গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২৩

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২৩/৫৩ · প্রশ্ন ৪৪১–৪৬০সব উত্তর দেখান

৪৪১. An employee's annual salary was increased Tk.15,000. If her new annual salary now equals Tk. 90,000 what was the percent increase? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. ক15%
2. খ22%
3. গ24%
4. ঘ20%
সঠিক উত্তর: ঘ. 20%
শতকরা বৃদ্ধি সবসময় পুরোনো মানের উপর হিসাব হয়। এখানে নতুন বেতন ৯০০০০ টাকা দেওয়া, পুরোনোটা বের করতে হবে।
বৃদ্ধি ১৫০০০ টাকা, তাই পুরোনো বেতন ৯০০০০ বিয়োগ ১৫০০০, মানে ৭৫০০০ টাকা।
শতকরা বৃদ্ধি ১৫০০০ ভাগ ৭৫০০০ গুণ ১০০, মানে ২০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো নতুন বেতনের উপর ভাগ করা: ১৫০০০ ভাগ ৯০০০০ করলে প্রায় ১৬.৬৭ শতাংশ আসে, যা ভুল। আবার ১৫০০০ দেখে ১৫ শতাংশ বলাও সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: ১৫০০০ হলো ৭৫০০০ এর পাঁচ ভাগের এক ভাগ, তাই ২০%।
পুরো পাতা ›
৪৪২. Kona deposited Tk. 505 into her savings account. If the interest rate of the account is 5% per year, how much interest will she have made after 4 years? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. কTk. 101
2. খTk. 252.50
3. গTk. 606
4. ঘTk. 10,100
সঠিক উত্তর: ক. Tk. 101
সুদের ধরন বলা নেই, তাই সরল সুদ ধরা হয়, আর অপশনেও সেটাই মেলে। সরল সুদ সমান আসল গুণ হার গুণ সময়।
আসল ৫০৫ টাকা, বছরে ৫ শতাংশ। এক বছরের সুদ ৫০৫ এর ৫ শতাংশ, মানে ২৫ টাকা ২৫ পয়সা। ৪ বছরে সুদ ২৫.২৫ গুণ ৪, মানে ১০১ টাকা।
অন্যভাবে, ৪ বছরে মোট হার ২০ শতাংশ, আর ৫০৫ এর ২০ শতাংশ মানে পাঁচ ভাগের এক ভাগ, ১০১ টাকা।
ফাঁদ হলো ৬০৬, যা আসল আর সুদ মিলিয়ে মোট টাকা, শুধু সুদ নয়। প্রশ্ন চেয়েছে কত সুদ পাবে।
মনে রাখুন: ৫% × ৪ বছর = ২০% = পাঁচ ভাগের এক ভাগ: ৫০৫ ÷ ৫ = ১০১।
পুরো পাতা ›
৪৪৩. The perimeter of a rectangle is 104 inches. The width is 6 inches less than 3 times the length. Find the width of the rectangle. (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. ক13.5 inches
2. খ14.5 inches
3. গ15 inches
4. ঘ37.5 inches
সঠিক উত্তর: ঘ. 37.5 inches
আয়তের পরিসীমা সমান ২ গুণ দৈর্ঘ্য আর প্রস্থের যোগফল। পরিসীমা ১০৪ ইঞ্চি, তাই দৈর্ঘ্য যোগ প্রস্থ সমান ৫২।
