গাণিতিক যুক্তি · পাতা ২৬

⚡ এই বিষয়ে কুইক টেস্ট

পাতা ২৬/৫৩ · প্রশ্ন ৫০১–৫২০সব উত্তর দেখান

৫০১. If a³ = 117 + b³ and a = 3 + b, then the value of a + b is? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক7
2. খ13
3. গ49
4. ঘ0
সঠিক উত্তর: ক. 7
প্রথম শর্ত থেকে a কিউব বিয়োগ b কিউব সমান ১১৭, আর দ্বিতীয় শর্ত থেকে a বিয়োগ b সমান ৩। পরিচিত সূত্র: a কিউব বিয়োগ b কিউব সমান, a বিয়োগ b এর কিউব যোগ ৩ab গুণ a বিয়োগ b।
মান বসালে ১১৭ সমান ২৭ যোগ ৩ab গুণ ৩, মানে ৯ab সমান ৯০। তাই ab সমান ১০।
এবার a যোগ b এর বর্গ সমান a বিয়োগ b এর বর্গ যোগ ৪ab, মানে ৯ যোগ ৪০ সমান ৪৯। বর্গমূল নিলে a যোগ b সমান ৭। যাচাই: a সমান ৫, b সমান ২ নিলে ১২৫ বিয়োগ ৮ সমান ১১৭।
ফাঁদ হলো বর্গ ৪৯ পেয়ে সেখানেই থেমে যাওয়া; প্রশ্ন চেয়েছে a যোগ b, তার বর্গ নয়।
মনে রাখুন: a − b = ৩ থেকে ছোট সংখ্যা আন্দাজ করুন: ৫³ − ২³ = ১২৫ − ৮ = ১১৭, তাই a + b = ৭।
পুরো পাতা ›
৫০২. The population of a village decreases at the rate of 20% per annum. If its population 2 years ago was 10000, the present population is = ? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক4600
2. খ6400
3. গ7600
4. ঘ600
সঠিক উত্তর: খ. 6400
জনসংখ্যা প্রতি বছর ২০ শতাংশ কমে, মানে প্রতি বছর আগের বছরের ৮০ শতাংশ থাকে। এটা চক্রবৃদ্ধি হারে হ্রাস, কারণ প্রতিবার কমে নতুন, ছোট সংখ্যার উপর।
২ বছর আগে ছিল ১০০০০। এক বছর পরে ১০০০০ এর ৮০ শতাংশ, মানে ৮০০০। আরও এক বছর পরে ৮০০০ এর ৮০ শতাংশ, মানে ৬৪০০। এটাই বর্তমান জনসংখ্যা।
ফাঁদ হলো দুই বছরে মোট ৪০ শতাংশ কমেছে ধরে ৬০০০ বের করা। সরল হারে ভাবলে এই ভুল হয়; দ্বিতীয় বছরের ২০ শতাংশ কমে ৮০০০ এর উপর, ১০০০০ এর উপর নয়।
মনে রাখুন: বর্তমান = আগের × (১ − হার)^বছর = ১০০০০ × ০.৬৪ = ৬৪০০।
পুরো পাতা ›
৫০৩. A student scores 55% marks in 8 papers of 100 marks each. He scores 15% of his total marks in English. How much does he score in English? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক44
2. খ45
3. গ66
4. ঘ77
সঠিক উত্তর: গ. 66
প্রশ্নে দুটি শতাংশ আছে, আর দ্বিতীয়টা প্রথমটার উপর নির্ভর করে। আগে মোট প্রাপ্ত নম্বর বের করতে হবে, তারপর তার ১৫ শতাংশ।
৮টি পত্রে প্রতিটি ১০০ নম্বর, তাই পূর্ণমান ৮০০। ছাত্রটি পেয়েছে ৮০০ এর ৫৫ শতাংশ, মানে ৪৪০।
এই ৪৪০ নম্বরের ১৫ শতাংশ এসেছে ইংরেজি থেকে: ৪৪০ গুণ ১৫ ভাগ ১০০, মানে ৬৬।
