গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৯

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ৯/১৫ · প্রশ্ন ১৬১–১৮০সব উত্তর দেখান

১৬১. ০.৪ × ০.০২ × ০.০৮ = ? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক০.৬৪
2. খ০.০৬৪
3. গ০.০০০৬৪
4. ঘ৬.৪০
সঠিক উত্তর: গ. ০.০০০৬৪
দশমিক সংখ্যা গুণ করার সহজ নিয়ম: আগে দশমিক বিন্দু সরিয়ে অঙ্কগুলো সাধারণ সংখ্যার মতো গুণ করুন। তারপর সব সংখ্যায় দশমিকের পরে মোট যত ঘর ছিল, গুণফলে ডান দিক থেকে তত ঘর গুনে দশমিক বসান।
দশমিক বাদ দিলে অঙ্কগুলো ৪, ২ আর ৮; এদের গুণফল ৬৪।
দশমিকের পরের ঘর গুনি: শূন্য দশমিক চার এ এক ঘর, শূন্য দশমিক শূন্য দুই এ দুই ঘর, শূন্য দশমিক শূন্য আট এ দুই ঘর; মোট পাঁচ ঘর। ৬৪ এ মাত্র দুটি অঙ্ক, তাই সামনে তিনটি শূন্য বসিয়ে পাঁচ ঘর পূরণ করতে হয়। উত্তর শূন্য দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য ছয় চার।
সবচেয়ে সাধারণ ভুল ঘর কম গোনা। দুই ঘর ধরলে আসে শূন্য দশমিক ছয় চার, তিন ঘর ধরলে শূন্য দশমিক শূন্য ছয় চার; দুটোই বিকল্পে ফাঁদ হিসেবে রাখা।
মনে রাখুন: দশমিক গুণে: অঙ্ক গুণ করুন, ঘর যোগ করুন। ৬৪, পাঁচ ঘর: ০.০০০৬৪।
পুরো পাতা ›
১৬২. ২০০৯ সালের ২৮ আগস্ট শুক্রবার ছিল। ঐ বছরের ১ অক্টোবর কি বার ছিল। (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. কবুধবার
2. খবৃহস্পতিবার
3. গশুক্রবার
4. ঘশনিবার
সঠিক উত্তর: খ. বৃহস্পতিবার
বার নির্ণয়ের মূল কথা: প্রতি ৭ দিন পর একই বার ফিরে আসে। তাই দুই তারিখের মাঝের দিনসংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষ দেখতে হয়; বার ঠিক ততদিন এগোয়।
২৮ আগস্টের পর আগস্টে আরও ৩ দিন, সেপ্টেম্বরে ৩০ দিন, আর অক্টোবরের ১ তারিখ; মোট ৩৪ দিন। ৩৪ এ ৪টি পূর্ণ সপ্তাহ, অর্থাৎ ২৮ দিন, আর বাড়তি ৬ দিন।
শুক্রবার থেকে ৬ দিন এগোলে বৃহস্পতিবার। আরও সহজে, ৬ দিন এগোনো মানে ১ দিন পিছানো, তাই শুক্রবারের আগের দিন বৃহস্পতিবার।
ভুল হয় মাসের দিন গুনতে গিয়ে। সেপ্টেম্বরকে ৩১ দিনের ধরলে মোট ৩৫ দিন, ভাগশেষ শূন্য, আর উত্তর আসে শুক্রবার; আগস্টকে ৩০ দিনের ধরলে ৩৩ দিন, উত্তর আসে বুধবার।
মনে রাখুন: ভাগশেষ ৬ মানে এক দিন পিছানো: শুক্রবারের আগের দিন বৃহস্পতিবার।
পুরো পাতা ›
১৬৩. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত % কমবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক১০%
2. খ২০%
3. গ৩৬%
4. ঘ৪০%
সঠিক উত্তর: গ. ৩৬%
বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ। তাই ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের সাথে নয়, ব্যাসার্ধের বর্গের সাথে বদলায়; এটাই প্রশ্নের মূল কথা।
ব্যাসার্ধ ২০ শতাংশ কমলে নতুন ব্যাসার্ধ আগেরটার শূন্য দশমিক আট গুণ। বর্গ নিলে শূন্য দশমিক আট গুণ শূন্য দশমিক আট, মানে শূন্য দশমিক ছয় চার। তাই নতুন ক্ষেত্রফল আগের ৬৪ শতাংশ।
ক্ষেত্রফল কমেছে একশো থেকে ৬৪ বাদে ৩৬ শতাংশ। শর্টকাটে: ২০ এর দ্বিগুণ ৪০ থেকে ২০ এর বর্গকে একশো দিয়ে ভাগ করা ৪ বাদ দিলে ৩৬।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ, যেন ক্ষেত্রফলও ব্যাসার্ধের মতো একই হারে কমে। আর শুধু দ্বিগুণ করে বর্গের অংশটা বাদ দিলে আসে ৪০ শতাংশ।
মনে রাখুন: x% কমলে ক্ষেত্রফল কমে (২x − x² ÷ ১০০)% = ৪০ − ৪ = ৩৬%।
পুরো পাতা ›
১৬৪. 261 টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে 1/3 :1/5 :1/9 অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক45
2. খ81
3. গ90
4. ঘ135
সঠিক উত্তর: ঘ. 135
ভগ্নাংশে দেওয়া অনুপাতকে আগে পূর্ণসংখ্যায় আনতে হয়। নিয়ম: হরগুলোর লসাগু দিয়ে প্রতিটি ভগ্নাংশ গুণ করুন; সবগুলো একই সংখ্যায় গুণ হয় বলে অনুপাত বদলায় না।
হর ৩, ৫ আর ৯ এর লসাগু ৪৫। তিন ভাগের এক কে ৪৫ দিয়ে গুণ করলে ১৫, পাঁচ ভাগের এক কে করলে ৯, নয় ভাগের এক কে করলে ৫। অনুপাত দাঁড়ায় ১৫, ৯ আর ৫; মোট ২৯ ভাগ।
২৬১ কে ২৯ দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ভাগে ৯টি আম। প্রথম ভাই পাবেন ১৫ ভাগ, মানে ১৩৫টি; দ্বিতীয় ভাই ৮১টি, তৃতীয় ভাই ৪৫টি।
ফাঁদ হলো হর দেখে অনুপাত ৩, ৫, ৯ ধরে ফেলা; তখন প্রথম ভাই সবচেয়ে কম পান। আসলে তিন ভাগের এক সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ, তাই প্রথম ভাইয়ের ভাগই সবচেয়ে বড়।
মনে রাখুন: প্রথম ভাইয়ের ভাগ = ২৬১ × ১৫ ÷ ২৯ = ৯ × ১৫ = ১৩৫।
পুরো পাতা ›
১৬৫. x² – 3x + 1 = 0 হলে (x² – 1/x²) এর মান কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক5√3
2. খ3√5
3. গ4√5
4. ঘ6√5
সঠিক উত্তর: খ. 3√5
এ ধরনের প্রশ্নে x এর মান আলাদা করে বের করার দরকার নেই। সমীকরণকে x দিয়ে ভাগ করলেই x আর তার উল্টো সংখ্যার যোগফল পাওয়া যায়, আর সেখান থেকে বাকি সব রাশি।
x এর বর্গ বিয়োগ তিন x যোগ এক সমান শূন্য, একে x দিয়ে ভাগ করলে পাই: x আর x ভাগের এক এর যোগফল ৩।
বিয়োগফলের বর্গ হলো যোগফলের বর্গ থেকে ৪ কম, কারণ x আর x ভাগের এক এর গুণফল ১। তাই বিয়োগফলের বর্গ ৯ থেকে ৪ বাদে ৫, আর বিয়োগফল ৫ এর বর্গমূল।
