গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬০
১১৮১. কোন সংখ্যার ০.১˙ ভাগ এবং ০.১ ভাগের মধ্যে পার্থক্য ১.০ হলে, সংখ্যাটি কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক১০
- খ৯
- গ৯০
- ঘ১০০
সঠিক উত্তর: গ. ৯০
প্রশ্নটা আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশে রূপান্তর পরীক্ষা করছে। শূন্য দশমিক এক আবৃত্ত, মানে এক এর পর এক চলতেই থাকে, আর এর মান এক নবমাংশ, মানে ১ ভাগ ৯।
কেন এক নবমাংশ? ১ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে শূন্য দশমিক এক এক এক এভাবে চলতে থাকে। আর সাধারণ শূন্য দশমিক এক হলো এক দশমাংশ।
সংখ্যাটি x হলে x ভাগ ৯ বিয়োগ x ভাগ ১০ সমান ১। সাধারণ হর ৯০ নিলে লব হয় ১০ x বিয়োগ ৯ x, মানে x ভাগ ৯০ সমান ১। তাই x সমান ৯০।
যাচাই: ৯০ এর এক নবমাংশ ১০, আর এক দশমাংশ ৯; পার্থক্য ১। ফাঁদ হলো আবৃত্ত চিহ্ন উপেক্ষা করে দুটোকে একই ভাবা।
মনে রাখুন: ১/৯ − ১/১০ = ১/৯০, তাই পার্থক্য ১ হলে সংখ্যা ৯০।
১১৮২. একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক২২৫ বর্গমিটার
- খ১৪৪ বর্গমিটার
- গ১৬৯ বর্গমিটার
- ঘ১৯৬ বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: ঘ. ১৯৬ বর্গমিটার
তিন ধাপের প্রশ্ন: আগে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ, তারপর তার পরিসীমা, শেষে সমান পরিসীমার বর্গের ক্ষেত্রফল।
দৈর্ঘ্য L, প্রস্থ W হলে L গুণ W সমান ১৯২। দৈর্ঘ্য ৪ কমিয়ে প্রস্থ ৪ বাড়ালেও ক্ষেত্রফল একই। বিস্তার করলে দাঁড়ায় চার L বিয়োগ চার W সমান ষোলো, মানে দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে ৪ বেশি।
যে দুটি সংখ্যার গুণফল ১৯২ আর পার্থক্য ৪, সেগুলো ১৬ ও ১২। পরিসীমা দুই গুণ ২৮, মানে ৫৬ মিটার। সমান পরিসীমার বর্গের বাহু ৫৬ ভাগ ৪, মানে ১৪ মিটার; ক্ষেত্রফল ১৯৬ বর্গমিটার।
ফাঁদ হলো ১৪৪ বেছে নেওয়া, যা প্রস্থ ১২ এর বর্গ। বর্গের বাহু আসবে পরিসীমা থেকে, আয়তক্ষেত্রের কোনো বাহু থেকে নয়।
মনে রাখুন: ১৯২ এর উৎপাদক জোড়া খুঁজুন যাদের পার্থক্য ৪: ১৬ × ১২।
১১৮৩. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ; সংখ্যা তিনটির গড় কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৬
- খ৩
- গ৫
- ঘ৪
সঠিক উত্তর: ঘ. ৪
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা লেখার সবচেয়ে সুবিধাজনক উপায় হলো মাঝেরটাকে n ধরে n বিয়োগ এক, n, n যোগ এক। তাতে যোগফল সরাসরি তিন n হয়।
