গাণিতিক যুক্তি · পাতা ৬২
১২২১. যদি a + b = 2, ab =1 হয় তবে a এবং b এর মান যথাক্রমে- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক0, 2
- খ1, 1
- গ-1, 3
- ঘ-3, -4
সঠিক উত্তর: খ. 1, 1
যোগফল আর গুণফল দেওয়া থাকলে সংখ্যা দুটির পার্থক্য বের করা যায় একটা সূত্রে: পার্থক্যের বর্গ সমান যোগফলের বর্গ বিয়োগ চার গুণ গুণফল।
এখানে যোগফল ২, গুণফল ১। তাই a বিয়োগ b এর বর্গ সমান চার বিয়োগ চার, মানে শূন্য। পার্থক্য শূন্য, অর্থাৎ দুটি সংখ্যা সমান।
সমান দুটি সংখ্যার যোগফল ২ হলে প্রত্যেকটি ১। যাচাই: এক যোগ এক দুই, এক গুণ এক এক।
ফাঁদ হলো শুধু যোগফল মিলিয়ে উত্তর বেছে নেওয়া। শূন্য আর দুই, বা মাইনাস এক আর তিন, এদের যোগফলও দুই, কিন্তু গুণফল মেলে না।
মনে রাখুন: অপশনে দুটো শর্তই যাচাই করুন: যোগফল ২ আর গুণফল ১ একসাথে শুধু (১, ১)-এ মেলে।
১২২২. দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক36
- খ37
- গ38
- ঘ40
সঠিক উত্তর: ক. 36
দুটি সংখ্যার যোগফল আর গুণফল জানা থাকলে সংখ্যা দুটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল। আবার আগের সূত্রটাও চলে: পার্থক্যের বর্গ সমান যোগফলের বর্গ বিয়োগ চার গুণ গুণফল।
যোগফল ৪৮ এর বর্গ ২৩০৪, আর চার গুণ ৪৩২ হলো ১৭২৮। বিয়োগ করলে ৫৭৬, যার বর্গমূল ২৪। তাই সংখ্যা দুটির পার্থক্য ২৪।
যোগফল ৪৮ আর পার্থক্য ২৪ হলে বড় সংখ্যা হলো ৪৮ যোগ ২৪ এর অর্ধেক, মানে ৩৬; ছোটটি ১২। যাচাই: ৩৬ গুণ ১২ সমান ৪৩২।
পরীক্ষায় সহজ পথ হলো প্রতিটি অপশনকে ৪৮ থেকে বিয়োগ করে গুণফল মেলানো; শুধু ৩৬ আর ১২ এর গুণফলই ৪৩২।
মনে রাখুন: অপশন থেকে: ৩৬ + ১২ = ৪৮ এবং ৩৬ × ১২ = ৪৩২।
১২২৩. 0, 1, 2 এবং 3 দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক3147
- খ2287
- গ2987
- ঘ2187
সঠিক উত্তর: ঘ. 2187
অঙ্ক দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা বানাতে বড় অঙ্কগুলো বাঁ দিকে বসাতে হয়, আর ক্ষুদ্রতম বানাতে ছোট অঙ্ক বাঁ দিকে। তবে একটা শর্ত আছে: চার অঙ্কের সংখ্যার শুরুতে শূন্য বসানো যায় না।
০, ১, ২, ৩ দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা ৩২১০। ক্ষুদ্রতম বানাতে শুরুতে শূন্য দিলে সংখ্যাটা তিন অঙ্কের হয়ে যায়, তাই শুরুতে বসবে ১, তারপর ০, ২, ৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০২৩।
বিয়োগফল ৩২১০ বিয়োগ ১০২৩, মানে ২১৮৭।
