গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২১

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২১/৫৩ · প্রশ্ন ৪০১–৪২০সব উত্তর দেখান

৪০১. If sec(x − 30°) = 2/√3, tan x = ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক√3
2. খ1/2
3. গ1/√3
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: ক. √3
sec হলো cos এর উল্টো। তাই sec এর মান ২ ভাগ রুট ৩ হলে cos এর মান রুট ৩ ভাগ ২।
রুট ৩ ভাগ ২ হলো cos ৩০ ডিগ্রির মান। অতএব x বিয়োগ ৩০ ডিগ্রি সমান ৩০ ডিগ্রি, তাই x সমান ৬০ ডিগ্রি।
tan ৬০ ডিগ্রির মান রুট ৩। তাই উত্তর রুট ৩।
ফাঁদ হলো x এর বদলে x বিয়োগ ৩০, মানে ৩০ ডিগ্রি ধরে tan নেওয়া; তাতে আসে ১ ভাগ রুট ৩। প্রশ্ন চেয়েছে tan x, তাই ৩০ যোগ করতে ভুলবেন না।
মনে রাখুন: sec ২/√৩ দেখলেই কোণ ৩০°; tan এর মান: ৩০° → ১/√৩, ৪৫° → ১, ৬০° → √৩।
পুরো পাতা ›
৪০২. A sum of money at simple interest amounts to TK. 5600 in 2 years and Tk. 6500 in 5 years at the rate of - (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক4%
2. খ3%
3. গ5%
4. ঘ6%
সঠিক উত্তর: ঘ. 6%
সরল সুদে প্রতি বছরের সুদ সমান। তাই দুই সময়ের সবৃদ্ধিমূলের পার্থক্য থেকে বার্ষিক সুদ বের করা যায়।
৫ বছরে ৬৫০০ আর ২ বছরে ৫৬০০, পার্থক্য ৯০০ টাকা, যা ৩ বছরের সুদ। তাই প্রতি বছরের সুদ ৩০০ টাকা।
২ বছরের সুদ ৬০০, তাই আসল সমান ৫৬০০ বিয়োগ ৬০০, মানে ৫০০০ টাকা। সুদের হার ৩০০ ভাগ ৫০০০ গুণ ১০০, মানে ৬ শতাংশ।
অনেকে ৫৬০০ কেই আসল ধরে হার বের করেন; তাতে প্রায় ৫ দশমিক ৪ শতাংশ আসে। আসল বের করতে প্রথমে সুদ বাদ দিতে হবে।
মনে রাখুন: হার = (বার্ষিক সুদ × ১০০) ÷ আসল; বার্ষিক সুদ = সবৃদ্ধিমূলের পার্থক্য ÷ বছরের পার্থক্য।
পুরো পাতা ›
৪০৩. When bent in the form of a circle a wire has a radius of 28 cm. If it is bent in the form of a square, what will be its area in cm2? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক7744
2. খ5808
3. গ1936
4. ঘ3872
সঠিক উত্তর: গ. 1936
তার বাঁকিয়ে বৃত্ত বা বর্গ যা-ই বানাই, তারের দৈর্ঘ্য একই থাকে। তাই বৃত্তের পরিধি সমান বর্গের পরিসীমা।
ব্যাসার্ধ ২৮ সেন্টিমিটার হলে পরিধি ২ গুণ ২২ ভাগ ৭ গুণ ২৮, মানে ১৭৬ সেন্টিমিটার।
বর্গের চার বাহু সমান, তাই এক বাহু ১৭৬ ভাগ ৪, মানে ৪৪ সেন্টিমিটার। ক্ষেত্রফল ৪৪ গুণ ৪৪, মানে ১৯৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার।
৭৭৪৪ আসে যদি পুরো ৮৮ কে বাহু ধরা হয়, মানে পরিসীমাকে চার দিয়ে না ভেঙে দুই দিয়ে ভাঙা হয়। আর ৩৮৭২ হলো তার অর্ধেক।
মনে রাখুন: r = ২৮ হলে পরিধি ১৭৬ মুখস্থ রাখুন; বর্গের বাহু = পরিধি ÷ ৪।
পুরো পাতা ›