গুণফল হলো n গুণ n বর্গ বিয়োগ এক। শর্ত অনুযায়ী এটা যোগফলের পাঁচ গুণ, মানে পনেরো n। দুই পাশে n কেটে দিলে n বর্গ বিয়োগ এক সমান পনেরো, তাই n বর্গ ষোলো, আর n চার।
সংখ্যা তিনটি ৩, ৪, ৫। গুণফল ৬০, যোগফল ১২, আর ১২ এর পাঁচ গুণ ৬০; শর্ত মিলেছে। ক্রমিক সংখ্যার গড় সবসময় মাঝের সংখ্যা, তাই গড় ৪।
এখানে প্রশ্ন সংখ্যাগুলো নয়, গড় চেয়েছে। গড় মানেই মাঝের সংখ্যা, এই কথাটা মনে থাকলে কাজ অর্ধেক হয়ে যায়।
মনে রাখুন: গড় = মাঝের সংখ্যা n, আর n² − ১ = ১৫ থেকে n = ৪।
১১৮৪. একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৬৬ সেন্টিমিটার
- খ৪২ সেন্টিমিটার
- গ২১ সেন্টিমিটার
- ঘ২২ সেন্টিমিটার
সঠিক উত্তর: খ. ৪২ সেন্টিমিটার
বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর মধ্যে সবচেয়ে বড় হলো ব্যাস, কারণ ব্যাস কেন্দ্র দিয়ে যায়। তাই প্রশ্নটা আসলে ব্যাস জানতে চেয়েছে।
পরিধি দুই পাই r সমান ১৩২। পাই বাইশ ভাগ সাত ধরলে দুই পাই হয় চুয়াল্লিশ ভাগ সাত; তাই r সমান ১৩২ গুণ সাত ভাগ চুয়াল্লিশ, মানে ২১ সেন্টিমিটার।
ক্ষেত্রফল দিয়েও যাচাই: বাইশ ভাগ সাত গুণ ২১ গুণ ২১ সমান ১৩৮৬। তাই ব্যাসার্ধ ২১, ব্যাস দুই গুণ ২১, অর্থাৎ ৪২ সেন্টিমিটার।
ফাঁদ হলো ব্যাসার্ধ ২১ লিখে থেমে যাওয়া। বৃহত্তম জ্যা ব্যাস, ব্যাসার্ধ নয়।
মনে রাখুন: পরিধি ÷ π = ব্যাস: ১৩২ × ৭/২২ = ৪২।
১১৮৫. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৭০
- খ৮৫
- গ৭৫
- ঘ১০০
সঠিক উত্তর: গ. ৭৫
প্রথম কাজ একক এক করা: চাঁদা দেওয়া আছে পয়সায়, মোট টাকায়। ৭৫ টাকা মানে ৭৫০০ পয়সা।
ছাত্র-ছাত্রী n জন হলে প্রত্যেকে দেয় n যোগ ২৫ পয়সা। তাই মোট চাঁদা n গুণ n যোগ ২৫, যা ৭৫০০ পয়সা।
এমন দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের পার্থক্য ২৫ আর গুণফল ৭৫০০: ৭৫ আর ১০০। তাই n সমান ৭৫; প্রত্যেকে দিয়েছে ১০০ পয়সা, মানে ১ টাকা।
ফাঁদ হলো ১০০ বেছে নেওয়া, যা আসলে মাথাপিছু চাঁদা পয়সায়, ছাত্রসংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: অপশন × (অপশন + ২৫) = ৭৫০০ যাচাই করুন: শুধু ৭৫ × ১০০ মেলে।
১১৮৬. মামুন 240 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক13টি
- খ14টি
- গ15টি
- ঘ16টি
সঠিক উত্তর: গ. 15টি
মোট টাকা স্থির থাকলে সংখ্যা বাড়লে একক দাম কমে। এখানে মোট ২৪০ টাকা; কলম একটি বেশি হলে প্রতিটির দাম এক টাকা কমে।
কলম n টি হলে একটির দাম ২৪০ ভাগ n। n যোগ এক টি হলে দাম ২৪০ ভাগ n যোগ এক। এদের পার্থক্য এক। সাজালে দাঁড়ায় n গুণ n যোগ এক সমান ২৪০।