ফাঁদ হলো ১৫ শতাংশ পূর্ণমানের উপর ধরে ১২০, অথবা মোট নম্বর ৪৪০ দেখেই ৪৪ বেছে নেওয়া।
মনে রাখুন: শতাংশের শতাংশ গুণ করে নিন: ৮০০ × ০.৫৫ × ০.১৫ = ৬৬।
পুরো পাতা ›
৫০৪. The ratio of the number of boys and girls in a college is 7 : 8. If the percentage increase in the number of boys and girls be 20% and 10% respectively, what will be the new ratio? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক8 : 9
2. খ17 : 18
3. গ21 : 22
4. ঘ18 : 19
সঠিক উত্তর: গ. 21 : 22
অনুপাত ৭ অনুপাত ৮ মানে ছেলে ৭ ভাগ, মেয়ে ৮ ভাগ। শতাংশ বৃদ্ধি দুই দলের উপর আলাদা হারে হচ্ছে, তাই প্রতিটি ভাগকে নিজ নিজ হারে বাড়াতে হবে।
ছেলে ২০ শতাংশ বাড়লে ৭ হয় ৭ গুণ ১.২, মানে ৮.৪। মেয়ে ১০ শতাংশ বাড়লে ৮ হয় ৮ গুণ ১.১, মানে ৮.৮।
নতুন অনুপাত ৮.৪ অনুপাত ৮.৮। দুই দিককে ১০ দিয়ে গুণ করে ৪ দিয়ে ভাগ করলে হয় ২১ অনুপাত ২২।
ফাঁদ হলো শতাংশ গুণ না করে দুই দিকে একই সংখ্যা যোগ করা: ১ করে যোগ করলে ৮ অনুপাত ৯, আর ১০ করে যোগ করলে ১৭ অনুপাত ১৮ আসে। শতাংশ বৃদ্ধি মানে নিজ নিজ সংখ্যাকে গুণ করা।
মনে রাখুন: নতুন অনুপাত = (৭ × ১২০) : (৮ × ১১০) = ৮৪০ : ৮৮০ = ২১ : ২২।
পুরো পাতা ›
৫০৫. Two buses start from a bus terminal with a speed of 20 km/h at intervals of 10 minutes. What is the speed of a man coming from the opposite direction towards the bus terminal if he meets the buses at interval of 8 minutes? (সমন্বিত ৫ ব্যাংক: অফিসার, ক্যাশ) (২০২১)
1. ক3 km/h
2. খ4 km/h
3. গ5 km/h
4. ঘ7 km/h
সঠিক উত্তর: গ. 5 km/h
দুটি বাস একই দিকে ঘণ্টায় ২০ কিলোমিটার বেগে ১০ মিনিট অন্তর ছাড়ে। তাই রাস্তায় পরপর দুটি বাসের মাঝে দূরত্ব সবসময় ১০ মিনিটে বাস যতটা যায়: ২০ গুণ ১০ ভাগ ৬০, মানে ১০ ভাগ ৩ কিলোমিটার।
লোকটি উল্টো দিক থেকে বাসগুলোর দিকে আসছে। মুখোমুখি চললে আপেক্ষিক বেগ হয় দুই বেগের যোগফল, মানে ২০ যোগ লোকের বেগ।
এই আপেক্ষিক বেগে ১০ ভাগ ৩ কিলোমিটার ফাঁক পেরোতে লাগে ৮ মিনিট। তাই আপেক্ষিক বেগ ১০ ভাগ ৩ কে ৮ ভাগ ৬০ দিয়ে ভাগ, মানে ঘণ্টায় ২৫ কিলোমিটার। লোকের বেগ ২৫ বিয়োগ ২০, মানে ঘণ্টায় ৫ কিলোমিটার।
ফাঁদ হলো মুখোমুখি চলার সময় বেগ বিয়োগ করা। বিপরীত দিকে চললে বেগ যোগ হয়, একই দিকে চললে বিয়োগ।
মনে রাখুন: (২০ + v) × ৮ = ২০ × ১০ → v = ৫। একই ফাঁক, শুধু সময় বদলায়।
পুরো পাতা ›
৫০৬. The interior angles of a polygon are in AP. The smallest angle is 120° and the common difference is 5°. Find the number of sides of the polygon. (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক7