৪০৪. What is the largest number that divides 84, 144 and 36 without any remainder? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক6
2. খ12
3. গ18
4. ঘ24
সঠিক উত্তর: খ. 12
যে বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে কয়েকটি সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়, তা-ই তাদের গসাগু।
মৌলিক উৎপাদকে ভাঙি: ৮৪ সমান ২ গুণ ২ গুণ ৩ গুণ ৭; ১৪৪ সমান ২ এর ঘাত ৪ গুণ ৩ এর বর্গ; ৩৬ সমান ২ এর বর্গ গুণ ৩ এর বর্গ।
তিনটিতেই সাধারণ আছে ২ দুইবার ও ৩ একবার, গুণফল ১২। তাই গসাগু ১২।
৬ দিয়েও তিনটি ভাগ যায়, কিন্তু প্রশ্ন বৃহত্তম চেয়েছে। ১৮ দিয়ে ৮৪ ভাগ যায় না, ২৪ দিয়ে ৮৪ ও ৩৬ কোনোটিই নয়।
মনে রাখুন: অপশন থেকে বড়টা আগে যাচাই করুন: ২৪, ১৮ বাদ; ১২ দিয়ে তিনটিই ভাগ যায়।
পুরো পাতা ›
৪০৫. The ratio of two numbers is 7:4. If 8 is added to both the numbers ratio becomes 13:8. What is the smaller number? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক52
2. খ56
3. গ38
4. ঘ40
সঠিক উত্তর: ঘ. 40
অনুপাতের প্রশ্নে সংখ্যা দুটিকে ৭x ও ৪x ধরি। দুটির সঙ্গে ৮ যোগ করলে অনুপাত হয় ১৩ অনুপাত ৮।
তাহলে ৭x যোগ ৮ কে ৪x যোগ ৮ দিয়ে ভাগ করলে ১৩ ভাগ ৮। আড়গুণনে পাই ৫৬x যোগ ৬৪ সমান ৫২x যোগ ১০৪।
সরল করলে ৪x সমান ৪০, তাই x সমান ১০। সংখ্যা দুটি ৭০ ও ৪০, ছোটটি ৪০।
যাচাই: ৭৮ আর ৪৮ এর অনুপাত ১৩ অনুপাত ৮। অপশনের ৫৬ ছোট সংখ্যা হলে বড়টি ৯৮, আর ৮ যোগে ১০৬ অনুপাত ৬৪ হয়, যা ১৩ অনুপাত ৮ নয়; আড়গুণনের ৫৬x দেখে বিভ্রান্ত হওয়াই ফাঁদ।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: ছোট ৪০ হলে বড় ৭০; ৭৮ : ৪৮ = ১৩ : ৮ মিলে যায়।
পুরো পাতা ›
৪০৬. The total surface area of a hemisphere of radius r is - (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক4πr²
2. খπr²
3. গ2πr²
4. ঘ3πr²
সঠিক উত্তর: ঘ. 3πr²
গোলকের পৃষ্ঠতল ৪ পাই r বর্গ। অর্ধগোলক হলো তার অর্ধেক, তাই বাঁকা পৃষ্ঠ ২ পাই r বর্গ।
কিন্তু অর্ধগোলক কাটলে নিচে একটি সমতল বৃত্তাকার মুখও তৈরি হয়, যার ক্ষেত্রফল পাই r বর্গ।
সমগ্র পৃষ্ঠতল মানে বাঁকা অংশ আর সমতল মুখ দুটোই। ২ পাই r বর্গ যোগ পাই r বর্গ সমান ৩ পাই r বর্গ।
ফাঁদ ২ পাই r বর্গ, যা শুধু বাঁকা পৃষ্ঠ। প্রশ্নে total শব্দটি থাকলে সমতল মুখও যোগ করতে হবে।
মনে রাখুন: গোলক ৪, অর্ধগোলকের বাঁকা অংশ ২, সমগ্র অর্ধগোলক ৩ (সবই πr² এর গুণিতক)।
পুরো পাতা ›
৪০৭. A mixture of 20 kg of spirit and water contains 10% water. How much water must be added to mixture to raise the percentage of water to 25% (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক2 kg
2. খ4 kg
3. গ5 kg
4. ঘ6 kg
সঠিক উত্তর: খ. 4 kg