প্রধান ফাঁদ হলো শুরুতে শূন্য বসিয়ে শূন্য এক দুই তিন ধরা। ওটা আসলে ১২৩, চার অঙ্কের সংখ্যা নয়।
মনে রাখুন: ক্ষুদ্রতম সংখ্যায় দ্বিতীয় ছোট অঙ্কটি আগে, তারপর ০, তারপর বাকিগুলো ছোট থেকে বড়।
১২২৪. 1²+2²+3²+…..+x² – এর মান কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- কx(x+1)/2
- খx
- গ²
- ঘx(x+1)(2x+1)/6
সঠিক উত্তর: ঘ. x(x+1)(2x+1)/6
প্রশ্নটা প্রথম x টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফলের সূত্র জানতে চেয়েছে। তিনটি সূত্র একসাথে মনে রাখা ভালো: শুধু সংখ্যার যোগফল, বর্গের যোগফল, আর ঘনের যোগফল।
শুধু সংখ্যার যোগফল x গুণ x যোগ এক, ভাগ দুই। বর্গের যোগফল x গুণ x যোগ এক গুণ দুই x যোগ এক, ভাগ ছয়। ঘনের যোগফল হলো সংখ্যার যোগফলের বর্গ।
যাচাই করা সহজ: x সমান দুই ধরলে এক যোগ চার সমান পাঁচ। সূত্রে দুই গুণ তিন গুণ পাঁচ ভাগ ছয়, তাও পাঁচ। তাই শেষ অপশনটি সঠিক।
ফাঁদ হলো প্রথম অপশন, যেটা শুধু এক যোগ দুই যোগ তিন এভাবে সংখ্যার যোগফল, বর্গের নয়।
মনে রাখুন: সন্দেহ হলে x = ২ বসান: আসল যোগফল ৫ যে সূত্রে মেলে, সেটাই উত্তর।
১২২৫. যদি 64^(2/3) + 625^(1/2) = 3k হয় তবে k এর মান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক12(⅖)
- খ13(⅔)
- গ11(⅓)
- ঘ9(⅔)
সঠিক উত্তর: খ. 13(⅔)
প্রশ্নটা ভগ্নাংশ সূচকের মান বের করা পরীক্ষা করছে। ভগ্নাংশ সূচকের হর বলে কোন মূল নিতে হবে, আর লব বলে কত ঘাত তুলতে হবে।
চৌষট্টির দুই তৃতীয়াংশ ঘাত মানে আগে ঘনমূল, তারপর বর্গ। চৌষট্টির ঘনমূল ৪, তার বর্গ ১৬। আর ছয়শো পঁচিশের অর্ধেক ঘাত মানে বর্গমূল, যা ২৫।
যোগফল ১৬ যোগ ২৫, মানে ৪১। তাই তিন k সমান ৪১, আর k সমান ৪১ ভাগ ৩, অর্থাৎ ১৩ পূর্ণ দুই তৃতীয়াংশ।
ফাঁদ হলো ঘনমূল নিয়ে বর্গ করতে ভুলে যাওয়া। তখন ৪ যোগ ২৫ সমান ২৯ পাওয়া যায়, আর k আসে ৯ পূর্ণ দুই তৃতীয়াংশ।
মনে রাখুন: a^(m/n) মানে n-তম মূল নিয়ে m ঘাত: আগে মূল নিলে সংখ্যা ছোট থাকে, হিসাব সহজ।
১২২৬. কোনটি সবচেয়ে ছোট? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক2/11
- খ3/11
- গ2/13
- ঘ4/15
সঠিক উত্তর: গ. 2/13
ভগ্নাংশ তুলনার দুটি সহজ নিয়ম আছে। লব সমান হলে যার হর বড়, সেই ভগ্নাংশ ছোট। হর সমান হলে যার লব ছোট, সেই ভগ্নাংশ ছোট।
