গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২৪
৪৬১. If cosθ + sinθ = 1, then θ = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক30°
- খ45°
- গ60°
- ঘ90°
সঠিক উত্তর: ঘ. 90°
প্রশ্নটা চায় এমন কোণ, যেখানে cos আর sin-এর যোগফল ঠিক ১। সবচেয়ে দ্রুত উপায় হলো অপশনের কোণগুলোর পরিচিত মান বসিয়ে দেখা।
৯০ ডিগ্রিতে cos শূন্য আর sin ১, যোগফল ১; শর্ত মিলে গেল। ৪৫ ডিগ্রিতে দুটোই ১ ভাগ রুট ২, যোগফল রুট ২, প্রায় ১ দশমিক ৪১৪।
বীজগণিতেও দেখা যায়: দুই পাশ বর্গ করলে ১ যোগ ২ sin cos সমান ১, তাই sin গুণ cos শূন্য। মানে sin বা cos এর একটি শূন্য; শূন্য ডিগ্রি বা ৯০ ডিগ্রি। অপশনে শুধু ৯০ ডিগ্রি আছে।
৩০ আর ৬০ ডিগ্রিতে যোগফল একই, ১ দশমিক ৩৬৬; অনেকে এগুলোকে কাছাকাছি ভেবে ভুল করেন।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: শুধু ০° আর ৯০°-তে একটি মান ১ আর অন্যটি ০।
৪৬২. If the sum of x and its multiplicative inverse is 3, then x³ + 1/x³ = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক36
- খ0
- গ1
- ঘ18
সঠিক উত্তর: ঘ. 18
কোনো সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত মানে ১ ভাগ সেই সংখ্যা। তাই শর্তটা হলো x যোগ ১ ভাগ x সমান ৩।
ঘনের সূত্র: a যোগ b-এর ঘন সমান a ঘন যোগ b ঘন যোগ ৩ab গুণ a যোগ b। এখানে a সমান x আর b সমান ১ ভাগ x, তাই ab সমান ১।
সূত্র উল্টে লিখলে x ঘন যোগ ১ ভাগ x ঘন সমান ৩-এর ঘন বিয়োগ ৩ গুণ ১ গুণ ৩, মানে ২৭ বিয়োগ ৯, অর্থাৎ ১৮।
সাধারণ ভুল: শুধু ৩-এর ঘন ২৭ লিখে থেমে যাওয়া, বা বর্গের সূত্র থেকে ৭ বের করে বিভ্রান্ত হওয়া। আবার কেউ ৩৬ বেছে নেন, যা ১৮-এর দ্বিগুণ।
মনে রাখুন: x + ১/x = k হলে x³ + ১/x³ = k³ − ৩k। k = ৩ হলে ২৭ − ৯ = ১৮।
৪৬৩. Let M be the median and m the mode of the following set of numbers: 10, 70, 20, 40, 70, 90. What is the arithmetic mean of M and m ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক50
- খ60
- গ62.5
- ঘ65
সঠিক উত্তর: গ. 62.5
মধ্যক বা median বের করতে আগে সংখ্যাগুলো ছোট থেকে বড় সাজাতে হয়। সাজালে হয় ১০, ২০, ৪০, ৭০, ৭০, ৯০।
সংখ্যা ৬টি, জোড়; তাই মাঝের দুটি, তৃতীয় আর চতুর্থ সংখ্যা ৪০ ও ৭০-এর গড়ই মধ্যক। ৪০ যোগ ৭০ সমান ১১০, অর্ধেক ৫৫। সুতরাং M সমান ৫৫।
প্রচুরক বা mode হলো যে সংখ্যা সবচেয়ে বেশিবার আছে: ৭০ আছে দুবার, তাই m সমান ৭০।
এখন ৫৫ আর ৭০-এর গড় হলো ১২৫ ভাগ ২, মানে ৬২ দশমিক ৫। না সাজিয়ে মাঝের দুটি সংখ্যা ২০ ও ৪০ নিলে মধ্যক ভুল আসে; এটাই প্রধান ফাঁদ।
মনে রাখুন: সাজানোর পর জোড় সংখ্যক মান হলে মাঝের দুটির গড়ই মধ্যক।
৪৬৪. If (7ᵃ)(7ᵇ) = 7ᶜ(7ᵈ), what is d in terms of a, b, and c? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক3ab
- খc − a − b
- গa + b − c
- ঘc − ab