2. খ8
3. গ9
4. ঘ10
সঠিক উত্তর: গ. 9
n বাহুর বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর যোগফল সবসময় n বিয়োগ ২, গুণ ১৮০ ডিগ্রি। আবার কোণগুলো সমান্তর ধারায় আছে, তাই সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র দিয়েও একই যোগফল লেখা যায়। দুটো সমান করলেই n পাওয়া যায়।
সমান্তর ধারার যোগফল: n ভাগ ২, গুণ প্রথম পদের দ্বিগুণ যোগ n বিয়োগ ১ গুণ সাধারণ অন্তর। প্রথম পদ ১২০, অন্তর ৫। সমীকরণ সাজালে দাঁড়ায় n এর বর্গ বিয়োগ ২৫n যোগ ১৪৪ সমান শূন্য, যার দুটি সমাধান ৯ ও ১৬।
এখন যাচাই: n সমান ১৬ হলে সবচেয়ে বড় কোণ হয় ১২০ যোগ ১৫ গুণ ৫, মানে ১৯৫ ডিগ্রি, যা ১৮০-র বেশি; উত্তল বহুভুজে এটা হতে পারে না। n সমান ৯ হলে বড় কোণ ১৬০ ডিগ্রি, ঠিক আছে। তাই বাহু ৯টি।
ফাঁদ হলো দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূলই উত্তর ভাবা, বা যাচাই না করে বড়টা নেওয়া। প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৮০-র কম হতে হবে, এই শর্তেই ১৬ বাদ পড়ে।
মনে রাখুন: অপশন থেকে যাচাই: n = 9 হলে AP-র যোগফল 9/2 × (120 + 160) = 1260, আর (9 − 2) × 180 = 1260; মিলে গেছে।
পুরো পাতা ›
৫০৭. A school has only 3 classes having 20, 30 and 40 students respectively. The percentages of students passed are 30%. 50% and 60% respectively. Find the percentage of passed students of the entire school. (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক40
2. খ50
3. গ60
4. ঘ30
সঠিক উত্তর: খ. 50
পুরো স্কুলের পাসের হার বের করতে প্রতিটি ক্লাসের শতাংশের সাধারণ গড় নেওয়া যায় না, কারণ ক্লাসগুলোর ছাত্রসংখ্যা আলাদা। আগে প্রতিটি ক্লাসে কতজন পাস করেছে তা বের করতে হবে।
২০ জনের ৩০ শতাংশ মানে ৬ জন, ৩০ জনের ৫০ শতাংশ মানে ১৫ জন, আর ৪০ জনের ৬০ শতাংশ মানে ২৪ জন। মোট পাস ৪৫ জন।
মোট ছাত্র ২০ যোগ ৩০ যোগ ৪০, মানে ৯০ জন। ৯০ জনের মধ্যে ৪৫ জন পাস, অর্থাৎ ঠিক অর্ধেক, ৫০ শতাংশ।
ফাঁদ হলো তিনটি শতাংশের সাধারণ গড়: ৩০, ৫০ ও ৬০-এর গড় প্রায় ৪৬ দশমিক ৬৭, যা অপশনে নেই বলে অনেকে কাছাকাছি ৪০ বেছে নেন।
মনে রাখুন: ভারযুক্ত গড়: (20 × 30 + 30 × 50 + 40 × 60) ÷ 90 = 4500 ÷ 90 = 50%।
পুরো পাতা ›
৫০৮. Find the least five-digit number which can be divided by 8, 12, 16 and 20 leaving remainders 1. 5, 9 and 13, respectively. (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক10003
2. খ10093
