গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১০
১৮১. নিচের নম্বর সিরিজে কোনটি বসবে? ১, ২, ৮, ৪৮, ৩৮৪ (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক১৯৮০
- খ২৮৪০
- গ৩৮৪০
- ঘ৪৬২০
সঠিক উত্তর: গ. ৩৮৪০
সংখ্যা ধারার প্রশ্নে প্রথমে দেখুন পরপর পদের মধ্যে পার্থক্য বাড়ছে, নাকি অনুপাত। এখানে সংখ্যাগুলো দ্রুত বাড়ছে, তাই অনুপাত দেখা ভালো।
১ থেকে ২ পেতে ২ দিয়ে গুণ, ২ থেকে ৮ পেতে ৪ দিয়ে, ৮ থেকে ৪৮ পেতে ৬ দিয়ে, ৪৮ থেকে ৩৮৪ পেতে ৮ দিয়ে। গুণকগুলো জোড় সংখ্যা: ২, ৪, ৬, ৮।
তাই পরের গুণক ১০, আর পরের পদ ৩৮৪ গুণ ১০, মানে ৩৮৪০।
অন্য বিকল্পগুলো ৩৮৪ এর পূর্ণ গুণিতকই নয়, তাই গুণের ধারায় বসতে পারে না।
মনে রাখুন: অনুপাত ২, ৪, ৬, ৮ → পরের ১০; ৩৮৪ এর শেষে একটা শূন্য বসান।
১৮২. আপনার কাছে পাঁচটি আধুলি, ৮টা সিকি আছে। আর কয়টা ১০ পয়সার মুদ্রা দিলে মোট ৫ টাকা হবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক১০
- খ১৫
- গ৫
- ঘ০৩
সঠিক উত্তর: গ. ৫
মুদ্রার প্রশ্নে সব টাকা পয়সায় রূপান্তর করলে হিসাব সহজ হয়। এক টাকা সমান ১০০ পয়সা, আধুলি মানে ৫০ পয়সা, আর সিকি মানে ২৫ পয়সা।
৫টি আধুলি সমান ২৫০ পয়সা। ৮টি সিকি সমান ২০০ পয়সা। দুটো মিলে ৪৫০ পয়সা, মানে ৪ টাকা ৫০ পয়সা।
লক্ষ্য ৫ টাকা, মানে ৫০০ পয়সা। বাকি থাকে ৫০ পয়সা, আর ৫০ পয়সা হয় ৫টি দশ পয়সার মুদ্রায়।
আধুলি আর সিকির মান গুলিয়ে ফেললে ভুল হয়। ১০টি মুদ্রা দিলে হতো ১ টাকা, তখন মোট ৫ টাকা ৫০ পয়সা, ৫ টাকার বেশি।
মনে রাখুন: সব পয়সায়: ৫০০ − (৫ × ৫০ + ৮ × ২৫) = ৫০ পয়সা = ৫টি।
১৮৩. ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক১১০
- খ১৫০
- গ১২৫
- ঘ১৬০
সঠিক উত্তর: খ. ১৫০
শতাংশের প্রশ্নে আগে ঠিক করুন ভিত্তি কোনটা। “১২ এর কত শতাংশ” কথাটা বলছে ভিত্তি ১২, মানে ১২ কে ১০০ শতাংশ ধরতে হবে।
তাহলে ১৮ কে ১২ দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ: ১৮ ভাগ ১২ সমান দেড়, আর দেড় গুণ ১০০ সমান ১৫০ শতাংশ।
অন্যভাবে: ১৮ হলো ১২ যোগ ৬। ৬ হলো ১২ এর অর্ধেক, মানে ৫০ শতাংশ; তাই ১৮ হলো ১০০ যোগ ৫০, অর্থাৎ ১৫০ শতাংশ।
