গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২০
৩৮১. A rectangular floor that measures 8 meters by 10 meters is to be covered with carpets that each measure 2 meters by 2 meters. If the carpets cost Tk. 12 a piece, what is the total cost to cover the floor? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- কTk. 200
- খTk. 240
- গTk. 480
- ঘTk. 960
সঠিক উত্তর: খ. Tk. 240
মেঝে ঢাকতে কয়টি কার্পেট লাগবে তা বের করতে, মেঝের ক্ষেত্রফলকে একটি কার্পেটের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করতে হয়। তারপর সংখ্যাকে প্রতিটির দাম দিয়ে গুণ।
মেঝের ক্ষেত্রফল ৮ গুণ ১০, অর্থাৎ ৮০ বর্গমিটার। একটি কার্পেটের ক্ষেত্রফল ২ গুণ ২, অর্থাৎ ৪ বর্গমিটার। তাই কার্পেট লাগবে ৮০ ভাগ ৪, অর্থাৎ ২০টি।
অন্যভাবেও দেখা যায়: ৮ মিটার দিকে ৪টি, ১০ মিটার দিকে ৫টি কার্পেট বসে, ৪ গুণ ৫ সমান ২০টি; কোনো কাটা টুকরা লাগে না। মোট খরচ ২০ গুণ ১২, অর্থাৎ ২৪০ টাকা।
ফাঁদ হলো ৯৬০ টাকা: ক্ষেত্রফল ৮০-কে সরাসরি ১২ দিয়ে গুণ করে ফেলা, কার্পেটের মাপ ভুলে। আবার ৪৮০ আসে কার্পেটের ক্ষেত্রফল ৪-এর বদলে ২ ধরলে।
মনে রাখুন: (৮ ÷ ২) × (১০ ÷ ২) = ৪ × ৫ = ২০টি; ২০ × ১২ = ২৪০।
৩৮২. For which of the following values of s is (50 + s)/s an integer? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক3
- খ4
- গ9
- ঘ50
সঠিক উত্তর: ঘ. 50
প্রশ্নে আসলে আছে পঞ্চাশ যোগ s, ভাগ s; ছাপায় ভাগ চিহ্নটি হারিয়ে গেছে। ভগ্নাংশটি ভেঙে লিখলে হয় পঞ্চাশ ভাগ s, যোগ s ভাগ s, অর্থাৎ পঞ্চাশ ভাগ s যোগ ১।
১ তো পূর্ণসংখ্যা, তাই পুরো রাশিটি পূর্ণসংখ্যা হবে কেবল যদি পঞ্চাশ ভাগ s পূর্ণসংখ্যা হয়। অর্থাৎ s হতে হবে ৫০-এর একটি গুণনীয়ক।
৫০-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৫, ১০, ২৫, ৫০। অপশনের মধ্যে শুধু ৫০ আছে। s সমান ৫০ হলে রাশিটি ১০০ ভাগ ৫০, অর্থাৎ ২, পূর্ণসংখ্যা।
৩, ৪, ৯ দিয়ে ৫০ নিঃশেষে ভাগ যায় না, তাই সেগুলোতে ভগ্নাংশ আসে। যেমন s সমান ৪ হলে ৫৪ ভাগ ৪ সমান ১৩ দশমিক ৫।
মনে রাখুন: (a + s)/s পূর্ণসংখ্যা ⇔ s হলো a-এর গুণনীয়ক।
৩৮৩. The amounts of time that three secretaries worked on a special project are in the ratio of 1 to 2 to 5. If they worked a combined total of 112 hours, how many hours did the secretary who worked the longest spend on the project? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক80
- খ70
- গ56
- ঘ16
সঠিক উত্তর: খ. 70
অনুপাতের প্রশ্নে অনুপাতের অংশগুলো যোগ করে মোটকে সেই যোগফল দিয়ে ভাগ করলে এক অংশের মান পাওয়া যায়।
অনুপাত ১ অনুপাত ২ অনুপাত ৫, মোট অংশ ১ যোগ ২ যোগ ৫, অর্থাৎ ৮। মোট সময় ১১২ ঘণ্টা, তাই এক অংশ ১১২ ভাগ ৮, অর্থাৎ ১৪ ঘণ্টা।