নির্ণেয় রাশিটি দুই বর্গের অন্তর, যা যোগফল আর বিয়োগফলের গুণফল: ৩ গুণ ৫ এর বর্গমূল, অর্থাৎ তিন রুট পাঁচ। কঠোরভাবে বিয়োগফল ঋণাত্মকও হতে পারে, কিন্তু বিকল্পে শুধু ধনাত্মক মানটা আছে।
ফাঁদ হলো পাঁচ রুট তিন, যেখানে ৩ আর ৫ এর জায়গা উল্টে গেছে।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে x² − ১/x² = a√(a² − ৪) = ৩√(৯ − ৪) = ৩√৫।
পুরো পাতা ›
১৬৬. x² – 5x + 6 < 0 হলে- (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক2 < x < 3
2. খ-3 < x < -2
3. গx < 2
4. ঘx < 3
সঠিক উত্তর: ক. 2 < x < 3
দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের নিয়ম: আগে রাশিটাকে উৎপাদকে ভাঙুন, মূল দুটি বের করুন। x এর বর্গের সহগ ধনাত্মক হলে রাশিটা মূল দুটির মাঝখানে ঋণাত্মক, আর বাইরে ধনাত্মক।
x এর বর্গ বিয়োগ পাঁচ x যোগ ছয় ভাঙলে হয় x বিয়োগ ২ আর x বিয়োগ ৩ এর গুণফল। মূল দুটি ২ আর ৩।
গুণফল শূন্যের চেয়ে ছোট হতে হলে একটি গুণনীয়ক ধনাত্মক আর অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে। তা হয় কেবল যখন x, ২ এর চেয়ে বড় কিন্তু ৩ এর চেয়ে ছোট। যাচাই: x সমান আড়াই বসালে মান হয় ঋণাত্মক চার ভাগের এক।
ফাঁদ হলো শুধু x, ৩ এর চেয়ে ছোট বা ২ এর চেয়ে ছোট বলা। x সমান শূন্য বসালে রাশির মান ৬, যা ধনাত্মক; তাই ওই বিকল্প দুটি খাটে না।
মনে রাখুন: x² এর সহগ ধনাত্মক হলে: “< ০” মানে মূলের মাঝে, “> ০” মানে মূলের বাইরে।
পুরো পাতা ›
১৬৭. logₓ(3/2) = -1/2 হলে, x এর মান- (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক4/9
2. খ9/4
3. গ√(3/2)
4. ঘ√(⅔)
সঠিক উত্তর: ক. 4/9
লগারিদমের সংজ্ঞাই এখানে চাবি: x ভিত্তিক লগে কোনো সংখ্যার মান k হলে, x এর ঘাত k সমান সেই সংখ্যা। তাই লগের সমীকরণকে ঘাতের সমীকরণে বদলে নিন।
এখানে x এর ঘাত ঋণাত্মক অর্ধেক সমান দুই ভাগের তিন। ঋণাত্মক অর্ধেক ঘাত মানে বর্গমূলের উল্টো, অর্থাৎ x এর বর্গমূলের উল্টো সংখ্যা দুই ভাগের তিন।
উল্টে নিলে x এর বর্গমূল তিন ভাগের দুই, আর বর্গ করলে x সমান নয় ভাগের চার। যাচাই: নয় ভাগের চার এর বর্গমূল তিন ভাগের দুই, তার উল্টো দুই ভাগের তিন।
ফাঁদ হলো চার ভাগের নয়। ঋণাত্মক চিহ্নটা উপেক্ষা করলে, মানে উল্টো না নিলে, এই উত্তর আসে।
মনে রাখুন: x = (৩/২)^(−২) = (২/৩)² = ৪/৯: লগের মানের উল্টো ঘাতে সংখ্যাটা তুলুন।
পুরো পাতা ›
১৬৮. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক35√5
2. খ40√5
3. গ45√5
4. ঘ50√5
সঠিক উত্তর: ঘ. 50√5
