গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২
২১. A train takes 8 seconds to cross a pole and 18 seconds to cross a platform of length 120m. What is the length of the train? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক80 m
- খ150 m
- গ200 m
- ঘ96 m
সঠিক উত্তর: ঘ. 96 m
ট্রেন খুঁটি পার হতে শুধু নিজের দৈর্ঘ্য যায়, আর প্ল্যাটফর্ম পার হতে নিজের দৈর্ঘ্য যোগ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য যায়। গতি দুই ক্ষেত্রেই এক।
খুঁটি পার হতে ৮ সেকেন্ড, প্ল্যাটফর্ম পার হতে ১৮ সেকেন্ড। বাড়তি ১০ সেকেন্ডে ট্রেন শুধু প্ল্যাটফর্মের ১২০ মিটার পার হয়েছে। তাই গতি ১২০ ভাগ ১০, মানে সেকেন্ডে ১২ মিটার।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য হলো খুঁটি পার হওয়ার দূরত্ব, মানে ১২ গুণ ৮, সমান ৯৬ মিটার।
যাচাই: ৯৬ যোগ ১২০ সমান ২১৬ মিটার, সেকেন্ডে ১২ মিটার গতিতে লাগে ১৮ সেকেন্ড। ফাঁদ হলো প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১২০ কে ১৮ দিয়ে ভাগ করে গতি ধরা।
মনে রাখুন: ট্রেনের দৈর্ঘ্য = প্ল্যাটফর্ম × খুঁটির সময় ÷ সময়ের পার্থক্য = ১২০ × ৮ ÷ ১০ = ৯৬।
২২. The average of 8 numbers is 8. If 4 is subtracted from each of 6 of the numbers, what is the new average? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক3.5
- খ5
- গ4
- ঘ6.5
সঠিক উত্তর: খ. 5
গড় মানে মোট যোগফল ভাগ সংখ্যার পরিমাণ। তাই গড়ের প্রশ্নে আগে মোট যোগফল বের করে নিলে সব সহজ হয়।
৮টি সংখ্যার গড় ৮, তাই মোট যোগফল ৮ গুণ ৮, মানে ৬৪। ৬টি সংখ্যা থেকে ৪ করে বাদ দিলে মোট কমে ৬ গুণ ৪, মানে ২৪। নতুন যোগফল ৪০।
সংখ্যা এখনও ৮টি, তাই নতুন গড় ৪০ ভাগ ৮, মানে ৫।
ফাঁদ হলো সব সংখ্যা থেকে ৪ বাদ ধরে গড় ৪ বলা। বাদ গেছে মাত্র ৬টি থেকে, তাই গড় কমবে ২৪ ভাগ ৮, মানে ৩।
মনে রাখুন: গড় কমবে = ৬ × ৪ ÷ ৮ = ৩; নতুন গড় = ৮ − ৩ = ৫।
২৩. If the radius of a right cylinder is tripled and the height is reduced by 40%, then what would the percentage change in volume? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক320%
- খ440%
- গ460%
- ঘ540%
সঠিক উত্তর: খ. 440%
বেলনের আয়তন হলো পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ গুণ উচ্চতা। তাই ব্যাসার্ধের পরিবর্তন বর্গ হয়ে আসে, আর উচ্চতার পরিবর্তন সরাসরি আসে।
ব্যাসার্ধ তিন গুণ হলে ব্যাসার্ধের বর্গ হয় ৯ গুণ। উচ্চতা ৪০ শতাংশ কমলে নতুন উচ্চতা আগের ০ দশমিক ৬ গুণ। তাই নতুন আয়তন আগের ৯ গুণ ০ দশমিক ৬, মানে ৫ দশমিক ৪ গুণ।