সবচেয়ে বেশি কাজ করেছেন যিনি, তাঁর ভাগ ৫ অংশ, অর্থাৎ ৫ গুণ ১৪, ৭০ ঘণ্টা। অন্য দুজন ১৪ আর ২৮ ঘণ্টা; তিনজনের যোগফল ১১২, মিলে যায়।
ফাঁদ হলো ৫৬: ১১২-এর অর্ধেক নিয়ে ফেলা। ৮০ সংখ্যাটি মোট অংশ ৮ দেখে বিভ্রান্ত করার জন্য রাখা, আর ১৬ আসে এক অংশ ভুল করে ১১২ ভাগ ৭ ধরলে।
মনে রাখুন: সবচেয়ে বড় অংশ = মোট × (তার অংশ ÷ মোট অংশ) = ১১২ × ৫/৮ = ৭০।
৩৮৪. The ratio of the length to the width of a rectangular advertising display is approximately 3.3 to 2. If the width of the display is 8 meters, what is the approximate length of the display, in meters? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক7
- খ11
- গ13
- ঘ16
সঠিক উত্তর: গ. 13
অনুপাত দেওয়া আছে দৈর্ঘ্য অনুপাত প্রস্থ সমান ৩ দশমিক ৩ অনুপাত ২। প্রস্থ ৮ মিটার জানা, তাই দৈর্ঘ্য বের করতে অনুপাতটাকে সমান অনুপাতে বড় করতে হবে।
প্রস্থ ২ থেকে ৮ হয়েছে, মানে ৪ গুণ। তাই দৈর্ঘ্যও ৪ গুণ হবে: ৩ দশমিক ৩ গুণ ৪ সমান ১৩ দশমিক ২ মিটার।
প্রশ্নে approximate বা আনুমানিক মান চাওয়া হয়েছে; ১৩ দশমিক ২-এর সবচেয়ে কাছের অপশন ১৩।
ফাঁদ হলো ১৬: প্রস্থ ৮-কে সরাসরি দ্বিগুণ করা; অনুপাত ৩ দশমিক ৩ অনুপাত ২ মানে দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১ দশমিক ৬৫ গুণ, ২ গুণ নয়। আর দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড়, তাই ৭ হতেই পারে না।
মনে রাখুন: দৈর্ঘ্য = প্রস্থ × (৩.৩ ÷ ২) = ৮ × ১.৬৫ = ১৩.২।
৩৮৫. A gym class can be divided into 8 teams with an equal number of players on each team or into 12 teams with an equal number of players on each team. What is the lowest possible number of students in the class? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক20
- খ24
- গ36
- ঘ48
সঠিক উত্তর: খ. 24
ক্লাসকে ৮টি দলে সমানভাবে ভাগ করা যায়, আবার ১২টি দলেও। তাই ছাত্রসংখ্যা ৮ দিয়েও নিঃশেষে বিভাজ্য, ১২ দিয়েও। সর্বনিম্ন এমন সংখ্যা হলো ৮ ও ১২-এর লসাগু।
৮ সমান ২ গুণ ২ গুণ ২, আর ১২ সমান ২ গুণ ২ গুণ ৩। লসাগুতে প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের সর্বোচ্চ ঘাত নিই: তিনটি ২ আর একটি ৩, অর্থাৎ ৮ গুণ ৩ সমান ২৪।
যাচাই: ২৪ ভাগ ৮ সমান ৩, ২৪ ভাগ ১২ সমান ২; দুটোই পূর্ণসংখ্যা। তাই সর্বনিম্ন ২৪ জন।
ফাঁদ হলো ৪৮ আর ৩৬। ৪৮ দুটো দিয়েই বিভাজ্য, কিন্তু সর্বনিম্ন নয়। ৩৬ দিয়ে ১২ ভাগ যায় কিন্তু ৮ যায় না। আর ২০ আসে ৮ যোগ ১২ করে ফেললে।
মনে রাখুন: সর্বনিম্ন সংখ্যা যা একাধিক সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য = লসাগু; ১২-এর গুণিতক ১২, ২৪ ... এর মধ্যে প্রথম যেটা ৮ দিয়ে যায়: ২৪।