3. গ10073
4. ঘ10013
সঠিক উত্তর: গ. 10073
প্রতিটি ভাজক থেকে তার ভাগশেষ বাদ দিলে একই সংখ্যা আসে: ৮ বিয়োগ ১, ১২ বিয়োগ ৫, ১৬ বিয়োগ ৯, ২০ বিয়োগ ১৩, সবগুলোই ৭। মানে সংখ্যাটার সঙ্গে ৭ যোগ করলে সেটি চারটি সংখ্যা দিয়েই নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
তাই নির্ণেয় সংখ্যা হবে ল.সা.গু.-এর কোনো গুণিতক থেকে ৭ কম। ৮, ১২, ১৬ ও ২০-এর ল.সা.গু. ২৪০।
পাঁচ অঙ্কের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ১০০০০। ২৪০-এর ৪২ গুণ হলো ১০০৮০, যা ১০০০০-এর পরের প্রথম গুণিতক। ১০০৮০ থেকে ৭ বাদ দিলে ১০০৭৩। যাচাই: ১০০৭৩ কে ৮, ১২, ১৬, ২০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ১, ৫, ৯, ১৩।
ফাঁদ হলো ভাগশেষগুলো যোগ করা বা ল.সা.গু.-এর সঙ্গে ভাগশেষ যোগ করা। এখানে ভাজক আর ভাগশেষের পার্থক্য সমান, তাই বিয়োগ করতে হয়।
মনে রাখুন: ভাজক − ভাগশেষ সমান হলে উত্তর = ল.সা.গু.-এর গুণিতক − সেই পার্থক্য।
পুরো পাতা ›
৫০৯. The sum of four consecutive even integers is 60. What is the value of the largest number? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক14
2. খ24
3. গ18
4. ঘ20
সঠিক উত্তর: গ. 18
পরপর চারটি জোড় সংখ্যা মানে প্রতিটি আগেরটির চেয়ে ২ বেশি। প্রথমটি x ধরলে বাকিগুলো x যোগ ২, x যোগ ৪, x যোগ ৬।
চারটির যোগফল ৪x যোগ ১২, যা ৬০-এর সমান। তাহলে ৪x সমান ৪৮, x সমান ১২। সংখ্যাগুলো ১২, ১৪, ১৬, ১৮।
সবচেয়ে বড় সংখ্যা ১৮। যাচাই: ১২ যোগ ১৪ যোগ ১৬ যোগ ১৮ সমান ৬০।
ফাঁদ হলো ১৪ বা ২০: ১৪ সবচেয়ে ছোটর পরেরটি, আর ২০ এলে ধারার শুরু ১৪ হয়ে যোগফল ৬৮ দাঁড়ায়।
মনে রাখুন: গড় = 60 ÷ 4 = 15; চারটি পরপর জোড় সংখ্যা গড়ের দুপাশে: 12, 14, 16, 18।
পুরো পাতা ›
৫১০. The numbers 11, 12, 14, x − 2, x + 4, x + 9, 32, 38, 47 are arranged in ascending order and the median is 24. Find x. (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক18
2. খ20
3. গ22
4. ঘ25
সঠিক উত্তর: খ. 20
মধ্যমা মানে ছোট থেকে বড় সাজানো তালিকার ঠিক মাঝের সংখ্যা। এখানে মোট ৯টি সংখ্যা, বিজোড়; তাই মধ্যমা হবে ৯ যোগ ১, ভাগ ২, মানে ৫ম পদ।
সংখ্যাগুলো আগে থেকেই ছোট থেকে বড় সাজানো। ৫ম পদ হলো x যোগ ৪। মধ্যমা ২৪, তাই x যোগ ৪ সমান ২৪, x সমান ২০।
যাচাই: x সমান ২০ হলে চতুর্থ, পঞ্চম, ষষ্ঠ পদ হয় ১৮, ২৪, ২৯। তালিকা ১১, ১২, ১৪, ১৮, ২৪, ২৯, ৩২, ৩৮, ৪৭: সত্যিই ক্রমানুসারে, আর মাঝের পদ ২৪।