আয়তন ১০০ ধরলে নতুন আয়তন ৫৪০। বৃদ্ধি ৫৪০ বিয়োগ ১০০, মানে ৪৪০, অর্থাৎ ৪৪০ শতাংশ বৃদ্ধি।
ফাঁদ হলো নতুন আয়তন ৫৪০ কেই পরিবর্তন ভাবা। প্রশ্ন পরিবর্তনের শতাংশ চেয়েছে, তাই আগের ১০০ বাদ দিতে হবে।
মনে রাখুন: আয়তনের গুণক = ৩² × ০.৬ = ৫.৪; পরিবর্তন = (৫.৪ − ১) × ১০০ = ৪৪০%।
২৪. What is the angle between the hour and minute hands of a clock at 14 : 50? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক135°
- খ140°
- গ145°
- ঘ150°
সঠিক উত্তর: গ. 145°
১৪টা ৫০ মানে ঘড়িতে ২টা ৫০ মিনিট। ঘড়ির কাঁটার কোণের সূত্র: ঘণ্টাকে ৩০ দিয়ে গুণ করে, তা থেকে মিনিটকে সাড়ে ৫ দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করুন, তারপর পরম মান নিন।
ঘণ্টার কাঁটা প্রতি ঘণ্টায় ৩০ ডিগ্রি আর প্রতি মিনিটে আধা ডিগ্রি সরে। মিনিটের কাঁটা প্রতি মিনিটে ৬ ডিগ্রি সরে। তাই প্রতি মিনিটে দুই কাঁটার ব্যবধান বদলায় সাড়ে ৫ ডিগ্রি।
এখানে ৩০ গুণ ২ সমান ৬০, আর সাড়ে ৫ গুণ ৫০ সমান ২৭৫। পার্থক্য ২১৫ ডিগ্রি। এটি ১৮০ এর বেশি, তাই ছোট কোণ ৩৬০ বিয়োগ ২১৫, মানে ১৪৫ ডিগ্রি।
ফাঁদ হলো ১৪ কে সরাসরি ঘণ্টা ধরে হিসাব করা। ২৪ ঘণ্টার সময়কে আগে ১২ ঘণ্টায় আনতে হবে।
মনে রাখুন: কোণ = |৩০H − ১১M/২|; ১৮০ এর বেশি হলে ৩৬০ থেকে বিয়োগ। |৬০ − ২৭৫| = ২১৫ → ১৪৫°।
২৫. The average of a non-zero number and its square is 5 times the number. The number is- (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক9
- খ17
- গ29
- ঘnone of these
সঠিক উত্তর: ক. 9
ধরি সংখ্যাটি ক। সংখ্যা আর তার বর্গের গড় মানে ক যোগ ক এর বর্গ, ভাগ ২। প্রশ্ন বলছে এই গড় সংখ্যাটির ৫ গুণ।
তাহলে ক যোগ ক বর্গ সমান ১০ক। দুই দিক থেকে ক বাদ দিলে ক বর্গ সমান ৯ক। ক শূন্য নয়, তাই দুই দিকে ক দিয়ে ভাগ করা যায়, আর পাই ক সমান ৯।
যাচাই: ৯ আর ৮১ এর গড় ৯০ ভাগ ২, মানে ৪৫, যা ৯ এর ৫ গুণ। মিলে গেছে।
শূন্যও সমীকরণটা মেটায়, কিন্তু প্রশ্নে অশূন্য সংখ্যা চাওয়া হয়েছে, তাই উত্তর ৯। অপশন যাচাই করেও দ্রুত পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: গড় = ৫x হলে x + x² = ১০x, তাই x = ১০ − ১ = ৯। সাধারণভাবে গড় = kx হলে x = ২k − ১।
২৬. How many terms of the arithmetic progression 2,7,12, ... should be taken so that their sum equals 354? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক10
- খ11
- গ12
- ঘ13
সঠিক উত্তর: গ. 12