৩৮৬. A retail appliance store priced a video recorder at 20 percent above the wholesale cost of Tk. 200. If a store employee applied the 10 percent employee discount to the retail price to buy the recorder, how much did the employee pay for the recorder? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- কTk. 198
- খTk. 216
- গTk. 220
- ঘTk. 230
সঠিক উত্তর: খ. Tk. 216
এখানে দুই ধাপে শতকরা হিসাব: প্রথমে পাইকারি দামের উপর ২০ শতাংশ বাড়িয়ে খুচরা দাম, তারপর সেই খুচরা দামের উপর ১০ শতাংশ ছাড়।
পাইকারি দাম ২০০ টাকা। ২০ শতাংশ বেশি মানে ২০০-এর ২০ শতাংশ, ৪০ টাকা যোগ; খুচরা দাম ২৪০ টাকা।
কর্মচারী ছাড় পান খুচরা দামের উপর: ২৪০-এর ১০ শতাংশ ২৪ টাকা। তাই তিনি দেন ২৪০ বিয়োগ ২৪, অর্থাৎ ২১৬ টাকা।
ফাঁদ হলো ২২০ টাকা: ২০ শতাংশ বেড়ে ১০ শতাংশ কমলে নিট ১০ শতাংশ বাড়ল ভেবে ২০০-এর ১০ শতাংশ যোগ করা। কিন্তু ছাড়ের ভিত্তি ২৪০, ২০০ নয়; তাই দুই ধাপ আলাদা গুণ করতে হয়।
মনে রাখুন: পরপর শতকরা পরিবর্তন গুণ হয়: ২০০ × ১.২ × ০.৯ = ২১৬; নিট পরিবর্তন +৮%।
৩৮৭. A bag contains 7 red, 9 yellow and 3 black balls. If a ball is picked at random, what is the probability that the ball drawn will be either a red or a black ball? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক7/19
- খ9/19
- গ10/19
- ঘ11/19
সঠিক উত্তর: গ. 10/19
সম্ভাবনা সমান অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা ভাগ মোট ফলাফলের সংখ্যা। একটি বল তোলা হবে, তাই মোট ফলাফল হলো ব্যাগের মোট বল।
মোট বল ৭ যোগ ৯ যোগ ৩, অর্থাৎ ১৯টি। লাল অথবা কালো চাই, তাই অনুকূল বল ৭ যোগ ৩, অর্থাৎ ১০টি।
সম্ভাবনা ১০ ভাগ ১৯। একটা বল একসঙ্গে লাল ও কালো হতে পারে না, তাই অথবা মানে সরাসরি যোগ।
ফাঁদ হলো ৯ ভাগ ১৯, যা হলুদ বলের সম্ভাবনা; আর ৭ ভাগ ১৯ শুধু লাল বলের। দুটো রং চাওয়া হয়েছে, তাই যোগ করতে হবে।
মনে রাখুন: অনুকূল না চাওয়া রং বাদ দিয়েও করা যায়: ১ − ৯/১৯ = ১০/১৯।
৩৮৮. Committee X has 4 members, Committee Y has 5 members, and these committee's have no members in common. If a task force is to be formed consisting of one member of X and one member of Y, how many different task forces are possible (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- ক6
- খ9
- গ10
- ঘ20
সঠিক উত্তর: ঘ. 20
প্রশ্নটা গণনার মৌলিক নীতি যাচাই করছে। দুটি আলাদা কাজ পরপর করতে হলে, প্রথমটির উপায়ের সংখ্যাকে দ্বিতীয়টির উপায়ের সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হয়।
টাস্কফোর্সে কমিটি এক্স থেকে একজন আর কমিটি ওয়াই থেকে একজন লাগবে। এক্স থেকে একজন বাছাই করা যায় ৪ ভাবে, ওয়াই থেকে একজন বাছাই করা যায় ৫ ভাবে।
এক্সের প্রতিটি সদস্যের সঙ্গে ওয়াইয়ের ৫ জনের যেকোনো একজন জোড়া বাঁধতে পারেন। তাই মোট জোড়া ৪ গুণ ৫, মানে ২০টি আলাদা টাস্কফোর্স।