ফলাফল ১০০ এর বেশি হওয়ায় অনেকে দ্বিধায় পড়েন, কিন্তু কোনো সংখ্যা ভিত্তির চেয়ে বড় হলে শতাংশ ১০০ ছাড়াবেই।
মনে রাখুন: “a এর কত শতাংশ b” = b ÷ a × ১০০ = ১৮ ÷ ১২ × ১০০ = ১৫০।
১৮৪. 3/x + 4/(x+1) = 2 হলে x = ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক1
- খ3
- গ2
- ঘ4
সঠিক উত্তর: খ. 3
প্রশ্নটা ভগ্নাংশযুক্ত সমীকরণ সমাধান যাচাই করছে। দ্বিতীয় পদের হর x যোগ ১; আক্ষরিকভাবে চার ভাগ x যোগ ১ পড়লে উত্তর হয় ৭, যা কোনো বিকল্পে নেই।
হর দূর করতে দুই পাশকে x গুণ x যোগ ১ দিয়ে গুণ করি। পাই ৩ গুণ x যোগ ১, যোগ ৪x, সমান ২x গুণ x যোগ ১; অর্থাৎ ৭x যোগ ৩ সমান ২x এর বর্গ যোগ ২x।
সাজালে ২x এর বর্গ বিয়োগ ৫x বিয়োগ ৩ সমান শূন্য, যার উৎপাদক x বিয়োগ ৩ গুণ ২x যোগ ১। তাই x সমান ৩, অথবা ঋণাত্মক অর্ধেক; বিকল্পে আছে ৩।
বিকল্প বসিয়ে যাচাই সবচেয়ে দ্রুত: x তিন হলে ৩ ভাগ ৩ সমান ১, আর ৪ ভাগ ৪ সমান ১, যোগফল ২।
মনে রাখুন: বিকল্প বসান: x = ৩ এ ৩/৩ + ৪/৪ = ২, সঙ্গে সঙ্গে মিলে যায়।
১৮৫. x⁻³ − 0.001 = 0 হলে x² = ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক100
- খ10
- গ110
- ঘ1100
সঠিক উত্তর: ক. 100
প্রশ্নটা ঋণাত্মক সূচকের ধারণা যাচাই করছে। x এর ঘাত ঋণাত্মক ৩ মানে ১ কে x এর ঘন দিয়ে ভাগ। ছাপায় ঘাত হারিয়ে গেছে; x বিয়োগ ৩ পড়লে কোনো বিকল্প মেলে না, তাই ঘাত ঋণাত্মক ৩ ধরাই একমাত্র সংগত পাঠ।
শর্ত থেকে x এর ঘাত ঋণাত্মক ৩ সমান দশমিক শূন্য শূন্য এক, মানে এক হাজার ভাগের এক। অর্থাৎ ১ কে x এর ঘন দিয়ে ভাগ করলে পাই এক হাজার ভাগের এক, তাই x এর ঘন ১০০০।
১০০০ হলো ১০ এর ঘন, তাই x সমান ১০। এখন x এর বর্গ মানে ১০ গুণ ১০, অর্থাৎ ১০০।
ফাঁদ হলো ১০, কারণ ওটা x এর মান; প্রশ্ন চেয়েছে x এর বর্গ। শেষ ধাপে কী চাওয়া হয়েছে, আবার পড়ে নিন।
মনে রাখুন: ০.০০১ = ১০⁻³, তাই x = ১০ সরাসরি দেখা যায়; বর্গ ১০০।
১৮৬. log₃(1/9) = ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক2
- খ3
- গ-2
- ঘ-3
সঠিক উত্তর: গ. -2
লগারিদমের সংজ্ঞা: ভিত্তি a তে কোনো সংখ্যার লগ মানে, a কে কোন ঘাতে তুললে সেই সংখ্যা পাওয়া যায়। এখানে প্রশ্ন: ৩ কে কোন ঘাতে তুললে নয় ভাগের এক হয়?