পরপর দুটি সংখ্যার গুণফল ২৪০ হলে সেগুলো ১৫ ও ১৬। তাই মামুন কিনেছিল ১৫টি কলম। যাচাই: ২৪০ ভাগ ১৫ হলো ১৬ টাকা, ২৪০ ভাগ ১৬ হলো ১৫ টাকা; পার্থক্য এক টাকা।
ফাঁদ হলো ১৬ বেছে নেওয়া; সেটা একটি বেশি পেলে কলমের সংখ্যা, আসলে কেনা সংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: মোট টাকাকে পরপর দুই সংখ্যার গুণফলে ভাঙুন: ২৪০ = ১৫ × ১৬।
১১৮৭. একটি পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি- (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৪ সমকোণ
- খ৬ সমকোণ
- গ৮ সমকোণ
- ঘ১০ সমকোণ
সঠিক উত্তর: খ. ৬ সমকোণ
যেকোনো বহুভুজকে একটি শীর্ষ থেকে কর্ণ টেনে ত্রিভুজে ভাগ করা যায়। n বাহুর বহুভুজে ত্রিভুজ হয় n বিয়োগ দুই টি, আর প্রতিটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
তাই অন্তঃকোণের সমষ্টি দুই গুণ n বিয়োগ দুই সমকোণ, অর্থাৎ দুই n বিয়োগ চার সমকোণ।
পঞ্চভুজে n সমান পাঁচ, তাই সমষ্টি দশ বিয়োগ চার, মানে ছয় সমকোণ, বা ৫৪০ ডিগ্রি।
ফাঁদ হলো চার সমকোণ, যা যেকোনো বহুভুজের বহিঃকোণের সমষ্টি, বা চতুর্ভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি।
মনে রাখুন: (২n − ৪) সমকোণ; অথবা (n − ২) × ১৮০°।
১১৮৮. ১৭ দিন আগে আবদুর রহিম বলেছিল যে তার জন্মদিন ‘আগামীকাল’। আজ ২৩ তারিখ হলে তার জন্মদিন কোন তারিখে? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৭
- খ৮
- গ৯
- ঘ১০
সঠিক উত্তর: ক. ৭
এ ধরনের প্রশ্নে ঘটনাটা কোন দিনে বলা হয়েছিল, আগে সেটা ঠিক করুন। কথার মধ্যের আগামীকাল বা গতকাল সেই দিনের সাপেক্ষে, আজকের সাপেক্ষে নয়।
আজ ২৩ তারিখ। ১৭ দিন আগে ছিল ২৩ বিয়োগ ১৭, মানে ৬ তারিখ। রহিম কথাটা বলেছিল ৬ তারিখে।
৬ তারিখের আগামীকাল হলো ৭ তারিখ। তাই তার জন্মদিন ৭ তারিখে।
ফাঁদ হলো ৬ লিখে ফেলা, যা কথা বলার দিন, বা আগামীকালকে আজকের সাপেক্ষে ধরে অন্য দিন গোনা।
মনে রাখুন: জন্মদিন = আজ − দিন আগে + ১ = ২৩ − ১৭ + ১ = ৭।
১১৮৯. ০.০৩, ০.১২, ০.৪৮, ____ শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক০.৯৬
- খ১.৪৮
- গ১.৯২
- ঘ১.৫০
সঠিক উত্তর: গ. ১.৯২
ধারার প্রশ্নে আগে দেখুন পরপর পদের পার্থক্য স্থির কি না, না হলে অনুপাত স্থির কি না। এখানে পার্থক্য বাড়ছে, কিন্তু অনুপাত স্থির।
শূন্য দশমিক শূন্য তিন কে চার দিয়ে গুণ করলে হয় শূন্য দশমিক এক দুই; আবার শূন্য দশমিক এক দুই কে চার দিয়ে গুণ করলে হয় শূন্য দশমিক চার আট। অর্থাৎ প্রতিটি পদ আগের পদের চার গুণ।
তাই পরের পদ শূন্য দশমিক চার আট গুণ চার, মানে এক দশমিক নয় দুই।