দুই কমিটিতে কোনো সাধারণ সদস্য নেই বলে কোনো জোড়া দুবার গোনা হয় না। সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো ৪ আর ৫ যোগ করে ৯ বলা; যোগ হয় তখন, যখন দুটির যেকোনো একটি কাজ করলেই চলে।
মনে রাখুন: “এটা এবং ওটা” দুটোই বাছতে হলে উপায়গুলো গুণ, “এটা অথবা ওটা” হলে যোগ।
৩৮৯. As a salesperson, Poly can choose one of two methods of annual payment either an annual salary of Tk. 35,000 with no commission or an annual salary of Tk. 10,000 plus a 20 percent commission on her total annual sales. What must her total annual sales be to give her the same annual pay with either method? (সমন্বিত ৯ ব্যাংক: অফিসার, জেনারেল) (২০২২)
- কTk. 100,000
- খTk. 120,000
- গTk. 125,000
- ঘTk. 130,000
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 125,000
প্রশ্নটা জানতে চায়, মোট বিক্রি কত হলে দুই পদ্ধতিতে পলির বার্ষিক আয় সমান হবে। এর জন্য দুই পদ্ধতির আয়কে সমান ধরে একটি সরল সমীকরণ বানাতে হয়।
প্রথম পদ্ধতিতে আয় সোজা ৩৫ হাজার টাকা। দ্বিতীয় পদ্ধতিতে আয় ১০ হাজার টাকা বেতন, সঙ্গে মোট বিক্রির ২০ শতাংশ কমিশন।
দুই আয়ের পার্থক্য ২৫ হাজার টাকা। এই ২৫ হাজার টাকাই কমিশন থেকে আসতে হবে। বিক্রির ২০ শতাংশ মানে বিক্রির পাঁচ ভাগের এক ভাগ, তাই বিক্রি হবে ২৫ হাজারের ৫ গুণ, মানে ১ লাখ ২৫ হাজার টাকা।
যাচাই: ১ লাখ ২৫ হাজারের ২০ শতাংশ ২৫ হাজার, তার সঙ্গে ১০ হাজার বেতন যোগ করলে ঠিক ৩৫ হাজার। অনেকে ৩৫ হাজারকেই ২০ শতাংশ ধরে হিসাব শুরু করেন, কিন্তু আগে বেতনের ১০ হাজার বাদ দিতে হবে।
মনে রাখুন: বিক্রি = আয়ের পার্থক্য ÷ কমিশনের হার = ২৫,০০০ ÷ ০.২০ = ১,২৫,০০০।
৩৯০. The largest prime factor of (2⁴)² − 1 is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক3
- খ5
- গ17
- ঘ19
সঠিক উত্তর: গ. 17
প্রশ্নের রাশিটি হলো ২-এর ঘাত ৪, তার বর্গ, তারপর ১ বিয়োগ। অর্থাৎ ২-এর ঘাত ৮ বিয়োগ ১, যার মান ২৫৫। ছাপায় ঘাত চিহ্ন হারিয়ে চব্বিশের বর্গ মনে হতে পারে, কিন্তু সেটা ধরলে উত্তর কোনো অপশনেই মেলে না।
এ ধরনের রাশিতে সূত্র কাজে লাগাই: a বর্গ বিয়োগ b বর্গ সমান a যোগ b গুণ a বিয়োগ b। এখানে a হলো ১৬, তাই ২৫৫ সমান ১৭ গুণ ১৫।
১৫ ভাঙলে ৩ গুণ ৫। তাহলে ২৫৫ এর মৌলিক উৎপাদক ৩, ৫ এবং ১৭। এর মধ্যে বৃহত্তম ১৭।
৩ আর ৫ মৌলিক উৎপাদক ঠিকই, কিন্তু বৃহত্তম নয়। আর ১৯ দিয়ে ২৫৫ ভাগ যায় না।
মনে রাখুন: ২⁸ − ১ = (২⁴ + ১)(২² + ১)(২ + ১)(২ − ১) = ১৭ × ৫ × ৩; ঘাতের বিয়োগফলে বারবার a² − b² লাগান।
৩৯১. Find the value of k if (x − 1) is a factor of 4x² + 3x − 4x + k. (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক1
- খ-3
- গ2
- ঘ3
সঠিক উত্তর: খ. -3
