্রশ্নে “না হওয়ার” শব্দটা খেয়াল করুন; দুটো যোগ করলে সবসময় ১ হয়।
মনে রাখুন: না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ − হওয়ার সম্ভাবনা = ১ − ৫/৭ = ২/৭।
১১০৮. ৩৫০ টাকা দরে ৩ কেজি মিষ্টি কিনে ৪ টাকা হারে ভ্যাট দিলে মোট কত ভ্যাট দিতে হবে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক১৪ টাকা
- খ৪২ টাকা
- গ১২ টাকা
- ঘ১০৫ টাকা
সঠিক উত্তর: খ. ৪২ টাকা
প্রশ্নটা ভ্যাট বা মূল্য সংযোজন কর হিসাব যাচাই করছে। ভ্যাট ধরা হয় মোট বিক্রয়মূল্যের উপর, আর “৪ টাকা হারে” মানে প্রতি ১০০ টাকায় ৪ টাকা, অর্থাৎ ৪ শতাংশ।
আগে মোট দাম: প্রতি কেজি ৩৫০ টাকা, ৩ কেজির দাম ১০৫০ টাকা।
এবার ১০৫০ টাকার ৪ শতাংশ: ১০৫০ কে ৪ দিয়ে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ, মানে ৪২ টাকা।
১৪ টাকা হলো মাত্র ১ কেজির ভ্যাট, আর ১২ টাকা আসে কেজিপ্রতি ৪ টাকা ধরে নিলে। শতকরা হার মোট দামের উপর বসাতে হয়।
মনে রাখুন: প্রতি ১০০ তে ৪ মানে প্রতি ১০০০ এ ৪০ আর ৫০ এ ২: ১০৫০ এ ৪২।
১১০৯. যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক১৬%
- খ২০%
- গ২৫%
- ঘ২৪%
সঠিক উত্তর: খ. ২০%
এটা দাম আর ব্যবহারের প্রশ্ন, যেখানে মোট ব্যয় স্থির রাখতে হবে। ব্যয় সমান দাম গুণ পরিমাণ, তাই দাম বাড়লে পরিমাণ কমাতে হয়।
ধরি আগে ১০০ ইউনিট তেল লাগত, আর দাম ছিল ১০০। দাম ২৫ শতাংশ বেড়ে ১২৫ হলে, আগের সমান টাকায় পাওয়া যায় আগের পরিমাণের একশো পঁচিশ ভাগের একশো, মানে পাঁচ ভাগের চার অংশ, অর্থাৎ ৮০ ইউনিট।
তাই ব্যবহার ১০০ থেকে ৮০ তে নামাতে হবে, মানে ২০ শতাংশ কমাতে হবে। হিসাবটা হলো বৃদ্ধি ২৫ কে নতুন দাম ১২৫ দিয়ে ভাগ, গুণ ১০০।
বড় ফাঁদ হলো ২৫ শতাংশ, কারণ মনে হয় যত বাড়ল ততই কমাতে হবে। কিন্তু কমানোর হিসাব হয় নতুন বড় দামের উপর, তাই শতাংশ কম আসে।
মনে রাখুন: দাম r% বাড়লে ব্যবহার কমাতে হয় r ÷ (১০০ + r) × ১০০ = ২৫ ÷ ১২৫ × ১০০ = ২০%।
১১১০. দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ. সা. গু ১৩। সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক২৬০
- খ৭৮০
- গ১৩০
- ঘ৪৯০
সঠিক উত্তর: ক. ২৬০
প্রশ্নটা গসাগু আর লসাগুর মৌলিক সম্পর্ক যাচাই করছে: দুটি সংখ্যার গুণফল সমান তাদের গসাগু গুণ লসাগু।
তাই লসাগু সমান গুণফল ভাগ গসাগু, মানে ৩৩৮০ ভাগ ১৩, অর্থাৎ ২৬০।
যাচাই: সংখ্যা দুটো যেমন ৫২ আর ৬৫ হতে পারে; গুণফল ৩৩৮০, গসাগু ১৩, আর লসাগু ২৬০।
দ্রুত বাদ দেওয়ার উপায়: লসাগু অবশ্যই গসাগুর গুণিতক, তাই ১৩ দিয়ে ভাগ যেতে হবে; ৪৯০ ভাগ যায় না। ১৩০ বা ৭৮০ কে ১৩ দিয়ে গুণ করলে ৩৩৮০ আসে না।
মনে রাখুন: লসাগু = গুণফল ÷ গসাগু; ৩৩৮০ ÷ ১৩ = ২৬০।
১১১১. 1 + 3 + 5 +……….. + (2x – 1) কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- কx(x – 1)
- খx(x + 1)/2
- গx(x + 1)
- ঘx²
সঠিক উত্তর: ঘ. x²