৯ হলো ৩ এর বর্গ। আর কোনো সংখ্যার উল্টো মানে ঋণাত্মক ঘাত, তাই নয় ভাগের এক হলো ৩ এর ঘাত ঋণাত্মক ২।
অতএব ভিত্তি ৩ তে নয় ভাগের এক এর লগ সমান ঋণাত্মক ২।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ধনাত্মক ২, যা ভিত্তি ৩ তে ৯ এর লগ। নিয়ম মনে রাখুন: ১ এর চেয়ে ছোট সংখ্যার লগ, ভিত্তি ১ এর বেশি হলে, সবসময় ঋণাত্মক।
মনে রাখুন: logₐ(১/b) = −logₐb; log₃৯ = ২, তাই উত্তর −২।
১৮৭. একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক1/2
- খ1/4
- গ-1/2
- ঘ-1/4
সঠিক উত্তর: ঘ. -1/4
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রতিটি পদ আগের পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়, এটাই সাধারণ অনুপাত r। n তম পদ হলো প্রথম পদ a গুণ r এর ঘাত n বিয়োগ ১।
দ্বিতীয় পদ a গুণ r, সমান ঋণাত্মক ৪৮। পঞ্চম পদ a গুণ r এর চতুর্থ ঘাত, সমান চার ভাগের তিন। দুটো ভাগ করলে a কেটে যায় আর থাকে r এর ঘন।
r এর ঘন সমান চার ভাগের তিন কে ঋণাত্মক ৪৮ দিয়ে ভাগ, মানে ঋণাত্মক চৌষট্টি ভাগের এক। ৬৪ হলো ৪ এর ঘন, তাই r সমান ঋণাত্মক চার ভাগের এক।
চিহ্নটাই আসল ফাঁদ। দ্বিতীয় পদ ঋণাত্মক আর পঞ্চম ধনাত্মক; বিজোড়বার গুণে চিহ্ন বদলেছে, তাই r অবশ্যই ঋণাত্মক। ধনাত্মক চার ভাগের এক নিলে পঞ্চম পদ হয় ঋণাত্মক চার ভাগের তিন।
মনে রাখুন: দুই পদের ব্যবধান ৩ ধাপ, তাই r³ = পঞ্চম ÷ দ্বিতীয়; চিহ্ন বদলালে r ঋণাত্মক।
১৮৮. নিচের দুইটি প্রশ্নবোধ চিহ্নের জায়গায় কোন সংখ্যাটি বসবে? ৭/?=?/৩৪৩ (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক৭
- খ৭৭
- গ৩৪৩
- ঘ৪৯
সঠিক উত্তর: ঘ. ৪৯
প্রশ্নে দুটো প্রশ্নবোধক চিহ্নে একই সংখ্যা বসবে: ৭ কে x দিয়ে ভাগ করলে যা হয়, x কে ৩৪৩ দিয়ে ভাগ করলেও তা-ই। এ ধরনের সমানুপাতে x কে বলে ৭ আর ৩৪৩ এর মধ্যসমানুপাতী।
আড়গুণন করলে x এর বর্গ সমান ৭ গুণ ৩৪৩, মানে ২৪০১। তাই x সমান ২৪০১ এর বর্গমূল, অর্থাৎ ৪৯।
কেন ৪৯: ৩৪৩ হলো ৭ এর ঘন, তাই ৭ গুণ ৩৪৩ হলো ৭ এর চতুর্থ ঘাত, যার বর্গমূল ৭ এর বর্গ, মানে ৪৯। দুই পাশই তখন সাত ভাগের এক।
৭ বা ৩৪৩ বসালে এক পাশ ১ আর অন্য পাশ উনপঞ্চাশ ভাগের এক হয়, সমান হয় না।
মনে রাখুন: মধ্যসমানুপাতী = √(a × b) = √(৭ × ৩৪৩) = ৭² = ৪৯।
১৮৯. logₐx = 1, logₐy = 2, logₐz = 3 হলে, logₐ(x³y²/z) এর মান কত? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক1
- খ4
- গ2
- ঘ5
সঠিক উত্তর: খ. 4
প্রশ্নটা লগারিদমের তিনটি নিয়ম একসঙ্গে যাচাই করছে: গুণফলের লগ মানে লগের যোগফল, ভাগফলের লগ মানে লগের বিয়োগফল, আর ঘাতের লগ মানে ঘাত গুণ লগ।