এগারো ভাগের দুই আর তেরো ভাগের দুই, দুটোরই লব দুই; তেরো বড় হর, তাই তেরো ভাগের দুই ছোট। আবার এগারো ভাগের তিন আর এগারো ভাগের দুই, হর সমান; এগারো ভাগের দুই ছোট। তাই এই তিনটির মধ্যে তেরো ভাগের দুই সবচেয়ে ছোট।
বাকি থাকে পনেরো ভাগের চার, যা প্রায় শূন্য দশমিক দুই সাত; আর তেরো ভাগের দুই প্রায় শূন্য দশমিক এক পাঁচ। তাই সব মিলিয়ে তেরো ভাগের দুই সবচেয়ে ছোট।
আড়াআড়ি গুণ করেও দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করা যায়: যে দিকের গুণফল ছোট, সেই ভগ্নাংশ ছোট।
মনে রাখুন: লব সমান হলে বড় হরের ভগ্নাংশ ছোট; এক নজরে ২/১৩ < ২/১১।
১২২৭. যদি Q/P = 1/4 হয় তবে (P+Q)/(P-Q) এর মান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক5/3
- খ2/3
- গ3/5
- ঘ5/7
সঠিক উত্তর: ক. 5/3
অনুপাত দেওয়া থাকলে একটা রাশিকে অন্যটার মাধ্যমে লিখে ফেললেই হিসাব সহজ হয়। Q ভাগ P সমান এক চতুর্থাংশ মানে P হলো Q এর চার গুণ।
এখন P যোগ Q হয় পাঁচ Q, আর P বিয়োগ Q হয় তিন Q। ভাগ করলে Q কেটে যায়, থাকে পাঁচ ভাগ তিন।
সহজ উপায়: P সমান ৪, Q সমান ১ ধরে নিন। তখন পাঁচ ভাগ তিন সরাসরি আসে।
ফাঁদ হলো ভগ্নাংশ উল্টে তিন ভাগ পাঁচ লেখা, মানে বিয়োগফলকে লবে বসানো।
মনে রাখুন: যোজন-বিয়োজন: P/Q = ৪/১ হলে (P + Q)/(P − Q) = (৪ + ১)/(৪ − ১) = ৫/৩।
১২২৮. log₂(1/32) এর মান- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক125
- খ– 5
- গ15
- ঘ– 15
সঠিক উত্তর: খ. – 5
লগারিদমের মানে হলো ঘাত। দুই ভিত্তিক লগ অমুক সংখ্যা মানে জিজ্ঞেস করা: দুই এর কত ঘাত সেই সংখ্যার সমান?
বত্রিশ হলো দুই এর পাঁচ ঘাত। আর এক ভাগ বত্রিশ হলো দুই এর মাইনাস পাঁচ ঘাত, কারণ ঋণাত্মক ঘাত মানে উল্টো ভগ্নাংশ।
তাই দুই ভিত্তিক লগ এক ভাগ বত্রিশ সমান মাইনাস পাঁচ।
একটা দ্রুত যাচাই: সংখ্যাটা এক এর চেয়ে ছোট হলে লগ ঋণাত্মক হয়। তাই ধনাত্মক অপশনগুলো আগেই বাদ।
মনে রাখুন: ১ এর চেয়ে ছোট সংখ্যার লগ (ভিত্তি ১ এর বেশি হলে) সবসময় ঋণাত্মক।
১২২৯. (4x² − 16) এবং 6x² + 24x + 24 এর গসাগু- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- কx + 2
- খx + 4
- গx + 2
- ঘ2(x + 2)
সঠিক উত্তর: ঘ. 2(x + 2)
বীজগাণিতিক রাশির গসাগু বের করতে প্রথমে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে ভাঙতে হয়, তারপর সাধারণ উৎপাদকগুলো নিতে হয়। সংখ্যাসহগগুলোর গসাগুও এর সাথে গুণ হয়।