প্রস্থ হলো দৈর্ঘ্যের ৩ গুণের চেয়ে ৬ কম, মানে প্রস্থ সমান ৩ দৈর্ঘ্য বিয়োগ ৬। বসালে দৈর্ঘ্য যোগ ৩ দৈর্ঘ্য বিয়োগ ৬ সমান ৫২, মানে ৪ দৈর্ঘ্য সমান ৫৮, দৈর্ঘ্য ১৪.৫ ইঞ্চি।
তাহলে প্রস্থ ৩ গুণ ১৪.৫ বিয়োগ ৬, মানে ৩৭.৫ ইঞ্চি। যাচাই: ১৪.৫ যোগ ৩৭.৫ সমান ৫২, দ্বিগুণ ১০৪।
এখানে প্রস্থ দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড় হয়ে গেছে, প্রশ্নের শর্ত থেকেই তা আসে, তাই অবাক হবেন না। ফাঁদ হলো ১৪.৫ বেছে নেওয়া, যা আসলে দৈর্ঘ্য।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: W = ৩৭.৫ হলে L = ৫২ − ৩৭.৫ = ১৪.৫, আর ৩ × ১৪.৫ − ৬ = ৩৭.৫; মিলে গেল।
পুরো পাতা ›
৪৪৪. Three shirts and five ties cost Tk 23. Five shirts and one tie cost Tk 20. What is the price of one shirt? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. কTk. 2.50
2. খTk. 3.00
3. গTk. 3.50
4. ঘTk. 6.00
সঠিক উত্তর: গ. Tk. 3.50
দুটি অজানা, দুটি সমীকরণ। শার্টের দাম s আর টাইয়ের দাম t ধরি। তিন শার্ট যোগ পাঁচ টাই সমান ২৩, আর পাঁচ শার্ট যোগ এক টাই সমান ২০।
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে t সমান ২০ বিয়োগ ৫s। এটা প্রথমটায় বসালে ৩s যোগ ১০০ বিয়োগ ২৫s সমান ২৩, মানে ২২s সমান ৭৭, s সমান ৩.৫।
তাহলে টাইয়ের দাম ২০ বিয়োগ ১৭.৫, মানে ২.৫ টাকা। যাচাই: ৩ গুণ ৩.৫ যোগ ৫ গুণ ২.৫ সমান ১০.৫ যোগ ১২.৫ সমান ২৩।
ফাঁদ হলো ২.৫০, যা আসলে টাইয়ের দাম; প্রশ্ন চেয়েছে শার্টের দাম।
মনে রাখুন: অপশন বসান: s = ৩.৫ হলে t = ২০ − ১৭.৫ = ২.৫, আর ৩ × ৩.৫ + ৫ × ২.৫ = ২৩; মিলে গেল।
পুরো পাতা ›
৪৪৫. The sum of the square of a number and 12 times the number is -27. What is the smaller possible value of this number? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. ক-3
2. খ-9
3. গ3
4. ঘ9
সঠিক উত্তর: খ. -9
প্রশ্নটা কথায় লেখা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সংখ্যাটিকে x ধরলে তার বর্গ x বর্গ, আর ১২ গুণ হলো ১২x। এদের যোগফল ঋণাত্মক ২৭, তাই সমীকরণ দাঁড়ায় x বর্গ যোগ ১২x সমান ঋণাত্মক ২৭।
ঋণাত্মক ২৭ বাঁ দিকে আনলে হয় x বর্গ যোগ ১২x যোগ ২৭ সমান শূন্য। এখন এমন দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের গুণফল ২৭ আর যোগফল ১২: সংখ্যা দুটি ৩ আর ৯।
তাই উৎপাদকে ভাঙলে হয় x যোগ ৩ গুণ x যোগ ৯ সমান শূন্য। ফলে x হতে পারে ঋণাত্মক ৩ অথবা ঋণাত্মক ৯। দুটির মধ্যে ছোট হলো ঋণাত্মক ৯, কারণ সংখ্যারেখায় সেটি শূন্য থেকে বেশি বাঁয়ে।
