গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৫৫

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৫৫/৬৪ · প্রশ্ন ১০৮১–১১০০সব উত্তর দেখান

১০৮১. What percentage of numbers from 1 to 70 has 1 or 9 in the unit digits? (জনতা ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ২০১৭)
1. ক1%
2. খ14%
3. গ20%
4. ঘ21%
সঠিক উত্তর: গ. 20%
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৭০টি সংখ্যার মধ্যে যাদের একক অঙ্ক ১ বা ৯, তাদের গুনতে হবে, তারপর শতকরা হার বের করতে হবে।
প্রতি ১০টি সংখ্যার দলে, যেমন ১ থেকে ১০, ১১ থেকে ২০, একক অঙ্ক ১ আছে একটি আর ৯ আছে একটি, মোট ২টি। ৭০ পর্যন্ত এমন দল ৭টি, তাই মোট ১৪টি সংখ্যা।
১৪ কে ৭০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে হয় ২০ শতাংশ। সহজভাবে বললে, প্রতি ১০টিতে ২টি, মানে ২০ শতাংশ।
ফাঁদ ১৪ শতাংশ: সংখ্যার গণনা ১৪ কেই শতাংশ ধরে নিলে এটা আসে। মোট ১০০টি সংখ্যা নয়, ৭০টি।
মনে রাখুন: প্রতি ১০টি সংখ্যায় দুটি একক অঙ্ক (১ ও ৯) পড়ে: ২ ÷ ১০ = ২০%; পরিসর ১০ এর গুণিতক হলে সরাসরি।
পুরো পাতা ›
১০৮২. A bag contains 2 red, 3 green and 2 blue balls. If two balls are drawn at random, what is the probability that none of the balls drawn is blue? (জনতা ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ২০১৭)
1. ক10/21
2. খ11/21
3. গ2/7
4. ঘ5/7
সঠিক উত্তর: ক. 10/21
থলেতে মোট ২ যোগ ৩ যোগ ২, মানে ৭টি বল। এর মধ্যে নীল নয় এমন বল ৫টি, লাল ২টি আর সবুজ ৩টি।
দুটি বলের কোনোটিই নীল নয়, মানে দুটি বলই ৫টি অ-নীল বল থেকে আসতে হবে। ৫টি থেকে ২টি বাছার উপায় ১০টি, আর ৭টি থেকে ২টি বাছার উপায় ২১টি।
তাই সম্ভাবনা ১০ ভাগ ২১। আরেকভাবে: প্রথম বল অ-নীল হওয়ার সম্ভাবনা ৫ ভাগ ৭, তারপর দ্বিতীয়টি অ-নীল ৪ ভাগ ৬; গুণ করলে ২০ ভাগ ৪২, মানে ১০ ভাগ ২১।
ফাঁদ ৫ ভাগ ৭, যা শুধু একটি বল টানলে প্রযোজ্য। আর ১১ ভাগ ২১ হলো অন্তত একটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা, অর্থাৎ ঠিক উল্টো ঘটনা।
মনে রাখুন: (৫/৭) × (৪/৬) = ২০/৪২ = ১০/২১।
পুরো পাতা ›
১০৮৩. If a series looks like: 1, 1.5, 2.5, 4,........, then which of the following comes next in the sequence? (জনতা ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ২০১৭)
1. ক5
2. খ6
3. গ8
4. ঘ7
সঠিক উত্তর: খ. 6