ফাঁদ হলো ভুল পদকে মধ্যমা ধরা, বা x নিজেকেই মধ্যমার কাছাকাছি ভেবে নেওয়া। ২৫ বসালে তালিকার ক্রমই ভেঙে যায়, কারণ x যোগ ৯ হয় ৩৪, যা পরের সংখ্যা ৩২-এর চেয়ে বড়।
মনে রাখুন: বিজোড় n হলে মধ্যমা (n + 1)/2-তম পদ; সেই পদকে মধ্যমার সমান ধরলেই x।
পুরো পাতা ›
৫১১. 28 is divided into two parts such that 6 times the first part added to 4 times the second part makes 152. The first part is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক16
2. খ18
3. গ20
4. ঘ22
সঠিক উত্তর: গ. 20
২৮ কে দুই ভাগে ভাগ করা হয়েছে। প্রথম ভাগ x ধরলে দ্বিতীয় ভাগ ২৮ বিয়োগ x।
শর্ত: প্রথম ভাগের ৬ গুণ আর দ্বিতীয় ভাগের ৪ গুণ যোগ করলে ১৫২। অর্থাৎ ৬x যোগ ৪ গুণ ২৮ বিয়োগ x সমান ১৫২। এটা সরল করলে ২x যোগ ১১২ সমান ১৫২, তাই ২x সমান ৪০, x সমান ২০।
যাচাই: প্রথম ভাগ ২০, দ্বিতীয় ভাগ ৮। ৬ গুণ ২০ সমান ১২০, ৪ গুণ ৮ সমান ৩২, যোগফল ১৫২।
ফাঁদ হলো দুই ভাগ উল্টে ফেলা: ৮ কে প্রথম ভাগ ধরলে যোগফল ৪৮ যোগ ৮০, মানে ১২৮, যা মেলে না।
মনে রাখুন: সবটাকে ৪ গুণ ধরলে 4 × 28 = 112; বাড়তি 152 − 112 = 40 এসেছে প্রথম ভাগের অতিরিক্ত 2 গুণ থেকে, তাই প্রথম ভাগ 40 ÷ 2 = 20।
পুরো পাতা ›
৫১২. The denominator of a fraction is 5 more than the numerator. If the numerator as well as the denominator is increased by 3, the fraction becomes 5/9. The original fraction is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক11/18
2. খ13/18
3. গ15/18
4. ঘ16/18
5. ঙকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: ঙ. কোনোটিই নয়
ভগ্নাংশের লব x ধরলে হর x যোগ ৫। লব ও হর দুটোতেই ৩ যোগ করলে ভগ্নাংশ হয় x যোগ ৩, ভাগ x যোগ ৮; প্রশ্ন বলছে এটি ৫ ভাগ ৯।
আড়গুণন করলে ৯x যোগ ২৭ সমান ৫x যোগ ৪০, তাই ৪x সমান ১৩, x সমান ১৩ ভাগ ৪। লব ও হর পূর্ণসংখ্যা হয় না; ভগ্নাংশটা সরল করলে দাঁড়ায় ১৩ ভাগ ৩৩, যার লব আর হরের পার্থক্য আর ৫ থাকে না।
অপশন যাচাই করলে, শুধু ১৩ ভাগ ১৮-এর হর লবের চেয়ে ৫ বেশি। কিন্তু এতে ৩ যোগ করলে হয় ১৬ ভাগ ২১, ৫ ভাগ ৯ নয়। বাকিগুলোর হর-লবের পার্থক্যই ৫ নয়। তাই প্রশ্নটি যেভাবে ছাপা হয়েছে, কোনো অপশনই সঠিক নয়।
পদ্ধতিটা মনে রাখুন: লব x, হর শর্তমতো লিখে, পরিবর্তনের পরের ভগ্নাংশ সমান ধরে আড়গুণন। আর শেষে সবসময় দুটো শর্তেই বসিয়ে যাচাই করুন; এখানে সেই যাচাই-ই দেখায় প্রশ্নে ভুল আছে।
মনে রাখুন: এ ধরনের প্রশ্নে অপশন বসিয়ে দুটি শর্ত মিলিয়ে দেখা সবচেয়ে দ্রুত।
পুরো পাতা ›
