গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৮

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৮/১৫ · প্রশ্ন ১৪১–১৬০সব উত্তর দেখান

১৪১. 1 + 3 + 5 +……….. + (2x – 1) কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. কx(x – 1)
2. খx(x + 1)/2
3. গx(x + 1)
4. ঘx²
সঠিক উত্তর: ঘ. x²
প্রশ্নটা প্রথম কয়েকটি বিজোড় সংখ্যার যোগফলের সূত্র যাচাই করছে। ১ থেকে শুরু করে ২x বিয়োগ ১ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা ঠিক x টি, কারণ k তম বিজোড় সংখ্যা হলো ২k বিয়োগ ১।
সমান্তর ধারার যোগফল সমান পদসংখ্যা গুণ প্রথম ও শেষ পদের গড়। প্রথম পদ ১, শেষ পদ ২x বিয়োগ ১, গড় x। তাই যোগফল x গুণ x, মানে x এর বর্গ।
ছোট সংখ্যায় যাচাই করুন: ১ সমান ১, ১ যোগ ৩ সমান ৪, ১ যোগ ৩ যোগ ৫ সমান ৯। সবগুলোই বর্গসংখ্যা।
x গুণ x যোগ ১ এর অর্ধেক হলো ১ থেকে x পর্যন্ত সব স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল, আর x গুণ x যোগ ১ হলো প্রথম x টি জোড় সংখ্যার যোগফল। এই দুটো সূত্রের সঙ্গে গুলিয়ে ফেলাই এখানে ফাঁদ।
মনে রাখুন: x = ১ বসান: যোগফল ১; বিকল্পে শুধু x² আর x(x + ১)/২ তে ১ আসে, x = ২ এ ৪ আসে শুধু x² এ।
পুরো পাতা ›
১৪২. log_√3 81 কত? (ভিত্তি √3) (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক4
2. খ273
3. গ8
4. ঘ18
সঠিক উত্তর: গ. 8
প্রশ্নে ভিত্তি হলো ৩ এর বর্গমূল আর সংখ্যা ৮১। মানে খুঁজতে হবে, ৩ এর বর্গমূলকে কোন ঘাতে তুললে ৮১ হয়।
দুটোকেই ৩ এর ঘাত হিসেবে লিখি। ৩ এর বর্গমূল হলো ৩ এর ঘাত অর্ধেক, আর ৮১ হলো ৩ এর চতুর্থ ঘাত।
ধরি উত্তর k। তাহলে ৩ এর ঘাত অর্ধেক k সমান ৩ এর ঘাত ৪, তাই অর্ধেক k সমান ৪, অর্থাৎ k সমান ৮। যাচাই: ৩ এর বর্গমূলের ৮ ঘাত মানে ৩ এর চতুর্থ ঘাত, ৮১।
ফাঁদ হলো ৪, যা ভিত্তি ৩ ধরে লগ করলে আসে; ভিত্তি ৩ এর বর্গমূল হওয়ায় উত্তর দ্বিগুণ হয়।
মনে রাখুন: ভিত্তি √a হলে লগ দ্বিগুণ: log₃৮১ = ৪, তাই log√৩ ৮১ = ৮।
পুরো পাতা ›
১৪৩. যদি (25)²ˣ⁺³ = 5³ˣ⁺⁶ হয় তবে x = কত? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক0
2. খ1
3. গ-1
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: ক. 0
সূচকের সমীকরণে কৌশল হলো দুই পাশকে একই ভিত্তিতে আনা। ভিত্তি সমান হলে ঘাতগুলোও সমান হতে হবে।
২৫ হলো ৫ এর বর্গ। তাই ২৫ এর ঘাত ২x যোগ ৩ মানে ৫ এর ঘাত ২ গুণ ২x যোগ ৩, অর্থাৎ ৫ এর ঘাত ৪x যোগ ৬।
এখন ৫ এর ঘাত ৪x যোগ ৬ সমান ৫ এর ঘাত ৩x যোগ ৬, তাই ৪x যোগ ৬ সমান ৩x যোগ ৬, অর্থাৎ x সমান শূন্য।
যাচাই: x শূন্য হলে বাম পাশ ২৫ এর ঘন, ডান পাশ ৫ এর ষষ্ঠ ঘাত; দুটোই ১৫৬২৫। ঘাতকে ২ দিয়ে গুণ করতে ভুলে গেলে সমীকরণ মেলে না, এটাই সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: ভিত্তি এক করে ঘাত মেলান: ২(২x + ৩) = ৩x + ৬ ⇒ x = ০।