সঠিক উত্তর: গ. a + b − c
এটি সূচকের গুণের নিয়মের প্রশ্ন। একই ভিত্তির দুটি ঘাত গুণ করলে সূচকগুলো যোগ হয়: ৭-এর ঘাত a গুণ ৭-এর ঘাত b সমান ৭-এর ঘাত a যোগ b।
তাই বাম পাশ হয় ৭-এর ঘাত a যোগ b, আর ডান পাশ ৭-এর ঘাত c যোগ d। ভিত্তি সমান হলে সূচকও সমান, তাই a যোগ b সমান c যোগ d।
এখন d-কে আলাদা করলে d সমান a যোগ b বিয়োগ c।
c বিয়োগ a বিয়োগ b হলো ঠিক উল্টো চিহ্নের উত্তর; c-কে ভুল পাশে রেখে পক্ষান্তর করলে এই ফাঁদে পড়তে হয়। আবার সূচক যোগের বদলে গুণ করলে ab ধরনের উত্তর আসে।
মনে রাখুন: সংখ্যা বসিয়ে যাচাই: a = ২, b = ৩, c = ১ নিলে ৭⁵ = ৭¹ × ৭ᵈ, তাই d = ৪ = ২ + ৩ − ১।
৪৬৫. If the lines AB and CD meet at O and ∠BOD = 60°, then ∠BOC = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক27°
- খ63°
- গ120°
- ঘ297°
সঠিক উত্তর: গ. 120°
দুটি সরলরেখা AB ও CD বিন্দু O-তে ছেদ করেছে। একটি সরলরেখার উপর এক পাশে তৈরি সন্নিহিত দুটি কোণের যোগফল সবসময় ১৮০ ডিগ্রি; এদের সরল কোণ জোড় বা রৈখিক যুগল বলে।
C, O, D একই সরলরেখায়। তাই রশ্মি OB রেখা CD-র উপর দাঁড়িয়ে দুটি কোণ বানিয়েছে: কোণ BOC আর কোণ BOD। এদের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি।
কোণ BOD ৬০ ডিগ্রি হলে কোণ BOC সমান ১৮০ বিয়োগ ৬০, মানে ১২০ ডিগ্রি। এর বিপ্রতীপ কোণ AOD-ও ১২০ ডিগ্রি, আর AOC সমান ৬০ ডিগ্রি।
অনেকে ৯০ থেকে বিয়োগ করে পূরক কোণ ভেবে ফেলেন, বা ৩৬০ থেকে বিয়োগ করেন; দুটোই এখানে ভুল।
মনে রাখুন: ছেদ করা দুই রেখায় পাশাপাশি কোণ যোগে ১৮০°, মুখোমুখি (বিপ্রতীপ) কোণ সমান।
৪৬৬. The next term of the series 9 + 36 + 81 + 144 + ____ is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক169
- খ256
- গ272
- ঘ225
সঠিক উত্তর: ঘ. 225
ধারাটির প্রতিটি পদ একটি পূর্ণবর্গ: ৯ হলো ৩-এর বর্গ, ৩৬ হলো ৬-এর বর্গ, ৮১ হলো ৯-এর বর্গ, ১৪৪ হলো ১২-এর বর্গ।
বর্গমূলগুলো ৩, ৬, ৯, ১২; প্রতিবার ৩ করে বাড়ছে। তাই পরের বর্গমূল ১৫, আর পরের পদ ১৫-এর বর্গ, মানে ২২৫।
অন্তর দিয়েও দেখা যায়: পদগুলোর অন্তর ২৭, ৪৫, ৬৩; এরা প্রতিবার ১৮ করে বাড়ছে। পরের অন্তর ৮১, আর ১৪৪ যোগ ৮১ সমান ২২৫।
১৬৯ আর ২৫৬ দুটোই পূর্ণবর্গ বলে ফাঁদ; কিন্তু ১৩ বা ১৬ ধারার ৩-এর গুণিতক নিয়ম মানে না।
মনে রাখুন: প্রতিটি পদ ৯ × n²: ৯ × ১, ৯ × ৪, ৯ × ৯, ৯ × ১৬; পরের পদ ৯ × ২৫ = ২২৫।
৪৬৭. If a = 0.67, then which one of the following is smaller than a? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক√a
- খ1/a
- গa²
- ঘ1/a²
সঠিক উত্তর: গ. a²
এখানে a শূন্য আর ১-এর মাঝের একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ। এমন সংখ্যার বেলায় নিয়ম উল্টো খাটে: বর্গ করলে মান কমে, বর্গমূল নিলে মান বাড়ে, আর উল্টে নিলে মান ১-এর চেয়েও বড় হয়।