ফাঁদ দুটি। প্রথমত, ঋণাত্মক ৩ ও একটি সঠিক মূল, কিন্তু প্রশ্ন চেয়েছে ছোটটি; ঋণাত্মক সংখ্যায় ৩ এর চেয়ে ৯ ছোট। দ্বিতীয়ত, চিহ্ন ভুলে ধনাত্মক ৩ বা ৯ বেছে নেওয়া; ধনাত্মক সংখ্যার বর্গ ও ১২ গুণ দুটোই ধনাত্মক, তাদের যোগফল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: (−9)² + 12 × (−9) = 81 − 108 = −27, আর (−3)² + 12 × (−3) = 9 − 36 = −27। দুটিই মেলে, ছোটটি −9।
পুরো পাতা ›
৪৪৬. The area of a rectangular classroom is x² - 25. Which of the following binomials could represent the length and the width of the room? (বাংলাদেশ ব্যাংক: সহকারী পরিচালক, সাধারণ) (২০২১)
1. ক(x + 5) (x + 5)
2. খ(x - 5) (x - 5)
3. গ(x + 5) (x - 5)
4. ঘx(x - 25)
সঠিক উত্তর: গ. (x + 5) (x - 5)
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। তাই এমন দুটি দ্বিপদী খুঁজতে হবে যাদের গুণফল ঠিক x বর্গ বিয়োগ ২৫।
x বর্গ বিয়োগ ২৫ আসলে দুটি বর্গের অন্তর, কারণ ২৫ হলো ৫ এর বর্গ। সূত্র: a বর্গ বিয়োগ b বর্গ সমান a যোগ b গুণ a বিয়োগ b। তাই x বর্গ বিয়োগ ২৫ সমান x যোগ ৫ গুণ x বিয়োগ ৫।
যাচাই করি: x যোগ ৫ আর x বিয়োগ ৫ গুণ করলে মাঝের ধনাত্মক ৫x আর ঋণাত্মক ৫x কেটে যায়, থাকে x বর্গ বিয়োগ ২৫। তাই দৈর্ঘ্য x যোগ ৫, প্রস্থ x বিয়োগ ৫।
ফাঁদ হলো দুটি একই চিহ্নের উৎপাদক। x যোগ ৫ এর বর্গ বা x বিয়োগ ৫ এর বর্গ করলে মাঝের ১০x পদ থেকে যায় এবং শেষে যোগ ২৫ আসে, বিয়োগ নয়।
মনে রাখুন: শেষ পদ ঋণাত্মক আর মাঝের x পদ নেই মানে বর্গের অন্তর: উৎপাদক দুটি একটির চিহ্ন যোগ, অন্যটির বিয়োগ।
পুরো পাতা ›
৪৪৭. If tan(x − 30°) = 1/√3, cos x = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক1/2
2. খ
3. গ1/√2
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: ক. 1/2
প্রশ্নটা ত্রিকোণমিতির আদর্শ কোণের মান চেনাচ্ছে। টেক্সটে মূল চিহ্ন হারিয়ে গেছে; প্রশ্নটা আসলে tan x বিয়োগ ৩০ ডিগ্রি সমান ১ ভাগ বর্গমূল ৩।
আমরা জানি tan ৩০ ডিগ্রি সমান ১ ভাগ বর্গমূল ৩। তাই x বিয়োগ ৩০ ডিগ্রি সমান ৩০ ডিগ্রি, অর্থাৎ x সমান ৬০ ডিগ্রি।
এখন cos ৬০ ডিগ্রি সমান ১ ভাগ ২। তাই উত্তর ১ ভাগ ২।
ফাঁদ হলো x-কে ৩০ ডিগ্রি ধরে নেওয়া। tan ৩০ দেখে অনেকে সরাসরি x সমান ৩০ ধরে cos ৩০ বের করেন; কিন্তু কোণটা x নয়, x বিয়োগ ৩০।
মনে রাখুন: ০, ৩০, ৪৫, ৬০, ৯০ ডিগ্রির sin হলো √০/২, √১/২, √২/২, √৩/২, √৪/২; cos উল্টো ক্রমে।
পুরো পাতা ›
৪৪৮. If log_x 144 = 4, then x = ? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক2√3