পুরো পাতা ›
১৪৪. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক24
2. খ8
3. গ16
4. ঘ32
সঠিক উত্তর: গ. 16
প্রশ্নে “বর্ণের” আসলে “কর্ণের” ছাপার ভুল। প্রশ্নটা বর্গের বাহু আর কর্ণের সম্পর্ক যাচাই করছে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে, বাহু a হলে কর্ণের বর্গ সমান a এর বর্গ যোগ a এর বর্গ, মানে কর্ণ সমান a গুণ ২ এর বর্গমূল।
এখানে কর্ণ ৪ গুণ ২ এর বর্গমূল, তাই বাহু ৪। ক্ষেত্রফল ৪ গুণ ৪, মানে ১৬ বর্গ একক।
আরেক সূত্র: ক্ষেত্রফল সমান কর্ণের বর্গের অর্ধেক। কর্ণের বর্গ ৩২, তার অর্ধেক ১৬। অর্ধেক করতে ভুলে গেলেই ৩২ আসে, এটাই প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: বর্গের ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)² ÷ ২ = ৩২ ÷ ২ = ১৬।
পুরো পাতা ›
১৪৫. △ABC – ∠A = 40°, ∠B = 70°, হলে △ABC কি ধরনের ত্রিভুজ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. কসমকোণী
2. খস্থুলকোণী
3. গসমদ্বিবাহু
4. ঘসমবাহু
সঠিক উত্তর: গ. সমদ্বিবাহু
ত্রিভুজের শ্রেণিবিভাগ দুইভাবে হয়: কোণ দেখে, যেমন সমকোণী, স্থূলকোণী, সূক্ষ্মকোণী; আর বাহু দেখে, যেমন সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু। এখানে প্রথমে তৃতীয় কোণটা দরকার।
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি। তাই কোণ C সমান ১৮০ বিয়োগ ৪০ বিয়োগ ৭০, মানে ৭০ ডিগ্রি।
কোণ B আর কোণ C দুটোই ৭০ ডিগ্রি। ত্রিভুজে দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহু দুটিও সমান, তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
এটা সমকোণী নয়, কারণ কোনো কোণ ৯০ নয়; স্থূলকোণী নয়, কারণ কোনো কোণ ৯০ এর বেশি নয়; সমবাহু নয়, কারণ তাতে তিন কোণই ৬০ হতো। কোণের দিক থেকে এটা আসলে সূক্ষ্মকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
মনে রাখুন: দুটি কোণ সমান দেখলেই সমদ্বিবাহু; ৪০ + ৭০ = ১১০, বাকি ৭০।
পুরো পাতা ›
১৪৬. x² + y² = 185, x – y = 3 এর একটি সমাধান হল: (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক(7,4)
2. খ(9,6)
3. গ(10,7)
4. ঘ(11,8)
সঠিক উত্তর: ঘ. (11,8)
এমন প্রশ্নে সমীকরণ সমাধানের চেয়ে বিকল্প বসিয়ে যাচাই করা দ্রুত। খেয়াল করুন, চারটি বিকল্পেই x বিয়োগ y সমান ৩, তাই প্রথম শর্ত কিছু বাদ দেয় না।
এখন দ্বিতীয় শর্ত x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ সমান ১৮৫ দেখি। ৭ আর ৪ এ পাই ৪৯ যোগ ১৬ সমান ৬৫। ৯ আর ৬ এ ১১৭। ১০ আর ৭ এ ১৪৯।
১১ আর ৮ এ পাই ১২১ যোগ ৬৪, মানে ১৮৫। তাই সমাধান ১১, ৮।
বীজগণিত দিয়েও করা যায়: x বিয়োগ y এর বর্গ ৯, তাই দুই xy সমান ১৮৫ বিয়োগ ৯, মানে ১৭৬, আর xy সমান ৮৮; ১১ গুণ ৮ সমান ৮৮।
মনে রাখুন: (x − y)² = ৯ ⇒ xy = (১৮৫ − ৯)/২ = ৮৮ = ১১ × ৮।