ধারায় পরপর পদের পার্থক্য দেখলেই নিয়ম ধরা পড়ে। ১ থেকে ১ দশমিক ৫ এ বেড়েছে ০ দশমিক ৫, ১ দশমিক ৫ থেকে ২ দশমিক ৫ এ বেড়েছে ১, আর ২ দশমিক ৫ থেকে ৪ এ বেড়েছে ১ দশমিক ৫।
অর্থাৎ পার্থক্য প্রতিবার ০ দশমিক ৫ করে বাড়ছে: ০ দশমিক ৫, ১, ১ দশমিক ৫। তাই পরের পার্থক্য হবে ২।
পরের পদ তাই ৪ যোগ ২, অর্থাৎ ৬।
অনেকে শেষ পার্থক্য ১ দশমিক ৫ ই আবার যোগ করে ৫ দশমিক ৫ ভাবেন, বা ৪ এর দ্বিগুণ ৮ বেছে নেন; পার্থক্যের ধারাটা লক্ষ করাই মূল কথা।
মনে রাখুন: সব পদকে ২ দিয়ে গুণ করুন: ২, ৩, ৫, ৮; পার্থক্য ১, ২, ৩, পরেরটি ৪, তাই ১২ ÷ ২ = ৬।
পুরো পাতা ›
১০৮৪. In a group of 60 people 27 people like Coca Cola and 42 people like Pepsi Cola. Each person likes at least one of the two drinks. How many of these people like both Coca Cola and Pepsi Cola? (জনতা ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ২০১৭)
1. ক7
2. খ9
3. গ11
4. ঘ13
সঠিক উত্তর: খ. 9
সেটের প্রশ্ন। প্রত্যেকে অন্তত একটি পানীয় পছন্দ করেন, তাই দুই দলের মিলিত সংখ্যা মোট মানুষের সমান, ৬০।
কোকা কোলা পছন্দকারী ২৭ আর পেপসি পছন্দকারী ৪২ যোগ করলে হয় ৬৯। কিন্তু মানুষ আছে মাত্র ৬০ জন; বাড়তি ৯ জন দুবার গোনা হয়েছে, কারণ তারা দুটোই পছন্দ করেন।
সূত্রে: উভয় পছন্দকারী সমান ২৭ যোগ ৪২ বিয়োগ ৬০, অর্থাৎ ৯ জন।
যাচাই: শুধু কোকা কোলা ১৮, শুধু পেপসি ৩৩, উভয় ৯; মোট ৬০। শর্তটা যে প্রত্যেকে অন্তত একটি পছন্দ করেন, তা না থাকলে উত্তর বের করা যেত না।
মনে রাখুন: উভয় = দুই দলের যোগফল − মোট = ৬৯ − ৬০ = ৯।
পুরো পাতা ›
১০৮৫. The equation of the given curve is : (জনতা ব্যাংক: অ্যাসিস্ট্যান্ট এক্সিকিউটিভ অফিসার, ২০১৭)
1. কy = -x
2. খy = 1/x
3. গy = x
4. ঘy = -1
সঠিক উত্তর: খ. y = 1/x
প্রশ্নে একটি বক্ররেখার চিত্র দেওয়া ছিল, এবং তার সমীকরণ চাওয়া হয়েছে। চিত্রটি এখানে নেই, তবে অপশনগুলো থেকেই বোঝা যায় কোনটি বক্ররেখা।
y সমান ঋণাত্মক x, y সমান x, আর y সমান ঋণাত্মক ১, তিনটিই সরলরেখার সমীকরণ। প্রথম দুটি মূলবিন্দু দিয়ে যাওয়া ঢালু রেখা, আর তৃতীয়টি x অক্ষের সমান্তরাল অনুভূমিক রেখা।
y সমান ১ ভাগ x হলো অধিবৃত্ত বা হাইপারবোলা। x যত বাড়ে y তত কমে, কিন্তু কখনো শূন্য হয় না; আর x শূন্যের দিকে গেলে y অসীমে ছোটে। তাই রেখাটি অক্ষ দুটিকে ছোঁয় না, প্রথম ও তৃতীয় চতুর্ভাগে দুটি বাঁকা শাখা থাকে।
চিত্রে এমন দুই শাখার বাঁকা রেখা দেখলে উত্তর y সমান ১ ভাগ x। রেখা সোজা হলে ঢাল ও ছেদবিন্দু দেখে বাকি অপশনগুলোর মধ্যে বাছাই করতে হতো।