a-এর বর্গ হলো ০ দশমিক ৬৭ গুণ ০ দশমিক ৬৭, মানে প্রায় ০ দশমিক ৪৪৯; এটি a-এর চেয়ে ছোট।
অন্যদিকে a-এর বর্গমূল প্রায় ০ দশমিক ৮১৯, ১ ভাগ a প্রায় ১ দশমিক ৪৯, আর ১ ভাগ a-এর বর্গ প্রায় ২ দশমিক ২৩; তিনটিই a-এর চেয়ে বড়।
বর্গমূলে মান কমে, এই পূর্ণসংখ্যার অভ্যাস থেকে অনেকে রুট a বেছে নেন। কিন্তু ১-এর চেয়ে ছোট সংখ্যার বর্গমূল আসলে বড় হয়।
মনে রাখুন: ০ আর ১-এর মাঝের সংখ্যা: ঘাত বাড়ালে ছোট হয়, বর্গমূল বা উল্টো নিলে বড় হয়।
৪৬৮. The difference between simple and compound interest at 5% annually on a sum of Tk. 10000 at the end of 2 years is? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক25
- খ50
- গ100
- ঘ250
সঠিক উত্তর: ক. 25
সরল সুদে প্রতি বছর সুদ হয় শুধু আসলের উপর; চক্রবৃদ্ধিতে দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের সুদের উপরও সুদ হয়। দুই বছরে পার্থক্য তাই ঠিক প্রথম বছরের সুদের উপর এক বছরের সুদ।
প্রথম বছরের সুদ ১০০০০ টাকার ৫ শতাংশ, মানে ৫০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে চক্রবৃদ্ধিতে এই ৫০০ টাকার উপরও ৫ শতাংশ সুদ হয়, যা ২৫ টাকা।
সূত্রেও একই: দুই বছরের পার্থক্য সমান আসল গুণ হারের বর্গ। ১০০০০ গুণ ০ দশমিক ০৫-এর বর্গ, অর্থাৎ ১০০০০ গুণ ০ দশমিক ০০২৫, সমান ২৫ টাকা।
অনেকে ৫০০ টাকার সুদ ভুলে ৫০ বা ১০০ বের করেন, বা মোট সুদ ১০০০ এর সঙ্গে গুলিয়ে ফেলেন।
মনে রাখুন: ২ বছরে পার্থক্য = P × (r/১০০)² = ১০০০০ × (৫/১০০)² = ২৫।
৪৬৯. If a ladder touches the roof of a wall and makes an angle of 45° with the 15 metre long wall, then the length of the ladder is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক30m
- খ15m
- গ45m
- ঘ15√2m
সঠিক উত্তর: ঘ. 15√2m
মই, দেয়াল আর মাটি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ। দেয়ালটি লম্ব, ১৫ মিটার; মইটি অতিভুজ, কারণ এটি সমকোণের বিপরীতে।
মই দেয়ালের সাথে ৪৫ ডিগ্রি কোণ বানিয়েছে। ওই কোণের সন্নিহিত বাহু দেয়াল, তাই cos ৪৫ সমান দেয়াল ভাগ মই। cos ৪৫ হলো ১ ভাগ রুট ২।
তাই মই সমান ১৫ গুণ রুট ২ মিটার, প্রায় ২১ দশমিক ২১ মিটার। ৪৫ ডিগ্রিতে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, ভূমিও ১৫ মিটার; পিথাগোরাসে ১৫-এর বর্গ যোগ ১৫-এর বর্গের বর্গমূলও ১৫ রুট ২।
১৫ মিটার ফাঁদ: এটা দেয়ালের উচ্চতা, মইয়ের দৈর্ঘ্য নয়। অতিভুজ সবসময় অন্য দুই বাহুর চেয়ে বড়।
মনে রাখুন: ৪৫°-এর সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ = বাহু × √২।
৪৭০. A product is bought and sold at a profit of 15%. The ratio of selling and buying cost is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক17:20
- খ23:20
- গ20:23
- ঘ20:17
সঠিক উত্তর: খ. 23:20