পুরো পাতা ›
১৪৭. x – 1/x = 1, x³ – 1/x³ = ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক1
2. খ2
3. গ3
4. ঘ4
সঠিক উত্তর: ঘ. 4
প্রশ্নটা ঘনের একটা সূত্র যাচাই করছে: a বিয়োগ b এর ঘন সমান a এর ঘন বিয়োগ b এর ঘন বিয়োগ তিন ab গুণ a বিয়োগ b। এখানে a হলো x, আর b হলো x ভাগের এক।
সুবিধা হলো a আর b এর গুণফল ১। পার্থক্য x বিয়োগ x ভাগের এক কে k বলি। সূত্র উল্টে লিখলে x এর ঘন বিয়োগ x এর ঘন ভাগের এক সমান k এর ঘন যোগ তিন k।
এখানে k সমান ১, তাই পাই ১ এর ঘন যোগ ৩ গুণ ১, মানে ১ যোগ ৩, অর্থাৎ ৪।
সাধারণ ভুল হলো শুধু k এর ঘন নিয়ে উত্তর ১ বলা, যেন ঘনের পার্থক্য আর পার্থক্যের ঘন একই জিনিস। মাঝের তিন k অংশটা ভুলবেন না।
মনে রাখুন: x − ১/x = k হলে x³ − ১/x³ = k³ + ৩k; k = ১ ⇒ ৪।
পুরো পাতা ›
১৪৮. ১ + ৫ + ৯ + - - - - + ৮১ = ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক৯৬১
2. খ৮৬১
3. গ৭৬১
4. ঘ৬৬১
সঠিক উত্তর: খ. ৮৬১
এটা সমান্তর ধারার যোগফলের প্রশ্ন। ধারাটা ১ থেকে শুরু, প্রতিবার ৪ করে বাড়ে, শেষ হয় ৮১ তে।
আগে পদসংখ্যা বের করি: শেষ পদ বিয়োগ প্রথম পদ, ভাগ সাধারণ অন্তর, যোগ ১। মানে ৮০ ভাগ ৪ সমান ২০, যোগ ১, মোট ২১টি পদ।
যোগফল সমান পদসংখ্যা গুণ প্রথম ও শেষ পদের গড়। গড় হলো ১ যোগ ৮১ এর অর্ধেক, মানে ৪১। তাই যোগফল ২১ গুণ ৪১, অর্থাৎ ৮৬১।
সাধারণ ভুল হলো পদসংখ্যায় ১ যোগ করতে ভুলে যাওয়া; তখন ২০ গুণ ৪১ সমান ৮২০ আসে।
মনে রাখুন: যোগফল = পদসংখ্যা × মাঝের পদ = ২১ × ৪১ = ৮৬১।
পুরো পাতা ›
১৪৯. √15.6025 = ? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক3.85
2. খ3.75
3. গ3.95
4. ঘ3.65
সঠিক উত্তর: গ. 3.95
দশমিক সংখ্যার বর্গমূলের প্রশ্নে বিকল্প থেকে বাছার দুটো দ্রুত সংকেত আছে: শেষ অঙ্ক আর আনুমানিক মান।
১৫ দশমিক ছয় শূন্য দুই পাঁচ এর শেষ অঙ্ক ৫, তাই বর্গমূলের শেষ অঙ্কও ৫; চারটা বিকল্পেই তা মেলে, তাই আনুমানিক মান দেখতে হবে। ৪ এর বর্গ ১৬, যা ১৫ দশমিক ৬ এর চেয়ে একটু বেশি; তাই উত্তর ৪ এর একটু নিচে।
৩ দশমিক ৯৫ এর বর্গ: ৩৯৫ গুণ ৩৯৫ সমান ১৫৬০২৫, দশমিকের পর ৪ ঘর রাখলে ১৫ দশমিক ছয় শূন্য দুই পাঁচ। মিলে গেল।
শেষে ৫ থাকা সংখ্যার বর্গের দ্রুত নিয়ম: ৩৯৫ এর বর্গ মানে ৩৯ গুণ ৪০ সমান ১৫৬০, পেছনে ২৫ বসান। ৩ দশমিক ৮৫ এর বর্গ মাত্র ১৪ দশমিক ৮২, অনেক কম।
মনে রাখুন: ৫ দিয়ে শেষ সংখ্যার বর্গ: n৫² = n × (n + ১) এর পরে ২৫; ৩৯ × ৪০ = ১৫৬০ → ১৫৬০২৫।
পুরো পাতা ›
১৫০. দুটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক৪
2. খ৭
3. গ৮
4. ঘছেদ করে না
সঠিক উত্তর: ঘ. ছেদ করে না
প্রশ্নটা জ্যামিতির একটা মৌলিক সংজ্ঞা যাচাই করছে। একই সমতলে থাকা দুটি সরলরেখা যদি কখনো না মেলে, তাদের বলে সমান্তরাল রেখা।