চার x বর্গ বিয়োগ ষোলো হলো চার গুণ x যোগ দুই গুণ x বিয়োগ দুই। ছয় x বর্গ যোগ চব্বিশ x যোগ চব্বিশ হলো ছয় গুণ x যোগ দুই এর বর্গ।
দুটিতেই আছে x যোগ দুই। আর সংখ্যা চার ও ছয় এর গসাগু দুই। তাই গসাগু হলো দুই গুণ x যোগ দুই।
ফাঁদ হলো শুধু x যোগ দুই লেখা। সেটা সাধারণ উৎপাদক ঠিকই, কিন্তু সংখ্যার সাধারণ উৎপাদক দুই বাদ পড়ায় গরিষ্ঠ হয় না।
মনে রাখুন: সহগগুলোর গসাগু আলাদা করে নিন, তারপর সাধারণ বীজগাণিতিক উৎপাদক যোগ করুন।
১২৩০. x³ − x² কে x − 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে থাকবে- (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক2
- খ4
- গ-6
- ঘ-8
সঠিক উত্তর: খ. 4
ভাগশেষ উপপাদ্য বলে, কোনো বহুপদী রাশিকে x বিয়োগ a দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয় রাশিতে x এর জায়গায় a বসালে যা পাওয়া যায়। পুরো ভাগ করার দরকার নেই।
এখানে ভাজক x বিয়োগ দুই, তাই x এর জায়গায় দুই বসাই। দুই এর ঘন আট, দুই এর বর্গ চার; আট বিয়োগ চার সমান চার।
তাই ভাগশেষ চার। লম্বা ভাগ করলেও ভাগফল আসে x বর্গ যোগ x যোগ দুই, আর ভাগশেষ চার।
ফাঁদ হলো দুই কে উত্তর ভাবা; দুই হলো বসানোর মান, ভাগশেষ নয়। আবার x বিয়োগ দুই দেখে মাইনাস দুই বসালেও ভুল হয়।
মনে রাখুন: x − a দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ = f(a)।
১২৩১. যদি a² + 1/a² = 51 হয় তবে a − 1/a এর মান কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক±9
- খ±7
- গ±5
- ঘ±3
সঠিক উত্তর: খ. ±7
এটা বীজগণিতের একটা চেনা অভেদ: a বিয়োগ এক ভাগ a এর বর্গ সমান a বর্গ যোগ এক ভাগ a বর্গ বিয়োগ দুই। কারণ মাঝের পদ দুই গুণ a গুণ এক ভাগ a, যা শুধু দুই।
এখানে a বর্গ যোগ এক ভাগ a বর্গ সমান ৫১। তাই a বিয়োগ এক ভাগ a এর বর্গ সমান ৫১ বিয়োগ ২, মানে ৪৯।
৪৯ এর বর্গমূল ৭, আর বর্গ থেকে ফিরে আসায় চিহ্ন ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দুটোই হতে পারে। তাই উত্তর প্লাস মাইনাস সাত।
সতর্কতা: যোগ চিহ্নের অভেদে দুই যোগ হয়, বিয়োগ চিহ্নে দুই বিয়োগ হয়। এখানে দুই যোগ করলে ৫৩ আসত, যা পূর্ণবর্গ নয়।
মনে রাখুন: a − ১/a চাইলে ২ বিয়োগ, a + ১/a চাইলে ২ যোগ করে বর্গমূল নিন।
১২৩২. f(x) = x³ − 2x + 10 হলে f(0) = কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক1
- খ5
- গ8
- ঘ10
সঠিক উত্তর: ঘ. 10