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল হলো n ভাগ ২ গুণ, প্রথম পদের দ্বিগুণ যোগ n বিয়োগ ১ গুণ সাধারণ অন্তর। এখানে প্রথম পদ ২, সাধারণ অন্তর ৫।
যোগফল দাঁড়ায় n ভাগ ২ গুণ, ৪ যোগ ৫ গুণ n বিয়োগ ১, যা সরল করলে n গুণ ৫n বিয়োগ ১, ভাগ ২। এটাকে ৩৫৪ এর সমান ধরলে ৫n বর্গ বিয়োগ n বিয়োগ ৭০৮ সমান শূন্য।
সমাধান করলে n সমান ১২, অন্য মূলটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ বলে বাদ। যাচাই: ১২তম পদ ২ যোগ ১১ গুণ ৫ সমান ৫৭, আর যোগফল ১২ ভাগ ২ গুণ, ২ যোগ ৫৭, মানে ৬ গুণ ৫৯ সমান ৩৫৪।
পরীক্ষায় দ্বিঘাত সমীকরণ না করে অপশন বসানোই দ্রুত। ১১ বসালে যোগফল ২৯৭, ১৩ বসালে ৪১৬; শুধু ১২ তেই ৩৫৪ আসে।
মনে রাখুন: অপশন বসান: n = ১২ হলে শেষ পদ ৫৭, যোগফল (২ + ৫৭) × ১২ ÷ ২ = ৩৫৪।
২৭. If 2ˣ = 3ʸ = 6⁻ᶻ, find the value of 1/x + 1/y + 1/z. (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক-1
- খ0
- গ1
- ঘ2
সঠিক উত্তর: খ. 0
এই ধরনের সূচকের প্রশ্নে তিনটি সমান রাশিকে একটি ধ্রুবক ধরে নেওয়াই কৌশল। ধরি ২ এর ঘাত x, ৩ এর ঘাত y, আর ৬ এর ঘাত মাইনাস z, তিনটিই k এর সমান।
তাহলে ২ হলো k এর ঘাত ১ ভাগ x, ৩ হলো k এর ঘাত ১ ভাগ y, আর ৬ হলো k এর ঘাত মাইনাস ১ ভাগ z।
এখন ২ গুণ ৩ সমান ৬। বাম দিকে একই ভিত্তি k এর ঘাত যোগ হয়, তাই ১ ভাগ x যোগ ১ ভাগ y সমান মাইনাস ১ ভাগ z।
সব এক দিকে আনলে ১ ভাগ x যোগ ১ ভাগ y যোগ ১ ভাগ z সমান শূন্য। ফাঁদ হলো ৬ এর ঘাতে মাইনাস চিহ্ন খেয়াল না করা; তখন উত্তর ভুলভাবে অন্য কিছু মনে হয়।
মনে রাখুন: aˣ = bʸ = (ab)⁻ᶻ হলে সবসময় ১/x + ১/y + ১/z = ০।
২৮. The average of six numbers is 30. If the average of first four is 25 and that of last three is 35, the fourth number is : (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক30
- খ28
- গ25
- ঘ20
সঠিক উত্তর: গ. 25
৬টি সংখ্যার মধ্যে প্রথম ৪টি আর শেষ ৩টি ধরলে মোট ৭টি সংখ্যা গোনা হয়। অর্থাৎ একটি সংখ্যা দুবার গোনা হয়েছে, আর সেটা হলো চতুর্থ সংখ্যা।
৬টির মোট ৬ গুণ ৩০, মানে ১৮০। প্রথম ৪টির মোট ৪ গুণ ২৫, মানে ১০০। শেষ ৩টির মোট ৩ গুণ ৩৫, মানে ১০৫।
১০০ আর ১০৫ যোগ করলে ২০৫, যা আসল মোট ১৮০ এর চেয়ে ২৫ বেশি। এই বাড়তি ২৫ ই দুবার গোনা চতুর্থ সংখ্যা।
ফাঁদ হলো প্রথম ৪টি আর শেষ ৩টির যোগফল ২০৫ কে সরাসরি ৬টির যোগফল ভাবা, বা দুই গড়ের পার্থক্য ১০ কে উত্তর ধরা। মনে রাখুন, ৬টির মধ্যে শেষ ৩টি হলো চতুর্থ, পঞ্চম আর ষষ্ঠ, তাই চতুর্থটি দুই দলেই আছে।
মনে রাখুন: সাধারণ নিয়ম: দুবার গোনা সংখ্যা = দুই অংশের যোগফল − মোট যোগফল।