মিশ্রণে পানি যোগ করলে স্পিরিটের পরিমাণ বদলায় না। তাই স্পিরিটকে স্থির ধরে হিসাব করাই সহজ।
২০ কেজির ১০ শতাংশ পানি মানে ২ কেজি পানি, স্পিরিট ১৮ কেজি।
নতুন মিশ্রণে পানি ২৫ শতাংশ হলে স্পিরিট ৭৫ শতাংশ। ১৮ কেজি যদি ৭৫ শতাংশ হয়, তবে মোট মিশ্রণ ২৪ কেজি। তাই যোগ করতে হবে ২৪ বিয়োগ ২০, মানে ৪ কেজি পানি।
অনেকে সরাসরি ২০ কেজির ১৫ শতাংশ, মানে ৩ কেজি ধরেন; কিন্তু পানি যোগ করলে মোট পরিমাণও বাড়ে, তাই আরও বেশি লাগে।
মনে রাখুন: যে উপাদান বদলায় না তাকে ধরে নতুন মোট বের করুন: ১৮ ÷ ০.৭৫ = ২৪।
পুরো পাতা ›
৪০৮. The height of an equilateral triangle with a side 2 cm is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক√3 cm
2. খ2√3 cm
3. গ3√2 cm
4. ঘ√5 cm
সঠিক উত্তর: ক. √3 cm
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, ফলে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়। প্রতিটির অতিভুজ মূল বাহু, আর ভূমি বাহুর অর্ধেক।
বাহু ২ সেন্টিমিটার হলে অর্ধেক ১ সেন্টিমিটার। পিথাগোরাসে উচ্চতার বর্গ সমান ২ এর বর্গ বিয়োগ ১ এর বর্গ, মানে ৩।
তাই উচ্চতা রুট ৩ সেন্টিমিটার। সাধারণ সূত্রও এটাই বলে: উচ্চতা সমান রুট ৩ ভাগ ২ গুণ বাহু।
রুট ৫ আসে যদি বিয়োগের বদলে যোগ করা হয়। দুই রুট ৩ হলো বাহুকেই উচ্চতার সূত্রে অর্ধেক না করে বসানোর ভুল।
মনে রাখুন: সমবাহু ত্রিভুজ: উচ্চতা = (√৩/২)a, ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a²।
পুরো পাতা ›
৪০৯. Which one of the following numbers can be removed from the set S = {0, 2, 4, 5, 9} without changing the average of set S? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক0
2. খ2
3. গ4
4. ঘ5
সঠিক উত্তর: গ. 4
গড়ের একটি সহজ নিয়ম: সেট থেকে যদি ঠিক গড়ের সমান একটি সংখ্যা সরানো হয়, তবে গড় বদলায় না। কারণ ওই সংখ্যাটি গড়কে উপরে বা নিচে কোনো দিকেই টানছিল না।
সেটের যোগফল ০ যোগ ২ যোগ ৪ যোগ ৫ যোগ ৯ সমান ২০, সংখ্যা ৫টি, তাই গড় ৪।
৪ সরালে বাকি চারটির যোগফল ১৬, গড় ১৬ ভাগ ৪ সমান ৪; গড় অপরিবর্তিত।
০ সরালে গড় বেড়ে ৫ হয়, ২ সরালে সাড়ে ৪, আর ৫ সরালে কমে পৌনে ৪। তাই শুধু ৪ সরানোই চলে।
মনে রাখুন: গড়ের সমান সংখ্যা সরালে বা যোগ করলে গড় বদলায় না; শুধু গড়টা বের করলেই উত্তর।
পুরো পাতা ›
৪১০. What is the unit digit in the product 84 × 59 × 13 × 76 ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক2
2. খ4
3. গ6
4. ঘ8
সঠিক উত্তর: ঘ. 8
গুণফলের একক অঙ্ক শুধু প্রতিটি সংখ্যার একক অঙ্কের উপর নির্ভর করে। তাই পুরো গুণ না করে শুধু শেষ অঙ্কগুলো গুণ করলেই চলে।
একক অঙ্কগুলো ৪, ৯, ৩ আর ৬। ৪ গুণ ৯ সমান ৩৬, শেষ অঙ্ক ৬। ৬ গুণ ৩ সমান ১৮, শেষ অঙ্ক ৮। ৮ গুণ ৬ সমান ৪৮, শেষ অঙ্ক ৮।