তাই x এর ঘন গুণ y এর বর্গ ভাগ z এর লগ ভেঙে হয় ৩ গুণ লগ x যোগ ২ গুণ লগ y বিয়োগ লগ z, সবগুলো ভিত্তি a তে।
মান বসাই: ৩ গুণ ১ যোগ ২ গুণ ২ বিয়োগ ৩, মানে ৩ যোগ ৪ বিয়োগ ৩, অর্থাৎ ৪।
সাধারণ ভুল হলো ঘাতগুলো সামনে না আনা; তখন ১ যোগ ২ বিয়োগ ৩ সমান শূন্য আসে। আবার z হরে আছে, তাই তার লগ বিয়োগ হবে, যোগ নয়।
মনে রাখুন: ঘাত সামনে আনুন, হরের লগ বিয়োগ করুন: ৩ + ৪ − ৩ = ৪।
১৯০. 2 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্ত:স্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃ্ত্তটি দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
- ক4π-8
- খ2π-4
- গ4π+8
- ঘ2π+4
সঠিক উত্তর: ক. 4π-8
প্রশ্নটা চাইছে বৃত্তের ভেতরে আঁকা বর্গের বাইরে, কিন্তু বৃত্তের ভেতরে যে চারটি বাঁকা অংশ থাকে, তাদের মোট ক্ষেত্রফল। তাই উত্তর হবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল বিয়োগ বর্গের ক্ষেত্রফল।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২, তাই ক্ষেত্রফল পাই গুণ ২ এর বর্গ, মানে ৪ পাই বর্গ সেন্টিমিটার।
অন্তঃস্থ বর্গের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান, মানে ৪। বর্গের ক্ষেত্রফল কর্ণের বর্গের অর্ধেক, তাই ১৬ এর অর্ধেক, ৮ বর্গ সেন্টিমিটার।
আবদ্ধ অংশ ৪ পাই বিয়োগ ৮, প্রায় সাড়ে ৪ বর্গ সেন্টিমিটার। ৪ পাই যোগ ৮ বৃত্তের চেয়েও বড়, যা অসম্ভব; ২ পাই বিয়োগ ৪ হলো সঠিক উত্তরের ঠিক অর্ধেক, আর ২ পাই যোগ ৪ এ অর্ধেক মানের সঙ্গে বিয়োগের বদলে যোগ।
মনে রাখুন: ব্যাসার্ধ r হলে অন্তঃস্থ বর্গ = ২r², তাই আবদ্ধ অংশ = πr² − ২r² = ৪π − ৮।
১৯১. কোন সংখ্যার ০.১˙ ভাগ এবং ০.১ ভাগের মধ্যে পার্থক্য ১.০ হলে, সংখ্যাটি কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক১০
- খ৯
- গ৯০
- ঘ১০০
সঠিক উত্তর: গ. ৯০
প্রশ্নটা আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে রূপান্তর পরীক্ষা করছে। শূন্য দশমিক এক আবৃত্ত, মানে এক এর পর এক চলতেই থাকে, আর এর মান এক নবমাংশ, মানে ১ ভাগ ৯।
কেন এক নবমাংশ? ১ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে শূন্য দশমিক এক এক এক এভাবে চলতে থাকে। আর সাধারণ শূন্য দশমিক এক হলো এক দশমাংশ।
সংখ্যাটি x হলে x ভাগ ৯ বিয়োগ x ভাগ ১০ সমান ১। সাধারণ হর ৯০ নিলে লব হয় ১০ x বিয়োগ ৯ x, মানে x ভাগ ৯০ সমান ১। তাই x সমান ৯০।