২৯. A sum of TK. 600 amounts to TK. 720 in 4 years at simple interest. What will it amount to if the rate of interest is increased by 2%? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক750
- খ768
- গ800
- ঘ550
সঠিক উত্তর: খ. 768
সরল মুনাফায় মুনাফা হলো আসল গুণ হার গুণ সময়। প্রথমে দেওয়া তথ্য থেকে হার বের করতে হবে, তারপর হার ২ শতাংশ বাড়িয়ে নতুন সবৃদ্ধিমূল বের করতে হবে।
৬০০ টাকা ৪ বছরে ৭২০ টাকা হয়েছে, তাই মুনাফা ১২০ টাকা। প্রতি বছরে মুনাফা ৩০ টাকা, যা ৬০০ এর ৫ শতাংশ। অর্থাৎ হার ৫ শতাংশ।
হার ২ শতাংশ বাড়লে নতুন হার ৭ শতাংশ। ৪ বছরে মুনাফা ৬০০ গুণ ৭ গুণ ৪ ভাগ ১০০, মানে ১৬৮ টাকা। সবৃদ্ধিমূল ৬০০ যোগ ১৬৮, মানে ৭৬৮ টাকা।
দ্রুত উপায়: বাড়তি ২ শতাংশে ৪ বছরে বাড়তি মুনাফা ৬০০ এর ৮ শতাংশ, মানে ৪৮ টাকা। ৭২০ যোগ ৪৮ সমান ৭৬৮। শুধু মুনাফা ১৬৮ কে উত্তর ভাবা ভুল, চাওয়া হয়েছে মোট পরিমাণ।
মনে রাখুন: নতুন পরিমাণ = পুরনো পরিমাণ + আসল × বাড়তি হার × সময় = ৭২০ + ৬০০ × ০.০২ × ৪ = ৭৬৮।
৩০. Person 1 to 4 receive equal shares of an income, while Person 5 receives half of what each of Persons 1 to 4 receives. If the total Income is 18000 taka, how much does Person 5 get? (সমন্বিত ৬ ব্যাংক ও ২ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: অফিসার, সাধারণ) (২০২৬)
- ক1500
- খ2000
- গ2500
- ঘ3000
সঠিক উত্তর: খ. 2000
এটা অংশ ভাগের প্রশ্ন। প্রথম ৪ জন সমান ভাগ পান, আর পঞ্চম জন তাদের প্রত্যেকের অর্ধেক পান। তাই ভাগগুলো ইউনিট দিয়ে ভাবলে সহজ।
পঞ্চম জনের ভাগকে ১ ইউনিট ধরলে বাকি প্রত্যেকে পান ২ ইউনিট। ৪ জনে ৮ ইউনিট, আর পঞ্চম জনের ১ ইউনিট, মোট ৯ ইউনিট।
৯ ইউনিট সমান ১৮০০০ টাকা হলে ১ ইউনিট ২০০০ টাকা। তাই পঞ্চম জন পান ২০০০ টাকা, আর অন্যরা প্রত্যেকে ৪০০০ টাকা।
ফাঁদ হলো ৫ জনে সমান ভাগ ধরে ১৮০০০ ভাগ ৫ করা, বা সরাসরি ৪৫০০ এর অর্ধেক ২২৫০ ভাবা। ইউনিট পদ্ধতিতে এই ভুল হয় না।
মনে রাখুন: অর্ধেক পাওয়া ব্যক্তিকে ১ ইউনিট ধরুন: মোট ৯ ইউনিট, ১৮০০০ ÷ ৯ = ২০০০।
৩১. Two trucks 300 km away are travelling towards each other with a constant speed. Truck A is moving at a constant speed of 70 km/h while Truck B is moving at a constant speed of 50 km/h. How long does it take for them to meet? (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক5 hrs
- খ3 hrs
- গ2.5 hrs
- ঘ6 hrs
সঠিক উত্তর: গ. 2.5 hrs