মনে রাখুন: x এর ঘাত ১ হলে সরলরেখা; x হরে থাকলে অধিবৃত্ত।
পুরো পাতা ›
১০৮৬. 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক210
2. খ304
3. গ84
4. ঘ120
সঠিক উত্তর: গ. 84
কমিটি গঠনে ক্রম লাগে না, তাই এটা সমাবেশের প্রশ্ন। কোনো নির্দিষ্ট ব্যক্তি সবসময় থাকবেন বললে তাকে আগেই কমিটিতে বসিয়ে দিন; তখন আসনও এক কমে, বাছাইয়ের লোকও এক কমে।
মোট লোক ৪ জন মহিলা আর ৬ জন পুরুষ, অর্থাৎ ১০ জন। নির্দিষ্ট পুরুষকে বসানোর পর বাকি আসন ৩টি, আর বাছাই করতে হবে বাকি ৯ জন থেকে।
৯ জন থেকে ৩ জন বাছাইয়ের উপায় হলো ৯ গুণ ৮ গুণ ৭ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ৫০৪ কে ৬ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৮৪।
ফাঁদ দুটি। শর্ত ভুলে ১০ জন থেকে ৪ জন নিলে আসে ২১০। আর আসন ৩টি ঠিক ধরে নির্দিষ্ট লোককে বাছাইয়ের তালিকায় রেখে দিলে আসে ১২০।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k জন সবসময় থাকলে: ⁽ⁿ⁻ᵏ⁾C₍ᵣ₋ₖ₎ = ⁹C₃ = ৮৪।
পুরো পাতা ›
১০৮৭. টাকায় 5টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক4 টি
2. খ3 টি
3. গ2 টি
4. ঘকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ক. 4 টি
এখানে দাম নয়, এক টাকায় কয়টা বিক্রি করতে হবে সেটা চাওয়া হয়েছে। মূল কথা: টাকার পরিমাণ এক থাকলে বিক্রির সংখ্যা আর প্রতিটির বিক্রয়মূল্য ব্যস্তানুপাতিক; প্রতিটির দাম বাড়াতে চাইলে টাকায় কম সংখ্যা দিতে হয়।
প্রতিটির ক্রয়মূল্য একশো ধরি। ১২ শতাংশ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৮৮, আর ১০ শতাংশ লাভ করতে বিক্রয়মূল্য হতে হবে ১১০।
৮৮ দামে টাকায় ৫টি দেওয়া যায়। ১১০ দামে দিতে হবে ৫ গুণ ৮৮, মানে ৪৪০, তাকে ১১০ দিয়ে ভাগ, অর্থাৎ ৪টি।
ফাঁদ হলো দাম বাড়াতে গিয়ে সংখ্যা কমাতে ভুলে যাওয়া বা বেশি কমিয়ে ফেলা। টাকায় ৩টি বা ২টি দিলে লাভ ১০ শতাংশের অনেক বেশি হয়ে যায়।
মনে রাখুন: নতুন সংখ্যা = পুরনো সংখ্যা × (১০০ − ক্ষতি) ÷ (১০০ + লাভ) = ৫ × ৮৮ ÷ ১১০ = ৪।
পুরো পাতা ›
১০৮৮. দুটি সংখ্যা অনুপাত 2:3 এবং গ. সা. গু. 4 হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক6
2. খ12
3. গ8
4. ঘ16
সঠিক উত্তর: খ. 12
দুটি সংখ্যার অনুপাত দুই অনুপাত তিন মানে সংখ্যা দুটি কোনো একটা সংখ্যার দুই গুণ আর তিন গুণ। সেই সাধারণ সংখ্যাটাকে k ধরলে সংখ্যা দুটি দুই k আর তিন k।