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ তাকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে ভাগ করে। প্রতিটি ত্রিভুজে কর্ণ হলো অতিভুজ, আর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দুটি লম্ব বাহু। তাই পিথাগোরাস দিয়ে অজানা বাহুটা বের করা যায়।
কর্ণের বর্গ ২২৫, প্রস্থের বর্গ ১০০। দৈর্ঘ্যের বর্গ হলো ২২৫ থেকে ১০০ বাদে ১২৫।
১২৫ হলো ২৫ গুণ ৫, তাই এর বর্গমূল পাঁচ রুট পাঁচ মিটার; এটাই দৈর্ঘ্য। ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, মানে পাঁচ রুট পাঁচ গুণ ১০, অর্থাৎ পঞ্চাশ রুট পাঁচ বর্গমিটার।
বিকল্পগুলোর সবাই রুট পাঁচের গুণিতক, তাই বর্গমূল সরল করার ধাপটা নিখুঁত হওয়া চাই। ১২৫ কে ২৫ আর ৫ এ ভাঙুন; ২৫ এর বর্গমূল ৫ বাইরে আসে।
মনে রাখুন: ক্ষেত্রফল = প্রস্থ × √(কর্ণ² − প্রস্থ²) = ১০ × √১২৫ = ৫০√৫।
পুরো পাতা ›
১৬৯. A = {x|x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x²<25}, B = {x|x মৌলিক সংখ্যা এবং x²<25}, C = {x|x মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং x²=25}, হলে, A∩B∩C =? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক{1,2,3,4}
2. খ{2,3,4}
3. গ∅
সঠিক উত্তর: গ. ∅
ছেদ সেট মানে যে উপাদান সবগুলো সেটে একসাথে আছে। তাই আগে প্রতিটি সেটের উপাদান তালিকা করে নিন, তারপর মিল খুঁজুন।
A তে আছে সেই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাদের বর্গ ২৫ এর ছোট: ১, ২, ৩, ৪। পাঁচের বর্গ ঠিক ২৫, ছোট নয়, তাই ৫ বাদ। B তে একই শর্তের মৌলিক সংখ্যা: শুধু ২ আর ৩, কারণ ১ আর ৪ মৌলিক নয়।
C তে সেই মৌলিক সংখ্যা যার বর্গ ঠিক ২৫: শুধু ৫। A আর B এর সাধারণ উপাদান ২ ও ৩, যা C তে নেই। তাই তিন সেটের ছেদ ফাঁকা সেট।
ফাঁদ হলো শুধু A আর B দেখে উত্তর দেওয়া। দুই সেটের ছেদ ২ আর ৩, কিন্তু C যোগ হতেই সব বাদ পড়ে যায়।
মনে রাখুন: C তে শুধু ৫, অথচ A তে ৫ নেই (৫² = ২৫, ২৫ এর ছোট নয়); তাই ছেদ সরাসরি ∅।
পুরো পাতা ›
১৭০. একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত? (৩৭তম বিসিএস, ২০১৬)
1. ক2/3
2. খ1/3
3. গ3/4
4. ঘ1/4
সঠিক উত্তর: ক. 2/3
সম্ভাবনা মানে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ। “না হওয়ার” সম্ভাবনা চাইলে হয় সরাসরি বাকিগুলো গুনুন, নয়তো এক থেকে “হওয়ার” সম্ভাবনা বাদ দিন।
থলিতে মোট বল ৬ যোগ ৮ যোগ ১০, অর্থাৎ ২৪টি। সাদা নয় এমন বল হলো নীল ৬টি আর কালো ১০টি, মোট ১৬টি।
তাই সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা চব্বিশ ভাগের ষোলো, সরল করলে তিন ভাগের দুই। অন্যভাবে, সাদা হওয়ার সম্ভাবনা চব্বিশ ভাগের আট বা তিন ভাগের এক, এক থেকে বাদ দিলে তিন ভাগের দুই।