সমান্তরাল রেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব সব জায়গায় সমান থাকে। রেখা দুটিকে দুই দিকে যত দূরই বাড়ানো হোক, দূরত্ব কমে না, তাই তারা কোনো বিন্দুতে মিলিত হয় না। ছেদবিন্দুর সংখ্যা শূন্য।
তুলনার জন্য মনে রাখুন: দুটি ভিন্ন সরলরেখা ছেদ করলে ঠিক একটি বিন্দুতেই ছেদ করে, কখনো দুই বা তার বেশি বিন্দুতে নয়। আর একটি রেখা অন্যটির উপর পুরোপুরি পড়ে গেলে তাদের সাধারণ বিন্দু অসংখ্য।
তাই চার, সাত বা আট, কোনো সংখ্যাই দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দুর সংখ্যা হতে পারে না; এগুলো শুধু বিভ্রান্ত করার জন্য দেওয়া।
মনে রাখুন: দুটি সরলরেখার ছেদবিন্দু হয় ০, ১ বা অসংখ্য; ২ বা তার বেশি নির্দিষ্ট সংখ্যা কখনো নয়।
পুরো পাতা ›
১৫১. ২-এর কত শতাংশ ৮ হবে? (৩৬তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক২০০
2. খ৪০০
3. গ৩৪৫
4. ঘ৩০০
সঠিক উত্তর: খ. ৪০০
প্রশ্নটা জানতে চায়, ২ এর কত শতাংশ নিলে ৮ পাওয়া যায়। নিয়ম হলো: পাওয়া সংখ্যাটাকে ভিত্তি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ করা। “২ এর” কথাটাই বলে দেয় ভিত্তি হলো ২।
৮ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৪, মানে ৮ হলো ২ এর চার গুণ। চার গুণকে শতাংশে বললে চারশো শতাংশ।
যাচাই করি: ২ এর একশো শতাংশ হলো ২ নিজেই, তাই চারশো শতাংশ হলো তার চার গুণ, অর্থাৎ ৮।
ফাঁদ হলো তিনশো। ২ থেকে ৮ এ বাড়তি ৬, আর ৬ হলো ২ এর তিনশো শতাংশ; এটা বৃদ্ধির হার, পুরো ৮ এর শতাংশ নয়।
মনে রাখুন: b, a এর কত শতাংশ: (b ÷ a) × ১০০। ৮ ÷ ২ = ৪, তাই ৪০০।
পুরো পাতা ›
১৫২. 10% মুনাফায় 3000 টাকা এবং 8% মুনাফায় 2000 টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত হারে মুনাফা পাওয়া যাবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক9%
2. খ9.2%
3. গ8%
4. ঘ8.2%
সঠিক উত্তর: খ. 9.2%
প্রশ্নটা দুই ভিন্ন হারের বিনিয়োগের গড় মুনাফার হার চায়। গড় হার বের করতে হয় মোট মুনাফাকে মোট মূলধন দিয়ে ভাগ করে; দুই হারের সরল গড় নিলে চলে না, কারণ দুই অংশে টাকার পরিমাণ সমান নয়।
৩০০০ টাকার ১০ শতাংশ মুনাফা ৩০০ টাকা। ২০০০ টাকার ৮ শতাংশ মুনাফা ১৬০ টাকা। মোট মুনাফা ৪৬০ টাকা, আর মোট মূলধন ৫০০০ টাকা।
৪৬০ টাকা ৫০০০ টাকার কত শতাংশ: ৪৬০ কে ৫০০০ দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ করলে হয় ৯ দশমিক ২ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ৯ শতাংশ, যা ১০ আর ৮ এর সরল গড়। বেশি টাকা খাটছে ১০ শতাংশ হারে, তাই আসল গড় ৯ এর চেয়ে একটু বেশি, ১০ এর দিকে ঝুঁকে থাকে।
মনে রাখুন: গড় হার = (৩০০০ × ১০ + ২০০০ × ৮) ÷ (৩০০০ + ২০০০) = ৪৬০০০ ÷ ৫০০০ = ৯.২%।
পুরো পাতা ›
১৫৩. 100 টাকায় 10 টি ডিম কিনে 100 টাকায় 8 টি ডিম বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত হবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক16%