2. খ4
3. গ3
4. ঘ3√2
সঠিক উত্তর: ক. 2√3
প্রশ্নটা লগারিদমের সংজ্ঞা যাচাই করছে। log ভিত্তি x-এ ১৪৪ সমান ৪ মানে, x-কে ৪ বার গুণ করলে ১৪৪ হয়, অর্থাৎ x-এর ঘাত ৪ সমান ১৪৪।
তাহলে x হলো ১৪৪-এর চতুর্থ মূল। ১৪৪-এর বর্গমূল ১২, আর ১২-এর বর্গমূল বের করলে চতুর্থ মূল পাওয়া যায়।
১২ সমান ৪ গুণ ৩, তাই ১২-এর বর্গমূল সমান ২ গুণ বর্গমূল ৩। অর্থাৎ x সমান ২ বর্গমূল ৩।
ফাঁদ হলো ৩ বর্গমূল ২। দেখতে কাছাকাছি, কিন্তু এর চতুর্থ ঘাত ৩২৪, ১৪৪ নয়।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: (২√৩)² = ১২, আর ১২² = ১৪৪। মিলে গেছে।
পুরো পাতা ›
৪৪৯. If -1 ≤ 3 -2x ≤3, then (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক0≤x≤2
2. খ-2≤x≤0
3. গx≤2
4. ঘx≥0
সঠিক উত্তর: ক. 0≤x≤2
প্রশ্নটা দ্বিমুখী অসমতা সমাধান করতে বলেছে। মাইনাস ১ ছোট বা সমান ৩ বিয়োগ ২x, আর সেটা ছোট বা সমান ৩। তিন অংশেই একই কাজ করতে হয়।
প্রথমে তিন অংশ থেকেই ৩ বিয়োগ করি: মাইনাস ৪ ছোট বা সমান মাইনাস ২x ছোট বা সমান ০।
এবার মাইনাস ২ দিয়ে ভাগ করি। ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়: ২ বড় বা সমান x বড় বা সমান ০। অর্থাৎ x আছে ০ থেকে ২-এর মধ্যে।
ফাঁদ হলো চিহ্ন না উল্টানো। তখন উত্তর আসে মাইনাস ২ থেকে ০, যা দ্বিতীয় অপশন। আর x ছোট বা সমান ২ বা x বড় বা সমান ০ আলাদা করে শুধু অর্ধেক শর্ত দেয়।
মনে রাখুন: যাচাই: x = ০ বসালে ৩, x = ২ বসালে মাইনাস ১; দুটোই সীমার মধ্যে। তাই ০ থেকে ২।
পুরো পাতা ›
৪৫০. The distance from the centre of a circle of radius 5 cm to a chord of length 8 cm is (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক5 cm
2. খ4 cm
3. গ3 cm
4. ঘ2 cm
সঠিক উত্তর: গ. 3 cm
প্রশ্নটা বৃত্তের জ্যা আর কেন্দ্রের দূরত্বের সম্পর্ক যাচাই করছে। মূল উপপাদ্য: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব টানলে তা জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করে।
জ্যা ৮ সেন্টিমিটার, তাই অর্ধেক ৪ সেন্টিমিটার। কেন্দ্র, জ্যা-এর মধ্যবিন্দু আর জ্যা-এর এক প্রান্ত মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়, যার অতিভুজ হলো ব্যাসার্ধ ৫।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী দূরত্বের বর্গ সমান ৫-এর বর্গ বিয়োগ ৪-এর বর্গ, মানে ২৫ বিয়োগ ১৬ সমান ৯। তাই দূরত্ব ৩ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ৪ সেন্টিমিটার। জ্যা-এর অর্ধেক ৪ বের করে সেটাকেই দূরত্ব ভেবে নেওয়া সাধারণ ভুল।
