গাণিতিক যুক্তি · পাতা ১১

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ১১/১৫ · প্রশ্ন ২০১–২২০সব উত্তর দেখান

২০১. (5ⁿ⁺² + 35 × 5ⁿ⁻¹) ÷ (4 × 5ⁿ) = ? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
1. ক4
2. খ8
3. গ5
4. ঘ7
সঠিক উত্তর: খ. 8
প্রশ্নটা সূচকের নিয়ম যাচাই করছে। লব আর হরে একই ভিত্তি ৫ আছে, তাই সবচেয়ে ছোট ঘাতটা, মানে ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১, সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে আনলে n কেটে যায়।
৫ এর ঘাত n যোগ ২ কে লেখা যায় ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১ গুণ ৫ এর ঘন, মানে গুণ ১২৫। তাই লবে ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১ বাইরে রাখলে ভেতরে থাকে ১২৫ যোগ ৩৫, মানে ১৬০; লব হয় ১৬০ গুণ ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১।
হরে ৪ গুণ ৫ এর ঘাত n, যা হলো ৪ গুণ ৫ গুণ ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১, মানে ২০ গুণ ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১। এবার ভাগ করলে ১৬০ ভাগ ২০, উত্তর ৮।
উত্তরে n নেই, তাই একটা দ্রুত যাচাই হলো n এর জায়গায় ১ বসানো: লব ১২৫ যোগ ৩৫ মানে ১৬০, হর ২০, ফল ৮। হরের ৪ কে ২০ এ বদলাতে ভুলে গেলে ১৬০ ভাগ ৪ সমান ৪০ আসে, যা কোনো বিকল্পে নেই; তখন বুঝবেন হর ঠিক করা হয়নি।
মনে রাখুন: উত্তরে n থাকে না, তাই n = ১ বসান: (১২৫ + ৩৫) ÷ ২০ = ৮।
পুরো পাতা ›
২০২. বিষমবাহু △ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত △ABD এর ক্ষেত্রফল x বর্গমিটার। △ABC এর ক্ষেত্রফল কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
1. কx² বর্গমিটার
2. খ2x বর্গমিটার
3. গ(x²)² বর্গমিটার
4. ঘ(x³)³ বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: খ. 2x বর্গমিটার
প্রশ্নটা ত্রিভুজের মধ্যমার একটা মৌলিক ধর্ম যাচাই করছে। মধ্যমা হলো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত রেখা; এখানে AD, আর D হলো BC এর মধ্যবিন্দু।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অর্ধেক গুণ ভূমি গুণ উচ্চতা। ABD আর ADC দুই ত্রিভুজের ভূমি BD ও DC সমান, আর A থেকে BC পর্যন্ত উচ্চতা দুটোর জন্যই এক। তাই দুটোর ক্ষেত্রফলও সমান।
ABD এর ক্ষেত্রফল x হলে ADC এর ক্ষেত্রফলও x, আর পুরো ABC এর ক্ষেত্রফল x যোগ x, মানে ২x বর্গমিটার।
বিষমবাহু কথাটা শুধু বিভ্রান্ত করতে; যেকোনো ত্রিভুজেই মধ্যমা ক্ষেত্রফলকে দুই সমান ভাগে ভাগ করে। বর্গ বা ঘনের বিকল্পগুলো একক মেলে না, কারণ ক্ষেত্রফলের বর্গ আর ক্ষেত্রফল থাকে না।