প্রশ্নটা পরস্পরের দিকে চলমান দুটি বস্তুর মিলনের সময় যাচাই করছে। দুটি গাড়ি মুখোমুখি চললে প্রতি ঘণ্টায় তাদের মধ্যের দূরত্ব কমে দুই গতির যোগফলের সমান, একে বলে আপেক্ষিক গতি।
এখানে আপেক্ষিক গতি ৭০ যোগ ৫০, মানে ঘণ্টায় ১২০ কিলোমিটার। মোট দূরত্ব ৩০০ কিলোমিটার।
সময় হলো দূরত্ব ভাগ গতি: ৩০০ ভাগ ১২০, মানে ২ দশমিক ৫ ঘণ্টা, বা আড়াই ঘণ্টা। যাচাই: আড়াই ঘণ্টায় A যায় ১৭৫ কিলোমিটার, B যায় ১২৫, মোট ৩০০।
ফাঁদ হলো গতির বিয়োগফল নেওয়া: ৩০০ ভাগ ২০ সমান ১৫ ঘণ্টা, যা একই দিকে চললে প্রযোজ্য। আবার শুধু একটি গাড়ির গতি ধরলে ৬ বা প্রায় ৪ ঘণ্টা আসে।
মনে রাখুন: মুখোমুখি: গতি যোগ; একই দিকে: গতি বিয়োগ। সময় = দূরত্ব ÷ আপেক্ষিক গতি।
৩২. The H.C.F. and L.C.M. of two numbers are 12 and 288 respectively. If one of the numbers is 96, find the other. (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক34
- খ36
- গ38
- ঘ40
সঠিক উত্তর: খ. 36
প্রশ্নটা গসাগু ও লসাগুর মৌলিক সম্পর্ক যাচাই করছে। যেকোনো দুটি সংখ্যার গুণফল সমান তাদের গসাগু গুণ লসাগু।
তাই অন্য সংখ্যা হলো গসাগু গুণ লসাগু ভাগ প্রথম সংখ্যা: ১২ গুণ ২৮৮ ভাগ ৯৬। ২৮৮ ভাগ ৯৬ সমান ৩, তাই উত্তর ১২ গুণ ৩, মানে ৩৬।
যাচাই: ৯৬ ও ৩৬-এর গসাগু ১২, কারণ ৯৬ সমান ১২ গুণ ৮ আর ৩৬ সমান ১২ গুণ ৩, আর ৮ ও ৩ সহমৌলিক। লসাগু ১২ গুণ ৮ গুণ ৩, মানে ২৮৮।
শর্টকাট দিয়ে বাকি অপশনও বাদ দেওয়া যায়: গসাগু ১২ হলে অন্য সংখ্যাটি অবশ্যই ১২-এর গুণিতক। ৩৪, ৩৮ ও ৪০ কোনোটিই ১২ দিয়ে বিভাজ্য নয়।
মনে রাখুন: গসাগু ১২ হলে উত্তর অবশ্যই ১২-এর গুণিতক; অপশনে শুধু ৩৬ টেকে।
৩৩. A train 220 m long is moving at 45 km/h. The time taken by the train to cross a tunnel 260 m long, is (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক25.4 sec
- খ35.4 sec
- গ38.4 sec
- ঘ40.4 sec
সঠিক উত্তর: গ. 38.4 sec
প্রশ্নটা ট্রেনের সুড়ঙ্গ বা প্ল্যাটফর্ম পার হওয়ার সময় যাচাই করছে। ট্রেন পুরোপুরি পার হতে হলে ইঞ্জিন সুড়ঙ্গে ঢোকা থেকে শেষ বগি বের হওয়া পর্যন্ত চলতে হয়, তাই মোট দূরত্ব হলো ট্রেনের দৈর্ঘ্য যোগ সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য।
মোট দূরত্ব ২২০ যোগ ২৬০, মানে ৪৮০ মিটার। গতি ঘণ্টায় ৪৫ কিলোমিটার; মিটার প্রতি সেকেন্ডে নিতে ৫ ভাগ ১৮ দিয়ে গুণ করি: ৪৫ গুণ ৫ ভাগ ১৮ সমান ১২ দশমিক ৫ মিটার প্রতি সেকেন্ড।
সময় হলো ৪৮০ ভাগ ১২ দশমিক ৫, মানে ৩৮ দশমিক ৪ সেকেন্ড।