প্রশ্নটা প্রথম কয়েকটি বিজোড় সংখ্যার যোগফলের সূত্র যাচাই করছে। ১ থেকে শুরু করে ২x বিয়োগ ১ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা ঠিক x টি, কারণ k তম বিজোড় সংখ্যা হলো ২k বিয়োগ ১।
সমান্তর ধারার যোগফল সমান পদসংখ্যা গুণ প্রথম ও শেষ পদের গড়। প্রথম পদ ১, শেষ পদ ২x বিয়োগ ১, গড় x। তাই যোগফল x গুণ x, মানে x এর বর্গ।
ছোট সংখ্যায় যাচাই করুন: ১ সমান ১, ১ যোগ ৩ সমান ৪, ১ যোগ ৩ যোগ ৫ সমান ৯। সবগুলোই বর্গসংখ্যা।
x গুণ x যোগ ১ এর অর্ধেক হলো ১ থেকে x পর্যন্ত সব স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল, আর x গুণ x যোগ ১ হলো প্রথম x টি জোড় সংখ্যার যোগফল। এই দুটো সূত্রের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলাই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: x = ১ বসান: যোগফল ১; বিকল্পে শুধু x² আর x(x + ১)/২ তে ১ আসে, x = ২ এ ৪ আসে শুধু x² এ।
১১১২. log_√3 81 কত? (ভিত্তি √3) (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক4
- খ273
- গ8
- ঘ18
সঠিক উত্তর: গ. 8
প্রশ্নে ভিত্তি হলো ৩ এর বর্গমূল আর সংখ্যা ৮১। মানে খুঁজতে হবে, ৩ এর বর্গমূলকে কোন ঘাতে তুললে ৮১ হয়।
দুটোকেই ৩ এর ঘাত হিসেবে লিখি। ৩ এর বর্গমূল হলো ৩ এর ঘাত অর্ধেক, আর ৮১ হলো ৩ এর চতুর্থ ঘাত।
ধরি উত্তর k। তাহলে ৩ এর ঘাত অর্ধেক k সমান ৩ এর ঘাত ৪, তাই অর্ধেক k সমান ৪, অর্থাৎ k সমান ৮। যাচাই: ৩ এর বর্গমূলের ৮ ঘাত মানে ৩ এর চতুর্থ ঘাত, ৮১।
ফাঁদ হলো ৪, যা ভিত্তি ৩ ধরে লগ করলে আসে; ভিত্তি ৩ এর বর্গমূল হওয়ায় উত্তর দ্বিগুণ হয়।
মনে রাখুন: ভিত্তি √a হলে লগ দ্বিগুণ: log₃৮১ = ৪, তাই log√৩ ৮১ = ৮।
১১১৩. যদি (25)²ˣ⁺³ = 5³ˣ⁺⁶ হয় তবে x = কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক0
- খ1
- গ-1
- ঘ4
সঠিক উত্তর: ক. 0
সূচকের সমীকরণে কৌশল হলো দুই পাশকে একই ভিত্তিতে আনা। ভিত্তি সমান হলে ঘাতগুলোও সমান হতে হবে।
২৫ হলো ৫ এর বর্গ। তাই ২৫ এর ঘাত ২x যোগ ৩ মানে ৫ এর ঘাত ২ গুণ ২x যোগ ৩, অর্থাৎ ৫ এর ঘাত ৪x যোগ ৬।
এখন ৫ এর ঘাত ৪x যোগ ৬ সমান ৫ এর ঘাত ৩x যোগ ৬, তাই ৪x যোগ ৬ সমান ৩x যোগ ৬, অর্থাৎ x সমান শূন্য।
যাচাই: x শূন্য হলে বাম পাশ ২৫ এর ঘন, ডান পাশ ৫ এর ষষ্ঠ ঘাত; দুটোই ১৫৬২৫। ঘাতকে ২ দিয়ে গুণ করতে ভুলে গেলে সমীকরণ মেলে না, এটাই সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: ভিত্তি এক করে ঘাত মেলান: ২(২x + ৩) = ৩x + ৬ ⇒ x = ০।
১১১৪. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক24
- খ8
- গ16
- ঘ32
সঠিক উত্তর: গ. 16
প্রশ্নে “বর্ণের” আসলে “কর্ণের” ছাপার ভুল। প্রশ্নটা বর্গের বাহু আর কর্ণের সম্পর্ক যাচাই করছে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে, বাহু a হলে কর্ণের বর্গ সমান a এর বর্গ যোগ a এর বর্গ, মানে কর্ণ সমান a গুণ ২ এর বর্গমূল।
এখানে কর্ণ ৪ গুণ ২ এর বর্গমূল, তাই বাহু ৪। ক্ষেত্রফল ৪ গুণ ৪, মানে ১৬ বর্গ একক।