ফাংশনের মান বের করা মানে x এর জায়গায় প্রদত্ত সংখ্যা বসানো। f শূন্য মানে x এর জায়গায় শূন্য বসাতে হবে।
x এর ঘন শূন্য, দুই x ও শূন্য। তাই শুধু ধ্রুবক পদ ১০ থাকে। f শূন্য সমান ১০।
সাধারণ নিয়ম: যেকোনো বহুপদী রাশিতে x শূন্য বসালে মান হয় তার ধ্রুবক পদ।
ভুল হয় যখন কেউ দুই x এর x বাদ দিয়ে শুধু দুই বিয়োগ করেন; তখন ১০ বিয়োগ ২ সমান ৮ আসে।
মনে রাখুন: f(০) মানেই ধ্রুবক পদ।
১২৩৩. (x − 4)² + (y + 3)² = 100 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক(0,0)
- খ(4,- 3)
- গ(- 4,3)
- ঘ(10,10)
সঠিক উত্তর: খ. (4,- 3)
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো x বিয়োগ h এর বর্গ যোগ y বিয়োগ k এর বর্গ সমান r এর বর্গ। এখানে কেন্দ্র h কমা k, আর ব্যাসার্ধ r।
প্রশ্নে আছে x বিয়োগ চার, তাই h সমান চার। আর আছে y যোগ তিন, যাকে লেখা যায় y বিয়োগ মাইনাস তিন; তাই k সমান মাইনাস তিন।
সুতরাং কেন্দ্র চার, মাইনাস তিন। আর ডান পাশে ১০০ মানে ব্যাসার্ধ ১০।
ফাঁদ হলো বন্ধনীর চিহ্ন সরাসরি তুলে নেওয়া, তাতে মাইনাস চার, তিন আসে। আসলে কেন্দ্রের চিহ্ন বন্ধনীর চিহ্নের উল্টো।
মনে রাখুন: বন্ধনীর ভেতরের সংখ্যার চিহ্ন উল্টে দিলেই কেন্দ্র।
১২৩৪. একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m, 21 m এবং 29 m হলে এর ক্ষেত্রফল কত? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক200m²
- খ210m²
- গ290m²
- ঘ300m²
সঠিক উত্তর: খ. 210m²
তিন বাহু দেওয়া থাকলে আগে দেখে নিন ত্রিভুজটা সমকোণী কি না। ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল বড় বাহুর বর্গের সমান হলে সমকোণী, আর তখন ক্ষেত্রফল সহজেই বের হয়।
২০ এর বর্গ ৪০০, ২১ এর বর্গ ৪৪১; যোগফল ৮৪১। আর ২৯ এর বর্গও ৮৪১। তাই এটা সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ ২৯ আর লম্ব ও ভূমি ২০ ও ২১।
ক্ষেত্রফল ভূমি গুণ উচ্চতার অর্ধেক: ২০ গুণ ২১ সমান ৪২০, অর্ধেক ২১০ বর্গমিটার। হেরনের সূত্রেও একই ২১০ আসে।
ফাঁদ হলো অতিভুজ ২৯ কে উচ্চতা ধরে নেওয়া। উচ্চতা হলো ভূমির উপর লম্ব বাহু; সমকোণী ত্রিভুজে তা সমকোণের পাশের অন্য বাহু, অতিভুজ নয়। তাই অতিভুজ দিয়ে গুণ করলে ২৯০ এর মতো ভুল ফল আসে।
মনে রাখুন: চেনা পিথাগোরীয় ত্রয়ী (৩,৪,৫), (৫,১২,১৩), (৮,১৫,১৭), (২০,২১,২৯) মনে রাখলে এক নজরে সমকোণী চেনা যায়।