লাভের শতকরা হার সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর। তাই ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ধরলে ১৫ শতাংশ লাভে বিক্রয়মূল্য হয় ১১৫ টাকা।
প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে বিক্রয়মূল্য আর ক্রয়মূল্যের অনুপাত, এই ক্রমে। তাই অনুপাত ১১৫ বনাম ১০০।
দুটোকেই ৫ দিয়ে ভাগ করলে পাই ২৩ বনাম ২০।
সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো ক্রম উল্টে ফেলা: ২০ বনাম ২৩ হলো ক্রয় বনাম বিক্রয়। আর ১৭ বনাম ২০ আসে লাভকে ক্ষতি ভাবলে।
মনে রাখুন: লাভ r% হলে বিক্রয় : ক্রয় = (১০০ + r) : ১০০; ক্ষতি হলে (১০০ − r) : ১০০।
৪৭১. If the ratio of two numbers is 3 : 4 and their least common multiple is 60, then the numbers are (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক15, 20
- খ12,16
- গ9, 12
- ঘ18, 24
সঠিক উত্তর: ক. 15, 20
অনুপাত ৩ বনাম ৪ মানে সংখ্যা দুটি ৩k আর ৪k, যেখানে k তাদের গ.সা.গু। ৩ আর ৪ সহমৌলিক, তাই এদের ল.সা.গু হয় ৩ গুণ ৪ গুণ k, মানে ১২k।
শর্ত অনুযায়ী ১২k সমান ৬০, তাই k সমান ৫। সংখ্যা দুটি তাহলে ৩ গুণ ৫ সমান ১৫ আর ৪ গুণ ৫ সমান ২০।
যাচাই: ১৫ আর ২০-এর ল.সা.গু ৬০, অনুপাতও ৩ বনাম ৪।
বাকি সব অপশনও ৩ বনাম ৪ অনুপাতে আছে, তাই শুধু অনুপাত দেখে উত্তর হবে না; ল.সা.গু মিলিয়ে দেখতেই হবে। ১২ ও ১৬-এর ল.সা.গু ৪৮, এটাই সবচেয়ে কাছের ফাঁদ।
মনে রাখুন: অনুপাত a : b (সহমৌলিক) আর ল.সা.গু L হলে k = L ÷ (a × b); সংখ্যা ak ও bk।
৪৭২. Mr. X will be the Chairman of the committee. In how many ways can a committee of 5 members be chosen from a total of 8 people given that Mr. X must be one of them? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক35
- খ70
- গ120
- ঘ56
সঠিক উত্তর: ক. 35
এটা সমাবেশ বা combination-এর প্রশ্ন, কারণ কমিটিতে সদস্যদের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। শর্ত হলো মিস্টার X অবশ্যই থাকবেন।
X-কে আগেই কমিটিতে বসিয়ে দিলে বাকি থাকে ৪টি আসন, আর বাছাই করার লোক থাকে ৮ বিয়োগ ১, মানে ৭ জন।
৭ জন থেকে ৪ জন বাছাইয়ের উপায় হলো ৭ সি ৪, যা ৭ গুণ ৬ গুণ ৫ ভাগ ৩ গুণ ২ গুণ ১, মানে ৩৫।
সাধারণ ভুল হলো X-এর শর্ত ভুলে ৮ জন থেকে ৫ জন নেওয়া, তখন আসে ৫৬। আর ৭০ হলো ৮ সি ৪।
মনে রাখুন: নির্দিষ্ট একজন থাকবেই: ⁽ⁿ⁻¹⁾C₍ᵣ₋₁₎। থাকবে না: ⁽ⁿ⁻¹⁾Cᵣ।
৪৭৩. If the radius of a circle is 6 cm and a circular segment subtends an angle 30° at the center, then the length of the arc is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক2πcm
- খ6πcm
- গπcm
- ঘ3πcm
সঠিক উত্তর: গ. πcm
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ৩৬০ ডিগ্রির যত অংশ, বৃত্তচাপও পুরো পরিধির তত অংশ। সূত্র: চাপ সমান কোণ ভাগ ৩৬০ গুণ ২ পাই r।