মনে রাখুন: মধ্যমা সবসময় ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলের দুই ভাগে ভাগ করে; তাই পুরোটা = ২ × অর্ধেক।
পুরো পাতা ›
২০৩. x+y=2, x²+y²=4 হলে x³+y³=? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
1. ক8
2. খ9
3. গ16
4. ঘ25
সঠিক উত্তর: ক. 8
প্রশ্নটা বীজগণিতের দুটি সূত্র একসঙ্গে ব্যবহার করতে বলছে: যোগফলের বর্গ, আর ঘনের যোগফল। কৌশল হলো আগে xy বের করা।
x যোগ y এর বর্গ সমান x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ যোগ দুই xy। এখানে বাম পাশ ২ এর বর্গ, মানে ৪, আর x এর বর্গ যোগ y এর বর্গও ৪। তাই দুই xy শূন্য, অর্থাৎ xy শূন্য।
এবার ঘনের সূত্র: x এর ঘন যোগ y এর ঘন সমান x যোগ y এর ঘন বিয়োগ তিন xy গুণ x যোগ y। xy শূন্য, তাই শুধু থাকে ২ এর ঘন, মানে ৮।
যাচাই: x ২ আর y শূন্য নিলে দুটো শর্তই মেলে, আর x এর ঘন যোগ y এর ঘন হয় ৮। ১৬ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গের বর্গ, ঘন নয়; ওটাই এখানে বড় ফাঁদ।
মনে রাখুন: xy = ০ মানে একটা চলক শূন্য; x = ২, y = ০ বসালেই x³ + y³ = ৮।
পুরো পাতা ›
২০৪. ঘড়িতে এখন ৮টা বাজে। ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি হলো- (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
1. ক১৫০°
2. খ৬০°
3. গ৯০°
4. ঘ১২০°
সঠিক উত্তর: ঘ. ১২০°
ঘড়ির কোণের প্রশ্নে মূল তথ্য: পুরো ঘড়ি ৩৬০ ডিগ্রি, আর ১২টি ঘর, তাই পাশাপাশি দুই সংখ্যার মাঝে ৩০ ডিগ্রি।
ঠিক ৮টায় মিনিটের কাঁটা ১২ তে আর ঘণ্টার কাঁটা পুরোপুরি ৮ এ। ঘড়ির কাঁটার দিকে ১২ থেকে ৮ পর্যন্ত ৮ ঘর, মানে ২৪০ ডিগ্রি।
কিন্তু দুই কাঁটার মাঝের কোণ বলতে ছোট কোণটাই বোঝায়। উল্টো দিকে ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত মাত্র ৪ ঘর, মানে ৪ গুণ ৩০, অর্থাৎ ১২০ ডিগ্রি।
সাধারণ সূত্র: কোণ সমান ৩০ গুণ ঘণ্টা বিয়োগ সাড়ে ৫ গুণ মিনিট, তারপর মান ১৮০ এর বেশি হলে ৩৬০ থেকে বিয়োগ। ১৫০ ডিগ্রি হয় ৭টা বা ৫টায়, এটা একটা কাছাকাছি ফাঁদ।
মনে রাখুন: ঠিক H টায় কোণ = ৩০ × H; ১৮০ এর বেশি হলে ৩৬০ থেকে বিয়োগ। ৮টায় ২৪০ → ১২০°।
পুরো পাতা ›
২০৫. √169 is equal to- (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
1. ক11
2. খ13
3. গ15
4. ঘ17
সঠিক উত্তর: খ. 13
প্রশ্নটা বর্গমূল চেনা যাচাই করছে। কোনো সংখ্যার বর্গমূল হলো সেই সংখ্যা, যাকে নিজের সঙ্গে গুণ করলে মূল সংখ্যাটা পাওয়া যায়।
১৩ গুণ ১৩ হয় ১৬৯, তাই ১৬৯ এর বর্গমূল ১৩।
দ্রুত যাচাইয়ের কৌশল: ১৬৯ এর শেষ অঙ্ক ৯, তাই বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৩ বা ৭। আবার ১৬৯ সংখ্যাটা ১০০ আর ২২৫ এর মাঝে, মানে বর্গমূল ১০ আর ১৫ এর মাঝে; তাই ১৩।