ফাঁদ হলো শুধু সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য ২৬০ ধরা; তখন আসে ২০ দশমিক ৮ সেকেন্ড। আবার একক রূপান্তর ভুলে গেলে উত্তর একেবারেই মেলে না।
মনে রাখুন: km/h থেকে m/s: ৫/১৮ দিয়ে গুণ। ৩৬ km/h = ১০ m/s মনে রাখলে হিসাব দ্রুত হয়।
৩৪. A ladder rests against a wall that is perpendicular to the ground. If the bottom of the ladder is 4m away from the bottom of the wall, while the tip of the ladder is at a height of 3m, what is the length of the ladder? (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক7m
- খ35m
- গ5m
- ঘ25m
সঠিক উত্তর: গ. 5m
প্রশ্নটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সরাসরি প্রয়োগ যাচাই করছে। দেয়াল মাটির উপর খাড়া, তাই দেয়াল, মাটি আর মই মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে মই হলো অতিভুজ।
ভূমি ৪ মিটার, উচ্চতা ৩ মিটার। মইয়ের দৈর্ঘ্যের বর্গ সমান ৪-এর বর্গ যোগ ৩-এর বর্গ, মানে ১৬ যোগ ৯, অর্থাৎ ২৫। বর্গমূল নিলে ৫ মিটার।
এটি বিখ্যাত ৩, ৪, ৫ ত্রয়ী; এক নজরেই উত্তর বলা যায়।
অপশনে দুটি ফাঁদ আছে: ২৫ হলো দৈর্ঘ্যের বর্গ, বর্গমূল নিতে ভুলে গেলে আসে। আর ৭ হলো ৩ যোগ ৪, সরাসরি যোগ করলে আসে; কিন্তু ত্রিভুজের বাহু সরাসরি যোগ হয় না।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫ ত্রয়ী: দুই বাহু ৩ ও ৪ দেখলেই অতিভুজ ৫।
৩৫. How many linear factors of 8 + 4 x + 6 x 2 + 3 x 3 - 2 x 4 - x 5 have? (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক0
- খ1
- গ2
- ঘ3
সঠিক উত্তর: ঘ. 3
রাশিটা পাঁচ ঘাতের বহুপদী, তাই সরাসরি গুচ্ছ বানিয়ে সাধারণ উৎপাদক বের করা যায়। পদগুলো জোড়ায় জোড়ায় নিলে প্রতিটি জোড়ায় ২ যোগ x পাওয়া যায়।
৮ যোগ ৪x হলো ৪ গুণ ২ যোগ x। ৬x বর্গ যোগ ৩x ঘন হলো ৩x বর্গ গুণ ২ যোগ x। আর ঋণাত্মক ২x চতুর্থ ঘাত বিয়োগ x পঞ্চম ঘাত হলো ঋণাত্মক x চতুর্থ ঘাত গুণ ২ যোগ x। সব মিলিয়ে x যোগ ২ গুণ ৪ যোগ ৩x বর্গ বিয়োগ x চতুর্থ ঘাত।
দ্বিতীয় বন্ধনীটা ৪ বিয়োগ x বর্গ আর ১ যোগ x বর্গ-এর গুণফল। ৪ বিয়োগ x বর্গ আবার ২ বিয়োগ x আর ২ যোগ x-এ ভাঙে। ১ যোগ x বর্গ বাস্তব সংখ্যায় আর ভাঙে না।
তাহলে রৈখিক উৎপাদক হলো x যোগ ২, ২ বিয়োগ x, আবার x যোগ ২: মোট ৩টি। তবে x যোগ ২ দুবার আছে, তাই ভিন্ন ভিন্ন রৈখিক উৎপাদক গুনলে ২টি হয়; প্রশ্নকর্তার কাঙ্ক্ষিত উত্তর পুনরাবৃত্তিসহ ৩।
মনে রাখুন: পদগুলো দুটি দুটি করে নিয়ে দেখুন একই দ্বিপদী বের হয় কিনা; তারপর বাকি অংশে a² − b² সূত্র।