৫১৩. Two baskets together have 640 oranges if one-fifth of the oranges in the first basket be taken to the second basket then, number of oranges in both baskets become equal. The number of oranges in the first basket is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক800
2. খ600
3. গ400
4. ঘ300
সঠিক উত্তর: গ. 400
দুই ঝুড়িতে মোট ৬৪০টি কমলা। প্রথম ঝুড়ি থেকে তার এক-পঞ্চমাংশ সরানোর পর দুই ঝুড়িতে সমান হয়। সরানোর পরও মোট কমলা ৬৪০-ই থাকে, তাই তখন প্রতিটিতে ৩২০টি।
প্রথম ঝুড়িতে এক-পঞ্চমাংশ সরানোর পর থাকে পাঁচ ভাগের চার ভাগ। সেটাই ৩২০। তাহলে পুরো প্রথম ঝুড়ি ৩২০ কে ৪ দিয়ে ভাগ করে ৫ দিয়ে গুণ, মানে ৪০০টি।
যাচাই: প্রথম ঝুড়ি ৪০০, দ্বিতীয় ২৪০। প্রথম থেকে ৮০টি সরালে প্রথমে থাকে ৩২০, দ্বিতীয়তে হয় ৩২০। মিলে গেছে।
ফাঁদ হলো ৩২০ কেই প্রথম ঝুড়ির কমলা ভাবা, বা এক-পঞ্চমাংশকে মোট ৬৪০-এর এক-পঞ্চমাংশ ধরা।
মনে রাখুন: শেষে সমান মানে প্রতিটিতে মোটের অর্ধেক; প্রথমের বাকি অংশ দিয়ে উল্টো হিসাব করুন।
পুরো পাতা ›
৫১৪. What is the arithmetic mean of the first 100 natural numbers? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক50
2. খ50.5
3. গ51
4. ঘ51.5
সঠিক উত্তর: খ. 50.5
গাণিতিক গড় মানে সব সংখ্যার যোগফলকে সংখ্যার পরিমাণ দিয়ে ভাগ। প্রথম ১০০টি স্বাভাবিক সংখ্যা ১ থেকে ১০০।
১ থেকে n পর্যন্ত যোগফল n গুণ n যোগ ১, ভাগ ২। এখানে ১০০ গুণ ১০১ ভাগ ২, মানে ৫০৫০। একে ১০০ দিয়ে ভাগ করলে গড় ৫০ দশমিক ৫।
সহজ পথ: সমান ব্যবধানের ধারায় গড় হয় প্রথম আর শেষ পদের গড়। ১ আর ১০০-এর গড় ৫০ দশমিক ৫।
ফাঁদ হলো ৫০: ১০০-এর অর্ধেক দেখে অনেকে ৫০ বলেন, কিন্তু ধারা শুরু হয়েছে ১ থেকে, ০ থেকে নয়।
মনে রাখুন: প্রথম n স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = (n + 1) ÷ 2।
পুরো পাতা ›
৫১৫. The value of p, for which the equation x² + (p − 3)x + p = 0 has real and equal roots is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক9
2. খ4
3. গ3
4. ঘ
সঠিক উত্তর: ক. 9
দ্বিঘাত সমীকরণ a x বর্গ যোগ b x যোগ c সমান শূন্যের মূল দুটি বাস্তব ও সমান হয় যখন নিশ্চায়ক, মানে b বর্গ বিয়োগ ৪ac, ঠিক শূন্য।
এখানে a সমান ১, b সমান p বিয়োগ ৩, c সমান p। নিশ্চায়ক p বিয়োগ ৩-এর বর্গ বিয়োগ ৪p, যা খুলে লিখলে p বর্গ বিয়োগ ১০p যোগ ৯।
এটাকে শূন্য ধরলে উৎপাদকে ভাঙে p বিয়োগ ১, গুণ p বিয়োগ ৯। তাই p সমান ১ অথবা ৯। অপশনে যেটি আছে তা ৯। যাচাই: p সমান ৯ হলে সমীকরণ x বর্গ যোগ ৬x যোগ ৯, মানে x যোগ ৩-এর বর্গ, দুটি মূলই মাইনাস ৩।