যাচাই: ৯০ এর এক নবমাংশ ১০, আর এক দশমাংশ ৯; পার্থক্য ১। ফাঁদ হলো আবৃত্ত চিহ্ন উপেক্ষা করে দুটোকে একই ভাবা।
মনে রাখুন: ১/৯ − ১/১০ = ১/৯০, তাই পার্থক্য ১ হলে সংখ্যা ৯০।
১৯২. একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক২২৫ বর্গমিটার
- খ১৪৪ বর্গমিটার
- গ১৬৯ বর্গমিটার
- ঘ১৯৬ বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৯৬ বর্গমিটার
তিন ধাপের প্রশ্ন: আগে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ, তারপর তার পরিসীমা, শেষে সমান পরিসীমার বর্গের ক্ষেত্রফল।
দৈর্ঘ্য L, প্রস্থ W হলে L গুণ W সমান ১৯২। দৈর্ঘ্য ৪ কমিয়ে প্রস্থ ৪ বাড়ালেও ক্ষেত্রফল একই। বিস্তার করলে দাঁড়ায় চার L বিয়োগ চার W সমান ষোলো, মানে দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ৪ বেশি।
যে দুটি সংখ্যার গুণফল ১৯২ আর পার্থক্য ৪, সেগুলো ১৬ ও ১২। পরিসীমা দুই গুণ ২৮, মানে ৫৬ মিটার। সমান পরিসীমার বর্গের বাহু ৫৬ ভাগ ৪, মানে ১৪ মিটার; ক্ষেত্রফল ১৯৬ বর্গমিটার।
ফাঁদ হলো ১৪৪ বেছে নেওয়া, যা প্রস্থ ১২ এর বর্গ। বর্গের বাহু আসবে পরিসীমা থেকে, আয়তক্ষেত্রের কোনো বাহু থেকে নয়।
মনে রাখুন: ১৯২ এর উৎপাদক জোড়া খুঁজুন যাদের পার্থক্য ৪: ১৬ × ১২।
১৯৩. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ; সংখ্যা তিনটির গড় কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৬
- খ৩
- গ৫
- ঘ৪
সঠিক উত্তর: ঘ. ৪
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা লেখার সবচেয়ে সুবিধাজনক উপায় হলো মাঝেরটাকে n ধরে n বিয়োগ এক, n, n যোগ এক। তাতে যোগফল সরাসরি তিন n হয়।
গুণফল হলো n গুণ n বর্গ বিয়োগ এক। শর্ত অনুযায়ী এটা যোগফলের পাঁচ গুণ, মানে পনেরো n। দুই পাশে n কেটে দিলে n বর্গ বিয়োগ এক সমান পনেরো, তাই n বর্গ ষোলো, আর n চার।
সংখ্যা তিনটি ৩, ৪, ৫। গুণফল ৬০, যোগফল ১২, আর ১২ এর পাঁচ গুণ ৬০; শর্ত মিলেছে। ক্রমিক সংখ্যার গড় সবসময় মাঝের সংখ্যা, তাই গড় ৪।
এখানে প্রশ্ন সংখ্যাগুলো নয়, গড় চেয়েছে। গড় মানেই মাঝের সংখ্যা, এই কথাটা মনে থাকলে কাজ অর্ধেক হয়ে যায়।
মনে রাখুন: গড় = মাঝের সংখ্যা n, আর n² − ১ = ১৫ থেকে n = ৪।
১৯৪. একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৬৬ সেন্টিমিটার
- খ৪২ সেন্টিমিটার
- গ২১ সেন্টিমিটার
- ঘ২২ সেন্টিমিটার
সঠিক উত্তর: খ. ৪২ সেন্টিমিটার
বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর মধ্যে সবচেয়ে বড় হলো ব্যাস, কারণ ব্যাস কেন্দ্র দিয়ে যায়। তাই প্রশ্নটা আসলে ব্যাস জানতে চেয়েছে।