এখানে কোণ ৩০ ডিগ্রি, যা ৩৬০ ডিগ্রির ১২ ভাগের এক ভাগ। ব্যাসার্ধ ৬ সেমি হলে পরিধি ১২ পাই সেমি।
তাহলে চাপ সমান ১২ পাই-এর ১২ ভাগের এক, মানে পাই সেমি, প্রায় ৩ দশমিক ১৪ সেমি। রেডিয়ানেও দেখা যায়: ৩০ ডিগ্রি সমান পাই ভাগ ৬, আর চাপ সমান r গুণ কোণ, তাই ৬ গুণ পাই ভাগ ৬ সমান পাই।
পুরো পরিধির অর্ধেক বা সিকি নেওয়া হলে ৬ পাই বা ৩ পাই আসে, এগুলোই ফাঁদ।
মনে রাখুন: রেডিয়ানে: s = rθ = ৬ × π/৬ = π। ৩০° = π/৬ মনে রাখুন।
৪৭৪. If A³ is odd, which of the following is true? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- কA is odd only
- খA² is odd only
- গA² is even
- ঘBoth A and A² are odd
সঠিক উত্তর: ঘ. Both A and A² are odd
জোড়-বিজোড়ের মূল নিয়ম: দুটি বিজোড়ের গুণফল বিজোড়, আর যেকোনো গুণে একটি জোড় থাকলেই গুণফল জোড়।
A যদি জোড় হতো, তবে A ঘন মানে A গুণ A গুণ A-তে জোড় উৎপাদক থাকত, ফলে A ঘন জোড় হতো। কিন্তু A ঘন বিজোড় দেওয়া আছে, তাই A অবশ্যই বিজোড় (এখানে A পূর্ণসংখ্যা ধরে)।
A বিজোড় হলে A বর্গ মানে বিজোড় গুণ বিজোড়, তাও বিজোড়। তাই A আর A বর্গ দুটোই বিজোড়; যেমন A সমান ৩ হলে A বর্গ ৯, A ঘন ২৭।
শুধু A বিজোড় বা শুধু A বর্গ বিজোড়, এই অপশনগুলো আংশিক সত্য; only শব্দটা অন্যটিকে বাদ দেয় বলে ভুল।
মনে রাখুন: পূর্ণসংখ্যার যেকোনো ধনাত্মক ঘাতের জোড়-বিজোড় সংখ্যাটির নিজেরই মতো।
৪৭৫. A rectangle is 14 cm long and 10 cm wide. If the length is reduced by x cm and its width is increased also by x cm so as to make a square, then its area increased by (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
- ক4 cm²
- খ144 cm²
- গ12 cm²
- ঘ140 cm²
সঠিক উত্তর: ক. 4 cm²
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x কমিয়ে আর প্রস্থ x বাড়িয়ে বর্গ বানাতে হবে। বর্গে দুই বাহু সমান, তাই ১৪ বিয়োগ x সমান ১০ যোগ x, অর্থাৎ x সমান ২।
নতুন বাহু ১২ সেমি, তাই বর্গের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গসেমি। পুরোনো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৪ গুণ ১০, মানে ১৪০ বর্গসেমি।
ক্ষেত্রফল বেড়েছে ১৪৪ বিয়োগ ১৪০, মানে ৪ বর্গসেমি। পরিসীমা একই থাকলে বর্গের ক্ষেত্রফলই সবচেয়ে বেশি, তাই বৃদ্ধি হওয়াটা স্বাভাবিক।
প্রশ্ন বৃদ্ধি চেয়েছে, নতুন ক্ষেত্রফল নয়; তাই ১৪৪ বেছে নেওয়া সবচেয়ে সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: বাহু দুটির গড় ১২ হলো বর্গের বাহু; বৃদ্ধি = (অর্ধ-পার্থক্য)² = ((১৪ − ১০) ÷ ২)² = ৪।
৪৭৬. In triangle PQR length of the side QR is less than twice the length of the side PQ by 2 cm. Length of the side PR exceeds the length of the side PQ by 10 cm. The perimeter is 40 cm. the length of the smallest side of the triangle PQR is: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