ফাঁদ হলো ৩: b-কে শূন্য করতে p সমান ৩ বসালে সমীকরণ হয় x বর্গ যোগ ৩, যার কোনো বাস্তব মূলই নেই।
মনে রাখুন: অপশন বসিয়ে দেখুন: b² = 4ac মিললেই উত্তর। p = 9 হলে 6² = 36 = 4 × 9।
পুরো পাতা ›
৫১৬. 3 log₁₀ 2 + log₁₀ 5 = ? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. কlog₁₀ (5/8)
2. খlog₁₀ (8/5)
3. গlog₁₀ (2/5)
4. ঘlog₁₀ 40
সঠিক উত্তর: ঘ. log₁₀ 40
প্রশ্নটা লগারিদমের দুটি মৌলিক সূত্র যাচাই করছে। প্রথমটি ঘাতের সূত্র: কোনো লগের সামনের গুণকটিকে ভেতরের সংখ্যার ঘাত বানিয়ে দেওয়া যায়। তাই ৩ গুণ log ২ মানে log ২ এর ঘাত ৩, অর্থাৎ log ৮।
দ্বিতীয়টি গুণের সূত্র: একই ভিত্তির দুটি লগ যোগ করলে ভেতরের সংখ্যা দুটি গুণ হয়। তাই log ৮ যোগ log ৫ হয় log চল্লিশ।
সংখ্যায় মিলিয়ে দেখলেও তাই আসে: ৩ গুণ log ২ প্রায় শূন্য দশমিক নয় শূন্য তিন, তার সাথে log ৫ প্রায় শূন্য দশমিক ছয় নয় নয় যোগ করলে প্রায় এক দশমিক ছয় শূন্য দুই, যা ঠিক log চল্লিশ।
ফাঁদ হলো যোগকে ভাগ বানিয়ে ফেলা। log ৮ বিয়োগ log ৫ হলে তবেই log আট ভাগ পাঁচ আসত; এখানে চিহ্ন যোগ, তাই ভাগ নয়, গুণ।
মনে রাখুন: n log a = log aⁿ, log a + log b = log ab, log a − log b = log (a/b)। তিনটি সূত্রেই এ ধরনের সব প্রশ্ন শেষ।
পুরো পাতা ›
৫১৭. If four fair coins are flipped, what is the probability that they all will come up heads? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক3/16
2. খ1/4
3. গ1/8
4. ঘ1/16
সঠিক উত্তর: ঘ. 1/16
প্রশ্নটা স্বাধীন ঘটনার সম্ভাবনা পরীক্ষা করছে। একটি নিরপেক্ষ মুদ্রায় হেড আসার সম্ভাবনা ১ ভাগ ২। একটি মুদ্রার ফলাফল অন্যটির উপর নির্ভর করে না, তাই সবগুলো একসাথে হেড হওয়ার সম্ভাবনা হলো আলাদা সম্ভাবনাগুলোর গুণফল।
চারটি মুদ্রার জন্য ১ ভাগ ২ কে চারবার গুণ করি: ১ ভাগ ২ গুণ ১ ভাগ ২ গুণ ১ ভাগ ২ গুণ ১ ভাগ ২, যা ১ ভাগ ১৬।
গুনে দেখলেও একই: চারটি মুদ্রায় মোট সম্ভাব্য ফলাফল ২ এর ঘাত ৪, মানে ১৬টি। তার মধ্যে চারটিই হেড, এমন ফলাফল মাত্র একটি। তাই সম্ভাবনা ১ ভাগ ১৬।
অনেকে মুদ্রার সংখ্যা দেখে ১ ভাগ ৪ বেছে নেন, অথবা তিনটি মুদ্রার হিসাব ১ ভাগ ৮ ধরে ফেলেন; দুটোই ভুল।
মনে রাখুন: n টি মুদ্রার সবগুলো হেড (বা সবগুলো টেল) হওয়ার সম্ভাবনা সবসময় 1/2ⁿ।
পুরো পাতা ›
৫১৮. If the ratio of principal and yearly amount be in the ratio 25: 28, then the yearly rate of interest is (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক3%
2. খ12%
3. গ10%
4. ঘ8%
সঠিক উত্তর: খ. 12%