মনে রাখুন: ৩-৪-৫ ত্রিভুজ মনে রাখুন: ব্যাসার্ধ ৫ আর অর্ধ-জ্যা ৪ হলে দূরত্ব ৩।
পুরো পাতা ›
৪৫১. The area of a circle of radius √2 is approximately- (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক1.4142
2. খ6.2832
3. গ9.4298
4. ঘ3.1416
সঠিক উত্তর: খ. 6.2832
প্রশ্নটা বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র যাচাই করছে। বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ।
ব্যাসার্ধ বর্গমূল ২, তাই ব্যাসার্ধের বর্গ ঠিক ২। ক্ষেত্রফল সমান পাই গুণ ২, মানে প্রায় ৩ দশমিক ১৪১৬ গুণ ২ সমান ৬ দশমিক ২৮৩২।
বর্গমূল আর বর্গ পরস্পর বাতিল হয়ে যায়, তাই কঠিন দেখালেও হিসাব খুব সহজ।
ফাঁদ হলো ৩ দশমিক ১৪১৬, যা শুধু পাই-এর মান; আর ১ দশমিক ৪১৪২, যা বর্গমূল ২-এর মান। প্রশ্নের সংখ্যাগুলো দিয়েই ভুল অপশন বানানো হয়েছে।
মনে রাখুন: ব্যাসার্ধ √n হলে ক্ষেত্রফল সরাসরি nπ।
পুরো পাতা ›
৪৫২. If the radius of a sphere is increased by 10%, how much will the surface area be increased in percentage? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক21%
2. খ10%
3. গ18%
4. ঘ20%
সঠিক উত্তর: ক. 21%
প্রশ্নটা পরিমাপের শতকরা পরিবর্তন নিয়ে। গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল সমান ৪ পাই গুণ ব্যাসার্ধের বর্গ, তাই ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক।
ব্যাসার্ধ ১০ শতাংশ বাড়লে নতুন ব্যাসার্ধ আগের ১ দশমিক ১ গুণ। তাহলে ক্ষেত্রফল হবে ১ দশমিক ১-এর বর্গ, মানে ১ দশমিক ২১ গুণ।
অর্থাৎ ক্ষেত্রফল বাড়ে ২১ শতাংশ। শর্টকাট সূত্র: দুটি পর পর ১০ শতাংশ বৃদ্ধি হলে মোট বৃদ্ধি ১০ যোগ ১০ যোগ ১০ গুণ ১০ ভাগ ১০০, মানে ২১ শতাংশ।
ফাঁদ হলো ২০ শতাংশ, যেখানে দুটি ১০ শতাংশ সরাসরি যোগ করা হয়, ১০-এর উপর ১০ শতাংশ বৃদ্ধিটুকু বাদ পড়ে। আর ১০ শতাংশ ধরে নেওয়া মানে বর্গের প্রভাবই ভুলে যাওয়া।
মনে রাখুন: a% ও b% পর পর বৃদ্ধি = a + b + ab/100; এখানে ১০ + ১০ + ১ = ২১%।
পুরো পাতা ›
৪৫৩. How many integers between 1 and 100 are divisible by 3 but not by 5? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক27
2. খ29
3. গ30
4. ঘ31
সঠিক উত্তর: ক. 27
প্রশ্নটা গণনার নীতি যাচাই করছে: ৩ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু ৫ দিয়ে নয়। প্রথমে ৩ দিয়ে বিভাজ্য সব সংখ্যা গুনি, তারপর যেগুলো ৫ দিয়েও বিভাজ্য সেগুলো বাদ দিই।