১২৩৫. যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে? (৩১তম বিসিএস, ২০১১)
- ক1/8
- খ1/6
- গ3/4
- ঘ5/24
সঠিক উত্তর: ঘ. 5/24
দুটি সংখ্যার ব্যস্তানুপাতিক যোগফল মানে তাদের উল্টো ভগ্নাংশ দুটির যোগফল: এক ভাগ a যোগ এক ভাগ b।
এই দুটি যোগ করলে হর হয় a গুণ b, লব হয় a যোগ b। অর্থাৎ ব্যস্ত যোগফল সমান যোগফল ভাগ গুণফল। সংখ্যা দুটি আলাদা করে বের করারও দরকার নেই।
এখানে যোগফল ২০, গুণফল ৯৬। তাই উত্তর ২০ ভাগ ৯৬, যা লঘিষ্ঠ আকারে পাঁচ ভাগ চব্বিশ।
যাচাই: সংখ্যা দুটি ১২ ও ৮। ১ ভাগ ১২ যোগ ১ ভাগ ৮ সমান ২ ভাগ ২৪ যোগ ৩ ভাগ ২৪, মানে ৫ ভাগ ২৪।
মনে রাখুন: ব্যস্ত যোগফল = যোগফল ÷ গুণফল।
১২৩৬. কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৮৯
- খ৭০
- গ১৭০
- ঘ১৪২
সঠিক উত্তর: খ. ৭০
কোনো সংখ্যা কয়েকটি সংখ্যা দিয়ে একসঙ্গে বিভাজ্য হলে সেটি তাদের লসাগুর গুণিতক হয়। আর লঘিষ্ঠ সংখ্যা চাইলে লসাগু নিজেই নিতে হয়।
১২, ১৮ আর ২৪ এর লসাগু ৭২। কারণ ১২ হলো ২ এর বর্গ গুণ ৩, ১৮ হলো ২ গুণ ৩ এর বর্গ, ২৪ হলো ২ এর ঘন গুণ ৩; প্রতিটি মৌলিকের সবচেয়ে বড় ঘাত নিলে ২ এর ঘন গুণ ৩ এর বর্গ, মানে ৭২।
সংখ্যার সঙ্গে ২ যোগ করলে ৭২ হবে, তাই সংখ্যাটি ৭২ বিয়োগ ২, অর্থাৎ ৭০।
১৪২ এর সঙ্গে ২ যোগ করলে ১৪৪ হয়, যা ১২, ১৮, ২৪ দিয়ে ভাগ যায়; কিন্তু এটা দ্বিতীয় গুণিতক থেকে আসে, লঘিষ্ঠ নয়। লঘিষ্ঠ শব্দটা খেয়াল না করলে এই ফাঁদে পড়তে হয়।
মনে রাখুন: যোগ করলে বিভাজ্য হলে: লসাগু − যোগ করা সংখ্যা; বিয়োগ করলে বিভাজ্য হলে: লসাগু + বিয়োগ করা সংখ্যা।
১২৩৭. নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৯১
- খ৮৭
- গ৬৩
- ঘ৫৯
সঠিক উত্তর: ঘ. ৫৯
মৌলিক সংখ্যা যাচাইয়ের নিয়ম: সংখ্যাটির বর্গমূল পর্যন্ত যতগুলো মৌলিক আছে, সেগুলো দিয়ে ভাগ করে দেখা। ১০০ এর নিচের সংখ্যার জন্য ২, ৩, ৫ আর ৭ দিয়ে দেখলেই যথেষ্ট।
৯১ দেখতে মৌলিকের মতো, কিন্তু ৯১ সমান ৭ গুণ ১৩। ৮৭ এর অঙ্কের যোগফল ১৫, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ৮৭ সমান ৩ গুণ ২৯। ৬৩ সমান ৭ গুণ ৯।
৫৯ কে ২, ৩, ৫ বা ৭ কোনোটি দিয়েই ভাগ করা যায় না, তাই ৫৯ মৌলিক।
৯১ আর ৮৭ সবচেয়ে চেনা ফাঁদ। মনে রাখুন ৯১ সমান ৭ গুণ ১৩, আর অঙ্কের যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটাও ৩ দিয়ে বিভাজ্য।
মনে রাখুন: √৫৯ < ৮, তাই ২, ৩, ৫, ৭ দিয়ে ভাগ না গেলেই মৌলিক।