২ আর ৩ এর মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, অর্থাৎ এরা সহমৌলিক। তাই দুই k আর তিন k এর গসাগু ঠিক k।
গসাগু ৪ দেওয়া আছে, তাই k সমান ৪। সংখ্যা দুটি ৮ আর ১২; বৃহত্তর সংখ্যা ১২। যাচাই: ৮ আর ১২ এর অনুপাত দুই অনুপাত তিন, গসাগু ৪।
ফাঁদ হলো ৮, যা ছোট সংখ্যাটি। প্রশ্ন বৃহত্তর সংখ্যা চেয়েছে।
মনে রাখুন: অনুপাতের পদ সহমৌলিক হলে: সংখ্যা = অনুপাতের পদ × গ.সা.গু.; বড়টা ৩ × ৪ = ১২।
পুরো পাতা ›
১০৮৯. একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2
2. খ10
3. গ4
4. ঘ12
সঠিক উত্তর: ঘ. 12
সমান্তর ধারার যোগফলের একটা কাজের সূত্র: পদসংখ্যাকে প্রথম আর শেষ পদের যোগফল দিয়ে গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ। কারণ সমান্তর ধারায় পদগুলোর গড়, প্রথম আর শেষ পদের গড়ের সমান।
এখানে প্রথম ৫টি পদের শেষ পদ হলো পঞ্চম পদ, মানে ১৮। যোগফল ৭৫ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে গড় ১৫। তাই প্রথম আর শেষ পদের যোগফল ১৫ এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ ৩০।
প্রথম পদ যোগ ১৮ সমান ৩০, তাই প্রথম পদ ১২। যাচাই: সাধারণ অন্তর ১ দশমিক ৫, পদগুলো ১২, সাড়ে ১৩, ১৫, সাড়ে ১৬, ১৮; যোগফল ৭৫।
এখানে সাধারণ অন্তর বের করার দরকারই নেই। প্রথম পদ, শেষ পদ আর যোগফলের সম্পর্কটা মনে রাখলেই এক লাইনে উত্তর আসে।
মনে রাখুন: গড় = ৭৫ ÷ ৫ = ১৫ = মধ্যপদ (৩য় পদ); ১৮ থেকে ১৫ এ ৩ কম, তাই প্রথম পদ ১৫ থেকে আরও ৩ কম, ১২।
পুরো পাতা ›
১০৯০. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা সমূহের যোগফল কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক৪৯৯৯
2. খ৫৫০১
3. গ৫০৫০
4. ঘ৫০০১
সঠিক উত্তর: গ. ৫০৫০
১ থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র হলো n গুণ n যোগ এক, তারপর ২ দিয়ে ভাগ। সূত্রটা কোথা থেকে আসে, সেটা জানলে আর ভুলবেন না।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে দুই প্রান্ত থেকে জোড়া বাঁধুন: ১ আর ১০০, ২ আর ৯৯, ৩ আর ৯৮। প্রতিটি জোড়ার যোগফল ১০১, আর জোড়া হয় মোট ৫০টি।
তাই যোগফল ৫০ গুণ ১০১, অর্থাৎ ৫০৫০। সূত্রেও একই: ১০০ গুণ ১০১ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ৫০৫০।
বিকল্পের বাকি সংখ্যাগুলো কাছাকাছি রাখা হয়েছে বিভ্রান্ত করতে। যোগফল অবশ্যই ১০১ এর গুণিতক হবে; এই একটা যাচাইয়েই বাকি তিনটি বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: n(n + ১) ÷ ২: ১০০ × ১০১ ÷ ২ = ৫০৫০।