তাই গুণফলের একক অঙ্ক ৮। পুরো গুণফল ৪৮ লক্ষ ৯৬ হাজার ৫২৮, যা ৮ দিয়েই শেষ হয়।
৬ দিয়ে শেষ হওয়া ৭৬ দেখে অনেকে ৬ ধরেন, কিন্তু অন্য সংখ্যাগুলোর শেষ অঙ্কও গুণে প্রভাব ফেলে।
মনে রাখুন: প্রতি ধাপে শুধু শেষ অঙ্ক রেখে গুণ করুন; বড় সংখ্যা লাগবে না।
পুরো পাতা ›
৪১১. The area of a rhombus is 96 cm² and the length of one of the diagonals is 16 cm. The length of the other diagonal is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক18
2. খ12
3. গ9
4. ঘ6
সঠিক উত্তর: খ. 12
রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান দুই কর্ণের গুণফলের অর্ধেক।
ক্ষেত্রফল ৯৬, এক কর্ণ ১৬। তাহলে ১৬ গুণ অপর কর্ণ সমান ৯৬ এর দ্বিগুণ, মানে ১৯২।
অপর কর্ণ ১৯২ ভাগ ১৬, মানে ১২ সেন্টিমিটার।
অর্ধেক নিতে ভুলে গেলে ৯৬ ভাগ ১৬ সমান ৬ আসে; এটাই এখানকার ফাঁদ।
মনে রাখুন: অপর কর্ণ = ২ × ক্ষেত্রফল ÷ দেওয়া কর্ণ।
পুরো পাতা ›
৪১২. If 1+sinθ = xcosθ, then tanθ=? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক(x² + 1)/x
2. খ(x² − 1)/x
3. গ(x² + 1)/2x
4. ঘ(x² − 1)/2x
সঠিক উত্তর: ঘ. (x² − 1)/2x
১ যোগ sin থিটা সমান x গুণ cos থিটা, তাই x সমান ১ যোগ sin থিটা ভাগ cos থিটা। এ ধরনের প্রশ্নে x বর্গ নিয়ে কাজ করলে sin আর cos আলাদা করা যায়।
x বর্গ হলো ১ যোগ sin এর বর্গ ভাগ cos বর্গ। cos বর্গ সমান ১ বিয়োগ sin বর্গ, যা ১ যোগ sin গুণ ১ বিয়োগ sin। কাটাকাটি করলে x বর্গ সমান ১ যোগ sin ভাগ ১ বিয়োগ sin।
এখান থেকে যোজন-বিয়োজন করলে sin থিটা সমান x বর্গ বিয়োগ ১ ভাগ x বর্গ যোগ ১। আবার cos থিটা সমান ১ যোগ sin ভাগ x, যা দাঁড়ায় ২x ভাগ x বর্গ যোগ ১।
tan থিটা সমান sin ভাগ cos, তাই x বর্গ বিয়োগ ১ ভাগ ২x। দ্রুত যাচাই: থিটা শূন্য ধরলে x সমান ১ আর tan শূন্য, এতে প্রথম ও তৃতীয় অপশন বাদ পড়ে। থিটা ৩০ ডিগ্রি ধরলে x সমান রুট ৩ আর tan সমান ১ ভাগ রুট ৩; দ্বিতীয় অপশন দেয় ২ ভাগ রুট ৩, শুধু শেষটি মেলে।
মনে রাখুন: x = secθ + tanθ হলে secθ − tanθ = ১/x; বিয়োগ করলে ২tanθ = x − ১/x, তাই tanθ = (x² − ১)/২x।
পুরো পাতা ›
৪১৩. What is probability that an integer selected at random from those between 20 and 100 inclusive is a multiple of 15? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক5/79
2. খ2/27
3. গ5/81
4. ঘ6/79
সঠিক উত্তর: গ. 5/81
সম্ভাবনা হলো অনুকূল ফলাফল ভাগ মোট ফলাফল। প্রথমে গুনতে হবে ২০ থেকে ১০০ পর্যন্ত, দুই প্রান্তসহ, কতগুলো পূর্ণসংখ্যা আছে।
প্রান্তসহ গণনায় শেষ বিয়োগ শুরু যোগ ১ করতে হয়: ১০০ বিয়োগ ২০ যোগ ১ সমান ৮১টি সংখ্যা।