পরিধি দুই পাই r সমান ১৩২। পাই বাইশ ভাগ সাত ধরলে দুই পাই হয় চুয়াল্লিশ ভাগ সাত; তাই r সমান ১৩২ গুণ সাত ভাগ চুয়াল্লিশ, মানে ২১ সেন্টিমিটার।
ক্ষেত্রফল দিয়েও যাচাই: বাইশ ভাগ সাত গুণ ২১ গুণ ২১ সমান ১৩৮৬। তাই ব্যাসার্ধ ২১, ব্যাস দুই গুণ ২১, অর্থাৎ ৪২ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ব্যাসার্ধ ২১ লিখে থেমে যাওয়া। বৃহত্তম জ্যা ব্যাস, ব্যাসার্ধ নয়।
মনে রাখুন: পরিধি ÷ π = ব্যাস: ১৩২ × ৭/২২ = ৪২।
১৯৫. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৭০
- খ৮৫
- গ৭৫
- ঘ১০০
সঠিক উত্তর: গ. ৭৫
প্রথম কাজ একক এক করা: চাঁদা দেওয়া আছে পয়সায়, মোট টাকায়। ৭৫ টাকা মানে ৭৫০০ পয়সা।
ছাত্র-ছাত্রী n জন হলে প্রত্যেকে দেয় n যোগ ২৫ পয়সা। তাই মোট চাঁদা n গুণ n যোগ ২৫, যা ৭৫০০ পয়সা।
এমন দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের পার্থক্য ২৫ আর গুণফল ৭৫০০: ৭৫ আর ১০০। তাই n সমান ৭৫; প্রত্যেকে দিয়েছে ১০০ পয়সা, মানে ১ টাকা।
ফাঁদ হলো ১০০ বেছে নেওয়া, যা আসলে মাথাপিছু চাঁদা পয়সায়, ছাত্রসংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: অপশন × (অপশন + ২৫) = ৭৫০০ যাচাই করুন: শুধু ৭৫ × ১০০ মেলে।
১৯৬. মামুন 240 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক13টি
- খ14টি
- গ15টি
- ঘ16টি
সঠিক উত্তর: গ. 15টি
মোট টাকা স্থির থাকলে সংখ্যা বাড়লে একক দাম কমে। এখানে মোট ২৪০ টাকা; কলম একটি বেশি হলে প্রতিটির দাম এক টাকা কমে।
কলম n টি হলে একটির দাম ২৪০ ভাগ n। n যোগ এক টি হলে দাম ২৪০ ভাগ n যোগ এক। এদের পার্থক্য এক। সাজালে দাঁড়ায় n গুণ n যোগ এক সমান ২৪০।
পরপর দুটি সংখ্যার গুণফল ২৪০ হলে সেগুলো ১৫ ও ১৬। তাই মামুন কিনেছিল ১৫টি কলম। যাচাই: ২৪০ ভাগ ১৫ হলো ১৬ টাকা, ২৪০ ভাগ ১৬ হলো ১৫ টাকা; পার্থক্য এক টাকা।
ফাঁদ হলো ১৬ বেছে নেওয়া; সেটা একটি বেশি পেলে কলমের সংখ্যা, আসলে কেনা সংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: মোট টাকাকে পরপর দুই সংখ্যার গুণফলে ভাঙুন: ২৪০ = ১৫ × ১৬।
১৯৭. একটি পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি- (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৪ সমকোণ
- খ৬ সমকোণ
- গ৮ সমকোণ
- ঘ১০ সমকোণ
সঠিক উত্তর: খ. ৬ সমকোণ
যেকোনো বহুভুজকে একটি শীর্ষ থেকে কর্ণ টেনে ত্রিভুজে ভাগ করা যায়। n বাহুর বহুভুজে ত্রিভুজ হয় n বিয়োগ দুই টি, আর প্রতিটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