১১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গ মুখস্থ রাখলে এমন প্রশ্নে সময় লাগে না। ১৭ এর শেষ অঙ্কও ৭, কিন্তু ১৭ এর বর্গ ২৮৯, অনেক বড়।
মনে রাখুন: শেষ অঙ্ক ৯ হলে বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৩ বা ৭; ১০০ আর ২২৫ এর মাঝে বলে উত্তর ১৩।
পুরো পাতা ›
২০৬. তিন সদস্যের একটি বিতর্ক দলের সদস্যদের গড় বয়স ২৪ বছর। যদি কোনো সদস্যের বয়সই ২১ বছরের নিচে না হয় তবে তাদের কোনো একজনের সর্বোচ্চ বয়স কত হতে পারে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক২৫ বছর
2. খ৩০ বছর
3. গ২৮ বছর
4. ঘ৩২ বছর
সঠিক উত্তর: খ. ৩০ বছর
গড় দেওয়া থাকলে প্রথম কাজ মোট বের করা: গড় গুণ সদস্যসংখ্যা। একজনের বয়স সর্বোচ্চ করতে চাইলে বাকিদের বয়স যত কম সম্ভব ধরতে হয়।
তিনজনের গড় ২৪ বছর, তাই মোট বয়স ৭২ বছর। কারো বয়স ২১ এর নিচে নয়, তাই বাকি দুজনকে সর্বনিম্ন ২১ বছর করে ধরি; তাদের মোট ৪২।
তৃতীয়জনের সর্বোচ্চ বয়স তাই ৭২ বিয়োগ ৪২, মানে ৩০ বছর।
এর বেশি, যেমন ৩২ ধরলে বাকি দুজনের জন্য থাকে ৪০; তখন একজনকে ২১ এর নিচে নামতেই হবে, যা শর্ত ভাঙে।
মনে রাখুন: মোট − (বাকিদের সংখ্যা × সর্বনিম্ন) = ৭২ − ২ × ২১ = ৩০।
পুরো পাতা ›
২০৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক১০ সে. মি.
2. খ৮ সে. মি.
3. গ৪ সে. মি.
4. ঘ৬ সে. মি.
সঠিক উত্তর: ক. ১০ সে. মি.
তিনটি বাহুই একটা অজানা দিয়ে লেখা যায় বলে পিথাগোরাসের উপপাদ্যে একটাই সমীকরণ দাঁড়ায়। ভূমিকে x ধরলে লম্ব x বিয়োগ দুই, আর অতিভুজ x যোগ দুই।
পিথাগোরাস অনুযায়ী ভূমির বর্গ যোগ লম্বের বর্গ সমান অতিভুজের বর্গ। বিস্তার করে সাজালে দাঁড়ায় x এর বর্গ সমান আট x, তাই x সমান আট।
ভূমি ৮, লম্ব ৬, অতিভুজ ১০ সেন্টিমিটার। যাচাই: ৩৬ যোগ ৬৪ সমান ১০০।
ফাঁদ হলো ৮ লিখে দেওয়া, যা আসলে ভূমি। প্রশ্ন চেয়েছে অতিভুজ, তাই ৮ এর সাথে ২ যোগ করতে হবে।
মনে রাখুন: ৬, ৮, ১০ ত্রয়ীতে লম্ব ভূমির ২ কম, অতিভুজ ২ বেশি; অপশন দেখেই মেলে।
পুরো পাতা ›
২০৮. একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. x ৪ সে. মি. x ১.৫সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক২৬৪০ টি
2. খ১৩২০ টি
3. গ৩৬০০ টি
4. ঘ৫২৪০ টি
সঠিক উত্তর: ক. ২৬৪০ টি
বাক্সে কতগুলো ছোট জিনিস ধরবে, তা বের করার নিরাপদ উপায় হলো প্রতিটি দিক বরাবর আলাদা করে গোনা। প্রতিটি দিক যদি সমানভাবে ভাগ হয়ে যায়, তবে আয়তন ভাগ করেও একই উত্তর আসে।
দৈর্ঘ্য বরাবর ৫৫ ভাগ ৫, মানে ১১টি সাবান। প্রস্থ বরাবর ৪৮ ভাগ ৪, মানে ১২টি। উচ্চতা বরাবর ৩০ ভাগ দেড়, মানে ২০টি।
মোট সাবান ১১ গুণ ১২ গুণ ২০, অর্থাৎ ২৬৪০টি। আয়তন দিয়েও যাচাই: বাক্সের আয়তন ৭৯২০০ ঘন সেন্টিমিটার, সাবানের ৩০ ঘন সেন্টিমিটার; ভাগফল ২৬৪০।