৩৬. x - 1 x = 7 What is the value of x 2 + 1 x 2 (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক14
- খ21
- গ51
- ঘ49
সঠিক উত্তর: গ. 51
প্রশ্নে দেওয়া আছে x বিয়োগ x-এর এক ভাগ, মানে x বিয়োগ ১ ভাগ x সমান ৭। চাওয়া হয়েছে x বর্গ যোগ ১ ভাগ x বর্গ।
সূত্র: a বিয়োগ b-এর বর্গ সমান a বর্গ যোগ b বর্গ বিয়োগ ২ab। এখানে a সমান x আর b সমান ১ ভাগ x, তাই ab সমান ১। ফলে x বিয়োগ ১ ভাগ x-এর বর্গ সমান x বর্গ যোগ ১ ভাগ x বর্গ বিয়োগ ২।
তাহলে x বর্গ যোগ ১ ভাগ x বর্গ সমান ৭-এর বর্গ যোগ ২, মানে ৪৯ যোগ ২ সমান ৫১।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো শুধু ৭-এর বর্গ ৪৯ লিখে থেমে যাওয়া; ২ যোগ করতে ভুলে গেলে ৪৯ আসে। আর যোগ চিহ্ন হলে, মানে x যোগ ১ ভাগ x দেওয়া থাকলে, ২ বিয়োগ করতে হতো।
মনে রাখুন: x − ১/x = a হলে x² + ১/x² = a² + ২; x + ১/x = a হলে a² − ২।
৩৭. Which two pairs of x satisfies the equation ( x + 3 ) 2 = x + 5 (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক1,4
- খ1,-4
- গ-1,-4
- ঘ-1,4
সঠিক উত্তর: গ. -1,-4
সমীকরণটা দ্বিঘাত। প্রথমে বামপক্ষ বিস্তার করি: x যোগ ৩-এর বর্গ সমান x বর্গ যোগ ৬x যোগ ৯।
এখন সব পদ এক পক্ষে আনি: x বর্গ যোগ ৬x যোগ ৯ বিয়োগ x বিয়োগ ৫ সমান শূন্য, অর্থাৎ x বর্গ যোগ ৫x যোগ ৪ সমান শূন্য।
এমন দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের যোগফল ৫ আর গুণফল ৪: সেগুলো ১ আর ৪। তাই x যোগ ১ গুণ x যোগ ৪ সমান শূন্য, ফলে x সমান ঋণাত্মক ১ অথবা ঋণাত্মক ৪।
চিহ্ন নিয়ে সতর্ক থাকুন: উৎপাদক x যোগ ১ হলে মূল ঋণাত্মক ১। উৎপাদকের সংখ্যাগুলো সরাসরি উত্তর হিসেবে নিলে ১ আর ৪ চলে আসে, যা ভুল।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: x = −১ বসালে (২)² = ৪ আর −১ + ৫ = ৪, মিলে যায়; x = −৪ বসালে ১ = ১।
৩৮. A restaurant makes 20% profit after selling a set menu at a discount of 20%. What is the percentage increase of marked price? (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক30%
- খ20%
- গ40%
- ঘ50%
সঠিক উত্তর: ঘ. 50%
এই ধরনের প্রশ্নে সুবিধার জন্য কেনা দাম ১০০ টাকা ধরি। ২০ শতাংশ লাভ মানে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা।
এই ১২০ টাকা পাওয়া গেছে ধার্যমূল্যের উপর ২০ শতাংশ ছাড় দেওয়ার পর। তাই ১২০ টাকা হলো ধার্যমূল্যের ৮০ শতাংশ, ফলে ধার্যমূল্য ১২০ কে ৮০ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ, মানে ১৫০ টাকা।
কেনা দাম ১০০ থেকে ধার্যমূল্য ১৫০, অর্থাৎ ধার্যমূল্য কেনা দামের চেয়ে ৫০ শতাংশ বেশি।