2. খ20%
3. গ25%
4. ঘ28%
সঠিক উত্তর: গ. 25%
প্রশ্নটা লাভের শতকরা হার চায়। লাভের হার সবসময় কেনা দামের উপর হিসাব হয়: লাভকে কেনা দাম দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ।
১০০ টাকায় ১০টি কিনলে একটির কেনা দাম ১০ টাকা। ১০০ টাকায় ৮টি বেচলে একটির বেচা দাম ১২ টাকা ৫০ পয়সা। তাহলে প্রতিটিতে লাভ ২ টাকা ৫০ পয়সা।
২ টাকা ৫০ পয়সা হলো ১০ টাকার চার ভাগের এক ভাগ, অর্থাৎ ২৫ শতাংশ। তাই লাভ ২৫ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ। লাভ ২ টাকা ৫০ পয়সাকে বেচা দাম ১২ টাকা ৫০ পয়সা দিয়ে ভাগ করলে ২০ শতাংশ আসে, কিন্তু লাভের হার হয় কেনা দামের উপর।
মনে রাখুন: একই টাকায় কেনা ও বেচা হলে: (কেনা সংখ্যা − বেচা সংখ্যা) ÷ বেচা সংখ্যা × ১০০ = (১০ − ৮) ÷ ৮ × ১০০ = ২৫%।
পুরো পাতা ›
১৫৪. দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক57
2. খ75
3. গ39
4. ঘ93
সঠিক উত্তর: গ. 39
দুই অঙ্কের সংখ্যায় দশকের অঙ্ককে ১০ দিয়ে গুণ করে এককের অঙ্ক যোগ করলে সংখ্যাটা পাওয়া যায়। অঙ্ক দুটি স্থান বদলালে যে পার্থক্য হয়, তা সবসময় অঙ্ক দুটির পার্থক্যের ৯ গুণ।
এখানে স্থান বদলে সংখ্যা ৫৪ বেড়েছে। ৫৪ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ৬, তাই অঙ্ক দুটির পার্থক্য ৬। সংখ্যা বেড়েছে, মানে এককের অঙ্কটাই বড়।
অঙ্ক দুটির যোগফল ১২ আর পার্থক্য ৬। যোগফল আর পার্থক্য যোগ করে অর্ধেক নিলে বড় অঙ্ক ৯, ছোট অঙ্ক ৩। ছোট অঙ্ক দশকের ঘরে, তাই সংখ্যা ৩৯। যাচাই: ৯৩ থেকে ৩৯ বাদ দিলে ঠিক ৫৪।
ফাঁদ হলো ৯৩। এর অঙ্কের যোগফলও ১২, কিন্তু উল্টালে ৩৯ হয়, অর্থাৎ সংখ্যা ৫৪ কমে যায়, বাড়ে না।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই: অঙ্কের যোগফল ১২ আর এককের অঙ্ক দশকের চেয়ে ৫৪ ÷ ৯ = ৬ বেশি, এমন সংখ্যা শুধু ৩৯।
পুরো পাতা ›
১৫৫. একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে 15-তম পদটি– (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক140
2. খ142
3. গ148
4. ঘ150
সঠিক উত্তর: খ. 142
সমান্তর অনুক্রমে প্রতিটি পদ আগের পদের সাথে একই সংখ্যা, মানে সাধারণ অন্তর, যোগ করে পাওয়া যায়। তাই যেকোনো পদ হলো প্রথম পদের সাথে, পদের ক্রম থেকে এক কম বার, সাধারণ অন্তর যোগ।
ষষ্ঠ পদ মানে প্রথম পদের সাথে পাঁচবার ১০ যোগ, অর্থাৎ প্রথম পদ যোগ ৫০। এটা ৫২ হলে প্রথম পদ ২।
পঞ্চদশ পদ হলো প্রথম পদের সাথে চোদ্দোবার ১০, মানে ২ যোগ ১৪০, অর্থাৎ ১৪২। আরও সহজে: ষষ্ঠ থেকে পঞ্চদশ পদে যেতে আরও নয়বার ১০ যোগ হয়, তাই ৫২ যোগ ৯০, সেই ১৪২।
ফাঁদ হলো ১৫০, যেখানে পদের ক্রম পনেরোকে সরাসরি ১০ দিয়ে গুণ করা হয়েছে। আর প্রথম পদ ২ যোগ করতে ভুলে গেলে আসে ১৪০।