ভুল হয় সাবানের উচ্চতা দেড় এর বদলে তিন ধরলে; তখন অর্ধেক, মানে ১৩২০ আসে।
মনে রাখুন: বাক্সের আয়তন ÷ সাবানের আয়তন = ৭৯২০০ ÷ ৩০ = ২৬৪০ (প্রতিটি দিক পুরো ভাগ যায় বলে)।
পুরো পাতা ›
২০৯. যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক{3, 18, 30}
2. খ{3, 5, 15, 18, 20, 30}
3. গকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: গ. কোনোটিই নয়
দুটি সেটের ছেদ মানে যে উপাদানগুলো দুটো সেটেই আছে। আর সংযোগ মানে যেকোনো একটিতে থাকা সব উপাদান। প্রশ্নটা এই দুইয়ের পার্থক্য পরীক্ষা করছে।
A সেটে আছে ৫, ১৫, ২০, ৩০। B সেটে আছে ৩, ৫, ১৫, ১৮, ২০। দুটোতেই আছে ৫, ১৫ আর ২০; তাই ছেদ হলো ৫, ১৫, ২০।
প্রথম অপশন ৩, ১৮, ৩০ হলো ঠিক উল্টো: যেগুলো মাত্র একটা সেটে আছে। দ্বিতীয় অপশন হলো সংযোগ। কোনোটাই ছেদ নয়, তাই উত্তর কোনোটিই নয়।
ফাঁদ হলো ছেদ আর সংযোগ গুলিয়ে ফেলা। ছেদের চিহ্ন উল্টো ইউ এর মতো, মানে কম; সংযোগের চিহ্ন সোজা ইউ, মানে সব।
মনে রাখুন: ছেদ = দুই সেটের কমন উপাদান; সংযোগ = সব উপাদান একবার করে।
পুরো পাতা ›
২১০. ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১ - - – ধারার ১০ম পদটি কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক৩৪
2. খ৫৫
3. গ৪৮
4. ঘ৬৪
সঠিক উত্তর: খ. ৫৫
এটা বিখ্যাত ফিবোনাচি ধারা। প্রথম দুটি পদ ১ ও ১, তারপর প্রতিটি পদ ঠিক আগের দুটি পদের যোগফল।
যাচাই: ১ যোগ ১ দুই, ১ যোগ ২ তিন, ২ যোগ ৩ পাঁচ, এভাবে ৮, ১৩, ২১। এগুলো প্রথম আটটি পদ।
নবম পদ ১৩ যোগ ২১, মানে ৩৪। দশম পদ ২১ যোগ ৩৪, মানে ৫৫।
ফাঁদ হলো ৩৪ বেছে নেওয়া, যেটা আসলে পরের পদ, মানে নবম। প্রশ্ন দশম পদ চেয়েছে, তাই আরও এক ধাপ যেতে হবে।
মনে রাখুন: পদ গুনে গুনে এগোন; কয়টি পদ দেওয়া আছে সেটা আগে গুনে নিন।
পুরো পাতা ›
২১১. একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. কসমকোণী
2. খসমবাহু
3. গসমদ্বিবাহু
4. ঘস্থুলকোণী
সঠিক উত্তর: ক. সমকোণী
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সবসময় ১৮০ ডিগ্রি। দুটি কোণ জানা থাকলে তৃতীয়টি বের করে তারপর ধরন ঠিক করতে হয়।
দুটি কোণ ৩৫ ও ৫৫ ডিগ্রি, যোগফল ৯০ ডিগ্রি। তাই তৃতীয় কোণ ১৮০ বিয়োগ ৯০, মানে ৯০ ডিগ্রি।
একটি কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী। একটা দ্রুত নিয়ম: দুটি কোণের যোগফল ঠিক ৯০ হলেই ত্রিভুজ সমকোণী।
তিনটি কোণই আলাদা, তাই সমদ্বিবাহু বা সমবাহু নয়; আর কোনো কোণ ৯০ এর বেশি নয়, তাই স্থূলকোণীও নয়।
মনে রাখুন: দুই কোণের যোগফল ৯০° হলে তৃতীয়টি ৯০°, তাই সমকোণী।
পুরো পাতা ›
২১২. ৩ সে. মি., ৪ সে. মি., ৫ সে. মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক৭.৫ সে. মি.