অনেকে লাভ ২০ আর ছাড় ২০ যোগ করে ৪০ শতাংশ বলেন। কিন্তু ছাড় হিসাব হয় ধার্যমূল্যের উপর আর লাভ কেনা দামের উপর, তাই সরাসরি যোগ করা যায় না।
মনে রাখুন: ধার্যমূল্য ÷ ক্রয়মূল্য = (১ + লাভ) ÷ (১ − ছাড়) = ১.২ ÷ ০.৮ = ১.৫, মানে ৫০% বেশি।
৩৯. A box having height 2m, length 10m and width 7m has the top lid open. What is the surface area of the box? (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক138
- খ118
- গ104
- ঘ208
সঠিক উত্তর: ক. 138
উপরের ঢাকনা খোলা বাক্সের মোট তলের ক্ষেত্রফল মানে পাঁচটি তল: নিচের তল আর চারপাশের চারটি দেয়াল। উপরের তলটা নেই বলে সেটা বাদ যাবে।
নিচের তলের ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, মানে ১০ গুণ ৭ সমান ৭০ বর্গমিটার। চারপাশের দেয়ালের মোট ক্ষেত্রফল ২ গুণ উচ্চতা গুণ দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ, মানে ২ গুণ ২ গুণ ১৭ সমান ৬৮ বর্গমিটার।
দুটো যোগ করলে ৭০ যোগ ৬৮ সমান ১৩৮ বর্গমিটার।
ঢাকনাসহ পূর্ণ বাক্সের ক্ষেত্রফল হতো ২০৮ বর্গমিটার; ঢাকনা খোলা কথাটা খেয়াল না করলে এই ফাঁদে পড়তে হয়।
মনে রাখুন: খোলা বাক্স = lw + ২h(l + w); পূর্ণ বাক্স থেকে উপরের তল বাদ।
৪০. The factors of 4 x 4 + 1 is (সমন্বিত ২ ব্যাংক, সোনালী ও জনতা): অফিসার (আইটি) (২০২৬)
- ক( 2 x 2 + 2 x - 1 ) ( 2 x 2 - 2 x + 1 )
- খ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) ( 2 x 2 - 2 x - 1 )
- গ( 2 x 2 + 2 x - 1 ) ( 2 x 2 - 2 x - 1 )
- ঘ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) ( 2 x 2 - 2 x + 1 )
সঠিক উত্তর: ঘ. ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) ( 2 x 2 - 2 x + 1 )
৪x চতুর্থ ঘাত যোগ ১ সরাসরি ভাঙে না, তাই একটা পূর্ণবর্গ তৈরি করতে হয়। ২x বর্গ যোগ ১-এর বর্গ হলো ৪x চতুর্থ ঘাত যোগ ৪x বর্গ যোগ ১। তাই রাশিটায় ৪x বর্গ যোগ করে আবার বিয়োগ করি।
তখন রাশি হয় ২x বর্গ যোগ ১-এর বর্গ বিয়োগ ২x-এর বর্গ। এটা a বর্গ বিয়োগ b বর্গ, যা a যোগ b গুণ a বিয়োগ b।
ফলে উৎপাদক দুটি: ২x বর্গ যোগ ২x যোগ ১ এবং ২x বর্গ বিয়োগ ২x যোগ ১। দুটোর ধ্রুবক পদই যোগ ১।
অপশনে চিহ্ন বদলে ফাঁদ পাতা হয়েছে। মনে রাখুন, দুটি উৎপাদকের ধ্রুবক পদের গুণফল মূল রাশির ধ্রুবক যোগ ১ হতে হবে, আর মাঝের পদ দুটো বিপরীত চিহ্নের।
মনে রাখুন: a⁴ + ৪b⁴ ধরনের রাশিতে ২a²b² যোগ-বিয়োগ করে পূর্ণবর্গ বানান। দ্রুত যাচাই: x = ১ বসালে ৪ + ১ = ৫ আর (৫)(১) = ৫।