প্রশ্নটি উৎপাদক উপপাদ্য যাচাই করছে। x বিয়োগ a যদি কোনো বহুপদীর উৎপাদক হয়, তবে x এর জায়গায় a বসালে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
এখানে উৎপাদক x বিয়োগ ১, তাই x সমান ১ বসাই। ৪ যোগ ৩ বিয়োগ ৪ যোগ k পাই, মানে ৩ যোগ k।
এই মান শূন্য হতে হবে, তাই k সমান ঋণাত্মক ৩।
চিহ্নের ভুলে অনেকে ৩ বেছে নেন। মনে রাখবেন, ৩ যোগ k শূন্য হতে হলে k কে ঋণাত্মক হতেই হবে।
মনে রাখুন: (x − 1) উৎপাদক হলে সব সহগের যোগফল শূন্য: ৪ + ৩ − ৪ + k = ০।
৩৯২. The sum of two numbers is 22 and the sum of their squares is 404 . the product of two numbers is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক40
- খ44
- গ80
- ঘ88
সঠিক উত্তর: ক. 40
দুটি সংখ্যার যোগফল আর বর্গের যোগফল দেওয়া আছে, গুণফল চাই। এর জন্য সূত্র: যোগফলের বর্গ সমান বর্গের যোগফল যোগ দুই গুণ গুণফল।
যোগফল ২২, তার বর্গ ৪৮৪। বর্গের যোগফল ৪০৪। তাই দুই গুণ গুণফল সমান ৪৮৪ বিয়োগ ৪০৪, মানে ৮০।
দুই দিয়ে ভাগ করলে গুণফল ৪০। যাচাই: সংখ্যা দুটি ২০ ও ২, যোগফল ২২, বর্গের যোগফল ৪০০ যোগ ৪ সমান ৪০৪।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ ৮০, কারণ ৪৮৪ বিয়োগ ৪০৪ করেই অনেকে থেমে যান; ওটা আসলে দুই গুণ গুণফল।
মনে রাখুন: গুণফল = (যোগফলের বর্গ − বর্গের যোগফল) ÷ ২ = (৪৮৪ − ৪০৪) ÷ ২ = ৪০।
৩৯৩. If t is an odd integer, which of the following must be an even integer? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কt-2
- খ2t+3
- গ4t+1
- ঘ3t+1
সঠিক উত্তর: ঘ. 3t+1
জোড়-বিজোড়ের নিয়ম দিয়েই প্রশ্নটি সমাধান হয়। জোড় গুণ যেকোনো সংখ্যা জোড়; বিজোড় গুণ বিজোড় বিজোড়; বিজোড় যোগ বিজোড় জোড়; জোড় যোগ বিজোড় বিজোড়।
t বিজোড় হলে ৩t বিজোড়, কারণ দুটি বিজোড়ের গুণফল বিজোড়। তার সঙ্গে ১ যোগ করলে বিজোড় যোগ বিজোড়, তাই ৩t যোগ ১ সবসময় জোড়।
বাকিগুলো দেখি: t বিয়োগ ২ মানে বিজোড় থেকে জোড় বাদ, বিজোড়ই থাকে। ২t ও ৪t জোড়, তাদের সঙ্গে ৩ বা ১ যোগ করলে বিজোড় হয়।
দ্রুত যাচাইয়ের জন্য t সমান ১ বসান: ঋণাত্মক ১, ৫, ৫ আর ৪। শুধু শেষটিই জোড়।
মনে রাখুন: t = ১ বসিয়ে প্রতিটি অপশন যাচাই করুন; must be প্রশ্নে একটি উদাহরণেই ভুলগুলো বাদ পড়ে।
৩৯৪. One of the factors of x⁴ + x² + 1 is - (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কx² − x + 1
- খx + 1
- গx² − x − 1
- ঘx² + 1
সঠিক উত্তর: ক. x² − x + 1
x এর ঘাত ৪ যোগ x বর্গ যোগ ১ কে উৎপাদকে ভাঙতে একটা কৌশল লাগে: পূর্ণবর্গ বানানো। x এর ঘাত ৪ যোগ ২x বর্গ যোগ ১ হলো x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ। আমাদের রাশিতে x বর্গ একবার আছে, তাই একবার বাড়তি যোগ করে আবার বিয়োগ করি।