মনে রাখুন: a₁₅ = a₆ + ৯d = ৫২ + ৯০ = ১৪২; প্রথম পদ বের না করেই।
পুরো পাতা ›
১৫৬. একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি - – (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক5
2. খ10
3. গ12
4. ঘ8
সঠিক উত্তর: ক. 5
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রতিটি পদ আগের পদকে একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা, মানে সাধারণ অনুপাত, দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়। তৃতীয় পদ থেকে ষষ্ঠ পদে যেতে তিনবার সেই অনুপাত দিয়ে গুণ করতে হয়।
তাই ষষ্ঠ পদকে তৃতীয় পদ দিয়ে ভাগ করলে পাই অনুপাতের ঘন। ১৬০ কে ২০ দিয়ে ভাগ করলে ৮, আর ৮ হলো ২ এর ঘন, তাই সাধারণ অনুপাত ২।
তৃতীয় পদ মানে প্রথম পদকে দুবার ২ দিয়ে গুণ, অর্থাৎ চার গুণ। চার গুণ যদি ২০ হয়, প্রথম পদ ৫। অনুক্রমটা দাঁড়ায় ৫, ১০, ২০, ৪০, ৮০, ১৬০।
ফাঁদ হলো ১০ আর ৮। ১০ আসলে দ্বিতীয় পদ, আর ৮ হলো অনুপাতের ঘন, অনুপাত বা প্রথম পদ নয়।
মনে রাখুন: ৩য় থেকে ৬ষ্ঠ পদ ৩ ধাপ: ১৬০ ÷ ২০ = ৮ = ২³; ৩য় পদ থেকে ২ ধাপ পিছিয়ে ২০ ÷ ২ ÷ ২ = ৫।
পুরো পাতা ›
১৫৭. 17 সে.মি., 15 সে.মি., 8 সে.মি বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে - - (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. কসমবাহু
2. খসমদ্বিবাহু
3. গসমকোণী
4. ঘস্থূলকোণী
সঠিক উত্তর: গ. সমকোণী
বাহুর দৈর্ঘ্য দেখে ত্রিভুজের ধরন চেনার নিয়ম: বৃহত্তম বাহুর বর্গকে বাকি দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সাথে তুলনা করুন। সমান হলে সমকোণী, বড় হলে স্থূলকোণী, ছোট হলে সূক্ষ্মকোণী।
এখানে বৃহত্তম বাহু ১৭, তার বর্গ ২৮৯। বাকি দুই বাহু ৮ আর ১৫ এর বর্গ ৬৪ আর ২২৫, যোগফল ২৮৯।
দুটো সমান, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্য খাটে, আর ১৭ সেন্টিমিটার বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ। ৮, ১৫, ১৭ একটা পরিচিত পিথাগোরীয় ত্রয়ী, যেমন ৩, ৪, ৫ বা ৫, ১২, ১৩।
তিনটি বাহুই আলাদা, তাই সমবাহু বা সমদ্বিবাহু হওয়ার প্রশ্নই নেই। আর বর্গের যোগফল ঠিক সমান বলে এটা স্থূলকোণীও নয়।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫, ৫-১২-১৩, ৮-১৫-১৭, ৭-২৪-২৫: এই পিথাগোরীয় ত্রয়ীগুলো মুখস্থ রাখুন, দেখেই উত্তর।
পুরো পাতা ›
১৫৮. 13 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা- এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা- এর লম্ব দূরত্ব কত সেমি? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক3
2. খ4
3. গ5
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: গ. 5