তাই অন্তঃকোণের সমষ্টি দুই গুণ n বিয়োগ দুই সমকোণ, অর্থাৎ দুই n বিয়োগ চার সমকোণ।
পঞ্চভুজে n সমান পাঁচ, তাই সমষ্টি দশ বিয়োগ চার, মানে ছয় সমকোণ, বা ৫৪০ ডিগ্রি।
ফাঁদ হলো চার সমকোণ, যা যেকোনো বহুভুজের বহিঃকোণের সমষ্টি, বা চতুর্ভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি।
মনে রাখুন: (২n − ৪) সমকোণ; অথবা (n − ২) × ১৮০°।
১৯৮. ১৭ দিন আগে আবদুর রহিম বলেছিল যে তার জন্মদিন ‘আগামীকাল’। আজ ২৩ তারিখ হলে তার জন্মদিন কোন তারিখে? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৭
- খ৮
- গ৯
- ঘ১০
সঠিক উত্তর: ক. ৭
এ ধরনের প্রশ্নে ঘটনাটা কোন দিনে বলা হয়েছিল, আগে সেটা ঠিক করুন। কথার মধ্যের আগামীকাল বা গতকাল সেই দিনের সাপেক্ষে, আজকের সাপেক্ষে নয়।
আজ ২৩ তারিখ। ১৭ দিন আগে ছিল ২৩ বিয়োগ ১৭, মানে ৬ তারিখ। রহিম কথাটা বলেছিল ৬ তারিখে।
৬ তারিখের আগামীকাল হলো ৭ তারিখ। তাই তার জন্মদিন ৭ তারিখে।
ফাঁদ হলো ৬ লিখে ফেলা, যা কথা বলার দিন, বা আগামীকালকে আজকের সাপেক্ষে ধরে অন্য দিন গোনা।
মনে রাখুন: জন্মদিন = আজ − দিন আগে + ১ = ২৩ − ১৭ + ১ = ৭।
১৯৯. ০.০৩, ০.১২, ০.৪৮, ____ শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক০.৯৬
- খ১.৪৮
- গ১.৯২
- ঘ১.৫০
সঠিক উত্তর: গ. ১.৯২
ধারার প্রশ্নে আগে দেখুন পরপর পদের পার্থক্য স্থির কি না, না হলে অনুপাত স্থির কি না। এখানে পার্থক্য বাড়ছে, কিন্তু অনুপাত স্থির।
শূন্য দশমিক শূন্য তিন কে চার দিয়ে গুণ করলে হয় শূন্য দশমিক এক দুই; আবার শূন্য দশমিক এক দুই কে চার দিয়ে গুণ করলে হয় শূন্য দশমিক চার আট। অর্থাৎ প্রতিটি পদ আগের পদের চার গুণ।
তাই পরের পদ শূন্য দশমিক চার আট গুণ চার, মানে এক দশমিক নয় দুই।
ফাঁদ হলো শূন্য দশমিক নয় ছয়, যা শুধু দুই গুণ করলে আসে। গুণক চার, দুই নয়।
মনে রাখুন: দশমিক সরিয়ে দেখুন: ৩, ১২, ৪৮, ১৯২; প্রতিবার ৪ গুণ।
২০০. ২০ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু’ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৬
- খ৭
- গ৮
- ঘ১০
সঠিক উত্তর: গ. ৮
অনুপাতে ভাগের প্রশ্ন। ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ মানে বড় অংশ ৩ ভাগ হলে ছোট অংশ ২ ভাগ, অর্থাৎ অনুপাত ২ বনাম ৩।
মোট ভাগ ২ যোগ ৩, মানে ৫ ভাগ, যা ২০ ফুট। তাই এক ভাগ ৪ ফুট।
ছোট অংশ ২ ভাগ, মানে ৮ ফুট; বড় অংশ ৩ ভাগ, মানে ১২ ফুট। যাচাই: ১২ এর দুই তৃতীয়াংশ ৮।
ফাঁদ হলো পুরো ২০ ফুটের দুই তৃতীয়াংশ নেওয়া। দুই তৃতীয়াংশ বড় অংশের, পুরো বাঁশের নয়।
মনে রাখুন: ছোট অংশ = ২০ × ২/৫ = ৮।