তাহলে রাশি হয় x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ বিয়োগ x বর্গ। এটি a বর্গ বিয়োগ b বর্গ আকার, যার উৎপাদক a যোগ b গুণ a বিয়োগ b।
ফলে উৎপাদক দুটি: x বর্গ যোগ x যোগ ১, আর x বর্গ বিয়োগ x যোগ ১। অপশনে দ্বিতীয়টি আছে।
x যোগ ১ উৎপাদক নয়, কারণ x সমান ঋণাত্মক ১ বসালে রাশির মান ৩ হয়, শূন্য নয়। এটাই এখানে প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: x⁴ + x² + ১ = (x² + x + ১)(x² − x + ১); মুখস্থ রাখুন, প্রায়ই আসে।
৩৯৫. If x + 1/x = 3 then (x − 1/x)² = ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক5
- খ13
- গ7
- ঘ
সঠিক উত্তর: ক. 5
প্রশ্নে x যোগ x এর উল্টো দেওয়া আছে, চাওয়া হয়েছে x বিয়োগ x এর উল্টো রাশির বর্গ। এ দুটোকে জোড়ে একটি সূত্র: বিয়োগ রাশির বর্গ সমান যোগ রাশির বর্গ বিয়োগ ৪।
কারণ যোগ রাশির বর্গে মাঝের পদ প্লাস ২, আর বিয়োগ রাশির বর্গে মাঝের পদ মাইনাস ২; x গুণ x এর উল্টো সবসময় ১। দুটোর পার্থক্য তাই ৪।
এখানে যোগ রাশি ৩, তার বর্গ ৯। ৯ বিয়োগ ৪ সমান ৫। তাই বিয়োগ রাশির বর্গ ৫।
সাবধান: প্রশ্ন যদি বর্গ ছাড়া শুধু x বিয়োগ x এর উল্টো চায়, তবে উত্তর হবে ৫ এর বর্গমূল। আর ৭ হলো x বর্গ যোগ x বর্গের উল্টো, এটি আরেকটি পরিচিত ফাঁদ।
মনে রাখুন: x + ১/x = a হলে: x² + ১/x² = a² − ২, (x − ১/x)² = a² − ৪।
৩৯৬. If logₓ 625 = 4 then x = ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক15
- খ5
- গ4
- ঘ25
সঠিক উত্তর: খ. 5
লগারিদমের সংজ্ঞা: ভিত্তি x হলে log ৬২৫ সমান ৪ মানে x এর ঘাত ৪ সমান ৬২৫। লগকে সূচকে রূপ দিলেই সমাধান।
৬২৫ কে ভাঙি: ৬২৫ সমান ২৫ গুণ ২৫, আর ২৫ সমান ৫ গুণ ৫। তাই ৬২৫ হলো ৫ এর ঘাত ৪।
x এর ঘাত ৪ সমান ৫ এর ঘাত ৪, তাই x সমান ৫।
অনেকে ২৫ বেছে নেন, কারণ ২৫ এর বর্গ ৬২৫। কিন্তু এখানে ঘাত ৪, ২ নয়; ২৫ এর ঘাত ৪ অনেক বড় সংখ্যা।
মনে রাখুন: logₐ N = p মানে aᵖ = N। ৫ এর ঘাত মুখস্থ রাখুন: ২৫, ১২৫, ৬২৫, ৩১২৫।
৩৯৭. If the rate of interest is 10% per annum and is compounded half yearly, the principal of Tk. 4000 in 1½ years will amount to- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কTk 4630.00
- খTk 4630.50
- গTk 4631.50
- ঘTk. 4632.00
সঠিক উত্তর: খ. Tk 4630.50
চক্রবৃদ্ধি সুদ ছয় মাস পরপর হিসাব হলে দুটি জিনিস বদলায়: সুদের হার অর্ধেক, আর সময়ের সংখ্যা দ্বিগুণ। বার্ষিক ১০ শতাংশ মানে প্রতি ছয় মাসে ৫ শতাংশ।
দেড় বছরে ছয় মাসের পর্ব ৩টি। তাই সবৃদ্ধিমূল হবে ৪০০০ গুণ ১ দশমিক ০৫ এর ঘন।
ধাপে ধাপে: প্রথম ছয় মাসে ৪০০০ থেকে ৪২০০, দ্বিতীয়তে ৪৪১০, তৃতীয়তে ৪৬৩০ টাকা ৫০ পয়সা।
অপশনগুলো খুব কাছাকাছি, তাই পয়সা পর্যন্ত হিসাব জরুরি। ৪৬৩০ ধরে নিলে তৃতীয় ধাপের ২০ টাকা ৫০ পয়সা সুদের ৫০ পয়সা বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: ষাণ্মাসিক চক্রবৃদ্ধি: হার ÷ ২, সময় × ২; তারপর P(১ + r)ⁿ।