পুরো পাতা ›
১০৯১. দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক২০ দিনে
2. খ২৫ দিনে
3. গ২৪ দিনে
4. ঘ৩০ দিনে
সঠিক উত্তর: গ. ২৪ দিনে
কাজের প্রশ্নে দিন নয়, প্রতিদিনের কাজের হার যোগ বিয়োগ হয়। সহজ উপায়: মোট কাজকে এমন একক ধরুন যা সব দিনসংখ্যা দিয়ে ভাগ যায়, তারপর কে দিনে কত একক করে তা দেখুন।
৮ আর ১২ এর লসাগু ২৪, তাই মোট কাজ ২৪ একক ধরি। দুজনে মিলে ৮ দিনে করেন, মানে প্রতিদিন ৩ একক। প্রথম জন একা ১২ দিনে করেন, মানে প্রতিদিন ২ একক।
তাহলে দ্বিতীয় জন প্রতিদিন করেন ৩ বিয়োগ ২, অর্থাৎ ১ একক। ২৪ একক কাজ শেষ করতে তাঁর লাগবে ২৪ দিন।
ফাঁদ হলো ২০, যা ১২ আর ৮ যোগ করে আসে। দিনসংখ্যা সরাসরি যোগ বিয়োগ করা যায় না; যোগ বিয়োগ হয় কাজের হারের।
মনে রাখুন: দ্বিতীয় জনের দিন = (৮ × ১২) ÷ (১২ − ৮) = ৯৬ ÷ ৪ = ২৪।
পুরো পাতা ›
১০৯২. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক২৬৩
2. খ২৩৩
3. গ২৫৩
4. ঘ২৪১
সঠিক উত্তর: গ. ২৫৩
কোনো সংখ্যা মৌলিক কি না যাচাই করতে তার বর্গমূল পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখাই যথেষ্ট। কারণ কোনো সংখ্যার একটা গুণনীয়ক বর্গমূলের বড় হলে অন্যটা অবশ্যই বর্গমূলের ছোট হবে।
এখানে সব সংখ্যা ২৭০ এর নিচে, তাদের বর্গমূল ১৭ এর কম। তাই ২, ৩, ৫, ৭, ১১ আর ১৩ দিয়ে ভাগ যায় কি না দেখলেই চলে।
২৫৩ এ ১১ এর পরীক্ষা খাটান: তিন অঙ্কের সংখ্যায় দুই পাশের অঙ্কের যোগফল মাঝের অঙ্কের সমান হলে সংখ্যাটা ১১ দিয়ে বিভাজ্য। ২ আর ৩ এর যোগফল ৫, মাঝের অঙ্কও ৫। সত্যিই ২৫৩ হলো ১১ গুণ ২৩, তাই এটি মৌলিক নয়।
২৩৩, ২৪১ আর ২৬৩ এর কোনোটাই ২, ৩, ৫, ৭, ১১ বা ১৩ দিয়ে ভাগ যায় না, তাই এরা মৌলিক। বিজোড় দেখে সবগুলোকে মৌলিক ভাবা, বা ৩ এর পরীক্ষায় থেমে যাওয়াই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: তিন অঙ্কের সংখ্যায় পাশের দুই অঙ্কের যোগ = মাঝের অঙ্ক হলে ১১ দিয়ে বিভাজ্য: ২৫৩, ১৪৩, ৩৬৩।
পুরো পাতা ›
১০৯৩. একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে ১২ কিলোমিটার উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে ৫ কিলোমিটার পূর্ব দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে A অবস্থান থেকে কত দূরে থাকবে? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক১৭ কি. মি.
2. খ১৫ কি. মি.
3. গ১৪ কি. মি.
4. ঘ১৩ কি. মি.
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৩ কি. মি.