আরেক সূত্র: ক্ষেত্রফল সমান কর্ণের বর্গের অর্ধেক। কর্ণের বর্গ ৩২, তার অর্ধেক ১৬। অর্ধেক করতে ভুলে গেলেই ৩২ আসে, এটাই প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: বর্গের ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)² ÷ ২ = ৩২ ÷ ২ = ১৬।
১১১৫. △ABC – ∠A = 40°, ∠B = 70°, হলে △ABC কি ধরনের ত্রিভুজ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- কসমকোণী
- খস্থুলকোণী
- গসমদ্বিবাহু
- ঘসমবাহু
সঠিক উত্তর: গ. সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজের শ্রেণিবিভাগ দুইভাবে হয়: কোণ দেখে, যেমন সমকোণী, স্থূলকোণী, সূক্ষ্মকোণী; আর বাহু দেখে, যেমন সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু। এখানে প্রথমে তৃতীয় কোণটা দরকার।
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি। তাই কোণ C সমান ১৮০ বিয়োগ ৪০ বিয়োগ ৭০, মানে ৭০ ডিগ্রি।
কোণ B আর কোণ C দুটোই ৭০ ডিগ্রি। ত্রিভুজে দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহু দুটিও সমান, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
এটা সমকোণী নয়, কারণ কোনো কোণ ৯০ নয়; স্থূলকোণী নয়, কারণ কোনো কোণ ৯০ এর বেশি নয়; সমবাহু নয়, কারণ তাতে তিন কোণই ৬০ হতো। কোণের দিক থেকে এটা আসলে সূক্ষ্মকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
মনে রাখুন: দুটি কোণ সমান দেখলেই সমদ্বিবাহু; ৪০ + ৭০ = ১১০, বাকি ৭০।
১১১৬. x² + y² = 185, x – y = 3 এর একটি সমাধান হল: (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক(7,4)
- খ(9,6)
- গ(10,7)
- ঘ(11,8)
সঠিক উত্তর: ঘ. (11,8)
এমন প্রশ্নে সমীকরণ সমাধানের চেয়ে বিকল্প বসিয়ে যাচাই করা দ্রুত। খেয়াল করুন, চারটি বিকল্পেই x বিয়োগ y সমান ৩, তাই প্রথম শর্ত কিছু বাদ দেয় না।
এখন দ্বিতীয় শর্ত x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১৮৫ দেখি। ৭ আর ৪ এ পাই ৪৯ যোগ ১৬ সমান ৬৫। ৯ আর ৬ এ ১১৭। ১০ আর ৭ এ ১৪৯।
১১ আর ৮ এ পাই ১২১ যোগ ৬৪, মানে ১৮৫। তাই সমাধান ১১, ৮।
বীজগণিত দিয়েও করা যায়: x বিয়োগ y এর বর্গ ৯, তাই দুই xy সমান ১৮৫ বিয়োগ ৯, মানে ১৭৬, আর xy সমান ৮৮; ১১ গুণ ৮ সমান ৮৮।
মনে রাখুন: (x − y)² = ৯ ⇒ xy = (১৮৫ − ৯)/২ = ৮৮ = ১১ × ৮।
১১১৭. x – 1/x = 1, x³ – 1/x³ = ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক1
- খ2
- গ3
- ঘ4
সঠিক উত্তর: ঘ. 4
প্রশ্নটা ঘনের একটা সূত্র যাচাই করছে: a বিয়োগ b এর ঘন সমান a এর ঘন বিয়োগ b এর ঘন বিয়োগ তিন ab গুণ a বিয়োগ b। এখানে a হলো x, আর b হলো x ভাগের এক।
সুবিধা হলো a আর b এর গুণফল ১। পার্থক্য x বিয়োগ x ভাগের এক কে k বলি। সূত্র উল্টে লিখলে x এর ঘন বিয়োগ x এর ঘন ভাগের এক সমান k এর ঘন যোগ তিন k।
এখানে k সমান ১, তাই পাই ১ এর ঘন যোগ ৩ গুণ ১, মানে ১ যোগ ৩, অর্থাৎ ৪।