এর মধ্যে ১৫ এর গুণিতক ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫ আর ৯০, মোট ৫টি। ১৫ নিজে ২০ এর ছোট, আর ১০৫ একশোর বেশি।
তাই সম্ভাবনা ৫ ভাগ ৮১। ফাঁদ হলো ১ যোগ করতে ভুলে মোট ৮০ ধরা, বা দুই প্রান্তই বাদ দিয়ে ৭৯ ধরা; অপশনের ৫ ভাগ ৭৯ এই দ্বিতীয় ভুলের ফল।
মনে রাখুন: inclusive দেখলে সংখ্যা গোনায় সবসময় শেষ − শুরু + ১।
পুরো পাতা ›
৪১৪. The area of a triangle with sides 3cm, 5cm, 6cm is- (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক28 cm²
2. খ2√14 cm²
3. গ3√14 cm²
4. ঘ√14 cm²
সঠিক উত্তর: খ. 2√14 cm²
তিন বাহু দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল বের করতে হেরনের সূত্র লাগে। প্রথমে অর্ধপরিসীমা s বের করি: ৩ যোগ ৫ যোগ ৬ সমান ১৪, অর্ধেক ৭।
সূত্র: ক্ষেত্রফল সমান s গুণ s বিয়োগ a গুণ s বিয়োগ b গুণ s বিয়োগ c এর বর্গমূল। এখানে ৭ গুণ ৪ গুণ ২ গুণ ১, মানে ৫৬।
৫৬ সমান ৪ গুণ ১৪, তাই বর্গমূল ২ রুট ১৪ বর্গ সেন্টিমিটার, প্রায় ৭ দশমিক ৪৮।
২৮ হলো ৫৬ এর অর্ধেক, বর্গমূল না নিয়ে অর্ধেক করার ভুল। রুট ১৪ আসে ৪ এর বর্গমূল ২ বাইরে আনতে ভুলে গেলে।
মনে রাখুন: হেরন: √(s(s − a)(s − b)(s − c)); বর্গমূলের ভেতর থেকে পূর্ণবর্গ (এখানে ৪) বের করে আনুন।
পুরো পাতা ›
৪১৫. An electric pole casts a √3 m long shadow on the ground at an elevation 60°, the height of the pole is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক3 m
2. খ3√3 m
3. গ3√2 m
4. ঘ2√3 m
সঠিক উত্তর: ক. 3 m
খুঁটি, তার ছায়া আর সূর্যরশ্মি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ বানায়। খুঁটি লম্ব, ছায়া ভূমি, আর সূর্যের উন্নতি কোণ ভূমির সঙ্গে রশ্মির কোণ।
লম্ব আর ভূমির সম্পর্ক tan দিয়ে: tan কোণ সমান লম্ব ভাগ ভূমি। এখানে tan ৬০ ডিগ্রি সমান উচ্চতা ভাগ রুট ৩।
tan ৬০ ডিগ্রি রুট ৩, তাই উচ্চতা সমান রুট ৩ গুণ রুট ৩, মানে ৩ মিটার।
ফাঁদ হলো ভূমি আর লম্ব উল্টে ফেলা, বা sin ব্যবহার করা। ছায়া দেওয়া থাকলে সবসময় tan।
মনে রাখুন: উচ্চতা = ছায়া × tan(উন্নতি কোণ) = √৩ × √৩ = ৩।
পুরো পাতা ›
৪১৬. The second and third term of a geometric series are 9 and 3 respectively. The 6 th term of the series is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক0
2. খ1/3
3. গ1
4. ঘ1/9
সঠিক উত্তর: ঘ. 1/9
গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পদ আগের পদকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, সাধারণ অনুপাত r দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়।
দ্বিতীয় পদ ৯, তৃতীয় পদ ৩, তাই r সমান ৩ ভাগ ৯, মানে ১ ভাগ ৩।
তৃতীয় থেকে ষষ্ঠ পদে যেতে আরও তিনবার গুণ: ৩ গুণ এক-তৃতীয়াংশ মানে ১, তারপর এক-তৃতীয়াংশ, তারপর ১ ভাগ ৯। তাই ষষ্ঠ পদ ১ ভাগ ৯।