ফাঁদ হলো শূন্য দশমিক নয় ছয়, যা শুধু দুই গুণ করলে আসে। গুণক চার, দুই নয়।
মনে রাখুন: দশমিক সরিয়ে দেখুন: ৩, ১২, ৪৮, ১৯২; প্রতিবার ৪ গুণ।
১১৯০. ২০ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু’ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক৬
- খ৭
- গ৮
- ঘ১০
সঠিক উত্তর: গ. ৮
অনুপাতে ভাগের প্রশ্ন। ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ মানে বড় অংশ ৩ ভাগ হলে ছোট অংশ ২ ভাগ, অর্থাৎ অনুপাত ২ বনাম ৩।
মোট ভাগ ২ যোগ ৩, মানে ৫ ভাগ, যা ২০ ফুট। তাই এক ভাগ ৪ ফুট।
ছোট অংশ ২ ভাগ, মানে ৮ ফুট; বড় অংশ ৩ ভাগ, মানে ১২ ফুট। যাচাই: ১২ এর দুই তৃতীয়াংশ ৮।
ফাঁদ হলো পুরো ২০ ফুটের দুই তৃতীয়াংশ নেওয়া। দুই তৃতীয়াংশ বড় অংশের, পুরো বাঁশের নয়।
মনে রাখুন: ছোট অংশ = ২০ × ২/৫ = ৮।
১১৯১. (5ⁿ⁺² + 35 × 5ⁿ⁻¹) ÷ (4 × 5ⁿ) = ? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক4
- খ8
- গ5
- ঘ7
সঠিক উত্তর: খ. 8
প্রশ্নটা সূচকের নিয়ম যাচাই করছে। লব আর হরে একই ভিত্তি ৫ আছে, তাই সবচেয়ে ছোট ঘাতটা, মানে ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১, সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে আনলে n কেটে যায়।
৫ এর ঘাত n যোগ ২ কে লেখা যায় ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১ গুণ ৫ এর ঘন, মানে গুণ ১২৫। তাই লবে ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১ বাইরে রাখলে ভেতরে থাকে ১২৫ যোগ ৩৫, মানে ১৬০; লব হয় ১৬০ গুণ ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১।
হরে ৪ গুণ ৫ এর ঘাত n, যা হলো ৪ গুণ ৫ গুণ ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১, মানে ২০ গুণ ৫ এর ঘাত n বিয়োগ ১। এবার ভাগ করলে ১৬০ ভাগ ২০, উত্তর ৮।
উত্তরে n নেই, তাই একটা দ্রুত যাচাই হলো n এর জায়গায় ১ বসানো: লব ১২৫ যোগ ৩৫ মানে ১৬০, হর ২০, ফল ৮। হরের ৪ কে ২০ এ বদলাতে ভুলে গেলে ১৬০ ভাগ ৪ সমান ৪০ আসে, যা কোনো বিকল্পে নেই; তখন বুঝবেন হর ঠিক করা হয়নি।
মনে রাখুন: উত্তরে n থাকে না, তাই n = ১ বসান: (১২৫ + ৩৫) ÷ ২০ = ৮।
১১৯২. বিষমবাহু △ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত △ABD এর ক্ষেত্রফল x বর্গমিটার। △ABC এর ক্ষেত্রফল কত? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- কx² বর্গমিটার
- খ2x বর্গমিটার
- গ(x²)² বর্গমিটার
- ঘ(x³)³ বর্গমিটার
সঠিক উত্তর: খ. 2x বর্গমিটার