১ থেকে ১০০-এর মধ্যে ৩-এর গুণিতক: ১০০ ভাগ ৩-এর পূর্ণ অংশ, মানে ৩৩টি; সবচেয়ে বড়টি ৯৯।
৩ ও ৫ দুটো দিয়েই বিভাজ্য মানে ১৫ দিয়ে বিভাজ্য। ১০০ ভাগ ১৫-এর পূর্ণ অংশ ৬, মানে ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০। তাই উত্তর ৩৩ বিয়োগ ৬ সমান ২৭।
ফাঁদ হলো ৩০ বা ২৯। ১৫-এর গুণিতক গুনতে গিয়ে ৩টি বা ৪টি ধরলে এগুলো আসে; আসলে ১০০-এর মধ্যে ১৫-এর গুণিতক ৬টি।
মনে রাখুন: a দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু b দিয়ে নয় = (a-এর গুণিতক) − (ল.সা.গু-এর গুণিতক)।
পুরো পাতা ›
৪৫৪. If n is an odd integer, which of the following must be an odd integer? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. কn-1
2. খn+2
3. গ4n+1
4. ঘ3n+1
সঠিক উত্তর: গ. 4n+1
প্রশ্নটা জোড়-বিজোড়ের নিয়ম যাচাই করছে। মূল নিয়ম: বিজোড় যোগ বিজোড় সমান জোড়, বিজোড় যোগ জোড় সমান বিজোড়, আর জোড় যেকোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে জোড়।
৪n সব সময় জোড়, কারণ ৪ জোড়। জোড়ের সঙ্গে ১ যোগ করলে বিজোড়, তাই ৪n যোগ ১ সব সময় বিজোড়, n যা-ই হোক।
সতর্কতা: n যোগ ২-ও সব সময় বিজোড়, কারণ বিজোড়ের সঙ্গে জোড় ২ যোগ করলে বিজোড় থাকে; যেমন n সমান ৩ হলে ৫। তাই এই প্রশ্নে দুটি অপশন সঠিক; গাইডগুলো ৪n যোগ ১ দিয়েছে।
n বিয়োগ ১ আর ৩n যোগ ১ সব সময় জোড়। ৩n বিজোড়, কারণ বিজোড় গুণ বিজোড় বিজোড়; তার সঙ্গে ১ যোগে জোড় হয়।
মনে রাখুন: যেকোনো একটা বিজোড় সংখ্যা, যেমন ১ বা ৩, বসিয়ে অপশন যাচাই করুন।
পুরো পাতা ›
৪৫৫. Which of the numbers below is not equivalent to 2%? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক1/50
2. খ1/10
3. গ0.02
4. ঘ2/100
সঠিক উত্তর: খ. 1/10
প্রশ্নটা শতকরা, ভগ্নাংশ আর দশমিকের রূপান্তর যাচাই করছে। ২ শতাংশ মানে ১০০ ভাগের ২ ভাগ, মানে ২ ভাগ ১০০।
২ ভাগ ১০০ লঘিষ্ঠ আকারে ১ ভাগ ৫০, আর দশমিকে ০ দশমিক ০২। তাই প্রথম, তৃতীয় আর চতুর্থ অপশন সবই ২ শতাংশের সমান।
১ ভাগ ১০ মানে ০ দশমিক ১, যা ১০ শতাংশ। তাই ২ শতাংশের সমান নয় শুধু ১ ভাগ ১০।
ফাঁদ হলো ১ ভাগ ৫০। দেখতে অপরিচিত লাগলেও এটি ২ ভাগ ১০০-এর লঘিষ্ঠ রূপ।
মনে রাখুন: যেকোনো ভগ্নাংশকে শতাংশে নিতে ১০০ দিয়ে গুণ করুন: ১/১০ × ১০০ = ১০%।
পুরো পাতা ›
৪৫৬. The next number in the sequence 1,2,3 5,8,13, 21,------ is- (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক34
2. খ36
3. গ38
4. ঘ40
সঠিক উত্তর: ক. 34