অনেকে পঞ্চম পদ ১ ভাগ ৩ এ থেমে যান, অথবা চতুর্থ পদ ১ কেই উত্তর ধরেন। ধারা কখনো শূন্য হয় না, তাই ০ সম্ভব নয়।
মনে রাখুন: nতম পদ = আগের জানা পদ × r^(ধাপ সংখ্যা): ৩ × (১/৩)³ = ১/৯।
পুরো পাতা ›
৪১৭. One of the factors of x⁴ + x² + 1 is - (সমন্বিত ৭ ব্যাংক ও ১ আর্থিক প্রতিষ্ঠান: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. কx² − x + 1
2. খx + 1
3. গx² − x − 1
4. ঘx² + 1
সঠিক উত্তর: ক. x² − x + 1
x এর ঘাত ৪ যোগ x বর্গ যোগ ১ কে উৎপাদকে ভাঙতে একটা কৌশল লাগে: পূর্ণবর্গ বানানো। x এর ঘাত ৪ যোগ ২x বর্গ যোগ ১ হলো x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ। আমাদের রাশিতে x বর্গ একবার আছে, তাই একবার বাড়তি যোগ করে আবার বিয়োগ করি।
তাহলে রাশি হয় x বর্গ যোগ ১ এর বর্গ বিয়োগ x বর্গ। এটি a বর্গ বিয়োগ b বর্গ আকার, যার উৎপাদক a যোগ b গুণ a বিয়োগ b।
ফলে উৎপাদক দুটি: x বর্গ যোগ x যোগ ১, আর x বর্গ বিয়োগ x যোগ ১। অপশনে দ্বিতীয়টি আছে।
x যোগ ১ উৎপাদক নয়, কারণ x সমান ঋণাত্মক ১ বসালে রাশির মান ৩ হয়, শূন্য নয়। এটাই এখানে প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: x⁴ + x² + ১ = (x² + x + ১)(x² − x + ১); মুখস্থ রাখুন, প্রায়ই আসে।
পুরো পাতা ›
৪১৮. Max goes to the gym every fourth day. Ellen's exercise routine is to go every third day. Today is Monday and both Max and Ellen are at the gym. What will the day of the week be the next time they are both at the gym? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. কSunday
2. খWednesday
3. গFriday
4. ঘSaturday
সঠিক উত্তর: ঘ. Saturday
দুজন আবার কবে একসাথে জিমে থাকবে, সেটা বের করতে লাগে ল.সা.গু। ম্যাক্স যায় প্রতি ৪ দিন পরপর, এলেন প্রতি ৩ দিন পরপর। ৪ আর ৩ এর লসাগু ১২, তাই ১২ দিন পর দুজন আবার একসাথে থাকবে।
এখন ১২ দিন পর কী বার, তা বের করতে ১২ কে ৭ দিয়ে ভাগ করি, কারণ সপ্তাহে ৭ দিন। ভাগশেষ থাকে ৫। মানে পুরো এক সপ্তাহ পার হয়ে আরও ৫ দিন এগোতে হবে।
সোমবার থেকে ৫ দিন এগোলে: মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি, শুক্র, শনি। তাই উত্তর শনিবার।
অনেকে ৪ আর ৩ যোগ করে ৭ দিন ধরেন, তাহলে আবার সোমবার আসে, যা অপশনেও নেই। আবার কেউ ৪ গুণ ৩ না করে শুধু ৪ দিন গুনে শুক্রবার বেছে নেন। দুই সংখ্যার লসাগুই এখানে আসল চাবি।
মনে রাখুন: লসাগু বের করে ৭ দিয়ে ভাগ করুন; ভাগশেষ যত, আজকের বার থেকে ততদিন এগোন।
পুরো পাতা ›
৪১৯. Bill and Ben can clean the garage together in 6 hours. If it takes Bill 10 hours working alone, how long will it take Ben working alone? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. ক11 hours