৩৯৮. A tap can fill a tank in 6 hours . After half the tank is filled another similar tap is opened. What is the total time taken to fill the tank completely? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক3 h 30 m
- খ3 h 45 m
- গ4 h30 m
- ঘ4 h
সঠিক উত্তর: গ. 4 h30 m
একটি কল ৬ ঘণ্টায় পুরো ট্যাংক ভরে, তাই অর্ধেক ভরতে লাগে ৩ ঘণ্টা। এই সময় শুধু একটি কলই চলছিল।
এরপর একই রকম আরেকটি কল খোলা হলো। দুটি কল মিলে কাজের গতি দ্বিগুণ, অর্থাৎ পুরো ট্যাংক ৩ ঘণ্টায় ভরত। বাকি অর্ধেক তাই লাগবে দেড় ঘণ্টা।
মোট সময় ৩ ঘণ্টা যোগ দেড় ঘণ্টা, মানে ৪ ঘণ্টা ৩০ মিনিট।
ফাঁদ হলো বাকি অর্ধেকের সময় ভুল ধরা। দুই কলে পুরো ট্যাংক ৩ ঘণ্টায় ভরে, তাই অর্ধেক লাগে দেড় ঘণ্টা; এটাকে ১ ঘণ্টা বা আধা ঘণ্টা ধরলেই ৪ ঘণ্টা বা সাড়ে ৩ ঘণ্টার মতো ভুল অপশন চলে আসে।
মনে রাখুন: অর্ধেক একা, অর্ধেক দুজনে: মোট = ৩ + ৩ ÷ ২ = ৪.৫ ঘণ্টা।
৩৯৯. The LCM and HCF of two numbers are 90 and 15 respectively . If one number is 45, the other number is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- ক30
- খ60
- গ15
- ঘ75
সঠিক উত্তর: ক. 30
দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে একটি মূল সম্পর্ক আছে: সংখ্যা দুটির গুণফল সমান তাদের লসাগু আর গসাগুর গুণফল।
লসাগু ৯০ আর গসাগু ১৫, গুণফল ১৩৫০। একটি সংখ্যা ৪৫, তাই অপর সংখ্যা ১৩৫০ ভাগ ৪৫, মানে ৩০।
যাচাই: ৩০ ও ৪৫ এর গসাগু ১৫ এবং লসাগু ৯০, দুটোই মিলে যায়।
১৫ ফাঁদ, কারণ গসাগু নিজেও ১৫; কিন্তু ১৫ ও ৪৫ এর লসাগু ৪৫, ৯০ নয়।
মনে রাখুন: অপর সংখ্যা = লসাগু × গসাগু ÷ দেওয়া সংখ্যা = ৯০ × ১৫ ÷ ৪৫ = ৩০।
৪০০. If 5% is gained by selling an article for Tk 350 than selling it for Tk. 340, the cost of the article is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
- কTk. 180
- খTk. 150
- গTk. 200
- ঘTk. 250
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 200
প্রশ্নের অর্থ হলো: ৩৪০ টাকায় না বেচে ৩৫০ টাকায় বেচলে ৫ শতাংশ বেশি লাভ হয়। এখানে more শব্দটি উহ্য আছে।
দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১০ টাকা। কেনা দাম একই থাকে, তাই লাভের বাড়তি ১০ টাকা পুরোটাই আসে বেশি দামে বেচার কারণে।
লাভের হার কেনা দামের উপর হিসাব হয়, তাই ১০ টাকা হলো কেনা দামের ৫ শতাংশ। কেনা দাম তাহলে ১০ ভাগ ০ দশমিক ০৫, মানে ২০০ টাকা।
যাচাই: ২০০ টাকায় কিনে ৩৪০ এ বেচলে লাভ ৭০ শতাংশ, ৩৫০ এ বেচলে ৭৫ শতাংশ; পার্থক্য ঠিক ৫ শতাংশ।
মনে রাখুন: বাড়তি লাভ % = বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ÷ ক্রয়মূল্য × ১০০; তাই ক্রয়মূল্য = পার্থক্য × ১০০ ÷ %।