ফাঁদ হলো তিন ভাগের এক, যা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা। প্রশ্নে “না” শব্দটা খেয়াল করুন।
মনে রাখুন: P(না হওয়া) = ১ − P(হওয়া) = ১ − ৮/২৪ = ২/৩।
পুরো পাতা ›
১৭১. কলার দাম 20% কমে যাওয়ায় 12 টাকায় পূর্ব অপেক্ষা 2টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমান একটি কলার দাম কত টাকা? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক1.2
2. খ2.50
3. গ3.00
4. ঘ4.00
সঠিক উত্তর: ক. 1.2
প্রশ্নটা দাম কমলে একই টাকায় কতটা বেশি জিনিস পাওয়া যায়, সেই সম্পর্ক যাচাই করছে। দাম আর পরিমাণ উল্টোভাবে চলে: দাম কমলে পরিমাণ বাড়ে।
দাম ২০ শতাংশ কমা মানে নতুন দাম আগের পাঁচ ভাগের চার ভাগ। তাহলে একই ১২ টাকায় কলা পাওয়া যাবে আগের চার ভাগের পাঁচ গুণ, অর্থাৎ ২৫ শতাংশ বেশি।
এই বাড়তি ২৫ শতাংশই হলো ২টি কলা। ২টি যদি আগের সংখ্যার চার ভাগের এক ভাগ হয়, তাহলে আগে পাওয়া যেত ৮টি, এখন ১০টি।
এখন ১২ টাকায় ১০টি, তাই এখন একটির দাম ১ টাকা ২০ পয়সা। আগের দাম ছিল ১ টাকা ৫০ পয়সা, যা বিকল্পে নেই; বর্তমান দাম চাওয়া হয়েছে, এটা খেয়াল রাখুন।
মনে রাখুন: দাম x% কমলে পরিমাণ বাড়ে x ÷ (১০০ − x) অংশ: ২০ ÷ ৮০ = ১/৪; ২টি = ১/৪ ⇒ আগে ৮টি, এখন ১০টি, দাম ১.২ টাকা।
পুরো পাতা ›
১৭২. 60 লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত 2 : 1। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি 1 : 2 হবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক40
2. খ50
3. গ60
4. ঘ70
সঠিক উত্তর: গ. 60
মিশ্রণের অনুপাত বদলের প্রশ্নে কৌশল হলো: যে উপাদান বদলাচ্ছে না, তাকে স্থির ধরে হিসাব করা। এখানে শুধু কমলার রস যোগ হচ্ছে, আমের রস একই থাকছে।
৬০ লিটারে আম আর কমলা ২ অনুপাত ১, মোট ৩ ভাগ। তাই আম ৬০ এর ৩ ভাগের ২ ভাগ, মানে ৪০ লিটার, আর কমলা ২০ লিটার।
নতুন অনুপাত ১ অনুপাত ২ মানে কমলা হবে আমের দ্বিগুণ। আম ৪০ লিটারই থাকে, তাই কমলা লাগবে ৮০ লিটার। আছে ২০, তাই যোগ করতে হবে ৬০ লিটার।
অনেকে কমলার শেষ পরিমাণ ৮০ বা আমের পরিমাণ ৪০ কে উত্তর ভেবে ফেলেন। প্রশ্ন চেয়েছে কত লিটার বাড়াতে হবে, মানে ৮০ বিয়োগ ২০।
মনে রাখুন: স্থির উপাদান আম ৪০; কমলা হবে ২ × ৪০ = ৮০; বাড়াতে হবে ৮০ − ২০ = ৬০।
পুরো পাতা ›
১৭৩. দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু. 11 এবং ল. সা. গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি- (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক318