2. খ4 hours
3. গ16 hours
4. ঘ15 hours
সঠিক উত্তর: ঘ. 15 hours
কাজের প্রশ্নে সময়ের বদলে প্রতি ঘণ্টার কাজ ধরলে হিসাব সহজ হয়। পুরো গ্যারেজ পরিষ্কারকে ১টি কাজ ধরি।
দুজন মিলে ৬ ঘণ্টায় করে, তাই একসাথে প্রতি ঘণ্টায় করে ৬ ভাগের ১ ভাগ। বিল একা ১০ ঘণ্টায় করে, তাই সে প্রতি ঘণ্টায় করে ১০ ভাগের ১ ভাগ।
বেনের প্রতি ঘণ্টার কাজ হলো দুটোর পার্থক্য: ৬ ভাগের ১ থেকে ১০ ভাগের ১ বাদ দিলে হয় ১৫ ভাগের ১। তাই বেন একা পুরো কাজ করতে লাগবে ১৫ ঘণ্টা।
সাধারণ ভুল হলো সময় সরাসরি বিয়োগ করা: ১০ থেকে ৬ বাদ দিয়ে ৪ ঘণ্টা। কিন্তু একজন সাহায্যকারী থাকলে সময় কমে, তাই একা কাজ করা লোকের সময় অবশ্যই ৬ ঘণ্টার বেশি হবে।
মনে রাখুন: অন্যজনের সময় = (একসাথে × একজনের সময়) ÷ (একজনের সময় − একসাথে) = ৬ × ১০ ÷ ৪ = ১৫ ঘণ্টা।
পুরো পাতা ›
৪২০. A sector of a circle of radius 5 cm is recast into a right circular cone of height 4 cm. What is the volume of the resulting cone? (৫ সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের কোনো বৃত্তকলাকে একটি ৪ সেমি উচ্চতার সমবৃত্তভূমিক কোণকে রূপান্তরিত করা হলো। নতুন গঠিত কোণটির আয়তন কত?) (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. ক12π cm³
2. খ33π cm³
3. গ32π cm³
4. ঘ4π cm³
সঠিক উত্তর: ক. 12π cm³
বৃত্তকলা ভাঁজ করে কোণক বানালে বৃত্তের ব্যাসার্ধটাই কোণকের হেলানো উচ্চতা হয়ে যায়। তাই এখানে কোণকের হেলানো উচ্চতা ৫ সেন্টিমিটার, আর খাড়া উচ্চতা দেওয়া আছে ৪ সেন্টিমিটার।
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, খাড়া উচ্চতা আর হেলানো উচ্চতা মিলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে। পিথাগোরাসের উপপাদ্যে ভূমির ব্যাসার্ধের বর্গ হলো ৫ এর বর্গ থেকে ৪ এর বর্গ বাদ, মানে ২৫ থেকে ১৬ বাদ দিয়ে ৯। তাই ভূমির ব্যাসার্ধ ৩ সেন্টিমিটার।
কোণকের আয়তন হলো তিন ভাগের এক গুণ পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ গুণ উচ্চতা। বসালে হয় তিন ভাগের এক গুণ পাই গুণ ৯ গুণ ৪, মানে ১২ পাই ঘন সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ৫ কে কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ ধরে নেওয়া। তাহলে আয়তন আসে প্রায় ৩৩ পাই, যা খ অপশনের কাছাকাছি। মনে রাখুন, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোণকে গিয়ে হয় হেলানো উচ্চতা।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫ ত্রিভুজ চিনে ফেলুন: হেলানো উচ্চতা ৫, উচ্চতা ৪ হলে ব্যাসার্ধ ৩, সাথে সাথে আয়তন ⅓ × ৯ × ৪ = ১২π।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৪২১–৪৪০ ›