দিকের প্রশ্নে উত্তর আর পূর্ব দিক পরস্পর লম্ব। তাই উত্তরে যাওয়া পথ আর পূর্বে যাওয়া পথ একটা সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু, আর শুরুর বিন্দু থেকে সোজা দূরত্ব হলো অতিভুজ।
দুই বাহু ১২ আর ৫ কিলোমিটার। এদের বর্গ ১৪৪ আর ২৫, যোগফল ১৬৯।
১৬৯ এর বর্গমূল ১৩। তাই লোকটি A থেকে ১৩ কিলোমিটার দূরে। এটা পরিচিত ৫, ১২, ১৩ পিথাগোরীয় ত্রয়ী।
ফাঁদ হলো ১৭, যা ১২ আর ৫ যোগ করে আসে। সেটা মোট হাঁটা পথ, শুরুর বিন্দু থেকে সোজা দূরত্ব নয়।
মনে রাখুন: ৫-১২-১৩ ত্রয়ী: ১২ আর ৫ দেখলেই ১৩।
পুরো পাতা ›
১০৯৪. বাস্তব সংখ্যায় |2x-3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান___ (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক1 < x < 2
2. খx ≤ 1 অথবা x ≥ 2
3. গ1 ≤ x ≤ 2
4. ঘ-1 < x < 2
সঠিক উত্তর: গ. 1 ≤ x ≤ 2
পরমমানের অসমতার মূল নিয়ম: কোনো রাশির পরমমান একের সমান বা ছোট হওয়া মানে রাশিটা ঋণাত্মক এক আর ধনাত্মক একের মাঝে, দুই প্রান্তসহ। পরমমান মানে শূন্য থেকে দূরত্ব, আর সেই দূরত্ব একের বেশি নয়।
তাই দুই x বিয়োগ ৩ থাকবে ঋণাত্মক ১ থেকে ধনাত্মক ১ এর মধ্যে। সবখানে ৩ যোগ করলে দুই x থাকে ২ থেকে ৪ এর মধ্যে।
এবার ২ দিয়ে ভাগ করলে x থাকে ১ থেকে ২ এর মধ্যে, ১ আর ২ সহ। যাচাই: x সমান ১ বা ২ বসালে পরমমান ঠিক ১, যা শর্ত মানে।
ফাঁদ দুটি। প্রান্তবিন্দু বাদ দিয়ে খোলা ব্যবধান লেখা, অথবা চিহ্ন উল্টে “বাইরের” সমাধান লেখা; শেষেরটা আসলে পরমমান একের বড় বা সমান হওয়ার সমাধান।
মনে রাখুন: |ax − b| ≤ c হলে x থাকে (b − c)/a থেকে (b + c)/a পর্যন্ত: (৩ − ১)/২ = ১ থেকে (৩ + ১)/২ = ২।
পুরো পাতা ›
১০৯৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক(√3/2)a²
2. খ(2/3)a²
3. গ(2/√3)a²
4. ঘ(√3/4)a²
সঠিক উত্তর: ঘ. (√3/4)a²
সমবাহু ত্রিভুজের তিন বাহুই a। ক্ষেত্রফল হলো ভূমি গুণ উচ্চতার অর্ধেক, তাই আগে উচ্চতা বের করতে হয়।
শীর্ষ থেকে ভূমিতে লম্ব টানলে ভূমি সমান দুই ভাগ হয়, প্রতিটি a এর অর্ধেক। তখন একটা সমকোণী ত্রিভুজ পাই, যার অতিভুজ a আর ভূমি a এর অর্ধেক। পিথাগোরাসে উচ্চতা আসে a গুণ রুট তিনের অর্ধেক, মানে দুই ভাগের রুট তিন গুণ a।
ক্ষেত্রফল তাহলে ভূমি a আর এই উচ্চতার গুণফলের অর্ধেক, অর্থাৎ চার ভাগের রুট তিন গুণ a এর বর্গ।
ফাঁদ হলো দুই ভাগের রুট তিন গুণ a এর বর্গ। দুই ভাগের রুট তিন গুণ a আসলে উচ্চতা; উচ্চতাকে a দিয়ে গুণ করে অর্ধেক না নিলে এই দ্বিগুণ মানটা আসে।
মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজ: উচ্চতা (√৩/২)a, ক্ষেত্রফল (√৩/৪)a²; দুটো একসাথে মুখস্থ রাখুন।
পুরো পাতা ›
১০৯৬. মিঃ রেজা তাঁর সম্পদের 12% স্ত্রীকে, 58% ছেলেকে এবং অবশিষ্ট 720000/- টাকা মেয়েকে দিলেন। তার সম্পদের মোট মূল্য কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2400000 Tk
2. খ2000000 Tk
3. গ1600000 Tk
4. ঘ1200000 Tk
সঠিক উত্তর: ক. 2400000 Tk
এটা শতকরার উল্টো হিসাব: অংশের মান জানা, পুরোটা বের করতে হবে। কৌশল হলো পুরো সম্পদকে একশো শতাংশ ধরে দেখা, জানা টাকাটা কত শতাংশ।
স্ত্রী পেলেন ১২ শতাংশ আর ছেলে ৫৮ শতাংশ, মোট ৭০ শতাংশ। বাকি ৩০ শতাংশ পেল মেয়ে, আর তার মান ৭ লাখ ২০ হাজার টাকা।
৩০ শতাংশ যদি ৭ লাখ ২০ হাজার হয়, তবে ১০ শতাংশ ২ লাখ ৪০ হাজার, আর একশো শতাংশ ২৪ লাখ টাকা। যাচাই: ২৪ লাখের ৩০ শতাংশ ঠিক ৭ লাখ ২০ হাজার।
ফাঁদ হলো ১২ লাখ। ৭ লাখ ২০ হাজার হলো ১২ লাখের ৬০ শতাংশ, ৩০ শতাংশ নয়; মেয়ের অংশ ঠিক কত শতাংশ, সেটা আগে নিশ্চিত করুন।
মনে রাখুন: মোট = অবশিষ্ট টাকা × ১০০ ÷ অবশিষ্ট শতাংশ = ৭২০০০০ × ১০০ ÷ ৩০ = ২৪ লাখ।
পুরো পাতা ›
১০৯৭. x = √3+√2 হলে, x³+(1/x³) (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক3√2
2. খ18√3
3. গ12√3
4. ঘ8
সঠিক উত্তর: খ. 18√3
এ ধরনের প্রশ্নে চাবি হলো x আর x ভাগের এক এর যোগফল বের করা। ঘনের যোগফল সেই যোগফলের মাধ্যমেই লেখা যায়, তাই x এর ঘন সরাসরি হিসাব করার দরকার নেই।
রুট তিন যোগ রুট দুই এর উল্টো বের করতে অনুবন্ধী, মানে রুট তিন বিয়োগ রুট দুই, দিয়ে লব হর গুণ করি। হর হয় তিন বিয়োগ দুই, মানে ১। তাই x ভাগের এক হলো রুট তিন বিয়োগ রুট দুই, আর যোগফল দুই রুট তিন; রুট দুই অংশ কেটে যায়।
সূত্র অনুযায়ী ঘনের যোগফল হলো যোগফলের ঘন থেকে তিন গুণ যোগফল বাদ। দুই রুট তিনের ঘন চব্বিশ রুট তিন, আর তিন গুণ দুই রুট তিন হলো ছয় রুট তিন। বিয়োগ করলে আঠারো রুট তিন।
রুট দুই যোগফলে কেটে যায় বলে উত্তরে রুট দুই থাকতে পারে না, আর উত্তর মূলদ সংখ্যাও নয়। এই দুই পর্যবেক্ষণেই তিন রুট দুই আর ৮ বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে x³ + ১/x³ = a³ − ৩a; a = ২√৩ বসালে ২৪√৩ − ৬√৩ = ১৮√৩।
পুরো পাতা ›
১০৯৮. logₓ(1/8) = -2 হলে, x = কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক2
2. খ√2
3. গ2√2
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: গ. 2√2