2. খ308
3. গ283
4. ঘ279
সঠিক উত্তর: খ. 308
প্রশ্নটা গসাগু আর লসাগুর একটা মৌলিক সম্পর্ক যাচাই করছে: যেকোনো দুটি সংখ্যার গুণফল সমান তাদের গসাগু গুণ লসাগু।
কেন সত্যি: দুটো সংখ্যার সাধারণ উৎপাদকগুলো গসাগুতে থাকে, আর বাকি সব উৎপাদক লসাগুতে; দুটো মিলিয়ে গুণ করলে ঠিক দুই সংখ্যার সব উৎপাদকই একবার করে আসে।
এখানে গুণফল ১১ গুণ ৭৭০০, মানে ৮৪৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫, তাই অপরটি ৮৪৭০০ ভাগ ২৭৫, মানে ৩০৮।
দ্রুত বাদ দেওয়ার উপায়: গসাগু ১১, তাই উত্তর অবশ্যই ১১ দিয়ে বিভাজ্য হবে। ৩১৮, ২৮৩, ২৭৯ কোনোটাই ১১ দিয়ে ভাগ যায় না; শুধু ৩০৮, যা ১১ গুণ ২৮।
মনে রাখুন: উত্তর গসাগুর গুণিতক হতেই হবে: বিকল্পগুলোর মধ্যে শুধু ৩০৮ (= ১১ × ২৮) ১১ দিয়ে বিভাজ্য।
পুরো পাতা ›
১৭৪. x-y=2 এবং xy=24 হলে, x-এর ধনাত্মক মানটি- (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক3
2. খ4
3. গ5
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: ঘ. 6
প্রশ্নটা দুটি শর্ত থেকে একটা দ্বিঘাত সমীকরণ গড়ে সমাধান করা যাচাই করছে। x বিয়োগ y সমান ২ থেকে y সমান x বিয়োগ ২।
এটা দ্বিতীয় শর্তে বসাই: x গুণ x বিয়োগ ২ সমান ২৪, মানে x এর বর্গ বিয়োগ ২x বিয়োগ ২৪ সমান শূন্য। উৎপাদকে ভাঙলে x বিয়োগ ৬ গুণ x যোগ ৪ সমান শূন্য।
তাই x হয় ৬ অথবা ঋণাত্মক ৪। ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে, তাই x সমান ৬, আর তখন y সমান ৪। যাচাই: ৬ বিয়োগ ৪ সমান ২, ৬ গুণ ৪ সমান ২৪।
ফাঁদ হলো ৪, কারণ ৪ এখানে y এর মান। বিকল্প বসিয়েও দ্রুত পারা যায়: x গুণ x বিয়োগ ২ সমান ২৪ হয় শুধু x ছয় হলে।
মনে রাখুন: বিকল্প যাচাই: x(x − ২) = ২৪ কেবল x = ৬ এ মেলে (৬ × ৪)।
পুরো পাতা ›
১৭৫. |x-3| < 5 হলে- (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক2 < x < 8
2. খ-2 < x < 8
3. গ-8 < x < -2
4. ঘ-4 < x < -2
সঠিক উত্তর: খ. -2 < x < 8
পরমমানের অসমতার প্রশ্ন। পরমমান মানে সংখ্যারেখায় দূরত্ব: x বিয়োগ ৩ এর পরমমান ৫ এর কম মানে x এর অবস্থান ৩ থেকে ৫ এককের কম দূরে।
তাই নিয়ম: কোনো কিছুর পরমমান a এর কম হলে সেটা ঋণাত্মক a আর a এর মাঝে থাকে। এখানে x বিয়োগ ৩ থাকে ঋণাত্মক ৫ আর ৫ এর মাঝে।
সব দিকে ৩ যোগ করলে x থাকে ঋণাত্মক ২ আর ৮ এর মাঝে। অর্থাৎ ৩ থেকে বামে ৫ গেলে ঋণাত্মক ২, ডানে ৫ গেলে ৮।
ফাঁদ হলো ২ থেকে ৮, যেখানে বাম সীমায় ঋণাত্মক চিহ্ন হারিয়ে গেছে। পরীক্ষা: x শূন্য হলে শূন্য বিয়োগ ৩ এর পরমমান ৩, যা ৫ এর কম; অথচ শূন্য ২ থেকে ৮ এর মধ্যে নেই।