2. খ৬.৫ সে. মি.
3. গ৬ সে. মি.
4. ঘ৭ সে. মি.
সঠিক উত্তর: গ. ৬ সে. মি.
কোনো বস্তু গলিয়ে নতুন বস্তু বানালে আয়তন একই থাকে। তাই তিনটি ঘনকের আয়তন যোগ করলে নতুন ঘনকের আয়তন পাওয়া যায়।
ঘনকের আয়তন বাহুর ঘন। তিন এর ঘন ২৭, চার এর ঘন ৬৪, পাঁচ এর ঘন ১২৫। যোগফল ২১৬ ঘনসেন্টিমিটার।
নতুন ঘনকের বাহু হলো ২১৬ এর ঘনমূল, যা ৬ সেন্টিমিটার, কারণ ছয় গুণ ছয় গুণ ছয় সমান ২১৬।
ফাঁদ হলো বাহুগুলো যোগ করা বা গড় নেওয়া। আয়তন যোগ হয়, বাহু নয়।
মনে রাখুন: ৩³ + ৪³ + ৫³ = ৬³, এটা মনে রাখার মতো একটা সুন্দর তথ্য।
পুরো পাতা ›
২১৩. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক২৪ সে. মি.
2. খ১৮ সে. মি.
3. গ৩৬ সে. মি.
4. ঘ১২ সে. মি.
সঠিক উত্তর: ক. ২৪ সে. মি.
দুই ধাপের প্রশ্ন: আগে রম্বসের ক্ষেত্রফল, তারপর সেই ক্ষেত্রফলের বর্গের পরিসীমা। রম্বসের ক্ষেত্রফল হলো কর্ণ দুটির গুণফলের অর্ধেক।
কর্ণ ৮ ও ৯, গুণফল ৭২, অর্ধেক ৩৬ বর্গসেন্টিমিটার।
বর্গের ক্ষেত্রফল ৩৬ হলে বাহু ৩৬ এর বর্গমূল, মানে ৬। বর্গের পরিসীমা চার গুণ বাহু, অর্থাৎ ২৪ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ৩৬ লিখে থেমে যাওয়া; সেটা ক্ষেত্রফল, প্রশ্ন চেয়েছে পরিসীমা।
মনে রাখুন: পরিসীমা = ৪ × √(½ × d₁ × d₂)।
পুরো পাতা ›
২১৪. যদি (a/b)^(x−3) = (b/a)^(x−5) হয় তবে x এর মান কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক8
2. খ3
3. গ5
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: ঘ. 4
সূচকের সমীকরণ সমাধানের মূল কৌশল: দুই পাশের ভিত্তি এক করা। ভিত্তি এক হলে ঘাত দুটিকে সমান ধরা যায়।
b ভাগ a হলো a ভাগ b এর উল্টো, তাই একে লেখা যায় a ভাগ b এর মাইনাস এক ঘাত। তাহলে ডান পাশ হয় a ভাগ b এর ঘাত মাইনাস এক গুণ x বিয়োগ পাঁচ, অর্থাৎ পাঁচ বিয়োগ x।
এখন ঘাত সমান করি: x বিয়োগ তিন সমান পাঁচ বিয়োগ x। তাহলে দুই x সমান আট, আর x সমান চার।
ফাঁদ হলো দুই x সমান আট পেয়ে আট লিখে ফেলা; শেষে দুই দিয়ে ভাগ করতে হবে।
মনে রাখুন: x = ৪ বসালে দুই পাশ (a/b)¹ ও (b/a)⁻¹, যা সমান।
পুরো পাতা ›
২১৫. ∛(∛a³) = কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. কa
2. খ1
3. গa^(1/3)
4. ঘa³
সঠিক উত্তর: গ. a^(1/3)