এটি ফিবোনাচ্চি ধারা: প্রতিটি পদ তার আগের দুটি পদের যোগফল।
যাচাই করি: ১ যোগ ২ সমান ৩, ২ যোগ ৩ সমান ৫, ৩ যোগ ৫ সমান ৮, ৫ যোগ ৮ সমান ১৩, ৮ যোগ ১৩ সমান ২১।
তাই পরের পদ ১৩ যোগ ২১ সমান ৩৪।
ফাঁদ হলো পার্থক্য দেখে হিসাব করা। পর পর পদের পার্থক্য ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮; শেষ পার্থক্যকে স্থির ধরে নিলে ভুল উত্তর আসে।
মনে রাখুন: পার্থক্যগুলো যদি নিজেই ধারার পদ হয় (১, ১, ২, ৩, ৫ ...), তবে সেটি ফিবোনাচ্চি।
পুরো পাতা ›
৪৫৭. The H.C.F of x² − 1, x⁴ − 1 and x⁴ + x³ + x − 1 is - (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. কx⁶ − 1
2. খx³ + 1
3. গx² − 1
4. ঘx³ − 1
সঠিক উত্তর: গ. x² − 1
প্রশ্নটা তিনটি বহুপদী রাশির গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু চেয়েছে। নিয়ম হলো: প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে ভাঙা, তারপর যে উৎপাদকগুলো তিনটিতেই আছে সেগুলো গুণ করা।
x বর্গ বিয়োগ ১ হলো দুটি বর্গের অন্তর, তাই এটি x যোগ ১ আর x বিয়োগ ১-এর গুণফল। x-এর চার ঘাত বিয়োগ ১ ভাঙলে আসে x বর্গ যোগ ১, x যোগ ১ আর x বিয়োগ ১।
তৃতীয় রাশিটি ছাপায় এসেছে x-এর চার ঘাত যোগ x ঘন যোগ x বিয়োগ ১, কিন্তু প্রশ্নকারীর উদ্দেশ্য ছিল শেষের দিকে বিয়োগ x বিয়োগ ১। প্রথম দুই পদ থেকে x ঘন আর শেষ দুই পদ থেকে ১ বের করলে সাধারণ উৎপাদক হয় x যোগ ১, বাকি থাকে x ঘন বিয়োগ ১, যার ভেতরে আছে x বিয়োগ ১।
তাই তিনটিতেই সাধারণ উৎপাদক x যোগ ১ আর x বিয়োগ ১, যাদের গুণফল x বর্গ বিয়োগ ১; এটাই গ.সা.গু। ছাপা রূপটি অক্ষরে অক্ষরে নিলে x সমান ১ বসালে মান শূন্য হয় না, তখন গ.সা.গু হতো ১; পরীক্ষায় অপশন দেখে উদ্দিষ্ট রাশিটাই ধরতে হবে।
ফাঁদ হলো x ঘন বিয়োগ ১ বা x ঘন যোগ ১ বেছে নেওয়া: এগুলো কেবল একটি রাশির উৎপাদক বা অংশ, তিনটির সাধারণ উৎপাদক নয়।
মনে রাখুন: সবচেয়ে ছোট রাশিটা (x² − 1) বাকি দুটোকে ভাগ করে কিনা দেখুন: x = 1 ও x = −1 বসিয়ে বাকি দুটো শূন্য হলেই গ.সা.গু x² − 1।
পুরো পাতা ›
৪৫৮. If 3x +2y=7 and 3x-2y=5, then xy =? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক6
2. খ24
3. গ4
4. ঘ1
সঠিক উত্তর: ঘ. 1
দুটি সরল সমীকরণ থেকে x আর y বের করে তাদের গুণফল চাওয়া হয়েছে। এখানে দুই সমীকরণে ২y-এর চিহ্ন উল্টো, তাই যোগ করলেই y বাদ পড়ে যায়; একে অপনয়ন পদ্ধতি বলে।
যোগ করলে ৬x সমান ১২, তাই x সমান ২। এখন প্রথম সমীকরণে x সমান ২ বসালে ৬ যোগ ২y সমান ৭, অর্থাৎ ২y সমান ১, y সমান আধা।