এখানে yearly amount মানে এক বছর পরের সবৃদ্ধি মূল, অর্থাৎ আসল যোগ এক বছরের সুদ। আসল আর এক বছরের সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত ২৫ ঃ ২৮।
আসল ২৫ টাকা ধরলে এক বছর পর হয় ২৮ টাকা, তাই এক বছরের সুদ ৩ টাকা।
সুদের হার মানে প্রতি ১০০ টাকায় এক বছরের সুদ। ২৫ টাকায় ৩ টাকা হলে ১০০ টাকায় হবে ৩ গুণ ৪, মানে ১২ টাকা। তাই হার ১২ শতাংশ।
ফাঁদ হলো অনুপাতের পার্থক্য ৩ দেখে সরাসরি ৩ শতাংশ বলে দেওয়া। ৩ টাকা সুদ ১০০ টাকার উপর নয়, ২৫ টাকার উপর।
মনে রাখুন: হার = (অনুপাতের পার্থক্য ÷ আসলের অংশ) × ১০০ = ৩/২৫ × ১০০ = ১২%।
পুরো পাতা ›
৫১৯. What is the greatest possible area of a triangle with one side of length 7 and another side of length 10? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক17
2. খ30
3. গ35
4. ঘ70
সঠিক উত্তর: গ. 35
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো এক অর্ধ গুণ দুই বাহু গুণ তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন। দুই বাহু ৭ আর ১০ স্থির, তাই ক্ষেত্রফল নির্ভর করে শুধু তাদের মাঝের কোণের উপর।
সাইনের সর্বোচ্চ মান ১, আর তা হয় কোণ ৯০ ডিগ্রি হলে। তাই বাহু দুটি পরস্পর লম্ব হলে ক্ষেত্রফল সবচেয়ে বেশি।
তখন একটি বাহু ভূমি, অন্যটি উচ্চতা: ক্ষেত্রফল এক অর্ধ গুণ ৭ গুণ ১০, মানে ৩৫।
ফাঁদ হলো সরাসরি ৭ গুণ ১০ মানে ৭০ লিখে ফেলা, যেটা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল; ত্রিভুজে অর্ধেক নিতে হয়।
মনে রাখুন: দুই বাহু a, b দেওয়া থাকলে সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল সবসময় ab/2 (সমকোণী ত্রিভুজ)।
পুরো পাতা ›
৫২০. If 0≤x≤ π /2, What is the maximum value of cos (x/3)? (সমন্বিত ৭ ব্যাংক: সিনিয়র অফিসার, ২০২১)
1. ক1
2. খ0
3. গ1/2
4. ঘ3/2
সঠিক উত্তর: ক. 1
x শূন্য থেকে π ভাগ ২ এর মধ্যে, তাই x ভাগ ৩ থাকবে শূন্য থেকে π ভাগ ৬, মানে শূন্য থেকে ৩০ ডিগ্রির মধ্যে।
শূন্য থেকে ৯০ ডিগ্রির মধ্যে কোণ বাড়লে কোসাইন কমে। তাই কোসাইনের মান সবচেয়ে বেশি হবে যখন কোণ সবচেয়ে ছোট, অর্থাৎ x শূন্য।
cos শূন্য সমান ১। তাই সর্বোচ্চ মান ১। আর সর্বনিম্ন মান হবে cos ৩০ ডিগ্রি, মানে বর্গমূল ৩ ভাগ ২।
ফাঁদ হলো সর্বনিম্ন মান বর্গমূল ৩ ভাগ ২ কে বা তার কাছাকাছি ৩ ভাগ ২ কে উত্তর ধরা। ৩ ভাগ ২ তো ১ এর চেয়ে বড়, কোসাইন কখনো ১ এর বেশি হয় না।
মনে রাখুন: cos এর মান কখনো ১ এর বেশি নয়; সীমায় ০ থাকলে সর্বোচ্চ মান সরাসরি ১।
পুরো পাতা ›

পরের পাতা: প্রশ্ন ৫২১–৫৪০ ›