প্রশ্নটা ত্রিভুজের মধ্যমার একটা মৌলিক ধর্ম যাচাই করছে। মধ্যমা হলো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত রেখা; এখানে AD, আর D হলো BC এর মধ্যবিন্দু।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অর্ধেক গুণ ভূমি গুণ উচ্চতা। ABD আর ADC দুই ত্রিভুজের ভূমি BD ও DC সমান, আর A থেকে BC পর্যন্ত উচ্চতা দুটোর জন্যই এক। তাই দুটোর ক্ষেত্রফলও সমান।
ABD এর ক্ষেত্রফল x হলে ADC এর ক্ষেত্রফলও x, আর পুরো ABC এর ক্ষেত্রফল x যোগ x, মানে ২x বর্গমিটার।
বিষমবাহু কথাটা শুধু বিভ্রান্ত করতে; যেকোনো ত্রিভুজেই মধ্যমা ক্ষেত্রফলকে দুই সমান ভাগে ভাগ করে। বর্গ বা ঘনের বিকল্পগুলো একক মেলে না, কারণ ক্ষেত্রফলের বর্গ আর ক্ষেত্রফল থাকে না।
মনে রাখুন: মধ্যমা সবসময় ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলের দুই ভাগে ভাগ করে; তাই পুরোটা = ২ × অর্ধেক।
১১৯৩. x+y=2, x²+y²=4 হলে x³+y³=? (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক8
- খ9
- গ16
- ঘ25
সঠিক উত্তর: ক. 8
প্রশ্নটা বীজগণিতের দুটি সূত্র একসঙ্গে ব্যবহার করতে বলছে: যোগফলের বর্গ, আর ঘনের যোগফল। কৌশল হলো আগে xy বের করা।
x যোগ y এর বর্গ সমান x এর বর্গ যোগ y এর বর্গ যোগ দুই xy। এখানে বাম পাশ ২ এর বর্গ, মানে ৪, আর x এর বর্গ যোগ y এর বর্গও ৪। তাই দুই xy শূন্য, অর্থাৎ xy শূন্য।
এবার ঘনের সূত্র: x এর ঘন যোগ y এর ঘন সমান x যোগ y এর ঘন বিয়োগ তিন xy গুণ x যোগ y। xy শূন্য, তাই শুধু থাকে ২ এর ঘন, মানে ৮।
যাচাই: x ২ আর y শূন্য নিলে দুটো শর্তই মেলে, আর x এর ঘন যোগ y এর ঘন হয় ৮। ১৬ হলো x এর বর্গ যোগ y এর বর্গের বর্গ, ঘন নয়; ওটাই এখানে বড় ফাঁদ।
মনে রাখুন: xy = ০ মানে একটা চলক শূন্য; x = ২, y = ০ বসালেই x³ + y³ = ৮।
১১৯৪. ঘড়িতে এখন ৮টা বাজে। ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি হলো- (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক১৫০°
- খ৬০°
- গ৯০°
- ঘ১২০°
সঠিক উত্তর: ঘ. ১২০°
ঘড়ির কোণের প্রশ্নে মূল তথ্য: পুরো ঘড়ি ৩৬০ ডিগ্রি, আর ১২টি ঘর, তাই পাশাপাশি দুই সংখ্যার মাঝে ৩০ ডিগ্রি।
ঠিক ৮টায় মিনিটের কাঁটা ১২ তে আর ঘণ্টার কাঁটা পুরোপুরি ৮ এ। ঘড়ির কাঁটার দিকে ১২ থেকে ৮ পর্যন্ত ৮ ঘর, মানে ২৪০ ডিগ্রি।
কিন্তু দুই কাঁটার মাঝের কোণ বলতে ছোট কোণটাই বোঝায়। উল্টো দিকে ৮ থেকে ১২ পর্যন্ত মাত্র ৪ ঘর, মানে ৪ গুণ ৩০, অর্থাৎ ১২০ ডিগ্রি।
সাধারণ সূত্র: কোণ সমান ৩০ গুণ ঘণ্টা বিয়োগ সাড়ে ৫ গুণ মিনিট, তারপর মান ১৮০ এর বেশি হলে ৩৬০ থেকে বিয়োগ। ১৫০ ডিগ্রি হয় ৭টা বা ৫টায়, এটা একটা কাছাকাছি ফাঁদ।