মূলকে ভগ্নাংশ ঘাতে লিখলে এমন প্রশ্ন সহজ হয়। ঘনমূল মানে এক তৃতীয়াংশ ঘাত।
ভেতরে আছে a এর ঘন। তার ঘনমূল হলো a, কারণ ঘন আর ঘনমূল একে অপরকে কেটে দেয়।
এখন বাইরের ঘনমূল বাকি থাকে a এর উপর। a এর ঘনমূল হলো a এর এক তৃতীয়াংশ ঘাত।
ফাঁদ হলো দুটো ঘনমূলের একটাকে ভুলে গিয়ে শুধু a লেখা। মোট ঘাত তিন গুণ এক তৃতীয়াংশ গুণ এক তৃতীয়াংশ, মানে এক তৃতীয়াংশ।
মনে রাখুন: প্রতিটি ঘনমূলে ঘাত ৩ দিয়ে ভাগ: ৩ → ১ → ১/৩।
পুরো পাতা ›
২১৬. নিচের কোনটি (√5 – √3) এর সমান? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক2/(√3+√5)
2. খ1/(2√5+√3)
3. গ(1/√5)+(1/√3)
4. ঘ√2
সঠিক উত্তর: ক. 2/(√3+√5)
এই প্রশ্ন হরের করণী দূর করা, মানে হরকে মূলদ করার কৌশল পরীক্ষা করছে। মূল সূত্র: রুট a যোগ রুট b গুণ রুট a বিয়োগ রুট b সমান a বিয়োগ b।
প্রথম অপশন দুই ভাগ রুট তিন যোগ রুট পাঁচ। লব ও হরকে রুট পাঁচ বিয়োগ রুট তিন দিয়ে গুণ করলে হর হয় পাঁচ বিয়োগ তিন, মানে দুই।
লবে থাকে দুই গুণ রুট পাঁচ বিয়োগ রুট তিন। দুই কেটে গেলে বাকি থাকে ঠিক রুট পাঁচ বিয়োগ রুট তিন।
ফাঁদ হলো রুট দুই, কারণ অনেকে ভাবেন রুট পাঁচ বিয়োগ রুট তিন মানে পাঁচ বিয়োগ তিন এর রুট। বিয়োগের রুট আর রুটের বিয়োগ এক জিনিস নয়।
মনে রাখুন: দশমিকে যাচাই: √৫ − √৩ ≈ ০.৫০৪ এবং ২/(√৩ + √৫) ≈ ০.৫০৪।
পুরো পাতা ›
২১৭. 36 · 2^(3x−8) = 3² হলে x এর মান কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক7/3
2. খ3
3. গ8/3
4. ঘ2
সঠিক উত্তর: ঘ. 2
সূচকের সমীকরণে আগে অজানা ঘাতের রাশিটাকে আলাদা করুন, তারপর দুই পাশে একই ভিত্তি আনুন।
বাম পাশে ৩৬ গুণ ২ এর একটি ঘাত, যে ঘাতটি তিন x বিয়োগ ৮; ডান পাশে ৩ এর বর্গ, মানে ৯। দুই পাশকে ৩৬ দিয়ে ভাগ করলে ২ এর সেই ঘাত সমান ৯ ভাগ ৩৬, মানে এক চতুর্থাংশ।
এক চতুর্থাংশ হলো ২ এর মাইনাস ২ ঘাত। তাই তিন x বিয়োগ ৮ সমান মাইনাস ২, তিন x সমান ৬, আর x সমান ২।
ফাঁদ হলো ঘাতকে শূন্য ধরা, যা থেকে আট ভাগ তিন আসে। কিন্তু ঘাত শূন্য হলে বাম পাশ ৩৬ ই থাকে, ৯ হয় না।
মনে রাখুন: অপশন বসান: x = ২ হলে ঘাত −২, ৩৬ × ১/৪ = ৯ = ৩²।
পুরো পাতা ›
২১৮. x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক(x³-2y²)/xy
2. খ(y²-x²)/xy
3. গ(x²-y)/xy
4. ঘ(2x²-y²)/xy