সাধারণ ভুল হলো শুধু k এর ঘন নিয়ে উত্তর ১ বলা, যেন ঘনের পার্থক্য আর পার্থক্যের ঘন একই জিনিস। মাঝের তিন k অংশটা ভুলবেন না।
মনে রাখুন: x − ১/x = k হলে x³ − ১/x³ = k³ + ৩k; k = ১ ⇒ ৪।
১১১৮. ১ + ৫ + ৯ + - - - - + ৮১ = ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক৯৬১
- খ৮৬১
- গ৭৬১
- ঘ৬৬১
সঠিক উত্তর: খ. ৮৬১
এটা সমান্তর ধারার যোগফলের প্রশ্ন। ধারাটা ১ থেকে শুরু, প্রতিবার ৪ করে বাড়ে, শেষ হয় ৮১ তে।
আগে পদসংখ্যা বের করি: শেষ পদ বিয়োগ প্রথম পদ, ভাগ সাধারণ অন্তর, যোগ ১। মানে ৮০ ভাগ ৪ সমান ২০, যোগ ১, মোট ২১টি পদ।
যোগফল সমান পদসংখ্যা গুণ প্রথম ও শেষ পদের গড়। গড় হলো ১ যোগ ৮১ এর অর্ধেক, মানে ৪১। তাই যোগফল ২১ গুণ ৪১, অর্থাৎ ৮৬১।
সাধারণ ভুল হলো পদসংখ্যায় ১ যোগ করতে ভুলে যাওয়া; তখন ২০ গুণ ৪১ সমান ৮২০ আসে।
মনে রাখুন: যোগফল = পদসংখ্যা × মাঝের পদ = ২১ × ৪১ = ৮৬১।
১১১৯. √15.6025 = ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক3.85
- খ3.75
- গ3.95
- ঘ3.65
সঠিক উত্তর: গ. 3.95
দশমিক সংখ্যার বর্গমূলের প্রশ্নে বিকল্প থেকে বাছার দুটো দ্রুত সংকেত আছে: শেষ অঙ্ক আর আনুমানিক মান।
১৫ দশমিক ছয় শূন্য দুই পাঁচ এর শেষ অঙ্ক ৫, তাই বর্গমূলের শেষ অঙ্কও ৫; চারটা বিকল্পেই তা মেলে, তাই আনুমানিক মান দেখতে হবে। ৪ এর বর্গ ১৬, যা ১৫ দশমিক ৬ এর চেয়ে একটু বেশি; তাই উত্তর ৪ এর একটু নিচে।
৩ দশমিক ৯৫ এর বর্গ: ৩৯৫ গুণ ৩৯৫ সমান ১৫৬০২৫, দশমিকের পর ৪ ঘর রাখলে ১৫ দশমিক ছয় শূন্য দুই পাঁচ। মিলে গেল।
শেষে ৫ থাকা সংখ্যার বর্গের দ্রুত নিয়ম: ৩৯৫ এর বর্গ মানে ৩৯ গুণ ৪০ সমান ১৫৬০, পেছনে ২৫ বসান। ৩ দশমিক ৮৫ এর বর্গ মাত্র ১৪ দশমিক ৮২, অনেক কম।
মনে রাখুন: ৫ দিয়ে শেষ সংখ্যার বর্গ: n৫² = n × (n + ১) এর পরে ২৫; ৩৯ × ৪০ = ১৫৬০ → ১৫৬০২৫।
১১২০. দুটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
- ক৪
- খ৭
- গ৮
- ঘছেদ করে না
সঠিক উত্তর: ঘ. ছেদ করে না
প্রশ্নটা জ্যামিতির একটা মৌলিক সংজ্ঞা যাচাই করছে। একই সমতলে থাকা দুটি সরলরেখা যদি কখনো না মেলে, তাদের বলে সমান্তরাল রেখা।
সমান্তরাল রেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব সব জায়গায় সমান থাকে। রেখা দুটিকে দুই দিকে যত দূরই বাড়ানো হোক, দূরত্ব কমে না, তাই তারা কোনো বিন্দুতে মিলিত হয় না। ছেদবিন্দুর সংখ্যা শূন্য।
তুলনার জন্য মনে রাখুন: দুটি ভিন্ন সরলরেখা ছেদ করলে ঠিক একটি বিন্দুতেই ছেদ করে, কখনো দুই বা তার বেশি বিন্দুতে নয়। আর একটি রেখা অন্যটির উপর পুরোপুরি পড়ে গেলে তাদের সাধারণ বিন্দু অসংখ্য।
তাই চার, সাত বা আট, কোনো সংখ্যাই দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দুর সংখ্যা হতে পারে না; এগুলো শুধু বিভ্রান্ত করার জন্য দেওয়া।
মনে রাখুন: দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু হয় ০, ১ বা অসংখ্য; ২ বা তার বেশি নির্দিষ্ট সংখ্যা কখনো নয়।