১২৩৮. একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক৩৪০
- খ৩৪১
- গ৩৪২
- ঘ৩৪৪
সঠিক উত্তর: খ. ৩৪১
যে সংখ্যা একটি সংখ্যা থেকে যত বড়, অন্যটি থেকে তত ছোট, সে দুই সংখ্যার ঠিক মাঝখানে থাকে। মাঝখানের সংখ্যা মানে দুটির গড়।
তাই সংখ্যাটি ৩০১ আর ৩৮১ এর গড়: যোগফল ৬৮২, তাকে ২ দিয়ে ভাগ করলে ৩৪১।
যাচাই: ৩৪১ বিয়োগ ৩০১ সমান ৪০, আর ৩৮১ বিয়োগ ৩৪১-ও ৪০। দুই দিকেই সমান দূরত্ব।
৩৪০ বা ৩৪২ খুব কাছের হলেও দুই দিকের দূরত্ব সমান হয় না; একদিকে ৩৯ আর অন্যদিকে ৪১ হয়ে যায়।
মনে রাখুন: সংখ্যা = (৩০১ + ৩৮১) ÷ ২ = ৩৪১।
১২৩৯. ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক২৫ দিনে
- খ৩০ দিনে
- গ৩৫ দিনে
- ঘ৪০ দিনে
সঠিক উত্তর: খ. ৩০ দিনে
কাজের প্রশ্নে প্রত্যেকের এক দিনের কাজ বের করাই মূল কৌশল। একসঙ্গে কাজ করলে এক দিনের কাজগুলো যোগ হয়, তাই একজনেরটা জানতে বিয়োগ করতে হয়।
সুবিধার জন্য পুরো কাজকে ১২ আর ২০ এর লসাগু, মানে ৬০ ভাগ ধরি। ক ও খ একসঙ্গে ১২ দিনে ৬০ ভাগ করে, তাই প্রতিদিন ৫ ভাগ। ক একা ২০ দিনে ৬০ ভাগ করে, তাই প্রতিদিন ৩ ভাগ।
তাহলে খ প্রতিদিন করে ৫ বিয়োগ ৩, মানে ২ ভাগ। পুরো ৬০ ভাগ শেষ করতে খ এর লাগবে ৬০ ভাগ ২, অর্থাৎ ৩০ দিন।
দিনগুলো সরাসরি বিয়োগ করা সবচেয়ে বড় ভুল; দিন নয়, এক দিনের কাজ বিয়োগ হয়। খ একা ধীরগতির বলে তার সময় অবশ্যই ২০ দিনের বেশি হবে।
মনে রাখুন: খ-এর সময় = (১২ × ২০) ÷ (২০ − ১২) = ২৪০ ÷ ৮ = ৩০ দিন।
১২৪০. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত? (৩০তম বিসিএস, ২০১০)
- ক30 মিটার
- খ40 মিটার
- গ50 মিটার
- ঘ60 মিটার
সঠিক উত্তর: গ. 50 মিটার
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ। দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হলে প্রস্থকে x ধরে দৈর্ঘ্য দুই x লেখা যায়।
তখন ক্ষেত্রফল দুই x গুণ x, মানে দুই গুণ x এর বর্গ, যা ১২৫০। দুই দিয়ে ভাগ করলে x এর বর্গ ৬২৫, আর ৬২৫ এর বর্গমূল ২৫।
প্রস্থ ২৫ মিটার, তাই দৈর্ঘ্য তার দ্বিগুণ, ৫০ মিটার। যাচাই: ৫০ গুণ ২৫ সমান ১২৫০।
প্রস্থ ২৫ বের করে সেখানেই থেমে যাওয়া সাধারণ ভুল; প্রশ্ন চেয়েছে দৈর্ঘ্য। অপশন থেকেও যাচাই করা যায়: যে দৈর্ঘ্যকে তার অর্ধেক দিয়ে গুণ করলে ১২৫০ হয়, সেটাই উত্তর।
মনে রাখুন: অপশন যাচাই: দৈর্ঘ্য × (দৈর্ঘ্য ÷ ২) = ১২৫০ → ৫০ × ২৫ = ১২৫০।