- ক6 cm
- খ8 cm
- গ9 cm
- ঘ10 cm
সঠিক উত্তর: খ. 8 cm
প্রশ্নটা কথায় দেওয়া তথ্য থেকে সমীকরণ বানানো যাচাই করছে। তিনটি বাহুই PQ-এর সাপেক্ষে বলা আছে, তাই PQ-কে x ধরলেই সব বাহু এক চলকে লেখা যায়।
QR বাহু PQ-এর দ্বিগুণের চেয়ে ২ সেন্টিমিটার কম, তাই QR হলো ২x বিয়োগ ২। PR বাহু PQ-এর চেয়ে ১০ সেন্টিমিটার বেশি, তাই PR হলো x যোগ ১০।
পরিসীমা মানে তিন বাহুর যোগফল: x যোগ ২x বিয়োগ ২ যোগ x যোগ ১০, মানে ৪x যোগ ৮, যা ৪০-এর সমান। তাহলে ৪x সমান ৩২, অর্থাৎ x সমান ৮।
বাহু তিনটি ৮, ১৪ আর ১৮ সেন্টিমিটার; যোগফল ৪০ মিলে যায়, আর ছোট দুই বাহুর যোগফল ২২ বড় বাহু ১৮-এর চেয়ে বেশি, তাই ত্রিভুজ সম্ভব। সবচেয়ে ছোট বাহু ৮ সেন্টিমিটার।
কম শব্দটা দেখে অনেকে ২ যোগ করে ফেলেন, তখন হিসাব ভুল আসে; দ্বিগুণের চেয়ে কম মানে দ্বিগুণ থেকে বিয়োগ।
মনে রাখুন: সব বাহু এক চলকে লিখে যোগ করুন: 4x + 8 = 40। অপশন বসিয়েও দেখা যায়: x = 8 হলে 8 + 14 + 18 = 40।
৪৭৭. A train 125m long passes a man, running at 5 km/hr in the same direction in which the train is going, in 10 seconds. The speed of the train is (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
- ক45 km/hr
- খ50 km/hr
- গ54 km/hr
- ঘ55 km/hr
সঠিক উত্তর: খ. 50 km/hr
ট্রেন যখন একজন চলন্ত মানুষকে অতিক্রম করে, তখন ট্রেনকে নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব যেতে হয়, তবে মানুষটির সাপেক্ষে। তাই এখানে আপেক্ষিক বেগ কাজে লাগে।
মানুষ আর ট্রেন একই দিকে চলছে, তাই আপেক্ষিক বেগ হলো ট্রেনের বেগ বিয়োগ মানুষের বেগ। ১২৫ মিটার যেতে ১০ সেকেন্ড লেগেছে, তাই আপেক্ষিক বেগ সেকেন্ডে সাড়ে ১২ মিটার।
মিটার প্রতি সেকেন্ড থেকে কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নিতে ১৮ ভাগ ৫ দিয়ে গুণ করি: সাড়ে ১২ গুণ ১৮ ভাগ ৫ সমান ঘণ্টায় ৪৫ কিলোমিটার। এটা আপেক্ষিক বেগ, ট্রেনের আসল বেগ নয়।
ট্রেনের বেগ তাই ৪৫ যোগ ৫, মানে ঘণ্টায় ৫০ কিলোমিটার। সবচেয়ে বড় ফাঁদ হলো ৪৫-এ থেমে যাওয়া; মানুষের বেগ যোগ করতে ভুলে গেলেই এই উত্তর আসে।
মনে রাখুন: m/s থেকে km/hr: × 18/5। একই দিকে হলে বেগ বিয়োগ, বিপরীত দিকে হলে যোগ।
৪৭৮. There is 60% increase in an amount in 6 years at simple interest. What will be the compound interest of Tk. 12,000 after 3 years at the same rate? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
- কTk. 2160
- খTk. 3120
- গTk. 3972
- ঘTk. 6240
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 3972
প্রশ্নে দুটো ধাপ: প্রথমে সরল সুদের তথ্য থেকে সুদের হার বের করা, তারপর সেই হারে চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করা।