মনে রাখুন: |x − a| < b ⇒ a − b < x < a + b: ৩ − ৫ = −২, ৩ + ৫ = ৮।
পুরো পাতা ›
১৭৬. 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক728
2. খ286
3. গ364
4. ঘ1001
সঠিক উত্তর: খ. 286
এটা সমাবেশ বা বাছাইয়ের প্রশ্ন, যেখানে একজন আগে থেকেই নিশ্চিত। নিয়ম হলো: যিনি নিশ্চিত, তাকে আগেই দলে বসিয়ে দিন, তারপর বাকি জায়গাগুলো বাকিদের মধ্য থেকে বাছুন।
অধিনায়ক নির্দিষ্ট, তাই ১৪ জনের মধ্যে তিনি বাদে থাকেন ১৩ জন, আর দলে খালি থাকে ১১ বিয়োগ ১, মানে ১০টি জায়গা। কাজটা হলো ১৩ জন থেকে ১০ জন বাছাই।
১৩ থেকে ১০ জন বাছা আর ১৩ থেকে ৩ জন বাদ দেওয়া একই কথা। তাই মান ১৩ গুণ ১২ গুণ ১১ কে ৩ গুণ ২ গুণ ১ দিয়ে ভাগ, মানে ১৭১৬ ভাগ ৬, অর্থাৎ ২৮৬।
ফাঁদ হলো ৩৬৪, যা আসে অধিনায়কের শর্ত ভুলে ১৪ জন থেকে ১১ জন বাছলে। আর ১০০১ আসে ১৪ জন থেকে ১০ জন বাছলে, মানে অধিনায়ককে বাকিদের মধ্যেও রেখে দিলে।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট k জন থাকলে উত্তর ⁿ⁻ᵏCᵣ₋ₖ: ¹³C₁₀ = ¹³C₃ = ২৮৬।
পুরো পাতা ›
১৭৭. 100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70। এদের মধ্যে 60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক55.5
2. খ60.5
3. গ65.5
4. ঘ62.5
সঠিক উত্তর: ঘ. 62.5
গড়ের প্রশ্নে সবচেয়ে নিরাপদ কৌশল হলো গড়কে মোটে রূপান্তর করা, কারণ মোট যোগ বিয়োগ করা যায়, গড় সরাসরি করা যায় না।
১০০ জনের গড় ৭০, তাই সবার মোট নম্বর ৭০০০। ৬০ জন ছাত্রীর গড় ৭৫, তাই তাদের মোট ৪৫০০।
বাকি নম্বর ৭০০০ বিয়োগ ৪৫০০, মানে ২৫০০, এটা ৪০ জন ছাত্রের। তাই ছাত্রদের গড় ২৫০০ ভাগ ৪০, অর্থাৎ ৬২ দশমিক ৫।
যাচাই: ছাত্রীরা গড়ের চেয়ে ৫ বেশি পেয়েছে, ৬০ জনে মোট ৩০০ বেশি। ছাত্রদের সেটা পুষিয়ে দিতে হবে ৪০ জনে ৩০০ কম, মানে প্রত্যেকে সাড়ে ৭ কম; ৭০ বিয়োগ সাড়ে ৭ সমান সাড়ে ৬২।
মনে রাখুন: ব্যবধানে হিসাব: ছাত্রী +৫ × ৬০ = +৩০০; ছাত্রদের −৩০০ ÷ ৪০ = −৭.৫; গড় ৭০ − ৭.৫ = ৬২.৫।
পুরো পাতা ›
১৭৮. 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কতজন কথা বলতে পারেন? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক10
2. খ15
3. গ40
4. ঘ30
সঠিক উত্তর: গ. 40
এটা সেটের প্রশ্ন: দুই দলে কেউ কেউ দুটোতেই আছেন। এখানে মূল তথ্য হলো, প্রত্যেকে অন্তত একটি ভাষা জানেন, তাই কেউ বাইরে নেই।
ইংরেজি জানেন ৩৫ জন, তাদের ২৫ জন বাংলাও জানেন। তাহলে শুধু ইংরেজি জানেন, বাংলা জানেন না, এমন মানুষ ৩৫ বিয়োগ ২৫, মানে ১০ জন।