মনে রাখুন: ঠিক H টায় কোণ = ৩০ × H; ১৮০ এর বেশি হলে ৩৬০ থেকে বিয়োগ। ৮টায় ২৪০ → ১২০°।
১১৯৫. √169 is equal to- (৩৪তম বিসিএস, ২০১৩)
- ক11
- খ13
- গ15
- ঘ17
সঠিক উত্তর: খ. 13
প্রশ্নটা বর্গমূল চেনা যাচাই করছে। কোনো সংখ্যার বর্গমূল হলো সেই সংখ্যা, যাকে নিজের সঙ্গে গুণ করলে মূল সংখ্যাটা পাওয়া যায়।
১৩ গুণ ১৩ হয় ১৬৯, তাই ১৬৯ এর বর্গমূল ১৩।
দ্রুত যাচাইয়ের কৌশল: ১৬৯ এর শেষ অঙ্ক ৯, তাই বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৩ বা ৭। আবার ১৬৯ সংখ্যাটা ১০০ আর ২২৫ এর মাঝে, মানে বর্গমূল ১০ আর ১৫ এর মাঝে; তাই ১৩।
১১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গ মুখস্থ রাখলে এমন প্রশ্নে সময় লাগে না। ১৭ এর শেষ অঙ্কও ৭, কিন্তু ১৭ এর বর্গ ২৮৯, অনেক বড়।
মনে রাখুন: শেষ অঙ্ক ৯ হলে বর্গমূলের শেষ অঙ্ক ৩ বা ৭; ১০০ আর ২২৫ এর মাঝে বলে উত্তর ১৩।
১১৯৬. তিন সদস্যের একটি বিতর্ক দলের সদস্যদের গড় বয়স ২৪ বছর। যদি কোনো সদস্যের বয়সই ২১ বছরের নিচে না হয় তবে তাদের কোনো একজনের সর্বোচ্চ বয়স কত হতে পারে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
- ক২৫ বছর
- খ৩০ বছর
- গ২৮ বছর
- ঘ৩২ বছর
সঠিক উত্তর: খ. ৩০ বছর
গড় দেওয়া থাকলে প্রথম কাজ মোট বের করা: গড় গুণ সদস্যসংখ্যা। একজনের বয়স সর্বোচ্চ করতে চাইলে বাকিদের বয়স যত কম সম্ভব ধরতে হয়।
তিনজনের গড় ২৪ বছর, তাই মোট বয়স ৭২ বছর। কারো বয়স ২১ এর নিচে নয়, তাই বাকি দুজনকে সর্বনিম্ন ২১ বছর করে ধরি; তাদের মোট ৪২।
তৃতীয়জনের সর্বোচ্চ বয়স তাই ৭২ বিয়োগ ৪২, মানে ৩০ বছর।
এর বেশি, যেমন ৩২ ধরলে বাকি দুজনের জন্য থাকে ৪০; তখন একজনকে ২১ এর নিচে নামতেই হবে, যা শর্ত ভাঙে।
মনে রাখুন: মোট − (বাকিদের সংখ্যা × সর্বনিম্ন) = ৭২ − ২ × ২১ = ৩০।
১১৯৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
- ক১০ সে. মি.
- খ৮ সে. মি.
- গ৪ সে. মি.
- ঘ৬ সে. মি.
সঠিক উত্তর: ক. ১০ সে. মি.
তিনটি বাহুই একটা অজানা দিয়ে লেখা যায় বলে পিথাগোরাসের উপপাদ্যে একটাই সমীকরণ দাঁড়ায়। ভূমিকে x ধরলে লম্ব x বিয়োগ দুই, আর অতিভুজ x যোগ দুই।
পিথাগোরাস অনুযায়ী ভূমির বর্গ যোগ লম্বের বর্গ সমান অতিভুজের বর্গ। বিস্তার করে সাজালে দাঁড়ায় x এর বর্গ সমান আট x, তাই x সমান আট।
ভূমি ৮, লম্ব ৬, অতিভুজ ১০ সেন্টিমিটার। যাচাই: ৩৬ যোগ ৬৪ সমান ১০০।
ফাঁদ হলো ৮ লিখে দেওয়া, যা আসলে ভূমি। প্রশ্ন চেয়েছে অতিভুজ, তাই ৮ এর সাথে ২ যোগ করতে হবে।