৬ বছরে সরল সুদে মোট ৬০ শতাংশ বেড়েছে, তাই প্রতি বছর ১০ শতাংশ। সরল সুদে প্রতি বছর একই পরিমাণ সুদ যোগ হয়, তাই শুধু ভাগ করলেই হার পাওয়া যায়।
চক্রবৃদ্ধিতে প্রতি বছর আগের বছরের মোট টাকার উপর সুদ হয়। ১২ হাজার টাকা ৩ বছরে হবে ১২ হাজার গুণ এক দশমিক এক-এর ঘন, মানে ১২ হাজার গুণ এক দশমিক তিন তিন এক, যা ১৫ হাজার ৯ শত ৭২ টাকা।
চক্রবৃদ্ধি সুদ হলো মোট টাকা বিয়োগ আসল: ৩ হাজার ৯ শত ৭২ টাকা। একই হারে সরল সুদ হতো ৩ হাজার ৬ শত টাকা; চক্রবৃদ্ধি সবসময় তার চেয়ে কিছুটা বেশি।
মনে রাখুন: ১০% হারে ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = আসলের ৩৩.১%: 12000 × 0.331 = 3972।
৪৭৯. It was Sunday on Jan 1, 2006. What was the day of the week Jan 1, 2010? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
- কSaturday
- খSunday
- গFriday
- ঘWednesday
সঠিক উত্তর: গ. Friday
বার নির্ণয়ের মূল কথা হলো বিজোড় দিন। সাধারণ বছরে ৩৬৫ দিন, মানে ৫২ সপ্তাহ আর ১টি বাড়তি দিন; অধিবর্ষে ৩৬৬ দিন, মানে ২টি বাড়তি দিন।
২০০৬ সালের ১ জানুয়ারি থেকে ২০১০ সালের ১ জানুয়ারি পর্যন্ত পুরো চারটি বছর পার হয়েছে: ২০০৬, ২০০৭, ২০০৮ আর ২০০৯। এর মধ্যে শুধু ২০০৮ অধিবর্ষ।
তাই বাড়তি দিন: ১ যোগ ১ যোগ ২ যোগ ১, মোট ৫ দিন। রবিবার থেকে ৫ দিন এগোলে: সোম, মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি, শুক্র। তাই ২০১০ সালের ১ জানুয়ারি শুক্রবার।
ভুল হয় তখন, যখন কেউ ২০১০ সালকে গোনায় ধরে ফেলেন বা অধিবর্ষ ২০০৮-কে ১ দিন ধরেন; তখন উত্তর এক দিন সরে যায়।
মনে রাখুন: বছরের সংখ্যা + মাঝের অধিবর্ষের সংখ্যা = বিজোড় দিন: ৪ + ১ = ৫।
৪৮০. A room 5m x 8m is to be carpeted leaving a margin of 10 cm from each wall. If the cost of the carpet is Tk. 18 per sq. meter, the cost of carpeting the room will be: (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
- কTk. 673.92
- খTk. 682.46
- গTk. 691.80
- ঘTk. 702.60
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 673.92
প্রতিটি দেয়াল থেকে ১০ সেন্টিমিটার ফাঁকা রাখতে হবে, তাই কার্পেটের দৈর্ঘ্য আর প্রস্থ দুটোই দুই পাশ মিলে ২০ সেন্টিমিটার, মানে শূন্য দশমিক দুই মিটার করে কমবে।
কার্পেটের দৈর্ঘ্য ৮ বিয়োগ শূন্য দশমিক দুই, মানে ৭ দশমিক ৮ মিটার; প্রস্থ ৫ বিয়োগ শূন্য দশমিক দুই, মানে ৪ দশমিক ৮ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৭ দশমিক ৮ গুণ ৪ দশমিক ৮, মানে ৩৭ দশমিক ৪৪ বর্গমিটার। প্রতি বর্গমিটার ১৮ টাকা হলে মোট খরচ ৬৭৩ টাকা ৯২ পয়সা।
সাধারণ ভুল হলো প্রতিটি দিক থেকে মাত্র ১০ সেন্টিমিটার একবার বাদ দেওয়া; প্রত্যেক মাপের দুই প্রান্তেই দেয়াল আছে, তাই দুবার বাদ দিতে হয়।
মনে রাখুন: ফাঁকা x হলে কার্পেট (L − 2x)(B − 2x); শেষ অঙ্ক যাচাই: ৪৪ × ১৮-এর শেষ দুই অঙ্ক ৯২, শুধু ৬৭৩.৯২ মেলে।