৫০ জনের মধ্যে এই ১০ জন ছাড়া বাকি সবাই বাংলা জানেন, কারণ সবাই অন্তত একটা ভাষা জানেন। তাই বাংলা জানেন ৫০ বিয়োগ ১০, মানে ৪০ জন।
সূত্রেও মেলে: মোট সমান ইংরেজি যোগ বাংলা বিয়োগ উভয়, অর্থাৎ ৫০ সমান ৩৫ যোগ বাংলা বিয়োগ ২৫। ফাঁদ হলো ১৫, যা শুধু বাংলা জানেন এমন মানুষের সংখ্যা; প্রশ্ন চেয়েছে মোট বাংলা জানা মানুষ।
মনে রাখুন: বাংলা = মোট − শুধু ইংরেজি = ৫০ − (৩৫ − ২৫) = ৪০।
পুরো পাতা ›
১৭৯. CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক2
2. খ3
3. গ4
4. ঘ5
সঠিক উত্তর: ক. 2
প্রশ্নটা পুনরাবৃত্ত বর্ণসহ বিন্যাস যাচাই করছে। n টি বর্ণের বিন্যাস n ফ্যাক্টোরিয়াল, কিন্তু কোনো বর্ণ বারবার থাকলে তাদের নিজেদের অদলবদলে নতুন শব্দ হয় না, তাই প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হয়।
CALCUTTA তে ৮টি বর্ণ, যেখানে C, A, T প্রতিটি দুবার। তাই বিন্যাস ৮ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২ গুণ ২ গুণ ২, মানে ৪০৩২০ ভাগ ৮, অর্থাৎ ৫০৪০।
AMERICA তে ৭টি বর্ণ, শুধু A দুবার। তাই বিন্যাস ৭ ফ্যাক্টোরিয়াল ভাগ ২, মানে ৫০৪০ ভাগ ২, অর্থাৎ ২৫২০।
৫০৪০ হলো ২৫২০ এর ঠিক ২ গুণ। সাধারণ ভুল হলো পুনরাবৃত্তি ভুলে যাওয়া: CALCUTTA তে ভাগ না করলে অনুপাত দাঁড়ায় ১৬, আর AMERICA তে A দুবার ভুললে অনুপাত হয় ১।
মনে রাখুন: ৮!/(২!)³ ÷ ৭!/২! = ৮ ÷ (২!)² = ৮ ÷ ৪ = ২; বড় সংখ্যা গুনতেই হয় না।
পুরো পাতা ›
১৮০. .০৩ × .০০৬ × .০০৭ =? (৩৫তম বিসিএস, ২০১৫)
1. ক.০০০১২৬
2. খ.০০০০০১২৬
3. গ.০০০১২৬০
4. ঘ.১২৬০০০
সঠিক উত্তর: খ. .০০০০০১২৬
দশমিক সংখ্যা গুণ করার নিয়ম: দশমিক বিন্দু বাদ দিয়ে সাধারণ সংখ্যার মতো গুণ করুন, তারপর সব গুণ্যের দশমিকের পরের অঙ্কসংখ্যা যোগ করে ফলের ডান দিক থেকে ততঘর গুনে বিন্দু বসান।
অঙ্কগুলো গুণ: ৩ গুণ ৬ গুণ ৭ সমান ১২৬।
দশমিকের পরের অঙ্ক গুনি: দশমিক শূন্য তিনে ২টি, দশমিক শূন্য শূন্য ছয়ে ৩টি, দশমিক শূন্য শূন্য সাতে ৩টি; মোট ৮টি। তাই ১২৬ কে ৮ ঘর সরাতে হবে: দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য শূন্য এক দুই ছয়।
খেয়াল করুন, দশমিক শূন্য শূন্য শূন্য এক দুই ছয়, আর শেষে একটা বাড়তি শূন্যসহ একই লেখা, এই দুই বিকল্পের মান আসলে এক, কারণ শেষের শূন্য মান বদলায় না। দুটোতেই অর্থপূর্ণ অঙ্ক শেষ হয় দশমিকের পর ৬ ঘরে, তাই এরা উত্তরের চেয়ে ১০০ গুণ বড়।
মনে রাখুন: গুণফলে দশমিক ঘর = সব গুণ্যের দশমিক ঘরের যোগফল (২ + ৩ + ৩ = ৮)।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ১৮১–২০০ ›