মনে রাখুন: ৬, ৮, ১০ ত্রয়ীতে লম্ব ভূমির ২ কম, অতিভুজ ২ বেশি; অপশন দেখেই মেলে।
১১৯৮. একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. x ৪ সে. মি. x ১.৫সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
- ক২৬৪০ টি
- খ১৩২০ টি
- গ৩৬০০ টি
- ঘ৫২৪০ টি
সঠিক উত্তর: ক. ২৬৪০ টি
বাক্সে কতগুলো ছোট জিনিস ধরবে, তা বের করার নিরাপদ উপায় হলো প্রতিটি দিক বরাবর আলাদা করে গোনা। প্রতিটি দিক যদি সমানভাবে ভাগ হয়ে যায়, তবে আয়তন ভাগ করেও একই উত্তর আসে।
দৈর্ঘ্য বরাবর ৫৫ ভাগ ৫, মানে ১১টি সাবান। প্রস্থ বরাবর ৪৮ ভাগ ৪, মানে ১২টি। উচ্চতা বরাবর ৩০ ভাগ দেড়, মানে ২০টি।
মোট সাবান ১১ গুণ ১২ গুণ ২০, অর্থাৎ ২৬৪০টি। আয়তন দিয়েও যাচাই: বাক্সের আয়তন ৭৯২০০ ঘন সেন্টিমিটার, সাবানের ৩০ ঘন সেন্টিমিটার; ভাগফল ২৬৪০।
ভুল হয় সাবানের উচ্চতা দেড় এর বদলে তিন ধরলে; তখন অর্ধেক, মানে ১৩২০ আসে।
মনে রাখুন: বাক্সের আয়তন ÷ সাবানের আয়তন = ৭৯২০০ ÷ ৩০ = ২৬৪০ (প্রতিটি দিক পুরো ভাগ যায় বলে)।
১১৯৯. যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
- ক{3, 18, 30}
- খ{3, 5, 15, 18, 20, 30}
- গকোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: গ. কোনোটিই নয়
দুটি সেটের ছেদ মানে যে উপাদানগুলো দুটো সেটেই আছে। আর সংযোগ মানে যেকোনো একটিতে থাকা সব উপাদান। প্রশ্নটা এই দুইয়ের পার্থক্য পরীক্ষা করছে।
A সেটে আছে ৫, ১৫, ২০, ৩০। B সেটে আছে ৩, ৫, ১৫, ১৮, ২০। দুটোতেই আছে ৫, ১৫ আর ২০; তাই ছেদ হলো ৫, ১৫, ২০।
প্রথম অপশন ৩, ১৮, ৩০ হলো ঠিক উল্টো: যেগুলো মাত্র একটা সেটে আছে। দ্বিতীয় অপশন হলো সংযোগ। কোনোটাই ছেদ নয়, তাই উত্তর কোনোটিই নয়।
ফাঁদ হলো ছেদ আর সংযোগ গুলিয়ে ফেলা। ছেদের চিহ্ন উল্টো ইউ এর মতো, মানে কম; সংযোগের চিহ্ন সোজা ইউ, মানে সব।
মনে রাখুন: ছেদ = দুই সেটের কমন উপাদান; সংযোগ = সব উপাদান একবার করে।
১২০০. ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১ - - – ধারার ১০ম পদটি কত? (৩৩তম বিসিএস, ২০১২)
- ক৩৪
- খ৫৫
- গ৪৮
- ঘ৬৪
সঠিক উত্তর: খ. ৫৫
এটা বিখ্যাত ফিবোনাচি ধারা। প্রথম দুটি পদ ১ ও ১, তারপর প্রতিটি পদ ঠিক আগের দুটি পদের যোগফল।
যাচাই: ১ যোগ ১ দুই, ১ যোগ ২ তিন, ২ যোগ ৩ পাঁচ, এভাবে ৮, ১৩, ২১। এগুলো প্রথম আটটি পদ।
নবম পদ ১৩ যোগ ২১, মানে ৩৪। দশম পদ ২১ যোগ ৩৪, মানে ৫৫।
ফাঁদ হলো ৩৪ বেছে নেওয়া, যেটা আসলে পরের পদ, মানে নবম। প্রশ্ন দশম পদ চেয়েছে, তাই আরও এক ধাপ যেতে হবে।
মনে রাখুন: পদ গুনে গুনে এগোন; কয়টি পদ দেওয়া আছে সেটা আগে গুনে নিন।