সঠিক উত্তর: খ. (y²-x²)/xy
কোনো রাশির সাথে কত যোগ করলে আরেকটা রাশি হয়, তা বের করতে দ্বিতীয়টি থেকে প্রথমটি বিয়োগ করতে হয়। এখানে চাই y ভাগ x বিয়োগ x ভাগ y।
দুটির সাধারণ হর x গুণ y। y ভাগ x হয় y বর্গ ভাগ xy, আর x ভাগ y হয় x বর্গ ভাগ xy।
বিয়োগ করলে পাই y বর্গ বিয়োগ x বর্গ, ভাগ xy। এটাই দ্বিতীয় অপশন।
নিশ্চিত হতে x সমান ১, y সমান ২ বসান: x ভাগ y অর্ধেক, y ভাগ x দুই। দ্বিতীয় অপশনে আসে দেড়, আর অর্ধেক যোগ দেড় ঠিক দুই।
মনে রাখুন: x = ১, y = ২ বসিয়ে যে অপশনে ০.৫ + অপশন = ২ হয়, সেটাই উত্তর।
পুরো পাতা ›
২১৯. (∛3 × ∛4)⁶ = ? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক12
2. খ48
3. গ36
4. ঘ144
সঠিক উত্তর: ঘ. 144
একই ধরনের মূল গুণ করলে ভেতরের সংখ্যা গুণ করে একটাই মূল লেখা যায়। আর মূলকে ভগ্নাংশ ঘাতে লিখলে বড় ঘাত সহজে হিসাব হয়।
তিন এর ঘনমূল গুণ চার এর ঘনমূল সমান বারো এর ঘনমূল, মানে বারো এর এক তৃতীয়াংশ ঘাত।
এটাকে ছয় ঘাতে তুললে ঘাত হয় এক তৃতীয়াংশ গুণ ছয়, মানে দুই। তাই উত্তর বারো এর বর্গ, অর্থাৎ ১৪৪।
ফাঁদ হলো ১২ লেখা; সেটা তিন ঘাতে তুললে আসত। এখানে ঘাত ছয়।
মনে রাখুন: (∛a)⁶ = a²; তাই (∛১২)⁶ = ১৪৪।
পুরো পাতা ›
২২০. m সংখ্যক সংখ্যার গড় x এবং n সংখ্যক সংখ্যার গড় y হলে সব সংখ্যার গড় কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
1. ক(x+y)/mn
2. খ(x+y)/(m+n)
3. গ(mx+ny)/(m+n)
4. ঘ(mx+ny)mn
সঠিক উত্তর: গ. (mx+ny)/(m+n)
গড় একত্র করার মূল নিয়ম: আগে প্রতিটি দলের মোট বের করুন, তারপর সব মোট যোগ করে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন। গড়ের গড় সরাসরি নেওয়া যায় না, যদি না দুই দলের আকার সমান হয়।
m টি সংখ্যার গড় x, তাই তাদের মোট m গুণ x। n টি সংখ্যার গড় y, তাই তাদের মোট n গুণ y।
সব মিলিয়ে সংখ্যা আছে m যোগ n টি, আর মোট m x যোগ n y। তাই গড় হলো m x যোগ n y, ভাগ m যোগ n। একে ভারযুক্ত গড় বলে।
যাচাই করুন: ২টি সংখ্যার গড় ১০ আর ৩টির গড় ২০ হলে মোট ৮০, পাঁচটি সংখ্যা, গড় ১৬। তৃতীয় অপশন ঠিক ১৬ দেয়, অন্যগুলো দেয় না।
মনে রাখুন: m = ২, x = ১০, n = ৩, y = ২০ বসান: সঠিক গড় ১৬।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ২২১–২৪০ ›