লগের সংজ্ঞা: x ভিত্তিক লগে কোনো সংখ্যার মান k হলে, x এর ঘাত k সমান সেই সংখ্যা। তাই প্রথমেই লগের সমীকরণকে ঘাতের সমীকরণে বদলান।
এখানে x এর ঘাত ঋণাত্মক ২ সমান আট ভাগের এক। ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো, তাই x এর বর্গের উল্টো সমান আট ভাগের এক, অর্থাৎ x এর বর্গ ৮।
৮ এর বর্গমূল দুই রুট দুই। লগের ভিত্তি সবসময় ধনাত্মক, তাই ঋণাত্মক মূল বাদ, x সমান দুই রুট দুই।
ফাঁদ হলো ২। আট ভাগের এক দেখে অনেকে ২ এর ঘাত ভাবেন, কিন্তু ২ ভিত্তিক লগে আট ভাগের এক এর মান ঋণাত্মক ৩, ঋণাত্মক ২ নয়।
মনে রাখুন: বিকল্প বসিয়ে দেখুন: (২√২)² = ৮, তাই (২√২)⁻² = ১/৮।
পুরো পাতা ›
১০৯৯. 2ˣ + 2¹⁻ˣ = 3 হলে, x = কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক(1,2)
2. খ(0,2)
3. গ(1,3)
4. ঘ(0,1)
সঠিক উত্তর: ঘ. (0,1)
সমীকরণটি হলো ২ এর ঘাত x যোগ ২ এর ঘাত এক বিয়োগ x সমান ৩। এ ধরনের সূচক সমীকরণে কৌশল হলো একটা ঘাতকে নতুন চলক ধরে দ্বিঘাত সমীকরণ বানানো।
২ এর ঘাত এক বিয়োগ x মানে ২ কে ২ এর ঘাত x দিয়ে ভাগ। তাই ২ এর ঘাত x কে y ধরলে সমীকরণ হয় y যোগ y ভাগের দুই সমান ৩, অর্থাৎ y এর বর্গ বিয়োগ তিন y যোগ ২ সমান শূন্য।
এটা ভাঙলে y বিয়োগ ১ আর y বিয়োগ ২ এর গুণফল শূন্য, তাই y হয় ১ নয়তো ২। ২ এর ঘাত x সমান ১ হলে x শূন্য, আর ২ হলে x এক। বিকল্পে এই দুটি মান একসাথে দেখানো, তাই উত্তর শূন্য ও এক।
ফাঁদ হলো এক ও দুই, যা আসলে y এর মান, x এর নয়। x সমান ২ বসালে বাম পক্ষ হয় সাড়ে চার, ৩ নয়।
মনে রাখুন: বিকল্প বসান: x = ০ এ ১ + ২ = ৩, x = ১ এ ২ + ১ = ৩; দুটোই খাটে।
পুরো পাতা ›
১১০০. একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত? (৩৮তম বিসিএস, ২০১৭)
1. ক60°
2. খ45°
3. গ30°
4. ঘ25°
সঠিক উত্তর: গ. 30°
দুটি কোণের যোগফল ৯০ ডিগ্রি হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ, আর ১৮০ ডিগ্রি হলে সম্পূরক কোণ। এখানে কোণ আর তার পূরক মিলে ৯০ ডিগ্রি।
কোণটি পূরক কোণের অর্ধেক। তাই কোণটিকে এক ভাগ ধরলে পূরক কোণ দুই ভাগ, আর দুটো মিলে তিন ভাগ।
তিন ভাগ সমান ৯০ ডিগ্রি হলে এক ভাগ ৩০ ডিগ্রি। তাই কোণটি ৩০ ডিগ্রি, আর তার পূরক ৬০ ডিগ্রি; সত্যিই ৩০ হলো ৬০ এর অর্ধেক।
ফাঁদ হলো ৬০ ডিগ্রি। ওটা পূরক কোণ, কোণটি নিজে নয়। “কার অর্ধেক কে”, সেটা উল্টে গেলেই এই ভুল হয়।
মনে রাখুন: কোণ = পূরকের ১/n হলে কোণ = ৯০° ÷ (n + ১) = ৯০° ÷ ৩ = ৩০°।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১১০১–১১২০ ›