বৃত্তের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য: কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা এর উপর লম্ব টানলে সেই লম্ব জ্যাকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। ফলে কেন্দ্র, জ্যা এর মধ্যবিন্দু আর জ্যা এর এক প্রান্ত মিলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
সেই ত্রিভুজের অতিভুজ হলো ব্যাসার্ধ, ১৩ সেন্টিমিটার। একটি বাহু অর্ধেক জ্যা, অর্থাৎ ২৪ এর অর্ধেক ১২ সেন্টিমিটার। অন্য বাহুটাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
পিথাগোরাস অনুযায়ী ১৩ এর বর্গ ১৬৯ থেকে ১২ এর বর্গ ১৪৪ বাদ দিলে থাকে ২৫, যার বর্গমূল ৫। তাই দূরত্ব ৫ সেন্টিমিটার; এটা পরিচিত ৫, ১২, ১৩ ত্রয়ী।
ভুল হয় যখন কেউ অর্ধেক না নিয়ে পুরো জ্যা ২৪ ব্যবহার করেন। তখন ২৪ এর বর্গ ১৩ এর বর্গের চেয়েও বড়, কোনো উত্তরই মেলে না; তাই আগে জ্যা অর্ধেক করুন।
মনে রাখুন: ৫-১২-১৩ ত্রয়ী: ব্যাসার্ধ ১৩, অর্ধজ্যা ১২ দেখলেই দূরত্ব ৫।
পুরো পাতা ›
১৫৯. 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক170
2. খ182
3. গ190
4. ঘ192
সঠিক উত্তর: খ. 182
একই রকম জিনিস থাকলে সাধারণ সমাবেশ সূত্র সরাসরি খাটে না, কারণ একজাতীয় দুটির কোনটা নিলাম তাতে বাছাই বদলায় না। তাই একজাতীয় জিনিস কয়টা নিচ্ছি, সেই অনুযায়ী আলাদা আলাদা ক্ষেত্র গুনতে হয়।
দশটির মধ্যে ২টি একজাতীয়, বাকি ৮টি আলাদা। একজাতীয় একটিও না নিলে ৮টি থেকে ৫টি বাছতে হয়, উপায় ৫৬। একটি নিলে বাকি ৪টি আসে ৮টি থেকে, উপায় ৭০। দুটোই নিলে বাকি ৩টি আসে ৮টি থেকে, উপায় ৫৬।
তিন ক্ষেত্র যোগ করলে ৫৬ যোগ ৭০ যোগ ৫৬, মোট ১৮২।
সব জিনিস আলাদা ধরে দশটি থেকে পাঁচটি নিলে আসে ২৫২। একজাতীয় একটি নেওয়ার ৭০টি বাছাই সেখানে দুবার গোনা হয়, তাই ২৫২ থেকে ৭০ বাদ দিলেও ঠিক ১৮২ পাওয়া যায়।
মনে রাখুন: সব আলাদা ধরে ¹⁰C₅ = ২৫২, তা থেকে দুবার গোনা ⁸C₄ = ৭০ বাদ: ২৫২ − ৭০ = ১৮২।
পুরো পাতা ›
১৬০. ৫-এর কত শতাংশ ৭ হবে ? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক৪০
2. খ১২৫
3. গ৯০
4. ঘ১৪০
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৪০
প্রশ্নটা জানতে চায়, ৫ এর কত শতাংশ নিলে ৭ পাওয়া যায়। নিয়ম: পাওয়া সংখ্যাকে ভিত্তি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে একশো দিয়ে গুণ। এখানে ভিত্তি ৫।
৭ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ১ দশমিক ৪, একশো দিয়ে গুণ করলে ১৪০। তাই ৭ হলো ৫ এর ১৪০ শতাংশ।
অন্যভাবে দেখুন: ৭ এর মধ্যে পুরো ৫ আছে, মানে একশো শতাংশ, আর বাড়তি ২। ২ হলো ৫ এর পাঁচ ভাগের দুই, অর্থাৎ ৪০ শতাংশ। মোট একশো যোগ ৪০, সমান ১৪০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ৪০, যা শুধু বাড়তি অংশের হার। ৭ যেহেতু ৫ এর চেয়ে বড়, উত্তর একশোর বেশি হবেই।
মনে রাখুন: b, a এর কত শতাংশ = (b ÷ a) × ১০০ = ৭ × ২০ = ১৪০।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১৬১–১৮০ ›