তাহলে xy সমান ২ গুণ আধা, মানে ১।
অনেকে বিয়োগ করে ৪y সমান ২ পেয়ে y-এর জায়গায় ২ ধরে ফেলেন, তখন উত্তর আসে ৪। আবার কেউ x আর y-এর মান না বের করে ৭ আর ৫ নিয়ে অনুমান করেন।
মনে রাখুন: (৩x + ২y)² − (৩x − ২y)² = ২৪xy। তাই ৪৯ − ২৫ = ২৪xy, xy = ১। মান আলাদা না করেই সরাসরি গুণফল।
পুরো পাতা ›
৪৫৯. How many real roots does the polynomial 2x³ + 8x − 7 have? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. কNone
2. খOne
3. গTwo
4. ঘThree
সঠিক উত্তর: খ. One
ঘন বা তিন মাত্রার বহুপদীর বাস্তব মূল সবসময় অন্তত একটি, কারণ x খুব বড় ঋণাত্মক আর খুব বড় ধনাত্মক হলে রাশির মানের চিহ্ন উল্টো হয়; মাঝে কোথাও শূন্য ছুঁতেই হবে। তাই কোনো মূল নেই উত্তরটা আগেই বাদ।
এখন দেখতে হবে মূল একটির বেশি কিনা। ২x³ আর ৮x দুটো পদই x বাড়লে বাড়ে; তাই পুরো রাশিটা সবসময় বাড়তে থাকে, কখনো নামে না। অন্তরজ ৬x² যোগ ৮ সবসময় ধনাত্মক, এটাই তার প্রমাণ।
যে রেখা সবসময় উপরে উঠছে, সেটি x-অক্ষকে একবারের বেশি কাটতে পারে না। তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি। x সমান ০-তে মান ঋণাত্মক ৭, আর x সমান ১-এ মান ৩; তাই মূলটি ০ আর ১-এর মাঝে।
তিন মাত্রা দেখে অনেকে তিনটি মূল ধরে নেন। তিনটি মূল থাকে ঠিকই, কিন্তু এখানে বাকি দুটি জটিল সংখ্যা, বাস্তব নয়।
মনে রাখুন: ax³ + bx + c আকারে a আর b একই চিহ্নের হলে রাশিটি সবসময় বাড়ে বা কমে, তাই বাস্তব মূল ঠিক একটি।
পুরো পাতা ›
৪৬০. A coin is tossed four times. What is the probability of getting head on all tosses? (প্রবাসী কল্যাণ ব্যাংক: অফিসার, সাধারণ) (২০২১)
1. ক1/4
2. খ1/8
3. গ1/16
4. ঘ3/16
সঠিক উত্তর: গ. 1/16
প্রতিটি টসে হেড আসার সম্ভাবনা আধা, আর একেকটি টস অন্যটির উপর নির্ভর করে না। স্বাধীন ঘটনাগুলো একসাথে ঘটার সম্ভাবনা হলো তাদের সম্ভাবনার গুণফল।
তাই চার টসেই হেড আসার সম্ভাবনা আধা গুণ আধা গুণ আধা গুণ আধা, মানে ১ ভাগ ১৬।
অন্যভাবে দেখলে, চারবার টসে মোট ফলাফল ২-এর ঘাত ৪, অর্থাৎ ১৬টি সমান সম্ভাব্য বিন্যাস। এর মধ্যে সবগুলো হেড, এমন বিন্যাস মাত্র ১টি।
১ ভাগ ৪ বা ১ ভাগ ৮ আসে টসের সংখ্যা ভুল গুনলে: দুবার টসে সব হেড ১ ভাগ ৪, তিনবারে ১ ভাগ ৮। ৩ ভাগ ১৬ কোনো সঠিক হিসাব থেকেই আসে না; চার টসে ঠিক তিনটি হেডের সম্ভাবনাও ৪ ভাগ ১৬।
মনে রাখুন: n বার টসে সব হেড (বা সব টেল) আসার সম্ভাবনা = ১/২ⁿ।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৪৬১–৪৮০ ›